§ 54. Прямоугольный параллелепипед (куб) и его развертка

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 10: Развертки пространственных фигур. Страницы 110–113.

Чему научишься

• Отличать плоские фигуры от пространственных.
• Находить у многогранника вершины, рёбра и грани и считать их.
• Узнавать развёртку куба и прямоугольного параллелепипеда.
• Чертить развёртку и склеивать из неё куб или коробку.
• Находить площадь всех граней куба и его объём.

Разминка

Это задания № 919–921 из прошлого урока.

• Ребро куба 8 см. Чему равен объём? $8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$ см³.
• Объём куба 27 см³. Какое ребро? 3 см, ведь $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. А при объёме 1000 см³ — 10 см.
• Длина коробки 20 см, ширина — 0,3 длины, высота — 200% ширины. Объём? Ширина 6 см, высота 12 см, объём $20 \cdot 6 \cdot 12 = 1440$ см³.
• Сколько граней у кубика-рубика? 6 — у него 6 цветных сторон.

Разбираемся

Плоские и объёмные

Квадрат, прямоугольник, параллелограмм можно нарисовать на листе — они плоские. А кубик, коробку, банку в лист не «впихнёшь»: у них есть длина, ширина и высота. Это пространственные фигуры.

Среди пространственных есть особые — многогранники. Их поверхность состоит только из многоугольников: квадратов, прямоугольников, треугольников. Куб, коробка, пирамида — многогранники. А цилиндр (банка) — нет: у него есть круги и кривая боковая поверхность.

🌟 Слово «многогранник» говорит само за себя: «много граней». Пирамиды в Египте — тоже многогранники.

Вершины, рёбра, грани

Возьми в руки коробку из-под сока — это прямоугольный параллелепипед.

• Грань — плоская сторона. Это прямоугольник. Граней 6.
• Ребро — место, где встречаются две грани. Это отрезок. Рёбер 12.
• Вершина — угол коробки, где сходятся три ребра. Это точка. Вершин 8.

Куб — тоже прямоугольный параллелепипед, только все его рёбра равны, а все грани — одинаковые квадраты.

📌 У прямоугольного параллелепипеда (и у куба): 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней. Противоположные грани равны.

👨‍👩‍👧 Родителю. Дайте ребёнку коробку и маркер. Пусть поставит точку на каждой вершине и посчитает: 8. Потом проведёт пальцем по каждому ребру: 12. Руками запоминается лучше, чем глазами.

Развёртка: коробка, разложенная на столе

Если куб разрезать по некоторым рёбрам и раскрыть, получится плоская фигура из шести квадратов. Это развёртка. Вот одна из них: четыре квадрата в ряд и по одному сверху и снизу. Квадраты одного цвета — противоположные грани: в кубе они смотрят друг на друга.

У прямоугольного параллелепипеда развёртка из шести прямоугольников. Противоположные грани равны — они снова одного цвета. Пример для коробки 4 × 2 × 3 клетки:

Чтобы склеить куб, к развёртке пририсовывают «ушки» — полоски для клея. Потом аккуратно сгибают по рёбрам и склеивают.

⚠️ Частая ошибка. Не любые шесть квадратов складываются в куб! Например, шесть квадратов в одну линию свернуть нельзя — грани налезут друг на друга. Перед склейкой проверь: у каждой грани должна быть своя «пара» напротив.

💡 Площадь поверхности куба — это площадь его развёртки: 6 одинаковых квадратов. Если ребро $a$, то $S = 6 \cdot a \cdot a$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие фигуры плоские, а какие пространственные (рис. 102)? Плоские: параллелограмм (1), квадрат (3), прямоугольник (4). Пространственные: куб (2), прямоугольный параллелепипед (5), цилиндр (6).
• Почему куб и параллелепипед — многогранники, а фигуры 1, 3, 4 и 6 — нет? Поверхность куба и параллелепипеда состоит из многоугольников. Фигуры 1, 3, 4 плоские, а у цилиндра есть круги и кривая поверхность.
• Сколько прямоугольных параллелепипедов на рисунке 102? Сколько кубов? Два параллелепипеда — № 2 и № 5 (куб тоже параллелепипед). Куб один — № 2.
• Какой фигурой является вершина, ребро, грань? Сколько их? Вершина — точка, их 8. Ребро — отрезок, их 12. Грань — прямоугольник, их 6.
• Из каких фигур состоит поверхность куба? Как найти её площадь? Из 6 равных квадратов. Площадь одного квадрата умножаем на 6.
• Является ли куб прямоугольным параллелепипедом? Да. Это параллелепипед, у которого все рёбра равны.
• Закончи предложение: «Форму прямоугольного параллелепипеда имеют…» …коробка из-под сока, кирпич, шкаф, спичечный коробок, класс, учебник.
• Из каких фигур состоит развёртка куба? Из шести равных квадратов.
• Что можно сказать о противоположных гранях прямоугольного параллелепипеда? Они равны.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 922

1) Ребро куба 2 см. Найди площадь всех граней. 2) Объём куба 27 см³. Найди площадь одной грани. 3) Площадь грани 49 см². Найди объём куба.

Как думать. Ключ ко всем трём задачам — ребро. Зная ребро, находим и грань, и объём.

Решение.

1. Грань: $2 \cdot 2 = 4$ см². Все 6 граней: $4 \cdot 6 = 24$ см².
2. $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, значит, ребро 3 см. Грань: $3 \cdot 3 = 9$ см².
3. $7 \cdot 7 = 49$, значит, ребро 7 см. Объём: $7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$ см³.

Ответ: 1) 24 см²; 2) 9 см²; 3) 343 см³.

