§ 8. Решение текстовых задач

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 1: Натуральные числа и нуль. Страницы 41–45.

Чему научишься

• Решать задачу по действиям — с пояснением каждого шага.
• Решать задачу уравнением: обозначать неизвестное буквой $x$.
• Рисовать отрезки-схемы и находить «одну часть».
• Решать задачи на движение навстречу и по реке.
• Проверять ответ — подставлять его обратно в условие.

Разминка

Это задания № 101–102 из прошлого урока.

• Два муравья выбежали в разные стороны из муравейников в 30 м друг от друга, каждый 4 м/с. Какое расстояние через 30 с? Удаляются на $8 \cdot 30 = 240$ м, всего $30 + 240 = 270$ м.
• Автобус 60 км/ч и автомобиль 90 км/ч выехали навстречу друг другу из городов в 400 км. Сколько между ними через 2 ч? Сближаются на $150 \cdot 2 = 300$ км, останется 100 км.
• А если бы они ехали в противоположные стороны? $400 + 300 = 700$ км.
• Сколько маршрутов Кокшетау → Боровое → Астана, если на каждом участке 2 вида транспорта? $2 \cdot 2 = 4$.

Разбираемся

Способ 1: по действиям

Один садовый участок — 40 м на 15 м. У другого такая же площадь, а ширина — половина длины первого. У какого участка забор длиннее?

Идём шаг за шагом и каждый раз спрашиваем себя: «Что я сейчас узнал?»

1. Забор первого участка: $(40 + 15) \cdot 2 = 110$ м.
2. Площадь первого: $40 \cdot 15 = 600$ м².
3. Ширина второго: $40 : 2 = 20$ м.
4. Длина второго: $600 : 20 = 30$ м.
5. Забор второго: $(20 + 30) \cdot 2 = 100$ м.
6. Разница: $110 - 100 = 10$ м.

Забор длиннее у первого участка, на 10 м.

💡 Площади одинаковые, а заборы разные. Чем «вытянутее» участок, тем длиннее забор.

Способ 2: уравнением

Газон в 50 м² поливают 600 л воды. Сколько воды нужно для газона в 70 м² при той же норме?

Обозначим нужный объём буквой: $x$ литров. Составим таблицу.

Нормы одинаковые, значит, $600 : 50 = x : 70$. Отсюда $12 = x : 70$, и $x = 12 \cdot 70 = 840$.

Проверка: $840 : 70 = 12$. Сошлось! Нужно 840 л.

👨‍👩‍👧 Родителю. Главный вопрос перед уравнением: «Что обозначим за $x$?» Пусть ребёнок проговорит это вслух полным предложением: «Пусть $x$ литров — это…». Так ошибок становится заметно меньше.

Способ 3: рисуем отрезки

Арбуз и дыня вместе весят 8 кг. Арбуз в 3 раза тяжелее дыни. Сколько весит дыня?

Нарисуем дыню одной клеткой-частью, а арбуз — тремя такими же.

Всего $1 + 3 = 4$ части, и это 8 кг. Одна часть: $8 : 4 = 2$ кг. Это и есть дыня. Арбуз — $2 \cdot 3 = 6$ кг.

⚠️ Частая ошибка. Делят 8 на 3 — на «во сколько раз». Но частей не 3, а 4: одна у дыни и три у арбуза. Всегда считай части по рисунку.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие способы решения задач ты знаешь? По действиям (арифметический), уравнением (алгебраический) и с помощью рисунка-схемы.
• С чего начать решение уравнением? Решить, что обозначить буквой $x$, и записать: «Пусть $x$ — …».
• Зачем таблица в задаче? В ней видно, что известно, что нет и что одинаковое. Так легче составить уравнение.
• Как проверить ответ? Подставить его в условие и убедиться, что все данные сходятся.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 103

На вышивку детского костюма мальчика уходит 2 м тесьмы, на платье девочки — на 1 м больше. 1) Сколько тесьмы на 4 костюма и 4 платья? 2) Хватит ли 45 м на 5 костюмов и 5 платьев?

Как думать. Сначала узнай, сколько тесьмы на одно платье. Потом удобно считать «пару»: костюм + платье.

Решение.

1. На платье: $2 + 1 = 3$ м.
2. На пару (костюм и платье): $2 + 3 = 5$ м.
3. Четыре пары: $5 \cdot 4 = 20$ м.
4. Пять пар: $5 \cdot 5 = 25$ м. $25 < 45$ — хватит, и ещё останется $45 - 25 = 20$ м.

Ответ: 1) 20 м; 2) хватит, останется 20 м.

🌟 Орнамент на казахском костюме — не просто украшение. «Қошқар мүйіз» (бараньи рога) означает достаток, а узоры передавали из поколения в поколение.

