§ 48. Нахождение процентов от числа и числа по его процентам

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 7: Проценты. Страницы 80–83.

Чему научишься

• Находить проценты от числа: например, 13% от 600.
• Находить число по его процентам: если 13% — это 78, то сколько всего?
• Узнавать, сколько процентов одно число составляет от другого.
• Решать каждую задачу двумя способами — через дробь и через 1%.

Разминка

Это задания № 828–831 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Какую часть 14,8 составляет от 74? $14{,}8 : 74 = 0{,}2$, то есть $\frac{1}{5}$.
• Беркут живёт в среднем 20 лет — это $\frac{1}{4}$ самой долгой его жизни. Сколько это? $20 \cdot 4 = 80$ лет.
• Верблюд живёт до 70 лет, в среднем — $\frac{5}{14}$ от этого. Сколько? $70 : 14 \cdot 5 = 25$ лет.
• Сотая часть от 89,89? 0,8989.
• Найди $\frac{2}{9}$ от 180. $180 : 9 \cdot 2 = 40$.
• Найди число, $\frac{8}{9}$ которого равны 16. $16 : 8 \cdot 9 = 18$.

💡 Дробь от числа — умножаем на дробь. Число по дроби — делим на дробь. С процентами всё точно так же! Процент — это ведь тоже дробь, только со знаменателем 100.

Разбираемся

Проценты от числа

В школе 600 учеников, 13% из них ходят на домбру. Сколько это человек? Нужно найти 13% от 600.

Способ 1. Через дробь. Превращаем проценты в дробь и умножаем:

$13% = \frac{13}{100} = 0{,}13$; $600 \cdot 0{,}13 = 78$.

Способ 2. Через 1%. Сначала находим 1%, потом берём его 13 раз:

$600 : 100 = 6$ — это 1%; $6 \cdot 13 = 78$ — это 13%.

📌 Проценты от числа. Переведи проценты в дробь и умножь на неё число. Или найди 1% (раздели на 100) и умножь на число процентов.

Таблица для тренировки:

Ещё примеры: 2% от 50 — это 1; 2% от 100 — 2; 2% от 100 000 — 2000.

Число по его процентам

Теперь наоборот. На домбру ходят 78 учеников, и это 13% всей школы. Сколько всего учеников?

Способ 1. Через дробь. Делим на дробь: $78 : 0{,}13 = 600$.

Способ 2. Через 1%. Если 13% — это 78, то 1% в 13 раз меньше: $78 : 13 = 6$. А всё число — 100%: $6 \cdot 100 = 600$.

📌 Число по его процентам. Переведи проценты в дробь и раздели на неё известное число. Или найди 1% (раздели на число процентов) и умножь на 100.

Ещё примеры: если 5% числа — 20, то число 400. Если 25% — 60, то число 240. Если 75% — 120, то число 160.

⚠️ Частая ошибка. Путают, умножать или делить. Спроси себя: «Я ищу кусочек или целое?» Кусочек меньше целого — умножаем на дробь меньше 1. Целое больше кусочка — делим.

Сколько процентов одно число от другого

Из 600 учеников 78 ходят на домбру. Какой это процент? Делим часть на целое и переводим в проценты:

$78 : 600 = 0{,}13 = 13%$.

📌 Сколько процентов $a$ от $b$: раздели $a$ на $b$ и умножь результат на 100%.

Так же: 15,47 от 91 — это $0{,}17 = 17%$; 34,44 от 123 — это $0{,}28 = 28%$. Ещё проще: 5 от 10 — 50%; 4 от 16 — 25%; 3 от 4 — 75%.

