§ 46. Решение текстовых задач

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 6: Множества. Страницы 70–73.

Чему научишься

• Решать задачи «кто был и там, и там» с помощью кругов Эйлера–Венна.
• Пользоваться правилом: $A + B - $ общая часть $=$ объединение.
• Находить по этому правилу любое неизвестное: общую часть или одно из множеств.
• Разбираться в задачах с тремя кругами.

Разминка

Это задания № 800 из прошлого урока. Посчитай элементы.

• $A$ = {7, 2, 9, 4}, $B$ = {9, 2, 5}. Сколько элементов в $A \cap B$ и в $A \cup B$? 2 (это 9 и 2) и 5.
• $A$ = {5, 8, 1}, $B$ = {6, 1, 3}? 1 и 5.
• $A$ = {8, 5, 6, 2}, $B$ = {9, 5, 6, 7}? 2 и 6.
• $A$ = {4, 3, 5, 2, 1}, $B$ = {3, 1, 2}? 3 и 5 — тут $B$ целиком внутри $A$.

💡 Сравни: в первом примере $4 + 3 = 7$, а в объединении 5. Куда делись 2? Это общие элементы — их посчитали дважды.

Разбираемся

Почему нельзя просто сложить

На рисунке 66 в круге $A$ 6 точек, в круге $B$ — 4. Две из них лежат в общей части.

Если сложить $6 + 4 = 10$, две общие точки посчитаются два раза: и в $A$, и в $B$. На самом деле точек $6 + 4 - 2 = 8$.

📌 Чтобы найти число элементов в объединении $A \cup B$, сложи число элементов $A$ и $B$ и вычти число элементов пересечения $A \cap B$.

Объединение = $A$ + $B$ − общая часть.

Задача про каникулы

Летом ребята из класса были в лагере или на море. В лагере — 15, на море — 9, и там, и там — 2. Сколько учеников в классе?

Решение: $15 + 9 - 2 = 22$. Проверим по частям: только лагерь $15 - 2 = 13$, только море $9 - 2 = 7$, оба — 2. Всего $13 + 7 + 2 = 22$ ✓.

⚠️ Частая ошибка. Число «в лагере — 15» уже включает тех двоих, кто был и на море. Поэтому «только лагерь» — это $15 - 2$, а не 15.

Правило работает в любую сторону

Из формулы «объединение = $A$ + $B$ − общая часть» можно найти что угодно:

• общая часть = $A$ + $B$ − объединение;
• одно множество = объединение − другое + общая часть.

💡 Лучший способ не запутаться — нарисовать два круга и начинать заполнять с середины.

👨‍👩‍👧 Родителю. Пусть ребёнок всегда делает проверку «по частям»: только $A$ + только $B$ + общая часть. Если сошлось с ответом — задача решена верно.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Сколько элементов в $A$, в $B$, в $A \cap B$ и в $A \cup B$ на рисунке 66? В $A$ — 6, в $B$ — 4, в пересечении — 2, в объединении — 8.
• Почему для объединения считают $6 + 4 - 2$? При сложении $6 + 4$ две общие точки посчитаны дважды. Вычитаем их один раз — и каждая точка посчитана ровно один раз.
• Как найти число элементов пересечения, если известны $A$, $B$ и объединение? Сложи $A$ и $B$ и вычти объединение.
• Как найти одно множество, если известны объединение, пересечение и другое множество? Из объединения вычти другое множество и прибавь пересечение.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 801

На рисунке 68 круги «бокс» и «баскетбол». Только в «боксе» — 3 точки, в общей части — 3, только в «баскетболе» — 4. Сколько ребят имеют набор: 1) для бокса; 2) для баскетбола; 3) для обоих; 4) только для бокса; 5) только для баскетбола?

Как думать. «Для бокса» — весь круг бокса, вместе с общей частью. «Для бокса, но не для баскетбола» — только своя часть.

Решение.

1. Бокс: $3 + 3 = 6$.
2. Баскетбол: $4 + 3 = 7$.
3. Оба набора: 3.
4. Только бокс: 3.
5. Только баскетбол: 4.

Ответ: 1) 6; 2) 7; 3) 3; 4) 3; 5) 4.

№ 802

Рисунок 69: круги «теннис» и «хоккей». Только теннис — 5, только хоккей — 8, оба — 2. Те же пять вопросов.

Решение.

1. Теннис: $5 + 2 = 7$.
2. Хоккей: $8 + 2 = 10$.
3. Оба: 2.
4. Только теннис: 5.
5. Только хоккей: 8.

Ответ: 1) 7; 2) 10; 3) 2; 4) 5; 5) 8.

№ 803

Рисунок 70: три круга «штанга», «гантели», «бадминтон». Только штанга — 4, только гантели — 2, только бадминтон — 1; штанга и гантели — 1; штанга и бадминтон — 2; гантели и бадминтон — 3; все три — 1. Сколько ребят имеют: 1) штангу; 2) бадминтон; 3) гантели; 4) штангу и бадминтон; 5) штангу и гантели; 6) бадминтон и гантели; 7) все три?

Как думать. Целый круг состоит из четырёх частей: «только он», две «двойные» части и центр. Складываем их.

Решение.

