§ 49. Решение текстовых задач

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 7: Проценты. Страницы 84–89.

Чему научишься

• Узнавать, к какому из трёх видов относится задача на проценты.
• Находить проценты от числа, число по процентам и процентное отношение.
• Решать задачи про скидки, вклады в банке, растворы и доли целого.
• Составлять обратные задачи.

Разминка

Это задания № 842 и 843 из прошлого урока, плюс пара вопросов на проценты.

• Первое число больше второго на 10, их сумма 10,5. Что это за числа? $10{,}5 - 10 = 0{,}5$; $0{,}5 : 2 = 0{,}25$. Числа 10,25 и 0,25.
• Купили по 13 штук товаров по 800 тг и по 1100 тг. Сколько заплатили? $(800 + 1100) \cdot 13 =$ 24 700 тг.
• Сколько будет 20% от 5? $5 \cdot 0{,}2 =$ 1.
• 20% числа равны 1. Что за число? $1 : 0{,}2 =$ 5.
• Сколько процентов составляет 1 от 5? $1 : 5 = 0{,}2 =$ 20%.

💡 Последние три вопроса — про одни и те же числа 1, 5 и 20%. Неизвестным каждый раз было что-то другое. Вот и все три вида задач на проценты!

Разбираемся

Три задачи про грибы

Из свежих грибов получается 20% сушёных (остальное — вода, она испаряется). Смотри, как из одной истории получаются три разные задачи.

Задача 1. Ищем проценты от числа. Сколько сушёных грибов получится из 5 кг свежих? Нужно 20% от 5 кг: $5 \cdot 0{,}2 = 1$ кг.

Задача 2. Ищем число по процентам. Сколько нужно свежих грибов, чтобы получить 1 кг сушёных? 1 кг — это 20% неизвестной массы: $1 : 0{,}2 = 5$ кг.

Задача 3. Ищем процентное отношение. Из 5 кг свежих получается 1 кг сушёных. Сколько это процентов? $1 : 5 = 0{,}2 = 20%$.

📌 Как узнать вид задачи. Спроси: что неизвестно?

• Неизвестна часть, а целое и проценты даны → умножаем целое на дробь.
• Неизвестно целое, а часть и проценты даны → делим часть на дробь.
• Неизвестны проценты, а часть и целое даны → делим часть на целое и умножаем на 100%.

Когда целое разбито на кусочки

Часто в задаче несколько частей одного целого. Вместе они дают 100%. Тогда неизвестный кусочек — это 100% минус все остальные.

⚠️ Частая ошибка. «Цену снизили на 10%, потом подняли на 10%. Вернулась прежняя цена?» Нет! Второй раз 10% считают уже от новой, меньшей цены. Было 1000 тг → стало 900 тг → стало 990 тг.

👨‍👩‍👧 Родителю. Перед решением попросите ребёнка вслух сказать: «Что здесь 100%?» Половина ошибок в процентах — когда 100% выбрали неправильно.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как найти проценты от числа? Перевести проценты в дробь и умножить на неё число. Пример: 20% от 5 кг — $5 \cdot 0{,}2 = 1$ кг.
• Как найти число по его процентам? Разделить известную часть на дробь. Пример: 1 кг — это 20%, значит, всего $1 : 0{,}2 = 5$ кг.
• Как найти, сколько процентов одно число составляет от другого? Разделить первое на второе и выразить в процентах: $1 : 5 = 0{,}2 = 20%$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 844

В Казахстане около 150 видов рыб — это 31,25% от числа видов птиц. Сколько видов птиц?

Как думать. Число видов птиц — это 100%. 150 — его часть. Ищем число по процентам.

Решение. $150 : 0{,}3125 = 1,500,000 : 3125 = 480$.

Ответ: 480 видов птиц.

№ 845

В Казахстане больше 48 тыс. озёр общей площадью 45 тыс. км², из них 94% имеют площадь до 1 км². Сколько таких озёр и какова их общая площадь?

Как думать. Ищем проценты от числа. Берём 94% от числа озёр, а для площади — 94% от общей площади.

Решение.

1. Число маленьких озёр: $48,000 \cdot 0{,}94 = 45,120$.
2. Их площадь: $45,000 \cdot 0{,}94 = 42,300$ км².

Ответ: около 45 120 озёр; 42 300 км².

