§ 53. Диаграмма. Представление статистических данных с помощью диаграмм

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 9: Диаграммы. Страницы 101–109.

Чему научишься

• Отличать круговую, столбчатую и линейную диаграммы.
• Строить круговую диаграмму: считать, сколько градусов у каждого сектора.
• Выбирать удобный масштаб для столбиков.
• Читать диаграмму и отвечать по ней на вопросы: «больше», «меньше», «во сколько раз».
• Переводить данные из таблицы в диаграмму и обратно.

Разминка

Это задания № 901 и 902 из прошлого урока. Чисел на картинках нет — только длины.

• Три прямоугольника обозначают озёра: красный — Алаколь, жёлтый — Зайсан, синий — Тенгиз. Красный самый длинный, синий самый короткий. Какое озеро самое большое? По этой картинке — Алаколь, а самое маленькое — Тенгиз. Длиннее прямоугольник — больше озеро.
• Отрезки показывают высоту деревьев: красный — берёза, синий — тополь, жёлтый — клён. Красный длиннее всех. Какое дерево самое высокое? Берёза.
• Сколько градусов в полном круге? 360°.
• Сколько градусов в половине круга? В четверти? 180° и 90°.

💡 Заметил? Ты ответил, даже не зная чисел. Сравнивать длины глазами очень легко. На этом и держатся все диаграммы.

Разбираемся

Зачем рисовать числа

Учитель говорит: «Поля 40 га, 50 га, 70 га и 20 га». Какое больше всех? Нужно подумать. А если нарисовать — ответ бросается в глаза. Диаграмма — это рисунок, по которому числа удобно сравнивать.

Бывают три главных вида диаграмм:

• круговая — круг, разрезанный на секторы, как пирог;
• столбчатая — прямоугольники-столбики;
• линейная — отрезки вместо столбиков.

Круговая диаграмма: делим 360°

Возьмём те же четыре поля и нарисуем их кругом.

1. Находим всё вместе: $40 + 50 + 70 + 20 = 180$ га.
2. Весь круг — это $360^\circ$. Значит, на 1 га приходится $360 : 180 = 2^\circ$.
3. Считаем углы: $40 \cdot 2 = 80^\circ$, $50 \cdot 2 = 100^\circ$, $70 \cdot 2 = 140^\circ$, $20 \cdot 2 = 40^\circ$.
4. Проверка: $80 + 100 + 140 + 40 = 360^\circ$ ✓. Чертим секторы транспортиром и красим разными цветами.

📌 Чтобы построить круговую диаграмму: найди сумму всех частей, узнай, сколько градусов приходится на одну единицу ($360^\circ$ : сумма), и умножь на каждое число. Сумма углов всегда $360^\circ$.

⚠️ Частая ошибка. Чертят угол «40°» для 40 га, не думая. Так совпадёт только тогда, когда сумма равна 360. Всегда сначала дели 360 на сумму!

Столбчатая диаграмма: выбираем масштаб

Каждое число — это столбик. Все столбики одинаковой ширины и стоят на одной линии. Высота зависит от числа.

Главное — масштаб. Например, 10 га — это 1 клетка тетради. Тогда 40 га — 4 клетки, 70 га — 7 клеток, 50 га — 5, а 20 га — 2.

Масштаб можно брать любой: 10 га = 5 мм, 10 га = 1 см… Все столбики вырастут или уменьшатся в одно и то же число раз. Картинка останется «похожей».

Линейная диаграмма: тонкие отрезки

Всё как у столбчатой, только вместо прямоугольников — отрезки. Нажми на верхний конец отрезка — увидишь число.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка нарисовать одни и те же числа тремя способами. Потом спросите: где проще всего увидеть, какое поле больше? А где лучше видно, какую часть всей земли занимает поле? (Ответ: доли лучше видны на круговой.)

Читаем настоящую диаграмму: нитраты в овощах

Нитраты — вещества, которые растения берут из удобрений. Их измеряют в миллиграммах на 1 кг овощей (1 мг = 0,001 г). «О» — открытый грунт (грядка), «т» — теплица.