Математика в жизни моей семьи

№ 104

Узнай по квитанции цены и количество электроэнергии и холодной воды за месяц. 1) Найди стоимость каждой услуги и итог. 2) На сколько снизится плата, если вода подешевеет на 45 тг/м³?

Как думать. Стоимость = цена · количество. Возьми квитанцию у родителей. Ниже — пример с придуманными числами.

Решение (пример).

Если вода подешевеет на 45 тг/м³, каждый кубометр станет дешевле на 45 тг. За 8 м³ экономия: $45 \cdot 8 = 360$ тг.

Ответ: в примере — 4880 тг в месяц; плата снизится на 360 тг (у вас: 45 · ваши кубометры).

№ 105

Лыжник за 3 ч прошёл 30 км. За сколько он пройдёт 20 км с той же скоростью? Составь и реши обратные задачи.

Как думать. Скорость одна и та же. Найдём её, а потом время на новый путь.

Решение.

1. Скорость: $30 : 3 = 10$ км/ч.
2. Время: $20 : 10 = 2$ ч.

Обратные задачи (пример).

1. Лыжник за 2 ч прошёл 20 км. Сколько километров он пройдёт за 3 ч с той же скоростью? $20 : 2 = 10$ км/ч; $10 \cdot 3 = 30$ км.
2. Лыжник прошёл 30 км и 20 км с одной скоростью; на 20 км ушло 2 ч. Сколько времени ушло на 30 км? $20 : 2 = 10$ км/ч; $30 : 10 = 3$ ч.
3. Лыжник за 3 ч прошёл 30 км, а потом с той же скоростью шёл ещё 2 ч. Сколько километров он прошёл во второй раз? $30 : 3 = 10$; $10 \cdot 2 = 20$ км.

Ответ: 2 ч.

№ 106

На первой полке 32 книги — на 8 меньше, чем на второй. На третьей — на 5 больше, чем на второй. Сколько книг на трёх полках?

Как думать. «На первой на 8 меньше, чем на второй» — значит, на второй на 8 больше: прибавляем.

Решение.

1. Вторая полка: $32 + 8 = 40$ книг.
2. Третья: $40 + 5 = 45$ книг.
3. Всего: $32 + 40 + 45 = 117$ книг.

Ответ: 117 книг.

⚠️ Частая ошибка. Видят слово «меньше» и вычитают: $32 - 8$. Спроси себя: «Где книг больше — на первой или на второй?»

№ 107

От $A$ до $B$ 710 км. Из $A$ вышел поезд 75 км/ч. Через 2 ч ему навстречу из $B$ вышел второй — 65 км/ч. Через сколько часов после выхода второго поезда они встретятся?

Вот график: по оси времени — часы от выхода первого поезда, по вертикали — расстояние от города $A$.

Как думать. Пока второй стоит, едет только первый. Когда едут оба — расстояние тает на сумму скоростей.

Решение. $75 \cdot 2 = 150$ км; $710 - 150 = 560$ км; $75 + 65 = 140$ км/ч; $560 : 140 = 4$ ч.

Проверка: первый проедет $150 + 75 \cdot 4 = 450$ км, второй $65 \cdot 4 = 260$ км. $450 + 260 = 710$ км.

Ответ: через 4 ч.

№ 108

Турист проехал на поезде и автобусе 180 км. На поезде — на 60 км больше, чем на автобусе. Сколько километров на автобусе?

Как думать. Если бы поезд вёз столько же, сколько автобус, весь путь был бы на 60 км короче. Тогда он делится поровну.

Решение.

1. $180 - 60 = 120$ км — две равные части.
2. На автобусе: $120 : 2 = 60$ км.
3. Проверка: на поезде $60 + 60 = 120$ км, всего $60 + 120 = 180$ км.

Ответ: 60 км.

№ 109

В секции 43 спортсмена. Из них 9 многоборцев, а бегунов на 4 больше, чем прыгунов. Сформулируй вопросы и реши.

Как думать. Вопросы можно задать про бегунов и про прыгунов. Сначала уберём многоборцев.

Вопросы (пример). 1) Сколько в секции бегунов и прыгунов вместе? 2) Сколько прыгунов? 3) Сколько бегунов?

Решение.

1. Бегунов и прыгунов: $43 - 9 = 34$.
2. Убираем «лишних» 4 бегуна: $34 - 4 = 30$ — две равные части.
3. Прыгунов: $30 : 2 = 15$.
4. Бегунов: $15 + 4 = 19$.

Ответ: 34 бегуна и прыгуна; 15 прыгунов; 19 бегунов.

