1.2. Координатный луч. Изображение натуральных чисел и числа нуль на координатном луче

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава I: Натуральные числа и нуль. Страницы 9–13.

Чему научишься

• Чертить координатный луч: начало, направление и единичный отрезок.
• Ставить на луче точку с нужной координатой, например $A(3)$.
• Узнавать координату точки, даже если одно деление — это 40 м или 60 км.
• Находить расстояние между точками по их координатам.

Разминка

Возьми тетрадь и карандаш. Отвечай, потом открывай ответ.

• С чего начинаем луч? Ставим точку $O$ и проводим из неё линию вправо. Под $O$ пишем 0.
• Какой шаг взять? 1 см — это 2 клетки тетради. Откладываем такие шаги один за другим.
• Как подписать концы шагов? По порядку: 1, 2, 3, 4, 5, 6…
• На что похоже то, что получилось? На линейку! Только у линейки есть конец, а наш луч можно продолжать без конца. Это и есть координатный луч.

Разбираемся

Собака, кошка и луч

Собака увидела кошку и бросилась за ней. Кошка бежит 7 м/с, собака — 10 м/с. Нарисуем дорогу от дома как луч: дом — это 0, одно деление — 1 м.

Теперь всё видно с одного взгляда:

1. Между ними $16 - 4 = 12$ м.
2. Каждую секунду собака догоняет кошку на $10 - 7 = 3$ м.
3. Значит, догонит через $12 : 3 = 4$ с.

Одной записью: $(16 - 4) : (10 - 7) = 4$ (с). Вот зачем нужен луч: он превращает задачу в картинку.

Из чего собран координатный луч

Тебе нужны три вещи:

1. Начало отсчёта — точка $O$, под ней 0.
2. Направление — обычно вправо, на конце стрелка.
3. Единичный отрезок — шаг, который мы договорились считать единицей. Его конец подписываем числом 1.

Чтобы отметить 5, отложи от $O$ пять таких шагов. Чтобы отметить 2 — два шага. Каждому натуральному числу достаётся ровно одна точка, а нулю — сама точка $O$.

🌟 Координатный луч ещё называют числовым лучом. Это как бесконечная линейка: сколько ни иди вправо, числа не кончатся.

У каждой точки есть «адрес»

Число под точкой называют её координатой. Пишут так: буква, а в скобках число. $A(1)$ читается «точка $A$ с координатой 1», $O(0)$ — «точка $O$ с координатой 0».

Попробуй сам: поставь точку на луче.

⚠️ Частая ошибка. Считают деления вместе с точкой $O$ и промахиваются на одно. Точка $O$ — это 0, а не первое деление. Первое деление после $O$ — это 1.

Когда одно деление — не единица

Шаг на луче может означать что угодно: 1 м, 40 м, 60 км. Тогда считай так: координата = число делений × цена одного деления.

Пример: одно деление — 60 км, точка стоит на 7-м делении. До неё $7 \cdot 60 = 420$ км.

Сколько между двумя точками

Если $A(4)$ и $B(16)$, то от $A$ до $B$ ровно $16 - 4 = 12$ шагов. Правило простое: из большей координаты вычитаем меньшую.

⚠️ Частая ошибка. Для $A(2)$ говорят: «Длина $OA$ — 3, ведь я вижу три точки: 0, 1, 2». Нет! Считаем не точки, а шаги между ними. Шагов два, значит $OA = 2$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите показать на линейке точку $K(7)$ и $M(12)$ и сказать, сколько между ними сантиметров. Если ребёнок сразу говорит «5», не пересчитывая деления, тема понята.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как начертить координатный луч? Провести луч вправо из точки $O$, подписать 0, выбрать единичный отрезок, отложить его и подписать 1. Дальше откладывать такие же отрезки: 2, 3, 4…
• Какая точка — начало отсчёта? Начало луча, точка $O$ с координатой 0.
• Какой отрезок называют единичным? Тот, длину которого приняли за единицу.
• Что такое координата точки? Число, которое стоит под точкой на луче. Пишут: $A(5)$, $B(9)$, $D(0)$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 18

Четыре цепочки. Начни с первого действия, а каждое следующее делай с тем, что получилось.

Как думать. Не держи в голове всю цепочку. Запоминай только последний результат — и делай следующий шаг.

Решение.

