§ 50. Угол

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 8: Углы. Многоугольники. Страницы 90–93.

book: ru-5-matematika-abylkasymova-2017 part: 2 lesson: "50" title: "Угол" pages: 90-93 kind: lesson time: 40 hook: "Стрелки часов каждый час рисуют новый угол. Сегодня научишься называть его точно — в градусах!"

§ 50. Угол

Чему научишься

• Обозначать угол тремя буквами, одной буквой и значком $\angle$.
• Отличать острый, прямой, тупой, развёрнутый и полный углы.
• Измерять угол транспортиром и не попадаться в его ловушки.
• Строить угол нужной величины, например $70^\circ$.
• Решать задачи про углы: на часах, внутри другого угла, при делении на части.

Разминка

Это задание № 869 из прошлого урока. Вспомни картинки и ответь.

• Два луча из одной точки — это какая фигура? Угол. А два отрезка с общим концом и точками на концах — незамкнутая ломаная.
• Угол меньше прямого — какой? Острый.
• Угол больше прямого, но стороны не на одной прямой — какой? Тупой.
• Стороны угла лежат на одной прямой — какой это угол? Развёрнутый.
• Угол со значком-квадратиком у вершины? Прямой.
• Как называются инструменты: полукруг со шкалой, планка с делениями, «ножки» с иглой и грифелем, треугольник с прямым углом? Транспортир, линейка, циркуль, угольник.

💡 Углы ты уже различаешь «на глаз». Сегодня добавим главное — число. Угол можно измерить, как длину отрезка.

Разбираемся

Как зовут угол

Нарисуй точку $C$ и проведи из неё два луча — $CA$ и $CB$. Получился угол. Точка $C$ — его вершина, лучи — его стороны.

Угол называют тремя буквами, и вершина всегда стоит посередине: угол $ACB$ или угол $BCA$. Вместо слова «угол» пишут значок: $\angle ACB$. Если путаницы нет, хватит одной буквы: $\angle C$.

⚠️ Частая ошибка. Пишут $\angle CAB$ вместо $\angle ACB$. Но тогда вершиной будет точка $A$ — это уже совсем другой угол! Средняя буква — всегда вершина.

Что такое градус

Возьми развёрнутый угол (стороны на одной прямой) и мысленно разрежь его на 180 одинаковых «кусочков». Один такой кусочек — это угол в 1 градус, пишут $1^\circ$.

📌 Развёрнутый угол — $180^\circ$. Прямой — $90^\circ$. Полный угол (два развёрнутых, луч сделал целый оборот) — $360^\circ$.

Покрути луч и посмотри, как меняется вид угла.

🌟 Почему именно 360? Древние вавилоняне считали, что в году примерно 360 дней. Солнце за день «сдвигается» по небу на одну такую долю круга.

Как измерить угол транспортиром

На транспортире две шкалы: внешняя растёт слева направо, внутренняя — справа налево. Поэтому у одного штриха два числа, например 70 и 110.

1. Поставь центр транспортира точно в вершину угла.
2. Положи одну сторону угла на нулевую линию (через $0^\circ$).
3. Смотри, через какой штрих проходит вторая сторона. Читай ту шкалу, на которой у первой стороны стоит 0.

⚠️ Частая ошибка. Перепутать шкалы и назвать острый угол $110^\circ$ вместо $70^\circ$. Проверяй глазами: угол острый — значит, число меньше 90.

Как построить угол в 70°

Проведи луч — это первая сторона. Совмести центр транспортира с началом луча, а луч — с отметкой $0^\circ$. Поставь точку у штриха 70. Убери транспортир и проведи луч из вершины через точку. Готово!