№ 846

Суша занимает 29,2% поверхности Земли, остальное — вода. Найди площадь водной поверхности.

Как думать. Сначала найдём, сколько процентов приходится на воду. Площадь всей поверхности Земли — около 510 млн км² (проверь по справочнику).

Решение.

1. Вода: $100% - 29{,}2% = 70{,}8%$.
2. Площадь воды: $510 \cdot 0{,}708 = 361{,}08$ млн км².

Ответ: 70,8% поверхности, примерно 361 млн км².

№ 847

Лес занимает 39% всей площади, луг — 23%, остальное — пашня. Какой процент площади занимает пашня?

Решение. $100% - 39% - 23% = 38%$. Посмотри на круговую диаграмму в «Разбираемся» — это она.

Ответ: 38%.

№ 848

Верблюд в природе живёт 25 лет. Лисица — 40% от этого срока, речной рак — 80%, олень — 60%. Сколько живёт каждый?

Как думать. 25 лет — это 100%. Каждый раз ищем проценты от числа. 1% от 25 — это 0,25.

Решение.

1. Лисица: $25 \cdot 0{,}4 = 10$ лет.
2. Рак: $25 \cdot 0{,}8 = 20$ лет.
3. Олень: $25 \cdot 0{,}6 = 15$ лет.

Ответ: 10 лет; 20 лет; 15 лет.

№ 849

Воздух загрязняют: транспорт — 70,6%, отходы и химикаты — 12,3%, сжигание топлива — 10,3%, остальное — промышленность. Какой процент у промышленности?

Решение.

1. Известные источники: $70{,}6 + 12{,}3 + 10{,}3 = 93{,}2%$.
2. Промышленность: $100 - 93{,}2 = 6{,}8%$.

Ответ: 6,8%.

№ 850

Мальчиков в классе на 5% меньше, чем девочек. На сколько процентов девочек больше, чем мальчиков?

Как думать. Ловушка! Хочется ответить «на 5%». Но «меньше на 5%» считают от числа девочек, а «больше на сколько процентов» — от числа мальчиков. Это разные 100%.

Решение.

1. Пусть девочек 100%. Тогда мальчиков $100% - 5% = 95%$.
2. Разница — 5 «процентов девочек». Сравниваем её с числом мальчиков: $5 : 95 = \frac{1}{19} \approx 0{,}053$.
3. Это примерно 5,3%.

Проверим на числах: девочек 20, мальчиков 19 (на 1 меньше, это 5% от 20). Девочек больше на 1, а 1 от 19 — это $\frac{1}{19}$, чуть больше 5%.

Ответ: примерно на 5,3% (точно — на $5\frac{5}{19}%$), то есть больше чем на 5%.

№ 851

Основные запасы угля — в Европе (30%), Азии (25%) и Северной Америке (25%). Сколько процентов приходится на остальную сушу?

Решение. $100% - 30% - 25% - 25% = 20%$.

Ответ: 20%.

№ 852

Солёные воды морей и океанов — 97% всей воды Земли, пресные воды ледников — около 2%, остальное — реки и озёра. Сколько процентов у рек и озёр?

Решение. $100% - 97% - 2% = 1%$.

🌟 Всего 1% воды на Земле — это реки и озёра. Вот почему пресную воду нужно беречь: закрывай кран, пока чистишь зубы!

Ответ: 1%.

Уровень B

№ 853

1) Черёмуха очищает воздух за 6 мин — это 24% времени, за которое это делает берёза. За сколько минут очищает воздух берёза? 2) Сколько градусов в угле сектора, если он составляет от развёрнутого угла: 120%; 38,5%; 95%; 30%?

Как думать. В 1) ищем целое по части. В 2) развёрнутый угол — 180°, это 100%, ищем проценты от числа.

Решение.

1. $6 : 0{,}24 = 600 : 24 = 25$ мин.
2. $180 \cdot 1{,}2 = 216°$; $180 \cdot 0{,}385 = 69{,}3°$; $180 \cdot 0{,}95 = 171°$; $180 \cdot 0{,}3 = 54°$.

Ответ: 1) 25 мин; 2) 216°; 69,3°; 171°; 54°.

№ 854

Клубничного компота заготовили 12 банок, вишнёвого — 50% от этого. Сколько банок вишнёвого? Составь и реши обратные задачи.

