§ 47. Процент

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 7: Проценты. Страницы 74–79.

Чему научишься

• Понимать, что такое процент и как он записывается.
• Переводить проценты в числа и числа — в проценты.
• Находить 1% от числа: делить на 100.
• Находить число, если известен его 1%: умножать на 100.

Разминка

Это задания № 807 и 808 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Сколько квадратных дециметров в 1 м²? 100 дм².
• Сколько аров в 1 га? Центнеров в 1 т? 1 га = 100 а; 1 т = 10 ц.
• Сколько килограммов в 1 ц? 100 кг.
• Сколько см² в 1 дм²? мм² в 1 см²? По 100: 1 дм² = 100 см², 1 см² = 100 мм².
• Что такое одна сотая часть метра? центнера? гектара? 1 см; 1 кг; 1 а.
• Найди одну сотую часть чисел 500, 90, 320, 1234, 56 004, 87 000. Делим на 100: 5; 0,9; 3,2; 12,34; 560,04; 870.

💡 Заметил? Почти везде мы делили на 100. Одна сотая часть — такая частая гостья, что для неё придумали своё имя и свой значок. Это и есть тема урока.

Разбираемся

Сотые доли вокруг нас

Сантиметр — это сотая часть метра. Килограмм — сотая часть центнера. Ар («сотка» на даче у бабушки!) — сотая часть гектара.

Писать каждый раз $\frac{1}{100}$ или 0,01 неудобно. Поэтому люди договорились.

📌 Процент — это одна сотая часть. Пишут так: 1%. Значит, $1% = \frac{1}{100} = 0{,}01$.

Как выглядит 1%

Представь шоколадку из 100 одинаковых долек. Одна долька — это 1% шоколадки. А вся шоколадка — 100%.

Теперь каждую строчку таблицы можно сказать по-новому: 1 см = 1% м, 1 кг = 1% ц, 1 а = 1% га, 1 мм = 1% дм.

🗣 Говори правильно. 1% — «один процент». 125% — «сто двадцать пять процентов». 45% — «сорок пять процентов».

Проценты — в число и обратно

Посмотри на таблицу:

📌 Процент → число: убери знак % и раздели на 100. Например, 70% = 0,7; 280% = 2,8.

📌 Число → процент: умножь на 100 и допиши %. Например, 0,3 = 30%; 9 = 900%.

⚠️ Частая ошибка. Путают направления и пишут 0,3 = 3%. Проверь себя: 100% — это целое, то есть 1. Число 0,3 меньше половины единицы, значит, и процентов меньше 50: 0,3 = 30%.

Целое — это 100%

Всё, что у нас есть целиком, — это 100%. Если бак заправили полностью, а потом потратили 14% бензина, осталось $100% - 14% = 86%$.

Как найти 1% и как найти всё число

1% — это сотая часть. Значит:

📌 Найти 1% от числа — раздели число на 100 (или умножь на 0,01). 1% от 9 — это 0,09; от 1000 — 10; от 500 000 — 5000.

📌 Найти число по его 1% — умножь на 100. Если 1% равен 0,03, то число — 3; если 1,4 — то 140; если 37 — то 3700.

Заполним таблицу:

👨‍👩‍👧 Родителю. Проверьте, понимает ли ребёнок смысл, а не только правило. Спросите: «Заряд телефона 1%. Это много или мало?» и «Если 1% твоего класса — это полчеловека, сколько всего в классе?» (50 человек).

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что называется процентом? Одна сотая часть числа или величины: $1% = \frac{1}{100}$.
• Для чего нужны проценты? Чтобы удобно сравнивать доли: «30% скидки» понятнее, чем «$\frac{3}{10}$ цены». Ими меряют скидки, оценки, заряд, влажность, состав продуктов.
• Как найти 1% от числа (величины)? Разделить на 100 или умножить на 0,01.
• Как найти число (величину), если известен его 1%? Умножить этот 1% на 100.
• Сколькими способами можно записать «один процент» числами? Тремя: 1%, $\frac{1}{100}$ и 0,01.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 809

Чему равен 1% от чисел 100, 200, 300?

Как думать. 1% — это сотая часть, делим на 100.

Решение. $100 : 100 = 1$; $200 : 100 = 2$; $300 : 100 = 3$.

Ответ: 1; 2; 3.

№ 810

Продали 70% товара. Сколько процентов осталось?

