§ 6. Уравнения

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 1: Натуральные числа и нуль. Страницы 31–34.

Чему научишься

• Объяснять, что такое корень уравнения и что значит «решить уравнение».
• Решать уравнения, где неизвестное «спряталось» в скобках или в частном, например $119 - 119 : x = 102$.
• Упрощать уравнение перед решением: $17x + 18x = 700$.
• Проверять ответ подстановкой.

Разминка

Это задания № 77–79 из прошлого урока.

• Что из этого уравнение: $28 + x$ или $y + 195 = 300$? Второе: в нём есть знак «=». А $28 + x$ — просто выражение.
• Реши $y + 195 = 300$. Неизвестное слагаемое: $y = 300 - 195 = 105$.
• Реши $x - 2197 = 3934$. Неизвестное уменьшаемое: $x = 3934 + 2197 = 6131$.
• Реши $2592 : y = 24$. Неизвестный делитель: $y = 2592 : 24 = 108$.
• Является ли 102 корнем уравнения $3876 : x = 38$? Да: $3876 : 102 = 38$.

Разбираемся

Уравнение — это весы

Представь весы. На одной чаше коробка с неизвестным числом конфет и ещё 2 конфеты, на другой — 7 конфет. Весы в равновесии. Сколько в коробке? Конечно, 5!

Математик запишет так: $2 + x = 7$. Это уравнение — равенство с буквой, которая обозначает неизвестное число.

📌 Корень уравнения — это число, которое при подстановке вместо буквы даёт верное равенство. Решить уравнение — найти все его корни или показать, что их нет.

Число 5 — корень уравнения $2 + x = 7$, ведь $2 + 5 = 7$ верно.

Корней может быть два… или ни одного

• В уравнении $(x - 12) \cdot (x - 13) = 0$ два корня: 12 и 13. Подставь 12: первая скобка станет нулём, а ноль на что ни умножай — ноль.
• В уравнении $x \cdot 0 = 15$ корней нет: любое число, умноженное на 0, даёт 0, а не 15.

🌟 Слово «корень» придумал учёный из Хорезма — аль-Хорезми. Неизвестное он сравнивал с корнем растения: его не видно, но из него всё растёт.

Правила-помощники

Для решения пригодятся правила поиска неизвестного:

Разгадываем загадку совы

Вернёмся к $119 - 119 : x = 102$. Хитрость в том, чтобы смотреть на большой кусок с иксом как на одно целое.

⚠️ Частая ошибка. Начинают «изнутри»: пытаются сразу найти $x$ в $119 : x$. Действовать нужно снаружи внутрь — как снимать одёжки с капусты: сначала внешний слой (вычитание), потом внутренний (деление).

👨‍👩‍👧 Родителю. Перед каждым шагом спрашивайте: «Чем является кусок с иксом — слагаемым, вычитаемым, множителем?» Если ребёнок отвечает уверенно, дальше всё получится само. И обязательно просите проверку подстановкой.

Сначала упрости

Иногда уравнение сначала можно сократить. Например, в $x + 18 = 26 + 15$ справа считаем: $x + 18 = 41$, $x = 23$. А в $17x + 18x = 700$ складываем иксы: $35x = 700$, $x = 20$.

Говорим правильно

Названия букв не склоняют. $x + 46 = 78$ читается: «сумма икс и сорока шести равна семидесяти восьми». А $x = 5$ — «икс равен пяти».

Проверь, как понял

Проверь себя

• Пример уравнения? $x + 25 = 40$, $3y = 27$, $100 - z = 64$.
• Что такое корень уравнения? Всегда ли он есть? Это число, которое при подстановке даёт верное равенство. Корня может и не быть: у $x \cdot 0 = 15$ его нет. А бывает несколько, как у $(x - 12)(x - 13) = 0$.
• Что значит решить уравнение? Найти все его корни или доказать, что их нет.
• Какие правила помогают решать уравнения? Правила поиска неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя.
• Как проверить решение? Подставить найденное число вместо буквы и посчитать обе части. Если они равны — решено верно.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 80

Реши уравнения: 1) $43x + 72 = 502$; 2) $67 - 21y = 25$; 3) $19y - 200 = 47$; 4) $83 + 29x = 982$.

Как думать. Кусок с иксом сначала считаем целым: слагаемым, вычитаемым или уменьшаемым. Потом находим $x$ как множитель.

Решение.

1. $43x = 502 - 72 = 430$; $x = 430 : 43 = 10$;
2. $21y = 67 - 25 = 42$; $y = 42 : 21 = 2$;
3. $19y = 47 + 200 = 247$; $y = 247 : 19 = 13$;
4. $29x = 982 - 83 = 899$; $x = 899 : 29 = 31$.