1. $47 + 29 = 76$; $76 : 38 = 2$; $2 \cdot 54 = 108$; $108 - 48 = 60$; $60 : 5 = 12$.
2. $30 \cdot 7 = 210$; $210 - 90 = 120$; $120 : 8 = 15$; $15 + 55 = 70$; $70 : 14 = 5$.
3. $90 : 5 = 18$; $18 + 27 = 45$; $45 \cdot 3 = 135$; $135 - 55 = 80$; $80 : 16 = 5$.
4. $80 - 24 = 56$; $56 : 8 = 7$; $7 + 59 = 66$; $66 \cdot 2 = 132$; $132 + 18 = 150$.

Ответ: 1) 12; 2) 5; 3) 5; 4) 150.

Уровень A

№ 19

На двух лучах стоят точки $A$, $B$, $C$, $D$. Назови их координаты.

Как думать. Сначала узнай, сколько стоит одно деление. Потом считай деления от точки $O$.

Решение.

1. Одно деление — 1. $A$ на 2-м делении, $B$ — на 4-м, $C$ — на 5-м, $D$ — на 7-м.
2. Отрезок $OA$ разбит на 5 мелких частей, каждая — 1. Значит, $A(5)$, а каждый крупный шаг тоже равен 5. $B$ на 3-м крупном шаге: $3 \cdot 5 = 15$. $C$ на 5-м: $5 \cdot 5 = 25$. $D$ на 8-м: $8 \cdot 5 = 40$.

Ответ: 1) $A(2)$, $B(4)$, $C(5)$, $D(7)$; 2) $A(5)$, $B(15)$, $C(25)$, $D(40)$.

№ 20

Начерти луч с шагом 1 см. Отметь $A$, $B$, $C$, $D$ с координатами 2, 6, 8, 9. Найди длины $OA$, $OB$, $OC$, $OD$.

Как думать. Шаг — 1 см. Значит, сколько шагов до точки, столько и сантиметров от $O$.

Решение. От $O$ откладываем по 1 см (2 клетки). $A$ — через 2 см, $B$ — через 6 см, $C$ — через 8 см, $D$ — через 9 см. Длина отрезка от $O$ в сантиметрах совпадает с координатой точки.

Ответ: $OA = 2$ см, $OB = 6$ см, $OC = 8$ см, $OD = 9$ см.

Уровень B

№ 21

Шаг — 2 клетки. Отметь 1) $A(4)$ и $B(8)$; 2) $A(3)$ и $B(11)$. Найди середину $C$ отрезка $AB$ и запиши её координату.

Как думать. Середина — это точка, от которой до обоих концов одинаково. Найди длину $AB$, раздели пополам и прибавь к координате $A$.

Решение.

1. $A$ — через 8 клеток от $O$, $B$ — через 16 клеток. $AB = 8 - 4 = 4$, половина — 2. $C$: $4 + 2 = 6$.
2. $A$ — через 6 клеток, $B$ — через 22 клетки. $AB = 11 - 3 = 8$, половина — 4. $C$: $3 + 4 = 7$.

Проверка: от $C(6)$ до $A(4)$ и до $B(8)$ по 2 шага; от $C(7)$ до $A(3)$ и до $B(11)$ по 4 шага.

Ответ: 1) $C(6)$; 2) $C(7)$.

№ 22

Есть чашечные весы без гирь и 12 кг сахара. Как разделить его на 9 кг и 3 кг?

Как думать. Задача на смекалку. Без гирь весы умеют только одно: делить кучку пополам, пока чаши не встанут ровно.

Решение.

1. Сыплем 12 кг на обе чаши, пока не уравновесятся. На каждой по 6 кг.
2. Одну кучку в 6 кг снова делим на весах пополам: 3 кг и 3 кг.
3. Ссыпаем вместе 6 кг и 3 кг: $6 + 3 = 9$ кг. Осталась кучка 3 кг.

Ответ: два взвешивания: 12 → 6 и 6, затем 6 → 3 и 3; части $6 + 3 = 9$ кг и 3 кг.

№ 23

Алдар Косе идёт к юрте Шыгайбая со скоростью 80 м/мин. Юрта — точка $A$, одно деление — 40 м. Найди координату $A$ и время в пути.

Как думать. Координата = число делений × 40 м. Время = расстояние : скорость.

Решение.