👨‍👩‍👧 Родителю. Дайте ребёнку настоящий транспортир и попросите измерить углы у книги, у двери, у треугольной линейки. Следите, чтобы вершина угла была точно в центре транспортира.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Сколько градусов в прямом угле? $90^\circ$.
• Как сравнить любой острый угол с углом $90^\circ$? Острый угол всегда меньше $90^\circ$.
• А любой тупой угол? Он больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
• Как заполнить таблицу видов углов? Острые — меньше $90^\circ$; прямые — $90^\circ$; тупые — от $90^\circ$ до $180^\circ$ (не включая концы); развёрнутый — $180^\circ$; полный — $360^\circ$.
• Как построили угол $70^\circ$ на рисунке с тремя шагами? Провели луч, приложили транспортир центром к началу луча и нулём к лучу, отметили точку у 70 и провели через неё второй луч.
• Как измерили три угла на рисунке с транспортирами? Вершину ставили в центр, одну сторону — на $0^\circ$, а число читали там, где проходит вторая сторона. Получилось примерно $25^\circ$, $80^\circ$ и $130^\circ$.
• Сколько градусов в развёрнутом угле? В прямом? $180^\circ$ и $90^\circ$.
• Какие острые и тупые углы есть на рисунке с лучами из точек $B$ и $H$? У точки $B$ все три угла острые: $\angle CBD$, $\angle DBA$, $\angle CBA$. У точки $H$ острые $\angle EHK$ и $\angle KHF$, а тупой — $\angle EHF$ (около $135^\circ$).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 870

Определи вид угла: $132^\circ$, $98^\circ$, $35^\circ$, $180^\circ$, $94^\circ$, $90^\circ$, $154^\circ$, $78^\circ$.

Как думать. Сравни каждое число с 90 и 180.

Решение. Меньше 90 — острый: $35^\circ$, $78^\circ$. Ровно 90 — прямой. Между 90 и 180 — тупой: $132^\circ$, $98^\circ$, $94^\circ$, $154^\circ$. Ровно 180 — развёрнутый.

Ответ: острые — $35^\circ$, $78^\circ$; прямой — $90^\circ$; тупые — $132^\circ$, $98^\circ$, $94^\circ$, $154^\circ$; развёрнутый — $180^\circ$.

№ 871

Транспортир лежит на прямой $AE$, центр — в точке $O$. Лучи $OB$, $OC$, $OD$ проходят через деления $20^\circ$, $70^\circ$ и $110^\circ$ (считая от $OA$). Найди $\angle AOB$, $\angle AOC$, $\angle AOD$, $\angle EOD$, $\angle EOC$, $\angle EOB$.

Как думать. Углы от луча $OA$ читаем прямо по шкале. Углы от луча $OE$ — по другой шкале, или вычитаем из $180^\circ$.

Решение.

1. $\angle AOB = 20^\circ$, $\angle AOC = 70^\circ$, $\angle AOD = 110^\circ$.
2. $\angle EOD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
3. $\angle EOC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
4. $\angle EOB = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$.

Ответ: $20^\circ$; $70^\circ$; $110^\circ$; $70^\circ$; $110^\circ$; $160^\circ$.

№ 872

Начерти тупой угол $MOK$ и луч $OA$ так, чтобы $\angle AOK$ был: 1) прямым; 2) острым. Сколько таких углов можно построить?

Как думать. Приложи транспортир к стороне $OK$ и отложи нужный угол. Луч можно провести по одну или по другую сторону от $OK$.

Решение.

1. Отложи от луча $OK$ угол $90^\circ$. Такой луч $OA$ можно провести в две стороны: внутрь угла $MOK$ (он тупой, поэтому прямой угол в нём помещается) или наружу. Получится два прямых угла.
2. Острый угол — любой от $1^\circ$ до $89^\circ$, да ещё с любой стороны от $OK$. Таких углов сколько угодно (бесконечно много).

Ответ: 1) два положения луча; 2) бесконечно много.

№ 873

Какой угол образуют стрелки часов в 2 ч, 3 ч, 5 ч, 6 ч?

Как думать. Циферблат — полный угол $360^\circ$, на нём 12 часов. Значит, от одного числа до соседнего — $360^\circ : 12 = 30^\circ$.

Решение.

1. 2 ч: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ — острый.
2. 3 ч: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$ — прямой.
3. 5 ч: $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$ — тупой.
4. 6 ч: $6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$ — развёрнутый.

Ответ: 1) острый; 2) прямой; 3) тупой; 4) развёрнутый.

№ 874

Измерь транспортиром три угла: $\angle AOB$, $\angle MLK$, $\angle PRS$.

Как думать. Действуй по трём шагам: вершина — в центр, сторона — на $0^\circ$, читаешь вторую сторону. Сначала оцени на глаз, острый угол или тупой.

Решение.

1. $\angle AOB$ — тупой, получается около $115^\circ$.
2. $\angle MLK$ — острый, около $35^\circ$.
3. $\angle PRS$ — острый, около $55^\circ$. Вершина $R$ справа, поэтому транспортир удобнее повернуть или читать внутреннюю шкалу.