Как думать. Весь товар — 100%. Вычитаем проданное.

Решение. $100% - 70% = 30%$.

Ответ: 30%.

№ 811

Собрали 35% урожая. Сколько процентов ещё осталось собрать?

Решение. $100% - 35% = 65%$.

Ответ: 65%.

№ 812

Найди число, если его 1% равен 1; 2; 3; 4; 5.

Как думать. Всё число — это 100 таких процентов. Умножаем на 100.

Решение. $1 \cdot 100 = 100$; $2 \cdot 100 = 200$; $3 \cdot 100 = 300$; $4 \cdot 100 = 400$; $5 \cdot 100 = 500$.

Ответ: 100; 200; 300; 400; 500.

№ 813

Чему равен 1% метра? 1% килограмма?

Решение. 1 м = 100 см, поэтому 1% метра — 1 см. 1 кг = 1000 г, поэтому 1% килограмма — $1000 : 100 =$ 10 г.

Ответ: 1 см; 10 г.

№ 814

Прочитай вслух семь фактов о природе с процентами: ледники — 11% суши, в них почти 97% пресной воды; горы — около 10% территории Казахстана; в колках влажность в зной выше на 11%; леса — около 10 млн га (3% площади страны); кроны деревьев поглощают 26% и рассеивают 74% звука; 60% видов насекомых едят листья и хвою, а 10% — растительные остатки.

Как думать. Читаем знак % как слово «процент» в нужном падеже: «одиннадцать процентов», «три процента».

Решение.

1. Ледники занимают одиннадцать процентов всей суши.
2. В ледниках почти девяносто семь процентов пресной воды.
3. Горы занимают около десяти процентов территории нашей республики.
4. Влажность в колках в зной повышается на одиннадцать процентов.
5. Леса занимают около десяти миллионов гектаров — три процента площади республики.
6. Кроны поглощают двадцать шесть процентов, а отражают и рассеивают семьдесят четыре процента звуковой энергии.
7. Шестьдесят процентов видов насекомых едят листья и хвою, и только десять процентов — растительные остатки.

🌟 Посмотри на диаграмму: 26% + 74% = 100%. Весь звук, долетевший до дерева, либо «съедается» листьями, либо отлетает. Поэтому деревья вдоль дорог в Алматы — настоящая защита от шума!

Ответ: прочитано выше.

№ 815

Заполни таблицу: запиши 5%, 10%, 20%, 25%, 40%, 50%, 60%, 75%, 80% десятичной и обыкновенной дробью.

Как думать. Делим на 100 — получаем десятичную дробь. Записываем дробь со знаменателем 100 и сокращаем.

Решение.

💡 Запомни самые ходовые: 50% — половина, 25% — четверть, 75% — три четверти, 10% — десятая часть, 20% — пятая часть. Они пригодятся в каждом следующем уроке.

Ответ: в таблице.

№ 816

Замени проценты числами: 1) 30%; 56%; 90%; 2) 0,2%; 0,7%; 0,05%; 103,5%; 3) $\frac{5}{8}%$; $1\frac{4}{5}%$; $48\frac{2}{3}%$; $91\frac{1}{7}%$; 4) 250%; 300%; 400%; 1000%.

Как думать. Каждый раз делим на 100. У десятичной дроби запятая уходит на два знака влево. Обыкновенную дробь умножаем на $\frac{1}{100}$.

Решение.

1. 30% = 0,3; 56% = 0,56; 90% = 0,9.
2. 0,2% = 0,002; 0,7% = 0,007; 0,05% = 0,0005; 103,5% = 1,035.
3. $\frac{5}{8}% = \frac{5}{8} : 100 = \frac{5}{800} = \frac{1}{160}$; $1\frac{4}{5}% = \frac{9}{5} : 100 = \frac{9}{500}$; $48\frac{2}{3}% = \frac{146}{3} : 100 = \frac{146}{300} = \frac{73}{150}$; $91\frac{1}{7}% = \frac{638}{7} : 100 = \frac{638}{700} = \frac{319}{350}$.
4. 250% = 2,5; 300% = 3; 400% = 4; 1000% = 10.

Ответ: 1) 0,3; 0,56; 0,9; 2) 0,002; 0,007; 0,0005; 1,035; 3) $\frac{1}{160}$; $\frac{9}{500}$; $\frac{73}{150}$; $\frac{319}{350}$; 4) 2,5; 3; 4; 10.

