§ 51. Многоугольники

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 8: Углы. Многоугольники. Страницы 94–97.

Чему научишься

• Называть элементы многоугольника: вершины, стороны, углы.
• Находить соседние вершины и смежные стороны.
• Проводить диагонали и считать, сколько их.
• Находить периметр и площадь прямоугольника и квадрата в задачах.

Разминка

Это задания № 880–881 из прошлого урока.

• Шестиугольник — это многоугольник? А замкнутая ломаная? И то и другое. А вот кривой линией он не является: все звенья прямые.
• Треугольник — тоже замкнутая ломаная? Да, из трёх звеньев.
• Какие углы у прямоугольника и квадрата? Все четыре прямые, по $90^\circ$.
• Какие стороны у прямоугольника равны? Противоположные. А у квадрата равны все четыре.

💡 Многоугольник — это ломаная, которая «вернулась домой»: её конец совпал с началом. Отсюда и все его свойства.

Разбираемся

Из чего сделан многоугольник

Посмотри на пол в школе, на плитку в ванной, на соты в банке мёда. Везде многоугольники!

📌 Многоугольник — простая замкнутая ломаная. Простая — значит, звенья не пересекают друг друга.

У многоугольника есть вершины (точки-«углы»), стороны (отрезки) и углы (внутри фигуры). Сколько вершин — столько и сторон, и столько же углов. Пять вершин — пятиугольник, семь — семиугольник.

Вот пятиугольник $ABCOP$. Нажимай на клетки и считай.

Соседи и смежные

Соседние вершины — концы одной стороны. В $ABCOP$ это пары $A$ и $B$, $B$ и $C$, $C$ и $O$, $O$ и $P$, $P$ и $A$.

Смежные стороны — две стороны, которые сходятся в одной вершине. Например, $AB$ и $BC$ (встречаются в $B$), $CO$ и $OP$ (встречаются в $O$).

💡 Запомни через слово «сосед»: соседи по парте сидят рядом, соседние вершины — на одной стороне.

Диагональ — дорожка напрямик

Диагональ соединяет две несоседние вершины. В пятиугольнике их пять: $AC$, $AO$, $BP$, $BO$, $PC$. Вместе они рисуют звезду!

⚠️ Частая ошибка. Считать сторону диагональю. Сторона соединяет соседние вершины, диагональ — несоседние. У треугольника все вершины соседние, поэтому диагоналей нет совсем.

Периметр и площадь

Периметр — сумма длин всех сторон: $P = AB + BC + CO + OP + PA$. Как длина забора вокруг участка.

Площадь прямоугольника: $S = a \cdot b$. Площадь квадрата: $S = a \cdot a = a^2$. Периметр прямоугольника: $P = 2 \cdot (a + b)$, квадрата: $P = 4 \cdot a$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Дети часто путают периметр и площадь. Простой образ: периметр — это рамка у картины (сантиметры), площадь — сама картина (квадратные сантиметры).

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как называют многоугольник с тремя, четырьмя, шестью сторонами? Треугольник, четырёхугольник, шестиугольник.
• Чем похожи противоположные стороны прямоугольника и квадрата? Они равны (и параллельны).
• Как расположены смежные стороны квадрата и прямоугольника? Они образуют прямой угол — перпендикулярны.
• Верно ли, что квадрат — это прямоугольник с равными смежными сторонами? Да, верно.
• У какого многоугольника нет диагоналей? У треугольника.
• Есть ли многоугольник ровно с одной диагональю? Нет. У четырёхугольника уже две, а у треугольника ни одной.
• Сколько диагоналей у квадрата, прямоугольника, пятиугольника? 2, 2 и 5.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 882

1) Сколько вершин, сторон и углов у семиугольника? 2) Назови соседние вершины и смежные стороны прямоугольника. 3) Построй треугольник, назови вершины, измерь углы.

Как думать. Число вершин, сторон и углов у многоугольника всегда одинаковое.

Решение.