Решение. $12 \cdot 0{,}5 = 6$ банок.

Обратные задачи:

1. Вишнёвого компота 6 банок — это 50% от клубничного. Сколько банок клубничного? $6 : 0{,}5 = 12$ банок.
2. Клубничного 12 банок, вишнёвого 6. Сколько процентов вишнёвый составляет от клубничного? $6 : 12 = 0{,}5 = 50%$.

Ответ: 6 банок; обратные: 12 банок; 50%.

№ 855

Посадили 10 кустов чёрной смородины — это 50% от числа кустов красной. Сколько кустов красной смородины? Составь и реши обратные задачи.

Решение. $10 : 0{,}5 = 20$ кустов.

Обратные задачи:

1. Красной смородины 20 кустов, чёрной — 50% от этого. Сколько кустов чёрной? $20 \cdot 0{,}5 = 10$.
2. Чёрной 10 кустов, красной 20. Сколько процентов чёрная составляет от красной? $10 : 20 = 50%$.

Ответ: 20 кустов; обратные: 10 кустов; 50%.

№ 856

Хвойный лес за год задерживает 35 т пыли — это 50% от того, что задерживает такой же берёзовый лес. Сколько тонн пыли задерживает берёзовый лес? Составь и реши обратные задачи.

Решение. $35 : 0{,}5 = 70$ т.

Обратные задачи:

1. Берёзовый лес задерживает 70 т пыли, а хвойный — 50% от этого. Сколько хвойный? $70 \cdot 0{,}5 = 35$ т.
2. Берёзовый — 70 т, хвойный — 35 т. Сколько процентов составляет хвойный от берёзового? $35 : 70 = 50%$.

Ответ: 70 т; обратные: 35 т; 50%.

№ 857

В Красной книге Северо-Казахстанской области 12 видов хищников и столько же грызунов. Парнокопытных — $\frac{1}{3}$ от числа грызунов и в 2 раза больше, чем зайцеобразных. Рукокрылых — 50% от зайцеобразных. Сколько видов парнокопытных, зайцеобразных и рукокрылых?

Как думать. Идём по цепочке: грызуны → парнокопытные → зайцеобразные → рукокрылые.

Решение.

1. Грызунов 12. Парнокопытных: $12 \cdot \frac{1}{3} = 4$.
2. Зайцеобразных в 2 раза меньше: $4 : 2 = 2$.
3. Рукокрылых: 50% от 2 — это $2 \cdot 0{,}5 = 1$.

Ответ: 4 вида парнокопытных, 2 вида зайцеобразных, 1 вид рукокрылых.

№ 858

На сколько процентов изменилась величина, если она: 1) выросла в 1,5 раза; 2) уменьшилась в 1,5 раза; 3) выросла в 5 раз; 4) уменьшилась в 5 раз?

Как думать. Возьмём величину за 100 и посмотрим, какой она стала. Разница и есть изменение в процентах.

Решение.

1. $100 \cdot 1{,}5 = 150$. Выросла на $150 - 100 = 50%$.
2. $100 : 1{,}5 = 66\frac{2}{3}$. Уменьшилась на $100 - 66\frac{2}{3} = 33\frac{1}{3}%$.
3. $100 \cdot 5 = 500$. Выросла на 400%.
4. $100 : 5 = 20$. Уменьшилась на 80%.

⚠️ Частая ошибка. «Увеличилась в 5 раз» — это не «на 500%», а на 400%. Ведь сами 100% уже были.

Ответ: 1) увеличилась на 50%; 2) уменьшилась на $33\frac{1}{3}%$; 3) увеличилась на 400%; 4) уменьшилась на 80%.

№ 859

Банк платит 3,5% годовых: за год вклад вырастает на 3,5%. Через год вкладчик получил 207 000 тг. Сколько он внёс сначала?

Как думать. Первый вклад — это 100%. Через год он стал $100% + 3{,}5% = 103{,}5%$. Значит, 207 000 тг — это 103,5% вклада.

Решение. $207,000 : 1{,}035 = 200,000$ тг.

Проверка: 3,5% от 200 000 — это 7000 тг; $200,000 + 7000 = 207,000$ ✓.

Ответ: 200 000 тг.

