2.2. Простые числа. Составные числа

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава II: Делимость натуральных чисел. Страницы 73–76.

Чему научишься

• Отличать простые числа от составных и проверять себя.
• Помнить, почему 1 — ни то, ни другое.
• Знать, что 2 — самое маленькое простое число и единственное чётное среди простых.
• Находить в таблице простые числа и числа-близнецы.
• Доказывать, что число составное: хватит одного «лишнего» делителя.

Разминка

Ответь в уме, потом открой ответ.

• У каких из чисел 2, 5, 6, 8, 11, 15, 16, 19, 20, 31, 45, 53 ровно два делителя? У 2, 5, 11, 19, 31, 53 — они делятся только на 1 и на себя.
• А у каких больше двух? У 6, 8, 15, 16, 20, 45. Например, $15 = 3 \cdot 5$, $16 = 2 \cdot 8$.
• Назови четыре двузначных числа, которые делятся только на 1 и на себя. Например, 11, 13, 17, 19 (подойдут и 23, 29, 31…).
• Разложи 1, 6, 7, 18, 19, 25 на три группы: один делитель, два, больше двух. Один — 1. Два — 7 ${1, 7}$ и 19 ${1, 19}$. Больше двух — 6 ${1, 2, 3, 6}$, 18 ${1, 2, 3, 6, 9, 18}$, 25 ${1, 5, 25}$.

💡 Заметил? Все числа делятся на три «команды» — смотря сколько у них делителей. С этого и начнём.

Разбираемся

Три команды чисел

Представь, что у тебя 7 конфет. Разложить их поровну на несколько кучек не выйдет — только одна кучка из 7 или семь кучек по одной. А 6 конфет можно разложить по 2 или по 3. Вот и вся разница!

Посчитаем делители у первых чисел:

📌 Простое число — ровно два делителя: 1 и само число (2, 3, 5, 7, 11, 13…). Составное — больше двух делителей (4, 6, 8, 9, 10, 12…). Число 1 — один делитель, оно стоит отдельно.

Попробуй сам: найди всех «упрямцев» до 20.

⚠️ Частая ошибка. «1 — простое, ведь оно делится только на 1 и на себя». Нет! У простого должно быть два разных делителя, а у единицы делитель один. Поэтому 1 — ни простое, ни составное.

Как разоблачить «притворщика»

Пробуй делить число на 2, 3, 5, 7, 11… по очереди. Нашёл делитель, кроме 1 и самого числа, — число составное. Ни один не подошёл — простое.

Вот 91. На 2, 3, 5 не делится — похоже на простое. Но $91 : 7 = 13$! Значит, $91 = 7 \cdot 13$ — составное. На этом «притворщике» ошибаются многие.

А 97? На 2, 3, 5, 7 не делится. Пробовать 11 уже не нужно: $11 \cdot 11 = 121$, а это больше 97. Значит, 97 — простое.

💡 Чтобы доказать, что число составное, хватит одного «лишнего» делителя. Например, $111 = 3 \cdot 37$ — и всё, 111 составное.

Интересное о простых

• Самое маленькое простое — 2. И единственное чётное: любое другое чётное число делится на 2, значит, составное.
• Простых чисел бесконечно много. Таблица простых до 997 есть на форзаце — внутренней стороне обложки.
• Многозначное простое число оканчивается только на 1, 3, 7 или 9.
• Простые числа, которые отличаются на 2, называют близнецами: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19.

🌟 Простые числа берегут твои секреты! Когда родители платят картой или ты пишешь в мессенджере, данные шифруются с помощью огромных простых чисел — длиной в сотни цифр.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка назвать простые числа до 30 по памяти: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Эти десять чисел понадобятся весь год — в разложении на множители, сокращении дробей, поиске общего знаменателя.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие числа называют простыми? Натуральные числа, у которых ровно два делителя: 1 и само число. Например, 2, 13, 101.
• Какие числа называют составными? Натуральные числа, у которых больше двух делителей. Например, 8: делители 1, 2, 4, 8.
• А что такое число 1 — простое или составное? Ни простым, ни составным: у него только один делитель.
• Сколько делителей у числа 7? Назови их. Два: 1 и 7. Число 7 простое.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 189

Восстанови три цепочки действий. В каждой известно одно число: 220 после «+180»; 180 после «·10»; 31 после «:2».

Как думать. Вперёд от известного числа выполняем действия как написано. Назад — обратные: вместо «+» минус, вместо «·» деление.

Решение.

1. Назад: $220 - 180 = 40$. Вперёд: $220 : 5 = 44$; $44 - 29 = 15$; $15 \cdot 4 = 60$; $60 : 12 = 5$. Цепочка: 40 → 220 → 44 → 15 → 60 → 5.
2. Назад: $180 : 10 = 18$; $18 + 66 = 84$. Вперёд: $180 + 140 = 320$; $320 : 4 = 80$; $80 : 5 = 16$. Цепочка: 84 → 18 → 180 → 320 → 80 → 16.
3. Назад: $31 \cdot 2 = 62$; $62 + 28 = 90$; $90 : 6 = 15$. Вперёд: $31 + 68 = 99$; $99 : 9 = 11$. Цепочка: 15 → 90 → 62 → 31 → 99 → 11.

