§ 52. Окружность. Круг

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 9: Диаграммы. Страницы 98–100.

Чему научишься

• Отличать окружность от круга.
• Находить центр, радиус и диаметр и связывать их: $d = 2r$.
• Строить окружность циркулем по радиусу или диаметру.
• Понимать, что такое круговой сектор, и находить его угол из $360^\circ$.

Разминка

Это задания № 889–890 из прошлого урока.

• Как начертить окружность циркулем? Иглу — в центр $O$, ножки не сдвигать, грифелем сделать полный оборот.
• Через центр проходят отрезки $AB$, $MH$, $KF$. Назови радиусы. $OA$, $OB$, $OM$, $OH$, $OK$, $OF$.
• Точки $A$ и $B$ на линии, $F$ и $K$ внутри, $M$ и $E$ снаружи. Какие лежат на окружности? Только $A$ и $B$.
• А какие принадлежат кругу? $A$, $B$, $F$, $K$ (и центр $O$).

💡 Окружность — это «обруч», а круг — «блин». Обруч пустой внутри, блин — нет.

Разбираемся

Обруч и блин

Окружность — замкнутая линия, все точки которой одинаково удалены от одной точки — центра $O$. Круг — часть плоскости, которую окружность ограничивает, вместе с самой окружностью.

📌 Все точки окружности удалены от центра ровно на радиус. Все точки круга — на радиус или меньше.

Радиус и диаметр

Радиус — отрезок от центра до любой точки окружности, например $OA$. Обозначают буквой $r$.

Диаметр — отрезок, который проходит через центр и соединяет две точки окружности, например $KH$. Обозначают буквой $d$.

📌 Диаметр в 2 раза больше радиуса: $d = 2 \cdot r$, а $r = d : 2$.

⚠️ Частая ошибка. Строить окружность «с диаметром 6 см», раздвинув циркуль на 6 см. Циркуль всегда раздвигают на радиус — здесь на 3 см.

🌟 Колесо велосипеда, тюндик на шаныраке юрты, монета в 100 тенге — всё это круги. Спица колеса — почти точный радиус!

Круговой сектор

Проведи в круге два радиуса — круг распадётся на две части. Каждая часть называется круговым сектором, как кусок пиццы. У каждого сектора есть свой угол с вершиной в центре.

Весь круг вокруг центра — это полный угол, $360^\circ$. Поэтому если один сектор $135^\circ$, то другой:

$360^\circ - 135^\circ = 225^\circ$.

📌 Сумма углов всех секторов одного круга всегда равна $360^\circ$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Разрежьте с ребёнком бумажный круг (или пирог) на 2–4 куска и попросите оценить углы. Потом сложите их — должно выйти около 360°.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что такое радиус окружности? Отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.
• Что такое диаметр? Отрезок через центр, соединяющий две точки окружности.
• Как найти радиус, если знаешь диаметр? Разделить диаметр на 2: $r = d : 2$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 891

Построй окружность радиусом: 1) 3 см; 2) 1 см 5 мм.

Как думать. Раствор циркуля — это и есть радиус. Отмерь его по линейке.

Решение.

1. Поставь иглу на 0 линейки, грифель — на 3 см. Иглу — в точку $O$ на листе, сделай оборот.
2. Раздвинь циркуль на 1 см 5 мм (15 мм) и сделай то же.

Ответ: окружности с радиусами 3 см и 1 см 5 мм.

№ 892

Построй окружность диаметром: 1) 50 мм; 2) 6 см.

Как думать. Циркуль раздвигают на радиус, а радиус — половина диаметра.

Решение. 1) $50 : 2 = 25$ мм. 2) $6 : 2 = 3$ см. Чертим, как в № 891.

Ответ: радиусы 25 мм и 3 см.

№ 893

Круг разделили на два сектора. Найди угол одного, если угол другого: 1) $25^\circ$; 2) $90^\circ$; 3) $126^\circ$; 4) $189^\circ$; 5) $200^\circ$; 6) $320^\circ$.