1. Точка $A$ стоит на 8-м делении. Координата: $8 \cdot 40 = 320$ (м).
2. Время в пути: $320 : 80 = 4$ (мин).

Ответ: 1) $A(320)$, то есть юрта в 320 м; 2) за 4 минуты.

Уровень C

№ 24

Одно деление — 30 м. Мальчик на 3-м делении бежит вправо со скоростью 3 м/с. Собака на 11-м делении бежит ему навстречу со скоростью 5 м/с. Найди их координаты, расстояние между ними и время до встречи.

Как думать. Сначала координаты, потом расстояние. Когда бегут навстречу, за каждую секунду расстояние уменьшается на сумму скоростей.

Решение.

1. Координата мальчика: $3 \cdot 30 = 90$ (м). Координата собаки: $11 \cdot 30 = 330$ (м).
2. Расстояние между ними: $330 - 90 = 240$ (м).
3. Они бегут навстречу, поэтому за 1 секунду сближаются на $3 + 5 = 8$ (м).
4. Время до встречи: $240 : 8 = 30$ (с).

Ответ: мальчик в точке с координатой 90, собака — 330; 1) 240 м; 2) через 30 секунд.

№ 25

Кузнечик стоит в точке $A(3)$. Он прыгает по очереди: на 2 влево, потом на 5 вправо, и так дальше. Попадёт ли он в точки 2, 4, 5, 7, 9, 12?

Как думать. Выпиши, где кузнечик оказывается после каждого прыжка. Скоро увидишь закономерность.

Решение.

1. Прыжки: $3 \to 1 \to 6 \to 4 \to 9 \to 7 \to 12 \to 10 \to 15 \to 13 \to \dots$
2. Пара прыжков «влево 2, вправо 5» сдвигает его на $5 - 2 = 3$ вправо. После каждой пары он в точках 3, 6, 9, 12, … , а после прыжка влево — в точках 1, 4, 7, 10, 13, …
3. Чисел 2 и 5 нет ни в одном ряду: от 1 он прыгает сразу на 6, от 4 — сразу на 9.

Ответ: в точки 4, 7, 9 и 12 попадёт; в точки 2 и 5 — нет.

№ 26

Старинная задача. Старшему сыну отец дал половину денег и ещё 1 рубль. Среднему — половину остатка и ещё 1 рубль. Младшему — половину нового остатка и ещё 3 рубля. Денег не осталось. Сколько их было?

Как думать. Распутывай с конца. Если младший взял «половину и ещё 3 рубля» и больше ничего нет, то эти 3 рубля и есть вторая половина.

Решение.

1. Младший: половина последнего остатка — 3 рубля, значит, остаток был $3 \cdot 2 = 6$ рублей.
2. Средний: после него осталось 6. Половина первого остатка $6 + 1 = 7$, весь остаток $7 \cdot 2 = 14$ рублей.
3. Старший: после него осталось 14. Половина всех денег $14 + 1 = 15$, все деньги $15 \cdot 2 = 30$ рублей.

Проверка: старший получил $15 + 1 = 16$, осталось 14; средний $7 + 1 = 8$, осталось 6; младший $3 + 3 = 6$, осталось 0. Всего $16 + 8 + 6 = 30$.

Ответ: 30 рублей.

№ 27

Из Астаны идут три луча: к Костанаю, Павлодару и Жезказгану. Одно деление — 60 км. Найди примерные расстояния по рисунку и сравни с данными из интернета.

Как думать. Считаем деления на каждом луче и умножаем на 60 км.

Решение.

1. До Костаная около 10 делений: $10 \cdot 60 = 600$ (км).
2. До Павлодара около 7 делений: $7 \cdot 60 = 420$ (км).
3. До Жезказгана около 8 делений: $8 \cdot 60 = 480$ (км).

Справочные данные (проверьте по источнику; по прямой ближе, чем по дороге):

Числа по рисунку близки к расстояниям по прямой: рисунок показывает путь «как летит птица».

Ответ: по рисунку примерно Костанай — 600 км, Павлодар — 420 км, Жезказган — 480 км.

Шпаргалка

• Луч: начало $O(0)$, направление вправо, единичный отрезок.
• Каждое натуральное число — одна точка, нуль — точка $O$.
• Координата = число делений × цена одного деления.
• Расстояние между точками = большая координата − меньшая.

Мини-тест