1. У семиугольника 7 вершин, 7 сторон, 7 углов.
2. Возьмём прямоугольник $ABCD$. Соседние вершины: $A$ и $B$, $B$ и $C$, $C$ и $D$, $D$ и $A$. Смежные стороны: $AB$ и $BC$, $BC$ и $CD$, $CD$ и $DA$, $DA$ и $AB$.
3. Начерти треугольник $KLM$ и измерь углы транспортиром. Например, может получиться $\angle K = 50^\circ$, $\angle L = 60^\circ$, $\angle M = 70^\circ$.

Ответ: 1) 7, 7, 7; 2) пары выше; 3) у каждого свой треугольник.

💡 Сложи три угла своего треугольника. Получится около $180^\circ$ — у любого треугольника! Это не случайность, позже ты узнаешь почему.

№ 883

1) Построй четырёхугольник и шестиугольник, проведи диагонали. Сколько их? Можно ли провести диагональ в треугольнике? 2) Построй пятиугольник и семиугольник, найди их периметры.

Как думать. Из одной вершины диагонали идут ко всем вершинам, кроме неё самой и двух соседей.

Решение.

1. Четырёхугольник: из каждой вершины $4 - 3 = 1$ диагональ, всего $4 \cdot 1 : 2 = 2$.
2. Шестиугольник: из каждой вершины $6 - 3 = 3$, всего $6 \cdot 3 : 2 = 9$.
3. В треугольнике все вершины соседние — диагональ провести нельзя.
4. Для периметра измерь линейкой каждую сторону и сложи. Например, пятиугольник со сторонами 3, 4, 2, 5, 3 см: $P = 3 + 4 + 2 + 5 + 3 = 17$ см.

Ответ: 2 и 9 диагоналей; в треугольнике нельзя; периметр — сумма длин сторон (у каждого свой).

№ 884

1) Прямоугольник 10 см на 5 см. Найди сторону квадрата с таким же периметром. 2) У прямоугольника периметр 40 см, длина 13 см. Его ширина равна стороне квадрата. Найди площадь квадрата.

Решение.

1. $P = 2 \cdot (10 + 5) = 30$ см. Сторона квадрата: $30 : 4 = 7{,}5$ см.
2. Половина периметра — длина плюс ширина: $40 : 2 = 20$ см. Ширина: $20 - 13 = 7$ см. Площадь квадрата: $7 \cdot 7 = 49$ см².

Ответ: 1) 7,5 см; 2) 49 см².

Уровень B

№ 885

Цепочка: 1) длина прямоугольника 9 см, ширина в 3 раза меньше — найди периметр; 2) периметр квадрата на 8 см больше — найди его сторону; 3) площадь этого квадрата; 4) площадь второго квадрата на 27 больше — найди его сторону; 5) прямоугольник: длина в 2 раза больше стороны второго квадрата, ширина в 2 раза меньше — периметр и площадь.

Как думать. Каждый пункт берёт ответ из предыдущего. Решай по порядку и записывай результат.

Решение.

1. Ширина $9 : 3 = 3$ см, $P = 2 \cdot (9 + 3) = 24$ см.
2. Периметр квадрата $24 + 8 = 32$ см, сторона $32 : 4 = 8$ см.
3. $S = 8 \cdot 8 = 64$ см².
4. Площадь второго квадрата $64 + 27 = 91$ см². Но $9 \cdot 9 = 81$, а $10 \cdot 10 = 100$ — целой стороны нет, она примерно 9,5 см. Похоже, в условии опечатка: при разнице 36 см² получилось бы ровно 100 см² и сторона 10 см.
5. Возьмём сторону 10 см. Длина прямоугольника $10 \cdot 2 = 20$ см, ширина $10 : 2 = 5$ см. $P = 2 \cdot (20 + 5) = 50$ см, $S = 20 \cdot 5 = 100$ см².