№ 817

Запиши обыкновенной и десятичной дробью: 9%; 23%; 72%; 80%; 100%; 200%; 500%.

Решение.

1. $9% = \frac{9}{100} = 0{,}09$.
2. $23% = \frac{23}{100} = 0{,}23$.
3. $72% = \frac{72}{100} = \frac{18}{25} = 0{,}72$.
4. $80% = \frac{80}{100} = \frac{4}{5} = 0{,}8$.
5. $100% = \frac{100}{100} = 1$.
6. $200% = 2$; $500% = 5$.

Ответ: $\frac{9}{100}$ = 0,09; $\frac{23}{100}$ = 0,23; $\frac{18}{25}$ = 0,72; $\frac{4}{5}$ = 0,8; 1; 2; 5.

№ 818

На рисунке шесть фигур, разбитых на равные части; часть из них закрашена. Какой процент каждой фигуры НЕ закрашен?

На рисунке: 1) квадрат из 4 треугольников, закрашены 2; 2) треугольник из 4 треугольников, закрашен 1; 3) прямоугольник из 5 полос, закрашены 2; 4) круг из 8 секторов, закрашены 4; 5) квадрат из 4 квадратиков, закрашен 1; 6) прямоугольник из 10 клеток, закрашены 4.

Как думать. Сначала находим, какая доля фигуры белая. Потом переводим дробь в проценты: делаем знаменатель равным 100.

Решение.

1. Белые 2 из 4: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \frac{50}{100} = 50%$.
2. Белые 3 из 4: $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75%$.
3. Белые 3 из 5: $\frac{3}{5} = \frac{60}{100} = 60%$.
4. Белые 4 из 8: $\frac{1}{2} = 50%$.
5. Белые 3 из 4: 75%.
6. Белые 6 из 10: $\frac{6}{10} = 60%$.

Ответ: 1) 50%; 2) 75%; 3) 60%; 4) 50%; 5) 75%; 6) 60%.

Уровень B

№ 819

Найди 1% от чисел: 1) 50; 2) 75; 3) 13; 4) 1000; 5) 1050; 6) 9990.

Решение. Делим на 100: 1) 0,5; 2) 0,75; 3) 0,13; 4) 10; 5) 10,5; 6) 99,9.

Ответ: 0,5; 0,75; 0,13; 10; 10,5; 99,9.

№ 820

Найди 1% от величины: 1) 590 тг; 2) 0,9 л; 3) 700 г; 4) 9 тыс. жителей.

Решение.

1. $590 : 100 = 5{,}9$ тг.
2. $0{,}9 : 100 = 0{,}009$ л.
3. $700 : 100 = 7$ г.
4. $9000 : 100 = 90$ жителей.

Ответ: 5,9 тг; 0,009 л; 7 г; 90 жителей.

№ 821

Найди величину, если её 1% равен: 1) 5 мм; 2) 14 м²; 3) 49,5 тг; 4) 3900 книг; 5) 7,3 кг; 6) 1 га.

Как думать. Вся величина — 100%. Умножаем на 100.

Решение.

1. $5 \cdot 100 = 500$ мм (это 50 см).
2. $14 \cdot 100 = 1400$ м².
3. $49{,}5 \cdot 100 = 4950$ тг.
4. $3900 \cdot 100 = 390,000$ книг.
5. $7{,}3 \cdot 100 = 730$ кг.
6. $1 \cdot 100 = 100$ га (это 1 км²).

Ответ: 500 мм; 1400 м²; 4950 тг; 390 000 книг; 730 кг; 100 га.

№ 822

Найди величину, если её 1% равен: 1) 7 дм; 2) 26 т; 3) 524 тг; 4) 45 см².

Решение. Умножаем на 100: 1) 700 дм (= 70 м); 2) 2600 т; 3) 52 400 тг; 4) 4500 см² (= 45 дм²).

Ответ: 700 дм; 2600 т; 52 400 тг; 4500 см².

№ 823

Без вычислений скажи, что больше: 1) 19% от 74 или 18% от 74; 2) 31% от 29 или 31% от 50; 3) 49% от 64 или 48% от 63; 4) 81% от 50 или 82% от 38.

Как думать. Если число одно и то же, больше там, где больше процентов. Если проценты одинаковые, больше там, где больше число.