Те же данные — таблицей:

Что можно узнать по диаграмме:

• На грядке у помидоров и огурцов нитратов поровну (по 150), больше всех — у моркови.
• В теплице поровну у огурцов и моркови (по 400), меньше всех — у помидоров.
• Помидоры из теплицы: $300 : 150 = 2$ — в 2 раза больше нитратов.
• Огурцы: $400 : 150 = 2\frac{2}{3}$ раза. Морковь: $400 : 250 = 1{,}6$ раза.
• Разница: помидоры — на 150 мг/кг, огурцы — на 250 мг/кг, морковь — на 150 мг/кг.

Это же можно нарисовать двумя круговыми диаграммами. Например, для грядки: всего $150 + 150 + 250 = 550$, морковь занимает $\frac{250}{550} = \frac{5}{11}$ круга.

🌟 Слово «статистика» придумал немецкий учёный Готфрид Ахенвалль в 1746 году. Статистика собирает числа о жизни людей и страны, а диаграммы помогают их понять.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Для чего нужны диаграммы? Чтобы наглядно сравнивать величины: по рисунку сразу видно, что больше, что меньше и во сколько раз.
• Что такое круговая диаграмма? Круг, разбитый на секторы. Угол каждого сектора пропорционален своей величине, а весь круг ($360^\circ$) — это сумма всех величин.
• Что такое столбчатая диаграмма? Ряд прямоугольников одинаковой ширины на общей линии. Высота столбика пропорциональна величине.
• Что такое линейная диаграмма? То же, что столбчатая, но величины показаны отрезками.
• Можно ли одни и те же величины нарисовать разными диаграммами? Да. Мы так и сделали с полями: круг, столбики и отрезки.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 903

Какой масштаб удобно выбрать для столбчатой диаграммы, если величины: 1) 36 км, 48 км, 96 км; 2) 300 га, 128 га, 236 га?

Как думать. Удобно, когда каждое число делится на «единицу масштаба» и столбики помещаются в тетрадь. Ищем число, на которое делятся все данные.

Решение.

1. 36, 48 и 96 делятся на 12. Возьмём 12 км = 1 см. Столбики: $36 : 12 = 3$ см, $48 : 12 = 4$ см, $96 : 12 = 8$ см.
2. 300, 128 и 236 делятся на 4. Возьмём 4 га = 1 мм. Столбики: $300 : 4 = 75$ мм, $128 : 4 = 32$ мм, $236 : 4 = 59$ мм — от 3 до 7,5 см, как раз для тетради.

Ответ: 1) например, 1 см = 12 км: 3 см, 4 см, 8 см; 2) например, 1 мм = 4 га: 75 мм, 32 мм, 59 мм.

№ 904

Построй круговую и столбчатую диаграммы по таблице: луг — 80 га, лес — 70 га, пашня — 210 га.

Как думать. Сложим площади: вдруг сумма окажется удобной.

Решение.

1. Всего: $80 + 70 + 210 = 360$ га. Повезло! На 1 га приходится $360 : 360 = 1^\circ$.
2. Углы секторов: луг — $80^\circ$, лес — $70^\circ$, пашня — $210^\circ$.
3. Для столбиков возьмём 1 клетку = 10 га: луг — 8 клеток, лес — 7, пашня — 21 клетка (или 1 клетка = 20 га: 4; 3,5; 10,5 клетки).

Ответ: секторы $80^\circ$, $70^\circ$, $210^\circ$; столбики 8, 7 и 21 клетка (1 клетка = 10 га).

№ 905

Построй столбчатую диаграмму: сколько минут ты сегодня делал уроки по каждому предмету, который будет завтра.

Как думать. Сначала запиши время по каждому предмету в таблицу. Потом выбери масштаб, например 1 клетка = 5 минут.

Решение. Пример: математика — 30 мин, русский язык — 20 мин, казахский язык — 15 мин, познание мира — 10 мин. При масштабе 1 клетка = 5 мин столбики будут 6, 4, 3 и 2 клетки.

Ответ: у каждого свой; пример — выше.

№ 906

Каналы юга Казахстана: Чу — 39 км, Лепсы — 70 км, Шыршык — 86 км. Построй столбчатую диаграмму.

Как думать. Числа не делятся на одно удобное число. Возьмём 1 км = 1 мм: столбики 39 мм, 70 мм и 86 мм.