👨‍👩‍👧 Родителю. В магазине дайте ребёнку посчитать скидку: «Было 4000 тг, скидка 25%. Сколько заплатим?» Сначала 1% (40 тг), потом 25% (1000 тг), потом цена (3000 тг). Три шага — и проценты становятся понятными.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как можно найти проценты от числа? Выразить проценты дробью и умножить на неё число. Или найти 1% (число разделить на 100) и умножить на число процентов.
• Как найти дробь от числа? Умножить число на эту дробь: $\frac{2}{9}$ от 180 — это $180 \cdot \frac{2}{9} = 40$.
• Как можно найти число по его процентам? Выразить проценты дробью и разделить на неё известную часть. Или найти 1% (часть разделить на число процентов) и умножить на 100.
• Как найти число по его дроби? Разделить известную часть на дробь: $16 : \frac{8}{9} = 18$.
• Как выразить частное в процентах? Умножить частное на 100 и поставить знак %: $0{,}13 = 13%$.
• Как найти, сколько процентов одно число составляет от другого? Разделить первое число на второе и выразить частное в процентах.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 832

1% числа равен 5. Чему равны 2% этого числа, 6% и само число?

Как думать. У нас уже есть 1%. Дальше просто умножаем на нужное число процентов.

Решение. 2% — это $5 \cdot 2 = 10$; 6% — это $5 \cdot 6 = 30$; всё число (100%) — $5 \cdot 100 = 500$.

Ответ: 10; 30; 500.

№ 833

Чему равны 2% от 100?

Решение. 1% от 100 — это 1. Значит, 2% — это 2.

Ответ: 2.

№ 834

Найди число, 5% которого равны 25.

Решение.

1. 1% — это $25 : 5 = 5$.
2. 100% — это $5 \cdot 100 = 500$.

Ответ: 500.

№ 835

Найди: 3% от 400; 9% от 250; 25% от 18; 50% от 70.

Как думать. Можно через 1%, а можно вспомнить: 25% — четверть, 50% — половина.

Решение.

1. 1% от 400 — 4; $4 \cdot 3 = 12$.
2. 1% от 250 — 2,5; $2{,}5 \cdot 9 = 22{,}5$.
3. 25% — четверть: $18 : 4 = 4{,}5$.
4. 50% — половина: $70 : 2 = 35$.

Ответ: 12; 22,5; 4,5; 35.

№ 836

Найди: 1) 8% от 6 кг; 2) 40% от 16 кг; 3) 300% от 75 л; 4) 0,8% от 0,25 с; 5) 1,25% от 900 т; 6) $33\frac{1}{3}%$ от 75 см³.

Как думать. Переводим проценты в десятичную дробь и умножаем. Больше 100% — значит, результат больше самого числа.

Решение.

1. $6 \cdot 0{,}08 = 0{,}48$ кг.
2. $16 \cdot 0{,}4 = 6{,}4$ кг.
3. $75 \cdot 3 = 225$ л.
4. $0{,}25 \cdot 0{,}008 = 0{,}002$ с.
5. $900 \cdot 0{,}0125 = 11{,}25$ т.
6. $33\frac{1}{3}% = \frac{100}{3} : 100 = \frac{1}{3}$; $75 \cdot \frac{1}{3} = 25$ см³.

Ответ: 0,48 кг; 6,4 кг; 225 л; 0,002 с; 11,25 т; 25 см³.

💡 Запомни: $33\frac{1}{3}%$ — это ровно треть. Очень удобная «хитрость» для устного счёта.

№ 837

Найди величину, если: 1) 11% её — 11 тг; 2) 25% — 90 г; 3) 75% — 20 тыс. км; 4) 13% — 39 экземпляров.

Как думать. Ищем целое по части. Находим 1% и умножаем на 100.

Решение.

1. 1% — это $11 : 11 = 1$ тг; всё — 100 тг.
2. 25% — четверть, значит, всё в 4 раза больше: $90 \cdot 4 = 360$ г.
3. $20 : 0{,}75 = 20 \cdot \frac{4}{3} = \frac{80}{3} = 26\frac{2}{3}$ тыс. км.
4. 1% — это $39 : 13 = 3$; всё — $3 \cdot 100 = 300$ экземпляров.

Ответ: 100 тг; 360 г; $26\frac{2}{3}$ тыс. км; 300 экземпляров.

