§ 7. Формулы. Вычисления по формулам

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 1: Натуральные числа и нуль. Страницы 35–40.

Чему научишься

• Понимать, что такое формула, и отличать её от простого выражения.
• Записывать правило формулой: периметр, площадь, путь, стоимость.
• «Вытаскивать» из формулы нужную величину: из $s = v \cdot t$ получать $v$ и $t$.
• Считать по формулам и рисовать график пути.
• Находить скорость лодки по течению и против течения.

Разминка

Это задания № 89–91 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Как найти периметр треугольника? Сложить длины всех трёх сторон.
• Как найти площадь квадрата? Сторону умножить саму на себя: при стороне 4 см площадь $4 \cdot 4 = 16$ см².
• Можно ли найти длину ломаной? Да: сложить длины всех её звеньев.
• Машина едет 5 ч со скоростью 20 км/ч. Какой путь? $20 \cdot 5 = 100$ км.
• Игрушечная машинка проехала 896 см со скоростью 128 см/с. Сколько секунд? $896 : 128 = 7$ с.
• За 29 мин пройдено 377 м. Какая скорость? $377 : 29 = 13$ м/мин.
• 15 тетрадей по 150 тг — сколько стоят? $150 \cdot 15 = 2250$ тг.
• Сок по 300 тг/л, заплатили 900 тг. Сколько литров? $900 : 300 = 3$ л.
• 5 кг стоят 125 тг. Цена 1 кг? $125 : 5 = 25$ тг/кг.

Теперь сравни фигуры из № 90: прямоугольник $8 \times 2$ см и квадрат со стороной 4 см.

• У какой фигуры больше площадь? Площади равны: $8 \cdot 2 = 16$ см² и $4 \cdot 4 = 16$ см².
• А периметр? У прямоугольника $(8 + 2) \cdot 2 = 20$ см, у квадрата $4 \cdot 4 = 16$ см. Прямоугольник «длиннее по краю».
• Вторая пара: квадрат 5 см и прямоугольник $5 \times 4$ см? Квадрат: $P = 20$ см, $S = 25$ см². Прямоугольник: $P = 18$ см, $S = 20$ см². У квадрата больше и то и другое.

💡 Заметил? Площадь одинаковая, а периметр разный. Значит, по одной величине нельзя угадать другую — нужно считать. А считать удобнее всего по формулам.

Разбираемся

Правило, сжатое в одну строчку

Помнишь правило: «Чтобы найти периметр треугольника, сложи длины его сторон»? Длинно. Обозначим периметр буквой $P$, а стороны — $a$, $b$, $c$. Получится:

$P = a + b + c$.

Это и есть формула — равенство с буквами, в котором записано правило.

📌 Если правило записано равенством с буквами, говорят: правило выражено формулой.

Проверим на деле. Стороны 3 см, 4 см и 5 см: $P = 3 + 4 + 5 = 12$ (см). Подставили числа вместо букв — и готово.

⚠️ Частая ошибка. Запись $a + b + c$ — ещё не формула, это просто выражение. Формула — это равенство: слева то, что ищем, справа — как найти. $P = a + b + c$ — формула.

Формулу можно «перевернуть»

А если известен периметр 12 см и две стороны — 4 см и 5 см? Найдём третью сторону: из всего периметра уберём известные стороны.

$a = P - b - c = 12 - 4 - 5 = 3$ (см).

Говорят: сторона $a$ выражена через периметр $P$ и стороны $b$ и $c$.

Так же с прямоугольником. Площадь $S = a \cdot b$. Отсюда:

• ширина $b = S : a$;
• длина $a = S : b$.

Прямоугольник $5 \times 4$: $S = 5 \cdot 4 = 20$ клеток. Знаешь площадь 20 и длину 5? Ширина $20 : 5 = 4$. Всё сходится.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка «перевернуть» формулу вслух: «Как найти ширину, если знаю площадь и длину?» Если отвечает уверенно — тема понята. Если путается, вернитесь к прямоугольнику на клетках.

Три формулы движения

Путь обозначают буквой $s$, скорость — $v$, время — $t$.

📌 $s = v \cdot t$ — путь. $v = s : t$ — скорость. $t = s : v$ — время.

Это одна и та же формула, просто «повёрнутая» тремя способами. Примеры:

А вот как растёт путь со временем. Арман едет на велосипеде 12 км/ч, а его дедушка идёт пешком 4 км/ч. Каждый час путь велосипедиста растёт на 12 км, а пешехода — на 4 км.

💡 Чем больше скорость, тем круче поднимается линия графика. Через 3 часа Арман проедет $12 \cdot 3 = 36$ км, а дедушка пройдёт $4 \cdot 3 = 12$ км.

Лодка на реке

Река всё время несёт воду. Если лодка плывёт по течению, река её подталкивает. Если против — тормозит.