Ответ: примерно $115^\circ$, $35^\circ$, $55^\circ$ (у тебя может отличаться на 1–2 градуса).

№ 875

Почему углы на двух рисунках измерили неправильно?

Решение.

1. Слева вершина $A$ не стоит в центре транспортира, и ни одна сторона не лежит на отметке $0^\circ$. Нарушены сразу два правила.
2. Справа вершина $N$ сдвинута вправо от центра транспортира. Сторона лежит вдоль основания, но вершина «уехала» — поэтому отсчёт около $30^\circ$ неверный.

Ответ: в обоих случаях вершина угла не совмещена с центром транспортира; на левом рисунке ещё и сторона не проходит через $0^\circ$.

Уровень B

№ 876

Развёрнутый угол разделили на 5 равных частей. Сколько градусов в каждой? Построй один такой угол.

Решение. $180^\circ : 5 = 36^\circ$. Строим луч, прикладываем транспортир и отмечаем точку у штриха 36.

Ответ: $36^\circ$.

№ 877

Какой угол между часовой и минутной стрелками в 1 ч, 2 ч, 5 ч?

Как думать. Ровно в целый час минутная стрелка на 12. Один «часовой» промежуток — $30^\circ$.

Решение. 1) $30^\circ$; 2) $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$; 3) $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: 1) $30^\circ$; 2) $60^\circ$; 3) $150^\circ$.

Уровень C

№ 878

$\angle AOC = 111^\circ$. Внутри него провели луч $OB$, $\angle BOC = 36^\circ$. Найди $\angle AOB$.

Как думать. Луч $OB$ внутри угла разрезает его на два: $\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC$.

Решение. $\angle AOB = 111^\circ - 36^\circ = 75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$.

Подготовьте сообщение

№ 879

Подготовь сообщение: 1) как появился транспортир (говорят, это связано с первым календарём); 2) где работает теодолит — прибор, похожий на транспортир.

Как думать. Найди 3–4 факта и расскажи их своими словами за 1–2 минуты. Даты проверь по источнику.

Решение. Пример сообщения.

1. Древние вавилоняне следили за Солнцем и звёздами. Год у них был близок к 360 дням, поэтому круг поделили на 360 частей — так появился градус. Чтобы мерить углы до небесных тел, нужны были круги со шкалой — предки транспортира. Привычный полукруглый транспортир стал школьным инструментом намного позже.
2. Теодолит — это «транспортир на треноге» с подзорной трубой. Им пользуются геодезисты: размечают участки, строят дороги, мосты и дома, составляют карты. Он измеряет углы и по горизонтали, и по вертикали.

Ответ: пример сообщения выше.

🌟 Когда в Астане и Алматы строят новый жилой комплекс, первым на площадку часто приходит геодезист с теодолитом.

Готовимся к следующей теме

№ 880

Выбери верный номер ответа. 1) Фигура на рисунке — шестиугольник. Это: 1) многоугольник; 2) многоугольник и замкнутая ломаная; 3) многоугольник, замкнутая ломаная и замкнутая кривая. 2) Тот же вопрос про треугольник.

Как думать. Многоугольник состоит из отрезков, соединённых друг за другом и замкнутых. Значит, он одновременно и замкнутая ломаная. А кривой линией он не является — у него прямые звенья.

Решение. И шестиугольник, и треугольник — это многоугольник и замкнутая ломаная. Вариант 2.

Ответ: 1) № 2; 2) № 2.

№ 881

Каким свойством обладают углы и стороны прямоугольника и квадрата?

Решение. У прямоугольника все углы прямые ($90^\circ$), противоположные стороны равны. У квадрата тоже все углы прямые, а все четыре стороны равны.

Ответ: все углы прямые; у прямоугольника противоположные стороны равны, у квадрата равны все стороны.

Шпаргалка

• Вершина угла — средняя буква в записи: $\angle ACB$.
• Развёрнутый — $180^\circ$, прямой — $90^\circ$, полный — $360^\circ$.
• Транспортир: вершина — в центр, сторона — на $0^\circ$, читай вторую сторону.
• Если луч внутри угла, большой угол = сумма двух маленьких.
• На циферблате один час — $30^\circ$.

Мини-тест