Проверка 1): $43 \cdot 10 + 72 = 502$ ✓.

Ответ: 10; 2; 13; 31.

№ 81

Реши: 1) $(x + 58) - 37 = 91$; 2) $(63 - y) + 109 = 121$; 3) $69 - (y - 28) = 13$; 4) $103 - (z + 47) = 54$.

Решение.

1. $x + 58 = 91 + 37 = 128$; $x = 128 - 58 = 70$;
2. $63 - y = 121 - 109 = 12$; $y = 63 - 12 = 51$;
3. $y - 28 = 69 - 13 = 56$; $y = 56 + 28 = 84$;
4. $z + 47 = 103 - 54 = 49$; $z = 49 - 47 = 2$.

Ответ: 70; 51; 84; 2.

№ 82

Реши: 1) $321 + (x + 13) = 450$; 2) $122 + (y - 7) = 200$; 3) $204 - (x + 29) = 100$; 4) $53 - (y - 13) = 24$.

Решение.

1. $x + 13 = 450 - 321 = 129$; $x = 129 - 13 = 116$;
2. $y - 7 = 200 - 122 = 78$; $y = 78 + 7 = 85$;
3. $x + 29 = 204 - 100 = 104$; $x = 104 - 29 = 75$;
4. $y - 13 = 53 - 24 = 29$; $y = 29 + 13 = 42$.

Проверка 4): $53 - (42 - 13) = 53 - 29 = 24$ ✓.

Ответ: 116; 85; 75; 42.

№ 83

Реши: 1) $(x - 23) \cdot 14 = 56$; 2) $(200 + x) : 12 = 32$; 3) $205 : (y - 27) = 41$; 4) $729 : (c - 15) = 81$; 5) $89 \cdot (b + 13) = 7120$; 6) $12 \cdot (97 - z) = 240$.

Решение.

1. $x - 23 = 56 : 14 = 4$; $x = 27$;
2. $200 + x = 32 \cdot 12 = 384$; $x = 184$;
3. $y - 27 = 205 : 41 = 5$; $y = 32$;
4. $c - 15 = 729 : 81 = 9$; $c = 24$;
5. $b + 13 = 7120 : 89 = 80$; $b = 67$;
6. $97 - z = 240 : 12 = 20$; $z = 77$.

Ответ: 27; 184; 32; 24; 67; 77.

Уровень B

№ 84

Найди корни: 1) $17x + 18x = 700$; 2) $41y - 17y = 480$; 3) $39x + 33x = 432$; 4) $82z - 57z = 575$.

Как думать. Сначала упрощаем левую часть — выносим букву за скобки.

Решение.

1. $35x = 700$; $x = 20$;
2. $24y = 480$; $y = 20$;
3. $72x = 432$; $x = 6$;
4. $25z = 575$; $z = 23$.

Ответ: 20; 20; 6; 23.

№ 85

Составь уравнения по таблицам и реши. 1) В 24 одинаковых банки входит 72 л, сколько ($x$ л) войдёт в 28 таких банок? 2) Булочки по 48 тг на 420 тг и столько же батончиков по 85 тг — на $x$ тг. 3) Машина за 3 ч со скоростью 36 км/ч и за 2 ч со скоростью $x$ км/ч проходит одинаковый путь.

Как думать. Найдём то, что одинаково (вместимость банки, количество, расстояние), и приравняем.

Решение.

1. Вместимость одной банки одинакова: $x : 28 = 72 : 24$; $x : 28 = 3$; $x = 3 \cdot 28 = 84$ л.
2. Количество одинаково: $x : 85 = 420 : 48$. Но 420 на 48 нацело не делится — с такими числами задача не решается в натуральных числах. Скорее всего, в условии опечатка и булочки стоили 480 тг. Тогда $x : 85 = 480 : 48 = 10$; $x = 85 \cdot 10 = 850$ тг.
3. Расстояние одинаково: $2x = 36 \cdot 3$; $2x = 108$; $x = 54$ км/ч.

Ответ: 1) 84 л; 2) 850 тг (если булочки стоили 480 тг); 3) 54 км/ч.

Уровень C

№ 86

*Какое число поставить вместо звёздочки, чтобы 5 было корнем: 1) $9x + 5 = $; 2) $8x - 4 = $; 3) $ - 13x = 12$?

Как думать. Подставляем 5 вместо $x$ и считаем неизвестную часть.

Решение.