Ответ: 1) 24 см; 2) 8 см; 3) 64 см²; 4) площадь 91 см², сторона ≈ 9,5 см (при разнице 36 см² — ровно 10 см); 5) при стороне 10 см: $P = 50$ см, $S = 100$ см².

№ 886

Построй квадрат и раздели его на 9 равных частей. Найди периметр и площадь квадрата, если площадь одной части 0,25 см².

Как думать. Девять равных частей получаются, если каждую сторону разделить на 3. Каждая часть — маленький квадрат.

Решение.

1. Площадь всего квадрата: $0{,}25 \cdot 9 = 2{,}25$ см².
2. Сторона маленького квадрата: $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$, значит, 0,5 см.
3. Сторона большого: $0{,}5 \cdot 3 = 1{,}5$ см. Периметр: $1{,}5 \cdot 4 = 6$ см.

Ответ: $P = 6$ см, $S = 2{,}25$ см².

Уровень C

№ 887

Прямоугольник разрезан на три равных квадрата со стороной $a$ см. Найди его периметр и площадь.

Как думать. Квадраты стоят в ряд. Длина прямоугольника — три стороны квадрата, ширина — одна.

Решение.

1. Длина $3a$ см, ширина $a$ см.
2. $P = 2 \cdot (3a + a) = 2 \cdot 4a = 8a$ см.
3. $S = 3a \cdot a = 3a^2$ см² (или три квадрата по $a^2$).

Ответ: $P = 8a$ см, $S = 3a^2$ см².

№ 888

Жулдыз обшивает тесьмой по краю квадратную салфетку за 30 мин. Сколько часов уйдёт на квадратную скатерть, площадь которой в 9 раз больше?

Как думать. Задача-ловушка! Тесьма идёт по краю — важен периметр, а не площадь. Площадь в 9 раз больше, когда сторона больше в 3 раза ($3 \cdot 3 = 9$).

Решение.

1. Сторона скатерти больше в 3 раза, значит, и периметр больше в 3 раза.
2. Времени нужно в 3 раза больше: $30 \cdot 3 = 90$ мин.
3. $90$ мин $= 1{,}5$ ч.

Ответ: 1,5 ч.

⚠️ Частая ошибка. Ответ «$30 \cdot 9 = 270$ мин». Так было бы, если бы Жулдыз вышивала всю скатерть целиком, а не только край.

Готовимся к следующей теме

№ 889

1) Как построили окружность циркулем? 2) Назови радиусы окружности на рисунке: через центр $O$ проходят отрезки $AB$, $MH$ и $KF$.

Решение.

1. Иглу циркуля поставили в точку $O$, а грифелем провели линию, вращая циркуль на полный оборот. Расстояние между ножками не менялось.
2. Радиус — отрезок от центра до точки окружности. На рисунке это $OA$, $OB$, $OM$, $OH$, $OK$, $OF$.

Ответ: 1) иглой в центр $O$, грифелем по кругу; 2) $OA$, $OB$, $OM$, $OH$, $OK$, $OF$.

№ 890

На рисунке окружность с центром $O$ и точки $A$, $B$ (на линии), $F$, $K$ (внутри), $M$, $E$ (снаружи). Какие точки принадлежат окружности? Кругу?

Как думать. Окружность — только сама линия. Круг — линия и всё, что внутри.

Решение.

1. Окружности принадлежат точки на линии: $A$ и $B$.
2. Кругу принадлежат точки на линии и внутри: $A$, $B$, $F$, $K$ и центр $O$. Точки $M$ и $E$ — снаружи.

Ответ: 1) $A$, $B$; 2) $A$, $B$, $F$, $K$ (и $O$).

Шпаргалка

• У $n$-угольника $n$ вершин, $n$ сторон, $n$ углов.
• Диагоналей: у треугольника 0, у четырёхугольника 2, у пятиугольника 5, у шестиугольника 9.
• Периметр в сантиметрах, площадь в квадратных сантиметрах.
• Сторона больше в 3 раза → периметр больше в 3 раза, площадь — в 9 раз.

Мини-тест