Решение. Чертим три столбика одинаковой ширины на одной линии: 3,9 см, 7 см и 8,6 см.

Ответ: столбики 3,9 см, 7 см и 8,6 см (масштаб 1 мм = 1 км).

№ 907

По круговой диаграмме «Нитраты в продуктах» (морковь — 250 мг/кг, картофель — 300 мг/кг, капуста — 500 мг/кг): 1) на какие вопросы можно ответить? 2) Представь данные столбчатой диаграммой и таблицей.

Как думать. Придумываем вопросы «сколько», «где больше», «во сколько раз», «на сколько».

Решение.

1. Примеры вопросов и ответов:
   • Сколько нитратов в 1 кг капусты? — 500 мг.
   • В каком продукте нитратов больше всего? — В капусте. Меньше всего? — В моркови.
   • Во сколько раз в капусте больше, чем в моркови? — $500 : 250 = 2$ раза.
   • На сколько в картофеле больше, чем в моркови? — На 50 мг/кг.
   • Какую часть круга занимает капуста? — $\frac{500}{1050} = \frac{10}{21}$, почти половину.
2. Таблица:

Ответ: вопросы и таблица — выше; столбики, например, 1 клетка = 50 мг/кг: 5, 6 и 10 клеток.

№ 908

Построй круговую и столбчатую диаграммы скоростей: пешеход — 5 км/ч, велосипедист — 10, мотоциклист — 30, грузовик — 50, автомобиль — 80 км/ч.

Как думать. Сумма $5 + 10 + 30 + 50 + 80 = 175$. На 175 число 360 нацело не делится, поэтому углы получатся примерные.

Решение.

1. На 1 км/ч приходится $360 : 175 \approx 2{,}06^\circ$.
2. Углы (округлим до целых): пешеход — $\approx 10^\circ$, велосипедист — $\approx 21^\circ$, мотоциклист — $\approx 62^\circ$, грузовик — $\approx 103^\circ$, автомобиль — $\approx 164^\circ$. Сумма $10 + 21 + 62 + 103 + 164 = 360^\circ$ ✓.
3. Столбики: 1 клетка = 5 км/ч — 1, 2, 6, 10 и 16 клеток.

Ответ: секторы ≈ 10°, 21°, 62°, 103°, 164°; столбики 1, 2, 6, 10, 16 клеток (1 клетка = 5 км/ч).

№ 909

Круговая диаграмма «Что влияет на здоровье человека»: образ жизни — 50%, наследственность — 10%, экология — 10%, медицина — 30%. 1) Какие вопросы можно задать? 2) Представь данные столбиками и таблицей.

Решение.

1. Вопросы и ответы:
   • Что влияет на здоровье сильнее всего? — Образ жизни: половина круга, 50%.
   • Какие факторы влияют одинаково? — Наследственность и экология, по 10%.
   • Во сколько раз образ жизни важнее наследственности? — $50 : 10 = 5$ раз.
   • На сколько процентов медицина важнее экологии? — На 20%.
2. Таблица: образ жизни — 50%, медицинское обслуживание — 30%, генетическое наследие — 10%, экологическое воздействие — 10%.

Ответ: вопросы и таблица — выше; столбики, например, 1 клетка = 10%: 5, 3, 1, 1 клетка.

💡 Половина здоровья — в твоих руках: сон, спорт, еда без лишних чипсов. Эта диаграмма — хороший повод пойти погулять.

№ 910

Озёра: Маркаколь — 455 км², Тенгиз — 1500 км², Алаколь — 2076 км², Зайсан — 5000 км². Округли до сотен и построй столбчатую диаграмму.

Как думать. При округлении до сотен смотрим на цифру десятков: 5 и больше — сотни увеличиваем на 1.

Решение.

1. $455 \approx 500$; $1500 \approx 1500$; $2076 \approx 2100$; $5000 \approx 5000$.
2. Масштаб: 1 клетка = 500 км². Столбики: 1, 3, 4,2 и 10 клеток.

Ответ: 500, 1500, 2100, 5000 км²; столбики 1; 3; 4,2; 10 клеток.

💡 Сравни с Разминкой: там Алаколь получился больше Зайсана, а здесь — наоборот. Картинка без чисел может обмануть, если неизвестно, что она показывает (например, длину озера, а не площадь).

