1.1. Натуральные числа и нуль

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 4–8.

Чему научишься

• Отличать натуральные числа от нуля.
• Читать огромные числа вроде 149 597 900 без запинки.
• Раскладывать число на «кирпичики» — разрядные слагаемые.
• Понимать, почему цифра 5 в одном числе значит 5, а в другом — 5000.

Разминка

Ответь в уме, потом открой ответ.

• Каким числом начинают считать? С единицы. «Ноль яблок» никто не считает.
• На сколько каждое следующее число больше предыдущего? На 1: 7, 8, 9, 10…
• Сколько будет $3 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 2$? 300 + 50 + 2 = 352.
• А $4 \cdot 1000 + 6 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 9$? 4000 + 600 + 80 + 9 = 4689.
• Сколько тысяч в числе 5761? Сотен в 3596? Десятков в 8451? Единиц в 7825? Везде ответ 5!

💡 Заметил? Во всех четырёх числах есть пятёрка, но она означает то тысячи, то сотни, то десятки, то единицы. Значение цифры зависит от того, где она стоит. Это главный секрет урока.

Разбираемся

Какие числа «натуральные»

Представь, что ты пересчитываешь машинки: одна, две, три… Числа, которыми считают предметы, называются натуральными: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Самое маленькое — 1. Самого большого нет: к любому числу всегда можно прибавить ещё 1.

🌟 Слово «натуральный» пришло из латыни: natura — «природа». Это самые «природные» числа, с них люди начали считать.

А нуль? Нулём ничего не пересчитаешь, поэтому нуль — не натуральное число. Но без него не обойтись: попробуй записать число «сто пять» без нуля!

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите: «Нуль — натуральное число?» Многие дети отвечают «да». Правильно — нет. Это частый вопрос в проверочных.

Цифры — это буквы для чисел

Цифр всего десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Как из 33 букв складываются все слова, так из 10 цифр складываются все числа.

Число из «кирпичиков»

Возьмём число 35 749. Каждая цифра — отдельный кирпичик со своей ценой. Попробуй сам: нажимай на цифры или впиши своё число.

Получается, что $35,749 = 30,000 + 5000 + 700 + 40 + 9$. Такая запись называется суммой разрядных слагаемых. Её можно записать и через умножение:

$35,749 = 3 \cdot 10,000 + 5 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 9$.

📌 10 единиц = 1 десяток, 10 десятков = 1 сотня, 10 сотен = 1 тысяча. Каждый следующий разряд в 10 раз больше. Поэтому наша система счёта называется десятичной.

Почему цифра «переодевается»

Посмотри на цифру 8: в числе 348 это 8 единиц, в 582 — уже 80, а в 867 — целых 800! Цифра одна, а значение зависит от места — от позиции. Поэтому систему называют позиционной.

⚠️ Частая ошибка. «Сколько сотен в числе 3596?» Если спрашивают про разряд сотен — там цифра 5. А если про все сотни в числе — их 35 (ведь 3596 = 35 сотен и ещё 96). Читай вопрос внимательно!

Как читать огромные числа

Разбей число на тройки цифр справа налево. Каждая тройка — это класс: единицы, тысячи, миллионы, миллиарды, триллионы.

Читаем слева: «сто сорок девять миллионов пятьсот девяносто семь тысяч девятьсот». Если в классе одни нули (000), его вообще не называем.

👨‍👩‍👧 Родителю. Если ребёнок сбивается при чтении, пусть карандашом отчертит тройки цифр справа налево. Через пару примеров это получается само.

Проверь, как понял

Проверь себя

1. Какие числа называют натуральными? Те, которыми считают предметы: 1, 2, 3, 4…
2. Нуль — натуральное число? Нет, им не считают.
3. Почему система десятичная? Потому что 10 единиц одного разряда дают 1 единицу следующего.
4. Почему она позиционная? Потому что значение цифры зависит от её места в числе.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 1

Посчитай в уме 12 примеров: $25 \cdot 4$, $25 \cdot 6$, $25 \cdot 8$, $810 : 9$, $560 : 8$, $560 : 80$, $303 \cdot 3$, $412 \cdot 4$, $202 \cdot 5$, $320 : 16$, $640 : 32$, $160 : 8$.

Как думать. Запомни волшебное: $25 \cdot 4 = 100$. Через него легко считать $25 \cdot 6$ и $25 \cdot 8$. А при делении «круглых» чисел сначала спрячь нули: $810 : 9$ — это как $81 : 9$, только с нулём на конце.

Решение.

Ответ: 100; 150; 200; 90; 70; 7; 909; 1648; 1010; 20; 20; 20.

Уровень A

№ 2

Прочитай три числа из таблицы разрядов и запиши их с промежутками между классами.