№ 860

1) Цена выросла на 100%. Во сколько раз она выросла? 2) Цена выросла в 2 раза — на сколько процентов? 3) Цена снизилась на 50% — во сколько раз? 4) Зарплату повысили на 30%. Верно ли, что она выросла в 1,3 раза?

Решение.

1. Было 100%, стало 200% — в 2 раза.
2. Было 100%, стало 200% — на 100%.
3. Было 100%, стало 50% — в 2 раза.
4. Было 100%, стало 130%, то есть $1{,}3$ от прежней. Верно.

Ответ: 1) в 2 раза; 2) на 100%; 3) в 2 раза; 4) да, верно.

№ 861

В школе 1150 учеников. Девочек на 4% больше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек?

Как думать. Здесь 4% берём от всех учеников школы — так задача решается в целых числах. Дальше как в № 842: убираем разницу и делим пополам.

Решение. $1150 \cdot 0{,}04 = 46$; $(1150 - 46) : 2 = 552$ мальчика; $552 + 46 = 598$ девочек. Проверка: $552 + 598 = 1150$ ✓.

Ответ: 552 мальчика, 598 девочек.

№ 862

1) Собрали 10 кг семян дуба, акации и липы. Жёлуди — 60%, акация — 25%. Сколько килограммов семян липы? 2) В классе 28 учеников. 25% класса и ещё 2 человека пошли в музей, $\frac{1}{7}$ класса — в библиотеку, остальные — в бассейн. Сколько пошли в бассейн?

Решение.

1. Липа: $100% - 60% - 25% = 15%$; $10 \cdot 0{,}15 = 1{,}5$ кг.
2. В музей: $28 \cdot 0{,}25 + 2 = 7 + 2 = 9$ человек. В библиотеку: $28 : 7 = 4$. В бассейн: $28 - 9 - 4 = 15$.

Ответ: 1) 1,5 кг; 2) 15 учеников.

Уровень C

№ 863

1) Телефон стоил 21 000 тг. Цену снизили на 8%, а потом новую цену ещё на 15%. Какой стала цена? 2) В магазин привезли $10\frac{1}{4}$ т овощей. В первый день продали 60% всех овощей, во второй — 40% от проданного в первый день. Придумай вопрос и реши задачу.

Как думать. В 1) второе снижение считаем уже от новой цены. В 2) естественный вопрос: «Сколько тонн овощей осталось?»

Решение.

1. После первого снижения: $21,000 \cdot 0{,}92 = 19,320$ тг. После второго: $19,320 \cdot 0{,}85 = 16,422$ тг.
2. Вопрос: сколько тонн овощей осталось после двух дней?
   • Всего $10\frac{1}{4} = 10{,}25$ т.
   • Первый день: $10{,}25 \cdot 0{,}6 = 6{,}15$ т.
   • Второй день: $6{,}15 \cdot 0{,}4 = 2{,}46$ т.
   • Осталось: $10{,}25 - 6{,}15 - 2{,}46 = 1{,}64$ т.

Ответ: 1) 16 422 тг; 2) осталось 1,64 т.

№ 864

1) Длина класса 8 м, ширина — 75% длины, высота — 50% ширины. Придумай вопрос и реши. 2) В квартире две комнаты. Большая: длина 5,5 м, ширина — 60% длины. Длина меньшей равна ширине большей, а её ширина на 1 м меньше её длины. Найди площадь каждой комнаты.

Как думать. В 1) зная длину, ширину и высоту, можно найти объём класса — это и будет вопрос.

Решение.

1. Вопрос: каков объём классной комнаты? Ширина: $8 \cdot 0{,}75 = 6$ м. Высота: $6 \cdot 0{,}5 = 3$ м. Объём: $8 \cdot 6 \cdot 3 = 144$ м³.
2. Большая комната: ширина $5{,}5 \cdot 0{,}6 = 3{,}3$ м; площадь $5{,}5 \cdot 3{,}3 = 18{,}15$ м². Меньшая: длина 3,3 м, ширина $3{,}3 - 1 = 2{,}3$ м; площадь $3{,}3 \cdot 2{,}3 = 7{,}59$ м².

Ответ: 1) объём 144 м³; 2) 18,15 м² и 7,59 м².