Уровень B

№ 911

Тигр весит 272 кг, лев — 227 кг. Белая медведица на 501 кг тяжелее тигра и льва вместе. Найди её массу, вырази все массы в центнерах и построй столбики (1 ц = 0,5 см).

Как думать. «Тяжелее на 501 кг, чем оба вместе» — значит, складываем тигра и льва и прибавляем 501.

Решение.

1. Тигр и лев вместе: $272 + 227 = 499$ кг.
2. Медведица: $499 + 501 = 1000$ кг.
3. В центнерах (1 ц = 100 кг): тигр — 2,72 ц, лев — 2,27 ц, медведица — 10 ц.
4. Высота столбиков: $2{,}72 \cdot 0{,}5 = 1{,}36$ см; $2{,}27 \cdot 0{,}5 = 1{,}135 \approx 1{,}1$ см; $10 \cdot 0{,}5 = 5$ см.

Ответ: 1000 кг; 2,72 ц, 2,27 ц, 10 ц; столбики ≈ 1,4 см, 1,1 см и 5 см.

№ 912

По данным № 911 построй линейную диаграмму.

Как думать. Тот же масштаб, только вместо столбиков — отрезки.

Решение. Чертим три вертикальных отрезка: тигр — 1,36 см, лев — 1,135 см, медведица — 5 см.

Ответ: отрезки ≈ 1,4 см, 1,1 см и 5 см.

№ 913

Чибис весит 200 г — это 25% массы красноголовой утки. Дикая утка весит 50% массы красноголовой. Найди массы уток, вырази в килограммах, составь таблицу и построй столбики.

Как думать. 25% — это четверть. Если четверть равна 200 г, то вся утка в 4 раза тяжелее.

Решение.

1. Красноголовая утка: $200 : 0{,}25 = 800$ г.
2. Дикая утка: 50% от 800 г — это половина: $800 : 2 = 400$ г.
3. В килограммах: чибис — 0,2 кг, красноголовая утка — 0,8 кг, дикая утка — 0,4 кг.

Ответ: красноголовая утка — 800 г = 0,8 кг, дикая — 400 г = 0,4 кг; столбики, например, 1 клетка = 0,1 кг: 2, 8 и 4 клетки.

№ 914

Построй столбчатую диаграмму «Мой день сегодня»: сон, школа, домашка, отдых и другое.

Как думать. В сутках 24 часа. Распредели их по делам и проверь, что сумма — ровно 24.

Решение. Пример: сон — 9 ч, школа — 6 ч, домашка — 2 ч, отдых и прогулка — 4 ч, еда, дорога и прочее — 3 ч. Проверка: $9 + 6 + 2 + 4 + 3 = 24$ ✓. Масштаб: 1 клетка = 1 ч.

Ответ: у каждого свой; пример — выше.

Уровень C

№ 915

Пути Кокшетауского железнодорожного узла — 800 км. Алматинский узел — это 25% от Кокшетауского и $\frac{1}{3}$ от Южно-Казахстанского. Найди длины Алматинского и Южно-Казахстанского узлов, составь таблицу и построй круговую диаграмму.

Как думать. Сначала находим Алматинский узел, потом через него — Южно-Казахстанский. Удобно заметить: 800 км — ровно половина от 1600, значит, это половина круга.

Решение. Алматинский — 200 км, Южно-Казахстанский — 600 км.

Ответ: Алматинский — 200 км, Южно-Казахстанский — 600 км; секторы $180^\circ$, $45^\circ$, $135^\circ$.

№ 916

Столбчатая диаграмма «Нормы времени на домашние задания» (в минутах): русский язык — 20, русская литература — 15, казахский язык — 20, казахская литература — 15, иностранный язык — 15, математика — 30, информатика — 15, история Казахстана — 20, естествознание — 15. 1) На какие вопросы она отвечает? 2) Нарисуй круговую диаграмму.

Как думать. Для круговой нужна сумма: складываем все минуты.

Решение.