Как думать. Выписываем цифры по порядку слева направо и ставим пробел через каждые три цифры, считая справа.

Решение.

1. 9 619 425 — девять миллионов шестьсот девятнадцать тысяч четыреста двадцать пять.
2. 35 617 000 927 — тридцать пять миллиардов шестьсот семнадцать миллионов девятьсот двадцать семь (тысяч нет — пропускаем).
3. 5 327 408 614 000 — пять триллионов триста двадцать семь миллиардов четыреста восемь миллионов шестьсот четырнадцать тысяч.

Ответ: 9 619 425; 35 617 000 927; 5 327 408 614 000.

№ 3

Запиши цифрами: семьсот десять; четыреста тридцать тысяч шестьдесят; пятьсот восемь тысяч двести тридцать четыре; три миллиона двадцать пять тысяч шесть; тридцать два миллиона пятнадцать тысяч семьсот два.

Как думать. В каждом классе, кроме самого левого, ровно три цифры. Если названо «шестьдесят», в классе пишем 060.

Решение. 1) 710; 2) 430 060; 3) 508 234; 4) 3 025 006; 5) 32 015 702.

Ответ: 710; 430 060; 508 234; 3 025 006; 32 015 702.

⚠️ Частая ошибка. Пишут 43 060 вместо 430 060 — теряют нуль. Проверяй: в «тысячах» 430, в «единицах» 060.

№ 4

Числа: 70 563; 4 036 008; 435 072 614; 8 617 000 324. Что значит цифра 5 в первом, 3 во втором, нуль в третьем? Почему в четвёртом не называют класс тысяч?

Решение.

1. В 70 563 пятёрка — в разряде сотен: это 500.
2. В 4 036 008 тройка — в разряде десятков тысяч: это 30 000.
3. В 435 072 614 нуль стоит в разряде сотен тысяч: он показывает, что сотен тысяч нет, и держит остальные цифры на местах.
4. В 8 617 000 324 класс тысяч — одни нули, поэтому его не называют.

Ответ: 500; 30 000; сотен тысяч нет; в классе тысяч одни нули.

№ 5

Собери числа из разрядных слагаемых: $9 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 5$; $5 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 6$; $8 \cdot 10,000 + 5 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 2$; $7 \cdot 10,000 + 3 \cdot 1000 + 9 \cdot 10 + 4$.

Как думать. Если какого-то разряда в сумме нет, на его месте в числе стоит 0.

Решение. 1) 965; 2) 5736; 3) 85 402 (десятков нет); 4) 73 094 (сотен нет).

Ответ: 965; 5736; 85 402; 73 094.

Уровень B

№ 6

Прочитай вслух: длина экватора 40 075 696 м; от Солнца до Земли 149 597 900 км; площадь Азии 42 400 000 км²; от Земли до Луны 384 401 000 м.

Решение.

1. Сорок миллионов семьдесят пять тысяч шестьсот девяносто шесть метров.
2. Сто сорок девять миллионов пятьсот девяносто семь тысяч девятьсот километров.
3. Сорок два миллиона четыреста тысяч квадратных километров.
4. Триста восемьдесят четыре миллиона четыреста одна тысяча метров.

Ответ: прочитано выше.

№ 7

В каком году ты пошёл в первый класс? В каком окончишь школу?

Как думать. Ответ у каждого свой. Если ты сейчас в 5 классе, то в первый пошёл 4 года назад, а до 11 класса осталось 6 лет.

Решение. Пример для пятиклассника 2026/27 учебного года: в первый класс — в 2022 году, школу окончит в 2033 году.

Ответ: у каждого свой; например, 2022 и 2033.

№ 8

Запиши: наименьшее четырёхзначное, наибольшее шестизначное, наименьшее восьмизначное, наибольшее семизначное число.

Как думать. Наименьшее — единица и нули. Наибольшее — одни девятки.

Решение. 1) 1000; 2) 999 999; 3) 10 000 000; 4) 9 999 999.

Ответ: 1000; 999 999; 10 000 000; 9 999 999.

№ 9

Разложи на разрядные слагаемые двумя способами: 4915; 6083; 15 009; 25 467; 10 803; 206 030.

Как думать. Нулевые разряды в сумму не пишем.

Решение.

1. $4915 = 4000 + 900 + 10 + 5 = 4 \cdot 1000 + 9 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 5$
2. $6083 = 6000 + 80 + 3 = 6 \cdot 1000 + 8 \cdot 10 + 3$
3. $15,009 = 10,000 + 5000 + 9 = 1 \cdot 10,000 + 5 \cdot 1000 + 9$
4. $25,467 = 20,000 + 5000 + 400 + 60 + 7$
5. $10,803 = 10,000 + 800 + 3$
6. $206,030 = 200,000 + 6000 + 30 = 2 \cdot 100,000 + 6 \cdot 1000 + 3 \cdot 10$

Ответ: записи выше.