Как думать. Два сектора вместе — весь круг, $360^\circ$. Вычитаем известный угол из 360.

Решение.

1. $360^\circ - 25^\circ = 335^\circ$
2. $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$
3. $360^\circ - 126^\circ = 234^\circ$
4. $360^\circ - 189^\circ = 171^\circ$
5. $360^\circ - 200^\circ = 160^\circ$
6. $360^\circ - 320^\circ = 40^\circ$

Ответ: $335^\circ$; $270^\circ$; $234^\circ$; $171^\circ$; $160^\circ$; $40^\circ$.

№ 894

Круг разделили на три сектора. Найди третий угол, если два других: 1) $52^\circ$ и $86^\circ$; 2) $90^\circ$ и $66^\circ$; 3) $120^\circ$ и $100^\circ$; 4) $180^\circ$ и $36^\circ$; 5) $180^\circ$ и $90^\circ$; 6) $180^\circ$ и $100^\circ$.

Как думать. Сначала сложи два известных угла, потом вычти из $360^\circ$.

Решение.

1. $360^\circ - (52^\circ + 86^\circ) = 360^\circ - 138^\circ = 222^\circ$
2. $360^\circ - (90^\circ + 66^\circ) = 360^\circ - 156^\circ = 204^\circ$
3. $360^\circ - (120^\circ + 100^\circ) = 140^\circ$
4. $360^\circ - (180^\circ + 36^\circ) = 144^\circ$
5. $360^\circ - (180^\circ + 90^\circ) = 90^\circ$
6. $360^\circ - (180^\circ + 100^\circ) = 80^\circ$

Ответ: $222^\circ$; $204^\circ$; $140^\circ$; $144^\circ$; $90^\circ$; $80^\circ$.

№ 895

Начерти окружность и два радиуса с углом между ними: 1) $180^\circ$; 2) $90^\circ$; 3) $45^\circ$; 4) $135^\circ$.

Как думать. Первый радиус проводим как угодно. Затем центр транспортира — в центр окружности, первый радиус — на $0^\circ$, отмечаем нужное число и проводим второй радиус до окружности.

Решение.

1. $180^\circ$ — два радиуса образуют диаметр, одну прямую линию.
2. $90^\circ$ — радиусы перпендикулярны, как стрелки часов в 3 часа.
3. $45^\circ$ — половина прямого угла.
4. $135^\circ$ — прямой угол и ещё половина прямого: $90^\circ + 45^\circ$.

Ответ: построения по описанию выше.

Уровень B

№ 896

Два радиуса делят круг на два сектора. Могут ли углы секторов быть: 1) оба острыми; 2) оба прямыми; 3) оба тупыми; 4) оба развёрнутыми?

Как думать. Сумма двух углов обязательно $360^\circ$. Проверь, можно ли набрать 360 нужными углами.

Решение.

1. Два острых меньше $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ — до 360 не хватает. Нет.
2. $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \neq 360^\circ$. Нет.
3. Тупой угол меньше $180^\circ$, два тупых — меньше $360^\circ$. Нет.
4. $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$. Да — радиусы составляют диаметр.

Ответ: 1) нет; 2) нет; 3) нет; 4) да.

№ 897

Круг разделили на 2 сектора, угол одного тупой. Может ли угол второго быть: 1) острым; 2) прямым; 3) тупым; 4) развёрнутым?

Как думать. Тупой угол — от $90^\circ$ до $180^\circ$. Вычтем его из $360^\circ$ и посмотрим, что останется.

Решение. Если первый угол больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, то второй: больше $360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$ и меньше $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$. Значит, второй угол всегда больше развёрнутого. Ни острым, ни прямым, ни тупым, ни ровно развёрнутым он быть не может.

Ответ: 1) нет; 2) нет; 3) нет; 4) нет — второй угол всегда больше $180^\circ$.