1. Примеры вопросов:
   • На какой предмет уходит больше всего времени? — Математика, 30 мин.
   • Каким предметам дают по 20 мин? — Русскому языку, казахскому языку и истории Казахстана.
   • Во сколько раз на математику больше времени, чем на информатику? — В 2 раза.
   • Сколько всего, если делать все уроки? — $20 \cdot 3 + 15 \cdot 5 + 30 = 165$ мин = 2 ч 45 мин.
2. Круговая: на 1 минуту приходится $360 : 165 \approx 2{,}2^\circ$. Сектор для 30 мин ≈ $65^\circ$, для 20 мин ≈ $44^\circ$, для 15 мин ≈ $33^\circ$.

Ответ: вопросы — выше; всего 165 мин; секторы ≈ $65^\circ$ (30 мин), $44^\circ$ (20 мин), $33^\circ$ (15 мин).

⚠️ Частая ошибка. Сумма округлённых углов может дать 359° или 361°. Это нормально, но последний сектор лучше подогнать так, чтобы вышло ровно 360°.

№ 917

Чайка поднимается на 2000 м, беркут — на 5% выше. Журавль — на высоту, равную $\frac{31}{41}$ от высот чайки и беркута вместе. Найди высоты беркута и журавля, составь таблицу и построй круговую диаграмму.

Как думать. 5% от 2000 — это $2000 \cdot 0{,}05$. Потом складываем чайку и беркута и берём $\frac{31}{41}$ суммы.

Решение.

1. 5% от 2000 м: $2000 \cdot 0{,}05 = 100$ м. Беркут: $2000 + 100 = 2100$ м.
2. Чайка и беркут вместе: $2000 + 2100 = 4100$ м.
3. Журавль: $4100 : 41 \cdot 31 = 100 \cdot 31 = 3100$ м.
4. Всего: $2000 + 2100 + 3100 = 7200$ м. На 1 м приходится $360 : 7200 = 0{,}05^\circ$.
5. Углы: чайка — $100^\circ$, беркут — $105^\circ$, журавль — $155^\circ$. Сумма $360^\circ$ ✓.

Ответ: беркут — 2100 м, журавль — 3100 м; секторы $100^\circ$, $105^\circ$, $155^\circ$.

🌟 Беркут — символ Казахстана: он парит на флаге страны. А охота с беркутом — древнее казахское искусство.

Подготовь сообщение

№ 918

Расскажи о немецком математике Готфриде Ахенвалле, который в 1746 году ввёл в науку слово «статистика».

Как думать. Короткий план: кто он, когда жил, что сделал, откуда слово. Даты проверь по источнику.

Решение. Пример сообщения: Готфрид Ахенвалль (1719–1772) — немецкий учёный, профессор университета в Гёттингене. Он изучал, как устроены разные государства: сколько в них жителей, какие доходы, чем занимаются люди. Такие сведения он назвал статистикой — от латинского status, «состояние, положение дел». Сейчас статистика есть везде: в спорте, в погоде, в школьных оценках. А диаграммы — её главный инструмент.

Ответ: пример сообщения — выше.

Готовимся к следующей теме

№ 919

Ребро куба 8 см. Найди объём куба.

Решение. $V = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$ см³.

Ответ: 512 см³.

№ 920

Найди ребро куба, если объём равен 27 см³; 1000 см³.

Как думать. Ищем число, которое три раза умножили само на себя.

Решение. $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ — ребро 3 см. $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ — ребро 10 см.

Ответ: 3 см; 10 см.

№ 921

Длина прямоугольного параллелепипеда 20 см, ширина — 0,3 длины, высота — 200% ширины. Найди объём.

Решение.

1. Ширина: $20 \cdot 0{,}3 = 6$ см.
2. Высота: 200% — это 2 раза: $6 \cdot 2 = 12$ см.
3. Объём: $20 \cdot 6 \cdot 12 = 1440$ см³.

Ответ: 1440 см³.

Шпаргалка

• Круговая: сумма → $360^\circ$ : сумма → умножаем на каждое число → проверка: углы дают $360^\circ$.
• Столбчатая и линейная: выбираем масштаб, чтобы числа делились удобно и всё помещалось в тетрадь.
• Одни и те же данные можно показать таблицей, кругом, столбиками и отрезками.
• Доли целого лучше видны на круговой, сравнение величин — на столбчатой.

Мини-тест