1. Штанга: $4 + 1 + 2 + 1 = 8$.
2. Бадминтон: $1 + 2 + 3 + 1 = 7$.
3. Гантели: $2 + 1 + 3 + 1 = 7$.
4. Штангу и бадминтон (только эти два предмета): 2.
5. Штангу и гантели (только эти два): 1.
6. Бадминтон и гантели (только эти два): 3.
7. Все три: 1.

Ответ: 1) 8; 2) 7; 3) 7; 4) 2; 5) 1; 6) 3; 7) 1.

⚠️ Частая ошибка. В пунктах 4–6 считают только тех, у кого ровно два предмета. Если посчитать ещё и того, у кого есть все три, получится на 1 больше: 3, 2 и 4. Читай, о чём спрашивают!

Уровень B

№ 804

Тренажёры. 1) На «Беговой дорожке» 15 детей, на «Бегущих по волнам» 12, на обоих 7. Сколько всего? 2) Из 12 учеников 7 на «Наезднике», 8 на «Гребле». Сколько на обоих? 3) Из 20 учеников 14 на «Скамье со штангой», 5 на «Скамье» и «Наезднике». Сколько на «Наезднике»? 4) Из 15 учеников 6 на «Беговой дорожке», 5 на «Дорожке» и «Гребле». Сколько только на «Гребле»?

Как думать. Во всех пунктах одно правило: объединение = $A$ + $B$ − общая часть. Меняется только то, что неизвестно.

Решение.

1. $15 + 12 - 7 = 20$ детей.
2. $7 + 8 - 12 = 3$ ученика на обоих тренажёрах.
3. Только «Скамья»: $14 - 5 = 9$. Остальные $20 - 9 = 11$ занимаются на «Наезднике» (из них 5 — ещё и на «Скамье»). По правилу: $20 - 14 + 5 = 11$.
4. Не на «Дорожке» $15 - 6 = 9$ ребят — это и есть те, кто только на «Гребле».

Ответ: 1) 20; 2) 3; 3) 11; 4) 9.

№ 805

1) Сколько букетов, если 7 с тюльпанами, 9 с нарциссами, 3 — с тюльпанами и нарциссами? 2) 42 ученика писали олимпиаду по математике, 37 — по русскому языку, 19 — обе. Сколько всего участников?

Решение.

1. $7 + 9 - 3 = 13$ букетов.
2. $42 + 37 - 19 = 60$ учеников.

Ответ: 1) 13; 2) 60.

Уровень C

№ 806

1) Из 9 чисел 7 простые, одно из них простое чётное. Сколько чётных? 2) Из 30 чисел 25 простые, 20 нечётные. Сколько простых нечётных? 3) Из 50 сотрудников 40 знают казахский, 20 — английский, 10 — турецкий; казахский и английский — 15, казахский и турецкий — 5, английский и турецкий — 5. Сколько знают все три языка?

Как думать. Задачи повышенной трудности. В пунктах 1 и 2 каждое число попадает хотя бы в один круг, поэтому «всего» — это объединение. В пункте 3 три круга: когда складываем пары, центр вычитается лишний раз.

Решение.

1. Круги «простые» (7) и «чётные» (?), общая часть — 1 (это число 2), всего 9. Чётные: $9 - 7 + 1 = 3$.
2. Простые нечётные — это общая часть: $25 + 20 - 30 = 15$.
3. Решение — ниже по шагам.

Ответ: 1) 3; 2) 15; 3) 5.

Готовимся к следующей теме

№ 807

Дополни: 1 м² = … дм²; 1 га = … а; 1 т = … ц; 1 ц = … кг; 1 дм² = … см²; 1 см² = … мм².

Как думать. В квадратных мерах соседние единицы отличаются в 100 раз (ведь $10 \cdot 10 = 100$).

Решение. 1) 100 дм²; 2) 100 а; 3) 10 ц; 4) 100 кг; 5) 100 см²; 6) 100 мм².

Ответ: 100; 100; 10; 100; 100; 100.

№ 808

Найди одну сотую часть: 1) от 1 м, 1 ц, 1 а, 1 га, 1 дм², 1 см²; 2) от 500, 90, 320, 1234, 56 004, 87 000.

Как думать. Одна сотая — это деление на 100. Для единиц переходи к той, что в 100 раз меньше.

Решение.

1. 1 м = 100 см, сотая часть — 1 см. 1 ц = 100 кг — 1 кг. 1 а = 100 м² — 1 м². 1 га = 100 а — 1 а. 1 дм² = 100 см² — 1 см². 1 см² = 100 мм² — 1 мм².
2. $500 : 100 = 5$; $90 : 100 = 0{,}9$; $320 : 100 = 3{,}2$; $1234 : 100 = 12{,}34$; $56,004 : 100 = 560{,}04$; $87,000 : 100 = 870$.

Ответ: 1) 1 см; 1 кг; 1 м²; 1 а; 1 см²; 1 мм². 2) 5; 0,9; 3,2; 12,34; 560,04; 870.

💡 Одна сотая часть скоро получит своё имя — процент. Об этом следующая глава.

Шпаргалка

• Не складывай круги «в лоб»: общая часть посчитается дважды.
• Число «в $A$» уже включает общую часть.
• Заполняй круги с середины.
• Три круга: сложи все, вычти пары, прибавь центр.

Мини-тест