Решение.

1. Число одно — 74. 19% больше, чем 18%. Больше 19% от 74.
2. Проценты одинаковые. 50 больше 29. Больше 31% от 50.
3. И процентов больше (49 > 48), и число больше (64 > 63). Больше 49% от 64.
4. Тут хитрее. 82% от 38 — это меньше, чем всё число 38. А 81% от 50 — это больше, чем 80% от 50, то есть больше 40. Значит, больше 81% от 50.

Ответ: 1) 19% от 74; 2) 31% от 50; 3) 49% от 64; 4) 81% от 50.

Уровень C

№ 824

Верно ли, что: 1) 1 см — это 1% от 1 м; 2) 1 ц — 1% от 1 т; 3) 1 см³ — 1% от 1 м³; 4) 245 человек — больше 1% от 40 тыс. человек; 5) 3,3 млн тг отличается от 3 млн тг меньше чем на 1%; 6) 1 см³ — 1% от 1 дм³?

Как думать. Переводим всё в одинаковые единицы и смотрим, какая это часть.

Решение.

1. 1 м = 100 см. Верно.
2. 1 т = 10 ц, значит, 1 ц — это $\frac{1}{10}$, то есть 10%. Неверно.
3. 1 м³ = 1 000 000 см³. Это гораздо меньше 1%. Неверно.
4. 1% от 40 000 — это 400 человек. 245 < 400. Неверно.
5. 1% от 3 млн тг — 30 000 тг. А разница $3{,}3 - 3 = 0{,}3$ млн = 300 000 тг. Это 10%. Неверно.
6. 1 дм³ = 1000 см³. 1 см³ — это 0,1%. Неверно.

Ответ: верно только 1); остальные — неверно.

⚠️ Частая ошибка. С кубическими единицами «сто» не работает! В 1 дм³ не 100, а 1000 см³: 10 · 10 · 10.

№ 825

Найди число, если его 1% равен: 1) 0,24; 2) 0,8; 3) 3; 4) 1,6; 5) 7; 6) 5,5; 7) $\frac{1}{5}$; 8) $\frac{1}{4}$; 9) $\frac{3}{10}$; 10) $1\frac{2}{5}$; 11) $3\frac{1}{2}$; 12) $7\frac{3}{4}$.

Как думать. Умножаем на 100. С обыкновенными дробями удобно сначала перевести их в десятичные: $\frac{1}{4} = 0{,}25$.

Решение.

1. $0{,}24 \cdot 100 = 24$.
2. $0{,}8 \cdot 100 = 80$.
3. $3 \cdot 100 = 300$.
4. $1{,}6 \cdot 100 = 160$.
5. $7 \cdot 100 = 700$.
6. $5{,}5 \cdot 100 = 550$.
7. $\frac{1}{5} \cdot 100 = 20$.
8. $\frac{1}{4} \cdot 100 = 25$.
9. $\frac{3}{10} \cdot 100 = 30$.
10. $1\frac{2}{5} = 1{,}4$; $1{,}4 \cdot 100 = 140$.
11. $3\frac{1}{2} = 3{,}5$; $3{,}5 \cdot 100 = 350$.
12. $7\frac{3}{4} = 7{,}75$; $7{,}75 \cdot 100 = 775$.

Ответ: 24; 80; 300; 160; 700; 550; 20; 25; 30; 140; 350; 775.

№ 826

Одна сторона треугольника — 34% периметра, другая — 36%. Сколько процентов периметра составляет третья сторона?

Как думать. Три стороны вместе — это весь периметр, то есть 100%.

Решение. $100% - 34% - 36% = 30%$.

Ответ: 30%.

Подготовь сообщение

№ 827

Проценты знали в Индии ещё в V веке. Когда они появились в Европе? Что опубликовал бельгийский учёный Симон Стевин?

Как думать. Ищем в энциклопедии или в интернете, коротко пересказываем своими словами. Даты сверь с источником.

Решение. Пример сообщения:

«Проценты придумали задолго до нас. Индийские математики считали ими ещё в V веке. В Европе проценты широко вошли в жизнь в Средние века, когда развивалась торговля: купцы считали прибыль и долг «на каждую сотню». Отсюда и слово: латинское pro centum — «на сотню». В 1582 году фламандский учёный Симон Стевин из Брюгге (это территория современной Бельгии) напечатал книгу с таблицами процентов. По ней купцы и банкиры могли быстро считать проценты по займам. А ещё Стевин одним из первых в Европе стал продвигать десятичные дроби».