№ 898

Круг разделили на 2 сектора, угол одного на $60^\circ$ больше угла другого. Найди оба угла.

Как думать. Если отнять от большого угла лишние $60^\circ$, оба угла станут равными.

Решение.

1. $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$ — это два равных угла.
2. Меньший: $300^\circ : 2 = 150^\circ$.
3. Больший: $150^\circ + 60^\circ = 210^\circ$. Проверка: $150 + 210 = 360$ ✓.

Ответ: $150^\circ$ и $210^\circ$.

Уровень C

№ 899

1) Круг разделили на 3 сектора: два равны, третий в 2 раза больше каждого. Найди углы и назови их вид. 2) Раздели круг на 4 сектора: первый $50^\circ$, второй в 2 раза больше первого, третий на $20^\circ$ меньше второго. Измерь четвёртый и проверь вычислением. 3) В круге 4 сектора, два из них по $175^\circ$. Какими могут быть два других, если каждый — нечётное число градусов?

Как думать. Во всех пунктах помогает одно правило: углы секторов в сумме дают $360^\circ$.

Решение.

1. Как в подсказке по шагам: $360^\circ : 4 = 90^\circ$. Углы $90^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ — два прямых и развёрнутый.
2. Первый $50^\circ$, второй $50^\circ \cdot 2 = 100^\circ$, третий $100^\circ - 20^\circ = 80^\circ$. Четвёртый: $360^\circ - (50^\circ + 100^\circ + 80^\circ) = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$. Транспортир должен показать около $130^\circ$.
3. На два оставшихся сектора: $360^\circ - 175^\circ \cdot 2 = 10^\circ$. Два нечётных числа с суммой 10: $1$ и $9$, $3$ и $7$, $5$ и $5$.

Ответ: 1) $90^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ (прямые и развёрнутый); 2) $130^\circ$; 3) $1^\circ$ и $9^\circ$, $3^\circ$ и $7^\circ$ или $5^\circ$ и $5^\circ$.

Подготовьте сообщение

№ 900

Расскажи о древнегреческом математике Фалесе Милетском, в чьих работах встречается диаметр окружности.

Как думать. Найди 3–4 факта, расскажи своими словами за 1–2 минуты. Даты проверь по источнику.

Решение. Пример сообщения. Фалес жил в греческом городе Милете примерно 2600 лет назад (около 625–547 гг. до н. э.). Его называют одним из первых учёных, которые не просто измеряли, а доказывали геометрические факты. Ему приписывают утверждение, что диаметр делит круг на две равные части. Говорят, Фалес измерил высоту египетской пирамиды по длине её тени и предсказал солнечное затмение.

Ответ: пример сообщения выше.

Готовимся к следующей теме

№ 901

Прямоугольники на диаграмме показывают размеры озёр Казахстана: красный — Алаколь, жёлтый — Зайсан, синий — Тенгиз. Какое озеро самое большое, какое самое маленькое?

Как думать. На такой диаграмме чем длиннее прямоугольник, тем больше озеро. Красный — самый длинный, синий — самый короткий.

Решение. Самый длинный прямоугольник красный — это Алаколь. Самый короткий синий — Тенгиз.

Ответ: самое большое — Алаколь, самое маленькое — Тенгиз.

№ 902

Отрезки на диаграмме показывают высоту деревьев у школы: красный — берёза, синий — тополь, жёлтый — клён. Какое дерево самое высокое?

Решение. Самый длинный отрезок — красный, значит, выше всех берёза. Чуть ниже тополь, а клён самый низкий.

Ответ: берёза.

Шпаргалка

• Циркуль раздвигают на радиус, а не на диаметр.
• $d = 2r$, $r = d : 2$.
• Два сектора: второй угол $= 360^\circ -$ первый.
• Три и больше: $360^\circ -$ сумма известных углов.

Мини-тест