§ 45. Объединение и пересечение множеств

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 6: Множества. Страницы 67–69.

Чему научишься

• Находить объединение множеств $X \cup Y$ — всё, что есть хотя бы в одном.
• Находить пересечение $X \cap Y$ — то, что есть сразу в обоих.
• Видеть объединение и пересечение на кругах Эйлера–Венна.
• Пользоваться свойствами: порядок множеств и скобки не меняют результат.

Разминка

Это задания № 795 из прошлого урока. Ищем числа и фигуры, которые попадают сразу в два множества.

• Есть ли число и чётное, и простое? Да, 2.
• Есть ли число и нечётное, и составное? Да, например 9 или 15.
• Есть ли число и чётное, и нечётное? Нет, такого не бывает.
• Бывает ли угол и острый, и прямой? Нет: острый меньше $90°$, прямой ровно $90°$.
• Бывает ли фигура и треугольником, и многоугольником? Да, любой треугольник — многоугольник.
• Бывает ли равенство уравнением? Да: $x + 2 = 5$.

💡 Сегодня у «общей части» появится своё имя — пересечение.

Разбираемся

Высыпаем всё вместе: объединение

В классе есть кружок шахмат и кружок домбры. Учитель хочет позвать на концерт всех, кто ходит хотя бы в один кружок. Он берёт оба списка и пишет общий. Если Айдар ходит в оба кружка, его записывают один раз.

📌 Объединение множеств $X$ и $Y$ — это множество из элементов, которые лежат хотя бы в одном из них. Обозначают $X \cup Y$. На кругах закрашивают оба круга целиком.

Ищем общее: пересечение

А теперь нужны ребята, которые ходят и в шахматы, и на домбру. Это только те, кто есть в обоих списках.

📌 Пересечение множеств $X$ и $Y$ — это множество из элементов, которые лежат одновременно в $X$ и в $Y$. Обозначают $X \cap Y$. На кругах закрашивают только общую часть.

Попробуй на рисунке: круги $C$ и $D$. Нажимай на кнопки «Объединение» и «Пересечение».

Получается: $C \cup D$ = {44, 33, 8, 2, 7, 77, 66, 22}, а $C \cap D$ = {8, 2, 7}.

💡 Как запомнить значки? $\cup$ похож на чашу — в неё «ссыпают» всё. $\cap$ — перевёрнутая чаша, «крышечка» над общей частью.

Если общего нет

У множеств $A$ = {1, 10, 15, 55} и $B$ = {13, 9, 5} общих элементов нет. Тогда $A \cap B = \varnothing$ — пустое множество. На рисунке круги стоят отдельно, закрашивать нечего. А объединение есть: $A \cup B$ = {1, 10, 15, 55, 13, 9, 5}.

Если один круг внутри другого

Множество $F$ = {3, 6, 4} лежит внутри $E$, где ещё есть 99 и 88.

Тогда $E \cup F = E$ = {99, 88, 3, 6, 4}, а $E \cap F = F$ = {3, 6, 4}.

📌 Если $F \subset E$, то $E \cup F = E$ и $E \cap F = F$.

Три круга

На рисунке 62.4 три круга $X$, $Y$, $Z$. Только в $X$ — 9, 5; только в $Y$ — 6, 11; только в $Z$ — 7, 8. В $X$ и $Y$ — 2, в $X$ и $Z$ — 4, в $Y$ и $Z$ — 3. В центре, во всех трёх, — 1.

• $X \cup Y \cup Z$ = {9, 5, 6, 11, 7, 8, 2, 4, 3, 1} — все числа рисунка.
• $X \cap Y \cap Z$ = {1} — только центр.

Порядок не важен

Список «шахматы + домбра» и «домбра + шахматы» — одни и те же ребята. Поэтому:

• $X \cup Y = Y \cup X$ и $X \cap Y = Y \cap X$ — переместительное свойство;
• $(X \cup Y) \cup Z = X \cup (Y \cup Z)$ и $(X \cap Y) \cap Z = X \cap (Y \cap Z)$ — сочетательное свойство.