Ответ: 1) 40, 44, 15, 60, 5; 2) 84, 18, 320, 80, 16; 3) 15, 90, 62, 99, 11.

Уровень A

№ 190

Какими цифрами могут оканчиваться многозначные простые числа?

Как думать. Смотрим, какие последние цифры сразу выдают делитель.

Решение.

• На 0, 2, 4, 6, 8 оканчиваются чётные числа. Они делятся на 2 — составные.
• На 5 или 0 — делятся на 5, тоже составные.
• Остаются 1, 3, 7, 9. Примеры: 11, 13, 17, 19.

Но обратное неверно: 21, 33, 27, 49 оканчиваются на эти цифры, а всё равно составные.

Ответ: только цифрами 1, 3, 7 или 9.

№ 191

1) Раздели числа 66, 67, 128, 139, 201, 311, 450, 502, 503, 641, 864, 879, 991 на простые и составные. 2) Выпиши числа-близнецы от 1 до 50.

Как думать. Чётные сразу в составные. Для нечётных ищем делитель (часто это 3) или сверяемся с таблицей.

Решение.

1. Чётные 66, 128, 450, 502, 864 — составные. Нечётные:

• $201 = 3 \cdot 67$ — составное;
• $879 = 3 \cdot 293$ — составное (сумма цифр 24 делится на 3);
• 67, 139, 311, 503, 641, 991 есть в таблице простых чисел.

2. Простые до 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Ищем соседей с разницей 2.

Ответ: 1) простые: 67, 139, 311, 503, 641, 991; составные: 66, 128, 201, 450, 502, 864, 879. 2) 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43.

№ 192

Из чисел 1, 3, 6, 7, 9, 15, 23, 28, 37 выпиши числа с одним делителем, с двумя и с больше чем двумя.

Как думать. Один делитель — только у единицы. Два — у простых. Больше — у составных.

Решение.

1. Один делитель только у 1.
2. Два делителя у простых: 3, 7, 23, 37.
3. Больше двух: 6 ${1, 2, 3, 6}$, 9 ${1, 3, 9}$, 15 ${1, 3, 5, 15}$, 28 ${1, 2, 4, 7, 14, 28}$.

Ответ: 1) 1; 2) 3, 7, 23, 37; 3) 6, 9, 15, 28.

Уровень B

№ 193

1) Запиши 10, 12, 18, 24, 30, 42, 68 как сумму двух простых чисел. 2) Запиши 22, 35, 77, 65, 69, 95 как произведение двух простых.

Как думать. В первом пункте отнимай от числа простые 3, 5, 7, 11… и смотри, простой ли остаток. Во втором ищи самый маленький делитель.

Решение.

1. Вариантов бывает несколько, хватит одного:

• $10 = 3 + 7 = 5 + 5$;
• $12 = 5 + 7$;
• $18 = 5 + 13 = 7 + 11$;
• $24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13$;
• $30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17$;
• $42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23$;
• $68 = 7 + 61 = 31 + 37$.

• $22 = 2 \cdot 11$;
• $35 = 5 \cdot 7$;
• $77 = 7 \cdot 11$;
• $65 = 5 \cdot 13$;
• $69 = 3 \cdot 23$;
• $95 = 5 \cdot 19$.

Ответ: 1) например, $3 + 7$, $5 + 7$, $5 + 13$, $5 + 19$, $7 + 23$, $5 + 37$, $7 + 61$; 2) $2 \cdot 11$, $5 \cdot 7$, $7 \cdot 11$, $5 \cdot 13$, $3 \cdot 23$, $5 \cdot 19$.

🌟 Есть знаменитая загадка: можно ли любое чётное число больше 2 записать как сумму двух простых? Её задали почти 300 лет назад, проверили на огромном количестве чисел — и до сих пор никто не доказал!

№ 194

Великий учёный аль-Фараби жил примерно в 870–950 годах. Сколько простых чисел в промежутке от 870 до 950?

Как думать. Чётные числа и числа на 5 сразу отбрасываем. Остальные проверяем по таблице простых или делением на 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Решение. Простые от 870 до 950:

• от 870 до 899: 877, 881, 883, 887;
• от 900 до 950: 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947.

Осторожно, «притворщики»: $889 = 7 \cdot 127$, $899 = 29 \cdot 31$, $901 = 17 \cdot 53$, $943 = 23 \cdot 41$, $949 = 13 \cdot 73$.

Всего $4 + 7 = 11$.

Ответ: 11 простых чисел.

№ 195

Как отмерить 10 минут, если есть только 4-минутные и 7-минутные песочные часы?

Как думать. Задача на смекалку! $10 = 7 + 3$. Осталось как-то получить 3 минуты — они «застрянут» в 4-минутных часах.

Решение.

1. Одновременно переворачиваем и те, и другие часы.
2. Через 4 мин 4-минутные пусты — тут же переворачиваем их снова.
3. Через 7 мин от начала 7-минутные пусты. В 4-минутных внизу 3 минуты песка, наверху 1 минута. Переворачиваем 4-минутные.
4. Теперь наверху 3 минуты песка. Когда он пересыплется, пройдёт $7 + 3 = 10$ мин.