№ 923

1) Измерь диагонали $AC$ и $BD$ квадрата $ABCD$ — передней грани куба — и сравни их. 2) Заполни таблицу: сторона $AD$ равна 0,8 см; 3 дм; $\frac{5}{7}$ дм; $1\frac{2}{3}$ см; 3,4 см. Найди объём куба и площадь $ABCD$.

Как думать. Площадь грани — $a \cdot a$, объём — $a \cdot a \cdot a$. Дробное ребро умножаем как дробь.

Решение.

1. Диагонали квадрата равны: линейкой получится одно и то же число.
2. Таблица:

Пояснение для $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$: площадь $\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$; объём $\frac{25}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{125}{27} = 4\frac{17}{27}$.

Ответ: $AC = BD$; таблица — выше.

№ 924

Склей куб из развёртки и придумай ему название. На развёртках: портреты учёных; цветные фигуры; цифры 1–6.

Как думать. Развёртка — «крест»: столбик из четырёх квадратов и по квадрату слева и справа от второго сверху. Перерисуй её на картон, добавь ушки, сверни.

Так подписана развёртка с цифрами:

Решение.

1. Вырезаем развёртку вместе с ушками.
2. Сгибаем по всем линиям между квадратами.
3. Склеиваем ушки изнутри.
4. Названия — какие нравятся: «Куб учёных», «Куб фигур», «Кубик с цифрами».

В кубике с цифрами напротив друг друга окажутся 1 и 3, 2 и 4, 5 и 6.

Ответ: куб готов; названия, например, «Куб учёных», «Куб фигур», «Кубик с цифрами».

💡 У настоящего игрального кубика сумма чисел на противоположных гранях всегда 7: 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4. У нашего кубика не так — попробуй переставить цифры на развёртке, чтобы получился настоящий!

Уровень B

№ 925

Начерти развёртку куба с ребром 5 см, укрась грани и склей куб.

Как думать. Каждая грань — квадрат 5 × 5 см. Удобная развёртка «крестом» занимает 3 квадрата в ширину и 4 в высоту.

Решение.

1. Нужен лист не меньше $3 \cdot 5 = 15$ см в ширину и $4 \cdot 5 = 20$ см в высоту (плюс место на ушки).
2. Чертим столбик из 4 квадратов по 5 см, по бокам от второго — ещё два.
3. Рисуем на гранях буквы, цифры или картинки, добавляем ушки по 1 см, вырезаем, сгибаем, клеим.
4. Площадь всей развёртки без ушек: $6 \cdot 5 \cdot 5 = 150$ см².

Ответ: развёртка из 6 квадратов 5 × 5 см (150 см²), умещается в прямоугольник 15 × 20 см.

№ 926

Какой лист картона нужен для коробки без крышки длиной 19 см, шириной 12 см и высотой 3 см?

Как думать. Крышки нет — значит, граней 5: дно и 4 бортика. Бортики «отгибаются» от дна в стороны на 3 см.

Решение.

1. Длина листа: $3 + 19 + 3 = 25$ см.
2. Ширина листа: $3 + 12 + 3 = 18$ см.
3. Сама развёртка: $19 \cdot 12 + 2 \cdot 19 \cdot 3 + 2 \cdot 12 \cdot 3 = 228 + 114 + 72 = 414$ см². Лист $25 \cdot 18 = 450$ см², уголки по $3 \cdot 3$ см вырезаем: $450 - 4 \cdot 9 = 414$ ✓.

Ответ: лист 25 см × 18 см (сама развёртка — 414 см²).

Уровень C

№ 927

Подготовь сообщение: откуда слово «куб»? Его ввели пифагорейцы, потом оно встречается у Евклида.

Как думать. План: откуда слово → кто его ввёл → где куб встречается в жизни. Даты проверь по источнику.

Решение. Пример сообщения: Слово «куб» пришло из древнегреческого: kybos — так называли игральную кость. Ученики Пифагора — пифагорейцы — стали так называть фигуру с шестью одинаковыми квадратными гранями. Потом куб описал Евклид (III век до н. э.) в книге «Начала» — по ней учили геометрию две тысячи лет. От слова «куб» произошли «кубометр» и «куб числа»: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ так и читают — «два в кубе».

Ответ: пример сообщения — выше.

Готовимся к следующей теме

№ 928

1) Нарисуй квадрат и прямоугольник, разрежь их по диагонали и сравни получившиеся треугольники наложением. 2) Найди площади треугольников $ABC$ и $MKF$, если сторона квадрата $ABCD$ — 3,5 см, а прямоугольник $MKFE$ имеет длину 3,5 см и ширину 1,3 см.

Как думать. Диагональ делит фигуру пополам: оба треугольника совпадают при наложении. Значит, площадь треугольника — половина площади фигуры.

Решение.

1. Треугольники в каждой паре равны — совпадают при наложении.
2. $S_{ABC} = 3{,}5 \cdot 3{,}5 : 2 = 12{,}25 : 2 = 6{,}125$ см².
3. $S_{MKF} = 3{,}5 \cdot 1{,}3 : 2 = 4{,}55 : 2 = 2{,}275$ см².

Ответ: треугольники равны; $S_{ABC} = 6{,}125$ см², $S_{MKF} = 2{,}275$ см².

Шпаргалка

• Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.
• Противоположные грани параллелепипеда равны.
• Площадь поверхности куба: $6 \cdot a \cdot a$, объём: $a \cdot a \cdot a$.
• Развёртка куба — 6 равных квадратов; для склейки добавляют ушки.
• Коробка без крышки — 5 граней.

Мини-тест