Как со сложением: $2 + 3 = 3 + 2$.

⚠️ Частая ошибка. В объединении повторяют общий элемент дважды: {8, 2, 7, 8, 2, 7, …}. В множестве каждый элемент записывают один раз.

👨‍👩‍👧 Родителю. Возьмите два списка: «что я люблю есть» и «что любит есть брат или сестра». Пусть ребёнок назовёт объединение (что купить, чтобы все были довольны) и пересечение (что любят оба).

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как на кругах показать объединение, а как пересечение? Объединение — закрасить оба круга целиком. Пересечение — закрасить только их общую часть.
• Может ли объединение двух пустых множеств быть пустым? А пересечение? Да, оба будут пустыми: в них нечего взять, $\varnothing \cup \varnothing = \varnothing$ и $\varnothing \cap \varnothing = \varnothing$.
• Подбери символы: 1) не принадлежит; 2) подмножество; 3) принадлежит; 4) объединение; 5) пересечение. 1) F — $\notin$; 2) A — $\subset$; 3) E — $\in$; 4) D — $\cup$; 5) C — $\cap$. Значок $\not\subset$ (B) остался лишним.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 796

Покажи на кругах объединение и пересечение: 1) чётных и нечётных цифр; 2) однозначных и простых чисел; 3) составных и натуральных чисел; 4) натуральных чисел и числа нуль.

Как думать. Сначала реши, как стоят круги: пересекаются, отдельно или один внутри другого. Потом закрашивай.

Решение.

1. Чётные цифры {0, 2, 4, 6, 8}, нечётные {1, 3, 5, 7, 9}. Общих нет, круги отдельно. Пересечение $\varnothing$, объединение — все цифры {0, 1, 2, …, 9}.
2. Круги пересекаются. Пересечение {2, 3, 5, 7}. Объединение — все однозначные числа и все простые числа: {1, 2, …, 9, 11, 13, 17, …}.
3. Каждое составное число натуральное: круг составных внутри круга натуральных. Пересечение — составные числа, объединение — натуральные числа.
4. Нуль не натуральное число: круг натуральных и «круг» {0} стоят отдельно. Пересечение $\varnothing$, объединение {0, 1, 2, 3, …}.

Ответ: 1) $\varnothing$; все цифры. 2) {2, 3, 5, 7}; однозначные и простые числа. 3) составные; натуральные. 4) $\varnothing$; {0, 1, 2, 3, …}.

№ 797

Найди пересечение и объединение множеств: 1) ручек и тетрадей; 2) стульев и мебели; 3) яблок и овощей; 4) фауны и птиц.

Как думать. Есть ли предмет, который сразу в обоих множествах? Нет — пересечение пустое. Одно внутри другого — пересечение равно меньшему, объединение большему.

Решение.

1. Ручка не бывает тетрадью. Пересечение $\varnothing$, объединение — все ручки и тетради.
2. Стул — это мебель. Пересечение — стулья, объединение — мебель.
3. Яблоко — фрукт, а не овощ. Пересечение $\varnothing$, объединение — все яблоки и овощи.
4. Фауна — это весь животный мир, и птицы в него входят. Пересечение — птицы, объединение — фауна.

Ответ: 1) $\varnothing$; ручки и тетради. 2) стулья; мебель. 3) $\varnothing$; яблоки и овощи. 4) птицы; фауна.

Уровень B

№ 798

Перечисли элементы объединения и пересечения для четырёх рисунков 64: 1) $F$ и $E$; 2) $A$ и $B$; 3) $Y$ внутри $X$; 4) три круга $M$, $K$, $D$.

Как думать. Объединение — все буквы и числа на рисунке. Пересечение — только то, что в общей части.

Решение.