🌟 Знак % по одной из версий появился из-за ошибки наборщика. Вместо сокращения «cto» (от cento — «сто») в книге 1685 года напечатали «%».

Ответ: пример сообщения выше (даты проверь по источнику).

Готовимся к следующей теме

№ 828

Какую часть одно число составляет от другого: 1) 27 от 351; 2) 14,8 от 74; 3) 17 от 88,4; 4) 63 от 94,5?

Как думать. Чтобы узнать, какую часть $a$ составляет от $b$, делим: $\frac{a}{b}$. Потом сокращаем.

Решение.

1. $\frac{27}{351} = \frac{1}{13}$ (ведь $351 = 27 \cdot 13$).
2. $14{,}8 : 74 = 0{,}2 = \frac{1}{5}$.
3. $\frac{17}{88{,}4} = \frac{170}{884} = \frac{5}{26}$ (сократили на 34).
4. $\frac{63}{94{,}5} = \frac{630}{945} = \frac{2}{3}$ (сократили на 315).

Ответ: $\frac{1}{13}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{5}{26}$; $\frac{2}{3}$.

№ 829

1) Беркут живёт в среднем 20 лет — это $\frac{1}{4}$ его самой долгой жизни. Какова она? 2) Слон живёт в среднем 60 лет — это $\frac{2}{3}$ самой долгой жизни. Какова она? 3) Верблюд живёт самое большее 70 лет, а в среднем — $\frac{5}{14}$ от этого. Сколько в среднем?

Как думать. В 1) и 2) ищем число по его дроби — делим на дробь. В 3) ищем дробь от числа — умножаем.

Решение.

1. $20 : \frac{1}{4} = 20 \cdot 4 = 80$ лет.
2. $60 : \frac{2}{3} = 60 \cdot \frac{3}{2} = 90$ лет.
3. $70 \cdot \frac{5}{14} = 25$ лет.

Ответ: 80 лет; 90 лет; 25 лет.

№ 830

1 л бензина весит 690 г, а 1 л бензина вместе с 1 л керосина — 1485 г. На сколько граммов бензин легче керосина?

Решение.

1. Керосин: $1485 - 690 = 795$ г.
2. Разница: $795 - 690 = 105$ г.

Ответ: на 105 г.

№ 831

1) Половина от 40,9. 2) Четверть от 33. 3) Число, половина которого $7\frac{5}{6}$. 4) Восьмая часть от $10\frac{1}{3}$. 5) Сотая часть от 89,89. 6) Число, треть которого 25,9. 7) Шестая часть от 1001. 8) Число, десятая часть которого равна сумме 1,7 и $\frac{1}{7}$.

Как думать. Часть от числа — делим. Число по его части — умножаем.

Решение.

1. $40{,}9 : 2 = 20{,}45$.
2. $33 : 4 = 8\frac{1}{4} = 8{,}25$.
3. $7\frac{5}{6} \cdot 2 = 14\frac{10}{6} = 15\frac{2}{3}$.
4. $10\frac{1}{3} : 8 = \frac{31}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24}$.
5. $89{,}89 : 100 = 0{,}8989$.
6. $25{,}9 \cdot 3 = 77{,}7$.
7. $1001 : 6 = 166\frac{5}{6}$.
8. $1{,}7 + \frac{1}{7} = \frac{17}{10} + \frac{1}{7} = \frac{119 + 10}{70} = \frac{129}{70}$; число: $\frac{129}{70} \cdot 10 = \frac{129}{7} = 18\frac{3}{7}$.

Ответ: 20,45; 8,25; $15\frac{2}{3}$; $1\frac{7}{24}$; 0,8989; 77,7; $166\frac{5}{6}$; $18\frac{3}{7}$.

Шпаргалка

• Процент — это сотая часть: $1% = \frac{1}{100} = 0{,}01$.
• Всё целое — 100%. Если потратили 14%, осталось 86%.
• Проценты в число: делим на 100. Число в проценты: умножаем на 100.
• 1% от числа: делим на 100. Число по его 1%: умножаем на 100.
• 1 см = 1% м; 1 кг = 1% ц; 1 а = 1% га; 1 га = 1% км².

Мини-тест