Нахождение натурального корня уравнения способом перебора пар делителей числа

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава II: Делимость натуральных чисел. Страницы 72.

Коротко о главном

Бывают уравнения, где $x$ умножается сам на себя с добавкой, например $x(x + 6) = 40$. Обычным способом «перенеси и раздели» их не решить. Настоящий способ проходят в старших классах, но если корень — натуральное число, его можно поймать уже сейчас.

В чём хитрость

Слева — произведение двух множителей: $x$ и $x + 6$. Справа — 40. Значит, эти два множителя — пара делителей числа 40, причём один больше другого ровно на 6.

Выписываем пары делителей 40: $1 \cdot 40$, $2 \cdot 20$, $4 \cdot 10$, $5 \cdot 8$. Ищем пару с разницей 6 — это 4 и 10. Меньший множитель — $x$, значит, $x = 4$. Проверка: $4 \cdot (4 + 6) = 4 \cdot 10 = 40$ ✓.

Где это пригодится

Так решаются задачи про прямоугольник. Длина больше ширины на 6 см, площадь 40 см² — значит, ширина 4 см, длина 10 см. Посмотри: ровно 40 клеточек.

Порядок всегда один

1. Выпиши пары делителей числа справа.
2. Найди пару, где множители отличаются на нужное число.
3. Реши, какой из них $x$: если в скобке $x + \ldots$, то $x$ — меньший; если $x - \ldots$, то больший.
4. Обязательно сделай проверку подстановкой.

⚠️ Частая ошибка. В уравнении $x(x - 3) = 54$ берут меньшее число пары 6 и 9 и пишут $x = 6$. Проверка: $6 \cdot (6 - 3) = 18$, а не 54. Когда в скобке минус, $x$ — больший: $x = 9$.

🌟 Задачи «найди стороны поля по площади» решали ещё древние вавилоняне почти 4000 лет назад. Свои решения они выдавливали палочкой на глиняных табличках.

Решаем упражнения

Задание 1

Найди корни перебором пар делителей: а) $x(x + 4) = 77$; б) $x(x - 3) = 54$; в) $x(x + 12) = 85$; г) $x(x - 2) = 63$.

Как думать. Выпиши пары делителей, найди пару с нужной разницей и посмотри на знак в скобке.

Решение. а) Пары 77: $1 \cdot 77$, $7 \cdot 11$. Разница 4 у пары 7 и 11. В скобке плюс, $x$ — меньший: $x = 7$. Проверка: $7 \cdot 11 = 77$. б) Пары 54: $1 \cdot 54$, $2 \cdot 27$, $3 \cdot 18$, $6 \cdot 9$. Разница 3 у пары 6 и 9. В скобке минус, $x$ — больший: $x = 9$. Проверка: $9 \cdot 6 = 54$. в) Пары 85: $1 \cdot 85$, $5 \cdot 17$. Разница 12 у пары 5 и 17: $x = 5$. Проверка: $5 \cdot 17 = 85$. г) Пары 63: $1 \cdot 63$, $3 \cdot 21$, $7 \cdot 9$. Разница 2 у пары 7 и 9; $x$ — больший: $x = 9$. Проверка: $9 \cdot 7 = 63$.

Ответ: а) 7; б) 9; в) 5; г) 9.

Задание 2

Ширина прямоугольника на 3 см меньше длины, а площадь 70 см². Найди стороны.

Как думать. За $x$ берём длину — тогда ширина $x - 3$, и в скобке минус.

Решение.

1. Пусть длина $x$ см, тогда ширина $x - 3$ см. Уравнение: $x(x - 3) = 70$.
2. Пары 70: $1 \cdot 70$, $2 \cdot 35$, $5 \cdot 14$, $7 \cdot 10$. Разница 3 у пары 7 и 10.
3. $x = 10$, ширина $10 - 3 = 7$. Проверка: $10 \cdot 7 = 70$.

Ответ: длина 10 см, ширина 7 см.

Задание 3

Площадь прямоугольника 108 см², длина на 12 см больше ширины. Найди ширину и длину.

Как думать. У 108 много делителей — выписывай пары аккуратно, по порядку, чтобы ничего не пропустить.

Решение.

1. Ширина $x$ см, длина $x + 12$ см: $x(x + 12) = 108$.
2. Пары 108: $1 \cdot 108$, $2 \cdot 54$, $3 \cdot 36$, $4 \cdot 27$, $6 \cdot 18$, $9 \cdot 12$. Разница 12 у пары 6 и 18.
3. $x = 6$, длина 18. Проверка: $6 \cdot 18 = 108$.

Ответ: ширина 6 см, длина 18 см.

Задание 4

Площадь прямоугольника 120 см², длина на 7 см больше ширины. Найди периметр. Варианты: 40, 42, 46, 48 см.

Как думать. Сначала найди стороны перебором, а периметр — потом: $P = 2 \cdot (a + b)$.

Решение.

1. Ширина $x$, длина $x + 7$: $x(x + 7) = 120$.
2. Пары 120: $1 \cdot 120$, $2 \cdot 60$, $3 \cdot 40$, $4 \cdot 30$, $5 \cdot 24$, $6 \cdot 20$, $8 \cdot 15$, $10 \cdot 12$. Разница 7 у пары 8 и 15.
3. Ширина 8 см, длина 15 см. Периметр $P = 2 \cdot (8 + 15) = 2 \cdot 23 = 46$ см.

Ответ: C, 46 см.

Задание 5

Длина прямоугольника на 13 см больше ширины, площадь 140 см². Найди периметр. Варианты: 54, 60, 52, 70 см.

Как думать. Всё как в задании 4: стороны перебором, потом периметр.

Решение.

1. Ширина $x$, длина $x + 13$: $x(x + 13) = 140$.
2. Пары 140: $1 \cdot 140$, $2 \cdot 70$, $4 \cdot 35$, $5 \cdot 28$, $7 \cdot 20$, $10 \cdot 14$. Разница 13 у пары 7 и 20.
3. Ширина 7 см, длина 20 см. $P = 2 \cdot (7 + 20) = 2 \cdot 27 = 54$ см.

Ответ: A, 54 см.