№ 865

1) В морской воде 4% соли. Сколько соли в 50 кг морской воды? В каком количестве раствора эта соль составит 1%? 2) Сколько сахара: а) в 4 кг 70%-го сиропа; б) в 6 кг 40%-го сиропа?

Как думать. «70%-й сироп» значит: сахар — 70% всей массы сиропа.

Решение.

1. Соль: $50 \cdot 0{,}04 = 2$ кг. Если 2 кг — это 1% раствора, то весь раствор: $2 \cdot 100 = 200$ кг.
2. а) $4 \cdot 0{,}7 = 2{,}8$ кг; б) $6 \cdot 0{,}4 = 2{,}4$ кг.

Ответ: 1) 2 кг соли; в 200 кг раствора; 2) а) 2,8 кг; б) 2,4 кг.

Математика в бизнесе

№ 866

За три дня магазин заработал 800 000 тг, из них 35% — от продажи игрушек. 1) Сколько процентов дохода дали другие товары? 2) Сколько тенге дали игрушки? 3) На сколько тенге другие товары принесли больше, чем игрушки?

Решение.

1. $100% - 35% = 65%$.
2. $800,000 \cdot 0{,}35 = 280,000$ тг.
3. Другие товары: $800,000 - 280,000 = 520,000$ тг. Разница: $520,000 - 280,000 = 240,000$ тг.

Ответ: 65%; 280 000 тг; на 240 000 тг.

№ 867

Марат и Елдос открыли своё дело. Каждый берёт себе 20% прибыли, остальное вкладывают в развитие. 1) Сколько процентов идёт в развитие? 2) Сколько получит каждый, если в марте прибыль 220 000 тг? 3) Сколько вложат в развитие, если в апреле прибыль 180 000 тг?

Решение.

1. Двое берут $20% + 20% = 40%$. В развитие: $100% - 40% = 60%$.
2. Каждый: $220,000 \cdot 0{,}2 = 44,000$ тг.
3. $180,000 \cdot 0{,}6 = 108,000$ тг.

Ответ: 60%; по 44 000 тг; 108 000 тг.

💡 Так работает настоящий бизнес: часть прибыли — себе, а часть — обратно в дело, чтобы оно росло.

№ 868

Половину числа умножили на 20% этого же числа и получили 10. Найди число.

Как думать. Задача на смекалку. Удобно подобрать число и проверить. Подсказка: произведение 10 — небольшое.

Решение. Половина числа 10 — это 5, а 20% от 10 — это 2. $5 \cdot 2 = 10$ ✓.

Ответ: 10.

Готовимся к следующей теме

№ 869

Установи соответствие. 1) Фигуры «угол» и «незамкнутая ломаная» — с рисунками а) два отрезка с общим концом и точками на концах, б) треугольник, в) два луча из одной точки. 2) Углы «прямой», «острый», «тупой», «развёрнутый» — с рисунками: а) меньше прямого, б) больше прямого, в) стороны на одной прямой, г) с квадратиком у вершины, д) больше развёрнутого. 3) Инструменты: 1) полукруг со шкалой градусов, 2) длинная планка с делениями, 3) две ножки — иголка и грифель, 4) треугольник с прямым углом — с названиями: линейка, угольник, транспортир, циркуль, весы.

Как думать. Угол — это два луча, у них нет второго конца. У ломаной звенья — отрезки с концами. Квадратик у вершины всегда означает прямой угол.

Решение.

1. Угол — в (два луча); незамкнутая ломаная — а (два звена-отрезка с концами). Треугольник (б) — замкнутая ломаная, лишний.
2. Прямой — г; острый — а; тупой — б; развёрнутый — в. Рисунок д лишний: такой угол больше развёрнутого.
3. 1. — в транспортир; 2) — а линейка; 3) — г циркуль; 4) — б угольник. Весы (д) — лишние.

Ответ: 1) 1 — в, 2 — а; 2) 1 — г, 2 — а, 3 — б, 4 — в; 3) 1 — в, 2 — а, 3 — г, 4 — б.

Шпаргалка

• Сначала определи, что здесь 100%.
• Неизвестна часть — умножай; неизвестно целое — дели; неизвестны проценты — дели часть на целое.
• Все части одного целого вместе дают 100%.
• «Увеличилось на 30%» — значит, стало 130%, то есть в 1,3 раза больше.
• «В 5 раз больше» — это «на 400% больше».

Мини-тест