Скорость самой лодки в стоячей воде называют собственной: $v_{л}$. Скорость течения — $v_{р}$.

📌 $v_{\text{по теч.}} = v_{л} + v_{р}$; $v_{\text{пр. теч.}} = v_{л} - v_{р}$.

Пример: лодка 10 км/ч, течение 2 км/ч. По течению $10 + 2 = 12$ км/ч, против течения $10 - 2 = 8$ км/ч.

⚠️ Частая ошибка. Путают, где «плюс», а где «минус». Представь, что плывёшь сам: по течению легко и быстро — значит, плюс.

🌟 Формулы записывают и законы действий: $a + b = b + a$, $a \cdot 1 = a$, $a \cdot 0 = 0$. Одна строчка — и правило верно для любых чисел.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие примеры формул ты знаешь? $P = a + b + c$ (периметр треугольника), $S = a \cdot b$ (площадь прямоугольника), $s = v \cdot t$ (путь), $C = ц \cdot к$ (стоимость).
• Записи $a + b + n$ и $a \cdot b$ — формулы? Нет. Это выражения: в них нет знака «=», не сказано, что именно мы находим.
• По какой формуле найти площадь квадрата и объём куба? $S = a \cdot a$ и $V = a \cdot a \cdot a$, где $a$ — сторона (ребро).
• Зачем в математике формулы? Чтобы коротко записывать правила и законы действий, быстро считать и решать задачи.
• Через что выражены $v$ в $v = s : t$ и $t$ в $t = s : v$? Скорость — через путь и время. Время — через путь и скорость.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 92

Стоимость $c$, цена $ц$ и количество $к$ связаны формулой $c = ц \cdot к$. Вырази: 1) цену через стоимость и количество; 2) количество через стоимость и цену.

Как думать. Это как площадь прямоугольника: стоимость — «площадь», цена и количество — «стороны». Неизвестный множитель ищем делением.

Решение.

1. Цена: $ц = c : к$.
2. Количество: $к = c : ц$.

Проверка на числах: 3 мороженых по 200 тг стоят 600 тг. $600 : 3 = 200$ — цена; $600 : 200 = 3$ — количество.

Ответ: $ц = c : к$; $к = c : ц$.

№ 93

Билет в автобусе стоит $a$ тг. Сколько стоят 2, 3, 5, 8 билетов? Запиши формулу стоимости $C$ за $k$ билетов.

Как думать. Один билет — $a$ тг. Два билета — в 2 раза дороже.

Решение.

1. 2 билета — $2a$ тг; 3 билета — $3a$ тг; 5 билетов — $5a$ тг; 8 билетов — $8a$ тг.
2. За $k$ билетов: $C = a \cdot k$.

Например, если билет стоит 150 тг, то 8 билетов обойдутся в $150 \cdot 8 = 1200$ тг.

Ответ: $2a$; $3a$; $5a$; $8a$ тг; $C = a \cdot k$.

№ 94

Из формулы периметра квадрата вырази сторону $a$ через периметр $P$. Найди $a$ при $P$ = 12 см; 8 дм; 28 дм.

Как думать. У квадрата четыре равные стороны, поэтому $P = 4 \cdot a$. Значит, сторона — это периметр, делённый на 4.

Решение. $a = P : 4$.

1. $12 : 4 = 3$ см.
2. $8 : 4 = 2$ дм.
3. $28 : 4 = 7$ дм.

Ответ: $a = P : 4$; 3 см; 2 дм; 7 дм.

№ 95

Из формулы периметра прямоугольника вырази длину $a$ через ширину $b$ и периметр $P$. Найди $a$, если: 1) $b = 1$ см, $P = 8$ см; 2) $b = 2$ см, $P = 10$ см.

Как думать. $P = (a + b) \cdot 2$. Половина периметра — это одна длина и одна ширина. Убираем ширину — остаётся длина.

Решение. $a = P : 2 - b$.

1. $8 : 2 - 1 = 4 - 1 = 3$ см.
2. $10 : 2 - 2 = 5 - 2 = 3$ см.

Ответ: $a = P : 2 - b$; 3 см; 3 см.

Уровень B

№ 96

На одно платье уходит 17 дм ткани. Запиши формулу для ткани $l$ на $k$ платьев. Вырази $k$ и найди, сколько платьев выйдет из 17 м; 119 дм; 187 дм; 34 м ткани.

Как думать. Удобнее считать всё в дециметрах. Метры переводим: 1 м = 10 дм.

Решение.

1. Формула: $l = 17 \cdot k$ (дм). Отсюда $k = l : 17$.
2. 17 м = 170 дм; $170 : 17 = 10$ платьев.
3. $119 : 17 = 7$ платьев.
4. $187 : 17 = 11$ платьев.
5. 34 м = 340 дм; $340 : 17 = 20$ платьев.

Ответ: $l = 17k$ (дм), $k = l : 17$; 10; 7; 11; 20 платьев.