№ 10

Составь все трёхзначные числа из цифр 0, 1, 9 (и отдельно из 0, 3, 5), используя каждую один раз. Сколько получилось? Можно ли начать число с нуля?

Как думать. Перебираем первую цифру. Нулём начинать нельзя: 019 — это просто 19.

Решение. Из 0, 1, 9: 109, 190, 901, 910. Из 0, 3, 5: 305, 350, 503, 530.

Ответ: по 4 числа; начинать с нуля нельзя.

№ 11

Какие утверждения верные? 1) У каждого натурального числа есть натуральное на 1 меньше. 2) Старший разряд можно записать любой цифрой. 3) У каждого натурального, кроме 1, есть натуральное на 1 меньше. 4) Старший разряд записывают цифрой, не равной 0.

Решение. 1) Неверно: у числа 1 такого нет. 2) Неверно: нулём нельзя. 3) Верно. 4) Верно.

Ответ: верны 3 и 4.

№ 12

Как отмерить 6 м от тесьмы длиной 16 м без линейки?

Как думать. Задача на смекалку! Тесьму можно складывать пополам — каждый раз длина делится на 2.

Решение.

1. Сложи 16 м пополам — получишь 8 м.
2. Ещё раз пополам — 4 м.
3. Ещё раз — 2 м.
4. Отмерь 4 м и ещё 2 м: 4 + 2 = 6 м. (Или 8 м минус 2 м.)

Ответ: складывать пополам: 4 м + 2 м = 6 м.

Уровень C

№ 13

В доме 120 квартир. Сколько металлических цифр нужно для номеров на дверях?

Как думать. У номеров разная длина: однозначные, двузначные, трёхзначные. Считаем каждую группу отдельно.

Решение. $9 + 180 + 63 = 252$.

Ответ: 252 цифры.

👨‍👩‍👧 Родителю. Частый ответ «120 цифр». Попросите ребёнка выписать номера 8, 9, 10, 11 и посчитать цифры пальцем — станет ясно, почему их больше.

№ 14

Из цифр 0–9 (каждую один раз) составь наибольшее и наименьшее число. Сколько цифр нужно, чтобы записать любое число? Какой цифрой записывают старший разряд?

Решение. Наибольшее: цифры по убыванию — 9 876 543 210. Наименьшее: по возрастанию, но нуль первым ставить нельзя — 1 023 456 789. Любое число записывается десятью цифрами; старший разряд — любой цифрой, кроме 0.

Ответ: 9 876 543 210; 1 023 456 789; 10 цифр; кроме 0.

№ 15

На нумерацию страниц ушло 1315 цифр, нумерация начинается с 3-й страницы. Сколько страниц пронумеровано?

Как думать. Как в № 13: сначала тратим цифры на однозначные и двузначные номера, остаток делим на 3.

Решение.

1. Страницы 3–9: 7 цифр.
2. Страницы 10–99: 180 цифр.
3. Остаток: $1315 - 7 - 180 = 1128$ цифр — это $1128 : 3 = 376$ трёхзначных номеров.
4. Последняя страница: $100 + 376 - 1 = 475$.
5. Всего страниц с 3-й по 475-ю: $475 - 3 + 1 = 473$.

Ответ: 473 страницы.

№ 16

Воды в банке столько, сколько в 4 бутылках. В бутылке на 9 чашек меньше, чем в банке. Сколько чашек в банке?

Как думать. Банка — это 4 бутылки. Если убрать одну бутылку, останется 3 бутылки — это и есть «на 9 чашек больше».

Решение. 3 бутылки = 9 чашек, значит, 1 бутылка = 3 чашки, банка = $4 \cdot 3 = 12$ чашек. Проверка: $12 - 3 = 9$ ✓.

Ответ: 12 чашек.

№ 17

Найди в интернете: площадь Казахстана, высоту Эвереста, высоту пика Хан-Тенгри, площадь Карагандинской области — и ответь на вопросы про разряды.

Как думать. Ищем числа, потом смотрим на разряды. Данные иногда уточняют — сверься с источником.

Решение.

Ответ: в таблице.

Шпаргалка

• Натуральные числа: 1, 2, 3… Нуль — не натуральное.
• $35,749 = 30,000 + 5000 + 700 + 40 + 9$ — сумма разрядных слагаемых.
• Каждый разряд в 10 раз больше предыдущего.
• Длинное число делим на тройки справа налево.
• Старший разряд никогда не записывают нулём.

Мини-тест