1. $9 \cdot 5 + 5 = 50$;
2. $8 \cdot 5 - 4 = 36$;
3. $* - 65 = 12$, значит $* = 12 + 65 = 77$.

Ответ: 50; 36; 77.

№ 87

Составь уравнение и реши: 1) сумма двух последовательных натуральных чисел равна 303; 2) сумма трёх последовательных натуральных чисел, оканчивающихся чётной цифрой, равна 306.

Как думать. Задача повышенной трудности. Обозначим меньшее число буквой. Следующее натуральное больше на 1, а следующее чётное — на 2.

Решение.

1. $x + (x + 1) = 303$; $2x + 1 = 303$; $2x = 302$; $x = 151$. Числа 151 и 152.
2. $x + (x + 2) + (x + 4) = 306$; $3x + 6 = 306$; $x = 100$. Числа 100, 102, 104.

Ответ: 1) 151 и 152; 2) 100, 102, 104.

Подготовь сообщение

№ 88

1. Расскажи об аль-Хорезми, который ввёл неизвестную величину и понятие «корень уравнения». 2. Расскажи о Рене Декарте, который стал обозначать неизвестные буквами $x$, $y$, $z$.

Решение. Пример сообщения (даты проверь по источнику):

1. «Мухаммад аль-Хорезми (около 780–850) жил в Хорезме, а работал в Багдаде, в „Доме мудрости“. Он написал книгу о решении уравнений. Из её названия („аль-джабр“) родилось слово алгебра, а из имени учёного — слово алгоритм. Неизвестное он называл „вещью“ или „корнем“».
2. «Француз Рене Декарт (1596–1650) был математиком и философом. Он предложил записывать неизвестные последними буквами алфавита — $x$, $y$, $z$, а известные числа — первыми: $a$, $b$, $c$. Мы до сих пор так пишем! Декарт придумал и систему координат».

Ответ: пример сообщения выше.

Готовимся к следующей теме

№ 89

Вспомни: 1) как найти периметр треугольника? 2) как найти площадь квадрата? 3) можно ли найти длину ломаной?

Решение.

1. Сложить длины трёх сторон: $P = a + b + c$.
2. Умножить сторону саму на себя: $S = a \cdot a$.
3. Да: сложить длины всех её звеньев.

Ответ: см. решение.

№ 90

Сравни периметры и площади: 1) прямоугольник 8 см на 2 см и квадрат со стороной 4 см; 2) квадрат со стороной 5 см и прямоугольник 5 см на 4 см.

Как думать. Одна клетка на рисунке — 1 см. Посчитай клетки внутри фигур — это площадь.

Решение.

1. Прямоугольник: $P = 2 \cdot (8 + 2) = 20$ см, $S = 8 \cdot 2 = 16$ см². Квадрат: $P = 4 \cdot 4 = 16$ см, $S = 4 \cdot 4 = 16$ см². Площади равны, а периметр больше у прямоугольника.
2. Квадрат: $P = 4 \cdot 5 = 20$ см, $S = 25$ см². Прямоугольник: $P = 2 \cdot (5 + 4) = 18$ см, $S = 20$ см². У квадрата больше и периметр, и площадь.

Ответ: 1) $20 > 16$ см, площади равны (16 см²); 2) $20 > 18$ см, $25 > 20$ см².

💡 Площади одинаковые, а периметры разные! Значит, по площади нельзя угадать периметр.

№ 91

Заполни таблицы. Движение: 1) 20 км/ч, 5 ч, ? км; 2) 128 см/с, ? с, 896 см; 3) ? м/мин, 29 мин, 377 м. Покупка: 1) 150 тг/шт., 15 шт., ? тг; 2) 300 тг/л, ? л, 900 тг; 3) ? тг/кг, 5 кг, 125 тг.

Как думать. $s = v \cdot t$, $t = s : v$, $v = s : t$. Так же: стоимость = цена · количество.

Решение. Движение: 1) $20 \cdot 5 = 100$ км; 2) $896 : 128 = 7$ с; 3) $377 : 29 = 13$ м/мин. Покупка: 1) $150 \cdot 15 = 2250$ тг; 2) $900 : 300 = 3$ л; 3) $125 : 5 = 25$ тг/кг.

Ответ: 100 км; 7 с; 13 м/мин; 2250 тг; 3 л; 25 тг/кг.

Шпаргалка

• Кусок с неизвестным сначала считай целым: слагаемым, множителем, делителем…
• Решай снаружи внутрь, слой за слоем.
• Одинаковые буквенные слагаемые сначала собери: $17x + 18x = 35x$.
• Всегда делай проверку подстановкой.

Мини-тест