№ 110

За три дня сшили 98 костюмов. Во второй день — на 19 больше, чем в первый, в третий — на 9 меньше, чем во второй. 1) Сколько сшили во второй день? 2) Сколько за первые два дня?

Как думать. Обозначим за $x$ первый день — меньше всего. Остальные дни выразим через него.

Решение.

1. Первый день: $x$; второй: $x + 19$; третий: $x + 19 - 9 = x + 10$.
2. Уравнение: $x + (x + 19) + (x + 10) = 98$, то есть $3x + 29 = 98$.
3. $3x = 69$, $x = 23$.
4. Второй день: $23 + 19 = 42$ костюма.
5. Первые два дня: $23 + 42 = 65$ костюмов.
6. Проверка: третий $42 - 9 = 33$; $23 + 42 + 33 = 98$.

Ответ: 1) 42 костюма; 2) 65 костюмов.

№ 111

За три дня завод сделал 198 станков. В первый день — в 2 раза больше, чем во второй, в третий — столько, сколько за первые два вместе. Сформулируй вопросы и реши.

Вопросы (пример). Сколько станков сделали во второй день? В первый? В третий?

Решение. Второй день — 1 часть, первый — 2 части, третий — 3 части. Всего 6 частей. $198 : 6 = 33$; $33 \cdot 2 = 66$; $33 \cdot 3 = 99$.

Ответ: во второй день 33 станка, в первый — 66, в третий — 99.

Математика и здоровье

№ 112

Пить по таблетке 3 раза в день 10 дней. Есть упаковки по 12 таблеток за 880 тг и по 16 таблеток за 1350 тг. 1) Сколько таблеток нужно? 2) Какие упаковки выгоднее?

Как думать. Таблеток должно хватить на весь курс. Сравним, во что обойдётся каждый вариант.

Решение.

1. Нужно: $3 \cdot 10 = 30$ таблеток.
2. Упаковки по 12: двух мало ($24 < 30$), нужно 3 — это 36 таблеток за $880 \cdot 3 = 2640$ тг.
3. Упаковки по 16: одной мало, нужно 2 — это 32 таблетки за $1350 \cdot 2 = 2700$ тг.
4. Смешанный вариант (16 + 12 = 28) не хватает, а 16 + 12 + 12 стоит $1350 + 1760 = 3110$ тг.
5. Дешевле всего — три упаковки по 12: $2640 < 2700$.

Ответ: 1) 30 таблеток; 2) выгоднее упаковки по 12 таблеток за 880 тг.

👨‍👩‍👧 Родителю. Хороший повод сходить с ребёнком в аптеку и сравнить цены разных упаковок «за одну таблетку».

Уровень B

№ 113

Лодка плывёт в 2 раза быстрее течения. По течению её скорость 9 км/ч. Найди скорость лодки.

Как думать. По течению скорости складываются. Течение — 1 часть, лодка — 2 части, вместе 3 части.

Решение.

1. $9 : 3 = 3$ км/ч — скорость течения.
2. $3 \cdot 2 = 6$ км/ч — скорость лодки.
3. Проверка: $6 + 3 = 9$ км/ч.

Ответ: 6 км/ч.

№ 114

Арман пробежал дистанцию за 33 мин, Ерлан — на 4 мин дольше, а Сакен — на 41 мин быстрее, чем Арман и Ербол вместе. Кто финишировал первым?

Как думать. Ербол больше нигде не упоминается — скорее всего, имеется в виду Ерлан. Первым придёт тот, у кого меньше времени.

Решение.

1. Ерлан: $33 + 4 = 37$ мин.
2. Арман и Ерлан вместе: $33 + 37 = 70$ мин.
3. Сакен: $70 - 41 = 29$ мин.
4. Сравним: $29 < 33 < 37$.

Ответ: первым пришёл Сакен (29 мин).

№ 115

В книге рассказ и повесть, всего 68 страниц. Повесть в 3 раза длиннее рассказа. Сколько страниц у каждого?

Как думать. Это как арбуз и дыня: рассказ — 1 часть, повесть — 3 части.

Решение.

1. Всего частей: $1 + 3 = 4$.
2. Рассказ: $68 : 4 = 17$ страниц.
3. Повесть: $17 \cdot 3 = 51$ страница.

Ответ: рассказ — 17 стр., повесть — 51 стр.

№ 116

Крытых вагонов в 2 раза больше, чем платформ, а цистерн на 10 больше, чем платформ. Цистерн 21. Сколько всего вагонов?

Как думать. Начинаем с того, что известно, — с цистерн.

Решение.

1. Платформ: $21 - 10 = 11$.
2. Крытых вагонов: $11 \cdot 2 = 22$.
3. Всего: $21 + 11 + 22 = 54$.