1. $F \cup E$ = {а, б, в, г, д, е}; $F \cap E$ = {в, г}.
2. $A \cup B$ = {a, b, c, d, e, f}; $A \cap B$ = {b, c, d}.
3. $Y$ внутри $X$: $X \cup Y = X$ = {1, 2, 12, 3}; $X \cap Y = Y$ = {12, 3}.
4. $M \cup K \cup D$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; $M \cap K \cap D$ = {1}. Для пар: $M \cap K$ = {6, 1}, $K \cap D$ = {7, 1}, $M \cap D$ = {9, 4, 1}.

Ответ: 1) {а, б, в, г, д, е}; {в, г}. 2) {a, b, c, d, e, f}; {b, c, d}. 3) {1, 2, 12, 3}; {12, 3}. 4) {1, …, 9}; {1}.

Уровень C

№ 799

По рисунку 65 (три круга $A$, $B$, $C$) найди девять множеств: $(A \cup B) \cap C$, $(A \cap B) \cap C$, $(A \cap C) \cup (B \cap C)$, $A \cap (B \cap C)$, $(A \cap B) \cup C$, $(A \cup C) \cap (B \cup C)$, $(A \cup B) \cup C$, $A \cup (B \cup C)$, $A \cup B \cup C$. Какие из них равны?

На рисунке: только в $A$ — 4, 6; только в $B$ — 5; только в $C$ — 7; в $A$ и $B$ — 54; в $A$ и $C$ — 67; в $B$ и $C$ — 57; во всех трёх — 45.

Как думать. Сначала выпиши каждое множество целиком. Потом действуй, как в примерах со скобками: сначала то, что в скобках.

Решение. Сравниваем ответы:

• 1. и 3) равны: $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$;
• 2. и 4) равны: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$;
• 5. и 6) равны: $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$;
• 7), 8) и 9) равны: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A \cup B \cup C$.

Ответ: 1) {67, 57, 45}; 2) {45}; 3) {67, 57, 45}; 4) {45}; 5) {54, 45, 7, 67, 57}; 6) {54, 67, 45, 7, 57}; 7)–9) {4, 6, 5, 7, 54, 67, 57, 45}. Равенства: 1 = 3, 2 = 4, 5 = 6, 7 = 8 = 9.

🌟 Равенства 1 = 3 и 5 = 6 похожи на распределительный закон $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. У множеств он работает даже «в обе стороны»!

Готовимся к следующей теме

№ 800

Нарисуй на кругах множества и посчитай, сколько элементов в $A \cap B$ и $A \cup B$: 1) $A$ = {7, 2, 9, 4}, $B$ = {9, 2, 5}; 2) $A$ = {5, 8, 1}, $B$ = {6, 1, 3}; 3) $A$ = {8, 5, 6, 2}, $B$ = {9, 5, 6, 7}; 4) $A$ = {4, 3, 5, 2, 1}, $B$ = {3, 1, 2}.

Как думать. Общие числа — в середину, остальные — по своим кругам. Потом считаем.

Решение.

1. $A \cap B$ = {9, 2} — 2 элемента; $A \cup B$ = {7, 2, 9, 4, 5} — 5 элементов.
2. $A \cap B$ = {1} — 1 элемент; $A \cup B$ = {5, 8, 1, 6, 3} — 5 элементов.
3. $A \cap B$ = {5, 6} — 2 элемента; $A \cup B$ = {8, 5, 6, 2, 9, 7} — 6 элементов.
4. Все элементы $B$ есть в $A$: $B \subset A$. $A \cap B$ = {3, 1, 2} — 3 элемента; $A \cup B = A$ — 5 элементов.

Ответ: 1) 2 и 5; 2) 1 и 5; 3) 2 и 6; 4) 3 и 5.

💡 Посмотри на пункт 1: $4 + 3 - 2 = 5$. Сложили размеры множеств и вычли общую часть — получили объединение. Это правило — главная тема следующего урока.

Шпаргалка

• $\cup$ — «или», чаша для всего; $\cap$ — «и», только общее.
• Каждый элемент в множестве пишем один раз.
• $X \cup Y = Y \cup X$, $X \cap Y = Y \cap X$.
• Скобки при одной операции можно переставлять: $(X \cup Y) \cup Z = X \cup (Y \cup Z)$.

Мини-тест