⚠️ Частая ошибка. Делят 17 м на 17 дм и получают 1 платье. Сначала единицы — одинаковые!

№ 97

1) Заполни таблицу по формуле $y = 13x$ для $x$ = 5; 32; 99; 473. 2) Заполни таблицу по формуле $x = 8y$ для $y$ = 8; 23; 24; 32.

Как думать. $13x$ — это $13 \cdot x$. Подставляем число вместо буквы и умножаем.

Решение.

Удобный приём: $13 \cdot 99 = 13 \cdot 100 - 13 = 1287$.

Ответ: 65; 416; 1287; 6149 и 64; 184; 192; 256.

Уровень C

№ 98

Запиши формулы площади квадрата и объёма куба. Найди их при стороне 5 см, 6 см, 7 см.

Решение. $S = a \cdot a$, $V = a \cdot a \cdot a$.

Ответ: 25 см² и 125 см³; 36 см² и 216 см³; 49 см² и 343 см³.

№ 99

Составь формулу по таблицам. 1) $x$: 1, 2, …, 9; $y$: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27. 2) $x$: 1, 2, …, 9; $y$: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

Как думать. Посмотри, как связан $y$ с $x$ в каждом столбике. Проверь догадку на двух-трёх столбиках.

Решение.

1. $3 = 3 \cdot 1$, $6 = 3 \cdot 2$, $27 = 3 \cdot 9$. Каждый $y$ в 3 раза больше $x$: $y = 3x$.
2. Здесь $y$ растёт на 2, когда $x$ растёт на 1. Попробуем $2x$: $2, 4, 6…$ — каждый $y$ на 1 больше. Проверка: $2 \cdot 9 + 1 = 19$. Верно: $y = 2x + 1$.

Ответ: 1) $y = 3x$; 2) $y = 2x + 1$.

№ 100

Тетрадь стоит 48 тг, ручка — 80 тг. Куплено $a$ тетрадей и $b$ ручек. Что означает неравенство $25 \cdot a + 6 \cdot b < 1700$?

Как думать. Цена, умноженная на количество, — это стоимость. Сумма стоимостей — вся покупка.

Решение.

1. Стоимость тетрадей — $48 \cdot a$ тг, ручек — $80 \cdot b$ тг.
2. Вся покупка стоит $48 \cdot a + 80 \cdot b$ тг.
3. Неравенство вида «цена · количество + цена · количество < 1700» означает: вся покупка стоит меньше 1700 тг. С ценами из условия его надо записать так: $48 \cdot a + 80 \cdot b < 1700$.

В записи $25 \cdot a + 6 \cdot b$ числа 25 и 6 с ценами не совпадают — похоже на опечатку. Если читать как есть, это значит: предметы по 25 тг и по 6 тг вместе стоят меньше 1700 тг.

Ответ: покупка $a$ тетрадей и $b$ ручек обошлась дешевле 1700 тг (с данными ценами: $48a + 80b < 1700$).

Готовимся к следующей теме

№ 101

1) Два муравейника в 30 м друг от друга. Из них одновременно выбежали муравьи в противоположные стороны, каждый со скоростью 4 м/с. Какое расстояние между ними через 30 с? 2) Между городами 400 км. Одновременно выехали автобус (60 км/ч) и автомобиль (90 км/ч). Куда они ехали, если через 2 ч между ними: а) 100 км; б) 700 км; в) 340 км; г) 460 км?

Как думать. В части 1 муравьи удаляются: к 30 м прибавляется путь обоих. В части 2 перебираем все варианты движения.

Решение.

1. Муравьи вместе удаляются со скоростью $4 + 4 = 8$ м/с. За 30 с — на $8 \cdot 30 = 240$ м. Расстояние: $30 + 240 = 270$ м.
2. Разбор по шагам — в виджете выше.

Ответ: 1) 270 м; 2) а) навстречу; б) в противоположные стороны; в) в одну сторону, автомобиль догоняет автобус; г) в одну сторону, автобус едет за автомобилем.

№ 102

Из Кокшетау в Боровое можно доехать на электричке или автобусе, а из Борового в Астану — на поезде или электричке. Какие маршруты можно выбрать?

Как думать. Для каждого способа первой части пути перебираем оба способа второй.

Решение.

1. Электричка → поезд.
2. Электричка → электричка.
3. Автобус → поезд.
4. Автобус → электричка.

Ответ: 4 маршрута (перечислены выше).

🌟 Боровое (Бурабай) — знаменитый курорт с соснами и озёрами, его называют «казахстанской Швейцарией».

Шпаргалка

• Формула — это равенство, а не просто выражение.
• Из формулы можно выразить любую величину: неизвестный множитель — делением, неизвестное слагаемое — вычитанием.
• Перед подсчётом приводи все величины к одним единицам.
• По течению скорости складываем, против течения — вычитаем.

Мини-тест