Ответ: запустить и те, и другие часы, на 4-й минуте перевернуть 4-минутные, на 7-й минуте перевернуть 4-минутные ещё раз; когда они опустеют, пройдёт ровно 10 мин.

Уровень C

№ 196

Запиши все двузначные числа из цифр 1, 3, 5, 7 (цифры в числе не повторяются). Какие из них простые, а какие составные?

Как думать. Сначала составь все числа: перебирай первую цифру, к ней — каждую из трёх оставшихся. Потом проверяй каждое.

Решение.

1. 13, 15, 17; 31, 35, 37; 51, 53, 57; 71, 73, 75. Всего 12 чисел.
2. Числа на 5 (15, 35, 75) делятся на 5 — составные.
3. Остальные: $51 = 3 \cdot 17$, $57 = 3 \cdot 19$ — составные. 13, 17, 31, 37, 53, 71, 73 — простые.

Ответ: 1) простые: 13, 17, 31, 37, 53, 71, 73; 2) составные: 15, 35, 51, 57, 75.

⚠️ Частая ошибка. 51 и 57 очень похожи на простые. Проверь делимость на 3: $5 + 1 = 6$, $5 + 7 = 12$ — суммы цифр делятся на 3, значит, и сами числа тоже.

№ 197

При каком натуральном $x$ число $17x$ простое, а число $23x$ — составное? Приведи примеры.

Как думать. $17x$ делится и на 17, и на $x$. Чтобы делителей осталось только два, $x$ должен быть равен 1.

Решение.

1. При $x = 1$: $17 \cdot 1 = 17$ — простое. При $x = 2$: $34 = 2 \cdot 17$ — составное. При любом $x > 1$ у числа $17x$ есть делители 1, 17, $x$ и $17x$ — уже больше двух.
2. $23x$ составное при любом натуральном $x$ больше 1: $23 \cdot 2 = 46$, $23 \cdot 3 = 69$, $23 \cdot 4 = 92$. При $x = 1$ выходит 23 — простое.

Ответ: 1) только при $x = 1$ ($17x = 17$); 2) при любом натуральном $x \geq 2$, например 46, 69, 92.

№ 198

Докажи, что числа 111 111; 171 717; 414 141; 232 323 составные.

Как думать. Хватит найти у каждого числа один делитель, кроме 1 и самого числа. Подсказка — в повторяющемся «узоре» цифр.

Решение.

1. $111,111 = 11 \cdot 10,101$ (проверка: $10,101 \cdot 11 = 101,010 + 10,101 = 111,111$). Ещё проще: сумма цифр 6, число делится на 3.
2. $171,717 = 17 \cdot 10,101$.
3. $414,141 = 41 \cdot 10,101$.
4. $232,323 = 23 \cdot 10,101$.

Идея: число, где двузначное $\overline{ab}$ повторено три раза, равно $\overline{ab} \cdot 10,101$. Например, $17 \cdot 10,101 = 170,000 + 1700 + 17 = 171,717$.

Ответ: все четыре числа делятся на 10 101 (а также на 11, 17, 41 и 23 соответственно), поэтому они составные.

№ 199

Из 68 астр собрали 18 букетов, в каждом 5 или 3 астры. Сколько букетов по 5 и сколько по 3?

Как думать. Представим, что все букеты по 3 астры, и посмотрим, сколько астр «лишних».

Решение.

1. Если все 18 букетов по 3: $18 \cdot 3 = 54$ астры.
2. Лишних астр: $68 - 54 = 14$.
3. Букет из 5 астр на 2 астры больше: $14 : 2 = 7$ букетов по 5.
4. По 3 астры: $18 - 7 = 11$ букетов.

Проверка: $7 \cdot 5 + 11 \cdot 3 = 35 + 33 = 68$.

Ответ: 7 букетов по 5 астр и 11 букетов по 3 астры.

№ 200

Реши уравнения: 1) $2(11x - 5) - 17x = 55$; 2) $5(8x + 3) - 12 = 83$; 3) $7(2x + 9) + 3x = 114$; 4) $3(4x + 13) - 25 = 74$.

Как думать. Раскрываем скобки, собираем все $x$ вместе, потом находим неизвестное.

Решение.

1. $22x - 10 - 17x = 55$; $5x - 10 = 55$; $5x = 65$; $x = 13$.
2. $40x + 15 - 12 = 83$; $40x + 3 = 83$; $40x = 80$; $x = 2$.
3. $14x + 63 + 3x = 114$; $17x + 63 = 114$; $17x = 51$; $x = 3$.
4. $12x + 39 - 25 = 74$; $12x + 14 = 74$; $12x = 60$; $x = 5$.

Ответ: 1) 13; 2) 2; 3) 3; 4) 5.

Шпаргалка

• Простые до 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
• Простых чисел бесконечно много.
• Многозначное простое оканчивается на 1, 3, 7 или 9.
• Проверяй делением на 2, 3, 5, 7, 11… пока квадрат делителя не превысит число.

Мини-тест