Уровень B

№ 838

Что больше: 1) 60% от 40 или 40% от 60; 2) 80% от 70 или 60% от 80?

Решение.

1. $40 \cdot 0{,}6 = 24$ и $60 \cdot 0{,}4 = 24$. Поровну!
2. $70 \cdot 0{,}8 = 56$ и $80 \cdot 0{,}6 = 48$. Больше 80% от 70.

🌟 В первом пункте не случайность: $a%$ от $b$ всегда равно $b%$ от $a$. Нужно 8% от 50? Посчитай 50% от 8 — это 4!

Ответ: 1) поровну, по 24; 2) 80% от 70.

№ 839

1) Найди 20% от 80 и сравни с 30% от 150. 2) Найди 75% от 240 и сравни с 25% от 760.

Решение.

1. $80 \cdot 0{,}2 = 16$; $150 \cdot 0{,}3 = 45$. $16 < 45$.
2. 75% — три четверти: $240 : 4 \cdot 3 = 180$. 25% — четверть: $760 : 4 = 190$. $180 < 190$.

Ответ: 1) 16 < 45; 2) 180 < 190.

№ 840

1) Первое число — это 175% от 1000, а 60% второго числа равны 1080. Сравни числа. 2) 175% первого числа равны 210, а 250% второго — 525. Сравни.

Как думать. Первое число в пункте 1 — «проценты от числа», умножаем. Остальные — «число по процентам», делим.

Решение.

1. Первое: $1000 \cdot 1{,}75 = 1750$. Второе: $1080 : 0{,}6 = 1800$. $1750 < 1800$.
2. Первое: $210 : 1{,}75 = 120$. Второе: $525 : 2{,}5 = 210$. $120 < 210$.

Ответ: 1) 1750 < 1800; 2) 120 < 210.

Уровень C

№ 841

Найди величину, если: 1) 40% её — $a$ см²; 2) 90% — $b$ ч; 3) 170% — $c$ см²; 4) 260% — $d$ ч.

Как думать. Буква — такое же число. Делим на дробь, как обычно: $a : 0{,}4$. Деление на 0,4 — это умножение на $\frac{10}{4}$.

Решение.

1. $a : \frac{40}{100} = a \cdot \frac{100}{40} = 2{,}5a$ см².
2. $b : \frac{90}{100} = b \cdot \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}b$ ч.
3. $c : \frac{170}{100} = c \cdot \frac{10}{17} = \frac{10}{17}c$ см².
4. $d : \frac{260}{100} = d \cdot \frac{10}{26} = \frac{5}{13}d$ ч.

Ответ: $2{,}5a$ см²; $1\frac{1}{9}b$ ч; $\frac{10}{17}c$ см²; $\frac{5}{13}d$ ч.

Готовимся к следующей теме

№ 842

Первое число больше второго на 10, а их сумма равна 10,5. Найди числа.

Как думать. Если из суммы убрать «лишние» 10, останутся два одинаковых числа.

Решение.

1. $10{,}5 - 10 = 0{,}5$ — это два вторых числа.
2. Второе: $0{,}5 : 2 = 0{,}25$.
3. Первое: $0{,}25 + 10 = 10{,}25$.

Проверка: $10{,}25 + 0{,}25 = 10{,}5$ ✓.

Ответ: 10,25 и 0,25.

№ 843

Первый товар стоит 800 тг за штуку, второй — 1100 тг. Купили по 13 штук каждого. Сколько стоит вся покупка?

Как думать. Удобно сначала сложить цены одной пары, а потом умножить на 13.

Решение.

1. Пара товаров: $800 + 1100 = 1900$ тг.
2. 13 пар: $1900 \cdot 13 = 24,700$ тг.

Ответ: 24 700 тг.

Шпаргалка

• Ищу кусочек — умножаю число на дробь.
• Ищу целое — делю кусочек на дробь.
• Ищу процент — делю часть на целое, умножаю на 100.
• Любую задачу можно решить через 1%.
• $a%$ от $b$ = $b%$ от $a$.

Мини-тест