Ответ: 54 вагона.

№ 117

В мастерской 13 рулонов по 90 м и 11 рулонов по 80 м. Израсходовали 1440 м. Сколько метров осталось?

Решение.

1. $13 \cdot 90 = 1170$ м.
2. $11 \cdot 80 = 880$ м.
3. Всего: $1170 + 880 = 2050$ м.
4. Осталось: $2050 - 1440 = 610$ м.

Ответ: 610 м.

Уровень C

№ 118

Задуманное число умножили на 4, вычли 128, результат умножили на 13 и получили 52. Какое число задумано?

Как думать. Задача «с конца». Каждое действие заменяем обратным: умножение — делением, вычитание — сложением.

Решение.

1. До умножения на 13 было: $52 : 13 = 4$.
2. До вычитания 128: $4 + 128 = 132$.
3. До умножения на 4: $132 : 4 = 33$.
4. Проверка: $(33 \cdot 4 - 128) \cdot 13 = (132 - 128) \cdot 13 = 52$.

То же уравнением: $(4x - 128) \cdot 13 = 52$.

Ответ: 33.

№ 119

Алёна купила 2 пирожка и пирожное за 230 тг. Малика — 6 пирожков и пирожное за 470 тг. Потом Малика отдала Марине 2 пирожка. Сколько Марина должна вернуть Малике?

Как думать. Покупки отличаются только пирожками: у Малики на 4 больше. Значит, разница в цене — это цена 4 пирожков.

Решение.

1. Разница: $470 - 230 = 240$ тг — за $6 - 2 = 4$ пирожка.
2. Один пирожок: $240 : 4 = 60$ тг.
3. Два пирожка: $60 \cdot 2 = 120$ тг.

Ответ: 120 тг.

Математика в жизни моей семьи

№ 120

Семья (2 взрослых и 2 детей) едет из Астаны в Алматы и обратно. По сайту railways.kz заполни таблицу поездов 002, 004, 010, 016, 040: время в пути, цены взрослого и детского билетов. Сравни и найди наименьшую сумму на поездку.

Как думать. Цены и расписание меняются, поэтому настоящие данные берите на сайте railways.kz. Ниже — пример с условными числами, только чтобы показать расчёт.

Решение (пример, числа условные — проверьте по источнику).

1. Вывод: скоростной поезд быстрее, но дороже. Самый дешёвый в примере — № 016.
2. Билеты в одну сторону на семью: $10,500 \cdot 2 + 5300 \cdot 2 = 21,000 + 10,600 = 31,600$ тг.
3. В оба конца: $31,600 \cdot 2 = 63,200$ тг.

Ответ: в примере минимум — 63 200 тг; ваш ответ — по реальным ценам с сайта.

Готовимся к следующей теме

№ 121

1) Сколько чисел от 10 до 19 включительно? Сколько среди них чётных и нечётных? 2) Выпиши: нечётные однозначные от 3 (включая) до 9 (не включая); чётные двузначные больше 41 и не больше 50; трёхзначные от 562 до 568 включительно.

Как думать. «Больше или равно» — число входит. «Меньше» — не входит.

Решение.

1. Числа 10, 11, …, 19 — их 10. Чётных 5 (10, 12, 14, 16, 18), нечётных 5.
2. Нечётные: 3, 5, 7 (9 не берём — «меньше 9»).
3. Чётные: 42, 44, 46, 48, 50.
4. Трёхзначные: 562, 563, 564, 565, 566, 567, 568.

Ответ: 10 чисел, 5 чётных и 5 нечётных; 3, 5, 7; 42, 44, 46, 48, 50; 562–568 (7 чисел).

Математика в твоей жизни

№ 122

1) Запиши дни рождения одноклассников в таблицу и упорядочь даты по возрастанию (образец: 05.12 — 5 декабря). 2) Выпиши прогноз температуры на неделю.

Как думать. Даты сравниваем сначала по месяцу, а при одинаковом месяце — по числу.

Решение (пример). Дни рождения: Айгерим 14.03, Данияр 02.11, Алихан 28.01, Сабина 05.03. По возрастанию: 28.01, 05.03, 14.03, 02.11.

Прогноз берите на любом погодном сайте, например: пн +8°, вт +6°, ср +9°, чт +11°, пт +7°, сб +5°, вс +4° (числа условные).

Ответ: у каждого свой; главное — упорядочить сначала по месяцу, потом по дню.

Шпаргалка

• Прочитай задачу дважды и найди главный вопрос.
• Обозначь неизвестное буквой или нарисуй отрезки.
• Решай по шагам и пиши, что узнал.
• Проверь ответ: подставь в условие.

Мини-тест