2.3. Основные свойства делимости

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава II: Делимость натуральных чисел. Страницы 78–81.

Чему научишься

• Узнавать, делится ли произведение на число, не перемножая.
• Делить сумму и разность «по кусочкам».
• Понимать, когда сумма точно не делится на число.
• Не попадаться в ловушку «правило наоборот».

Разминка

Не считай до конца — просто подумай, на что делится выражение.

• $120 \cdot 43$ делится на 25 или на 30? На 30: множитель 120 делится на 30 ($120 = 30 \cdot 4$). А на 25 не делятся ни 120, ни 43.
• $45 + 70$ делится на 3 или на 5? На 5: и 45, и 70 делятся на 5. А 70 на 3 не делится.
• $150 - 30$ делится на 10? Да: и 150, и 30 делятся на 10.

💡 Ты только что сам открыл три правила урока: про произведение, про сумму и про разность. Осталось их назвать.

Разбираемся

Фокус с произведением

Делится ли $24 \cdot 19 \cdot 7$ на 8? Посмотри на 24 — это $8 \cdot 3$. Значит, всё произведение — это $8 \cdot (3 \cdot 19 \cdot 7)$, то есть восемь, умноженное на какое-то число.

📌 Если хотя бы один множитель делится на число, то и всё произведение делится на это число.

Это ещё и удобно для счёта: дели тот множитель, который делится, а остальные не трогай. $(35 \cdot 18) : 7 = (35 : 7) \cdot 18 = 5 \cdot 18 = 90$.

Карандаши в пачках

Представь две коробки карандашей. В каждой карандаши лежат пачками по 5 штук. Ссыпь всё вместе — и снова получится ровно сколько-то пачек по 5, ни одного лишнего карандаша.

📌 Если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится на это число.

Поэтому сумму можно делить по частям: $(84 + 28) : 14 = 84 : 14 + 28 : 14 = 6 + 2 = 8$.

С разностью всё так же. $117 = 13 \cdot 9$ и $65 = 13 \cdot 5$, значит, $117 - 65 = 13 \cdot (9 - 5) = 13 \cdot 4$.

📌 Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на число, то и разность делится на это число.

Попробуй сам

Когда сумма точно НЕ делится

Если одно слагаемое делится на число, а другое — нет, сумма не делится. Пример: $70 + 3$. 70 делится на 7, а 3 — нет. И правда, $73 = 7 \cdot 10 + 3$, остаток 3. С разностью то же самое.

Ловушка: правило не работает наоборот

⚠️ Частая ошибка. «$7 + 8 = 15$ делится на 5 — значит, и слагаемые делятся на 5». Нет! Ни 7, ни 8 на 5 не делятся. Правило работает в одну сторону: если все слагаемые делятся, то делится сумма. С произведением так же: $4 \cdot 9 = 36$ делится на 6, хотя ни 4, ни 9 на 6 не делятся.

👨‍👩‍👧 Родителю. Поиграйте в «не считая»: делится ли $36 \cdot 125$ на 9? (Да, 36 делится.) $63 + 28$ на 7? (Да, оба делятся.) $63 + 29$ на 7? (Нет: 63 делится, 29 — нет.) Просите объяснять, каким правилом пользуется ребёнок, а не просто угадывать.

То же самое буквами

Если $a = c \cdot m$, то $a \cdot b = c \cdot (m \cdot b)$ — делится на $c$. Если $a = c \cdot m$ и $b = c \cdot n$, то $a + b = c \cdot (m + n)$ и $a - b = c \cdot (m - n)$ — тоже делятся на $c$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Когда произведение делится на число? Когда хотя бы один множитель делится на него. $15 \cdot 7$ делится на 5, потому что 15 делится на 5.
• Как узнать, делится ли сумма на число? Проверь каждое слагаемое. Все делятся — сумма делится. Одно не делится, а остальные делятся — сумма не делится.
• Когда разность делится на число? Когда и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на него. Например, $90 - 36$ делится на 9.

Решаем упражнения

Делимость произведения

№ 201

Найди частное, деля только один множитель: 1) $(35 \cdot 18) : 7$; 2) $(48 \cdot 13) : 12$; 3) $(99 \cdot 14) : 11$; 4) $(5 \cdot 12 \cdot 70) : 14$; 5) $(7 \cdot 32 \cdot 45) : 15$; 6) $(5 \cdot 21 \cdot 54) : 9$.

Как думать. Ищи множитель, который делится на делитель. Дели только его, остальное просто умножь.

Решение.

1. $35 : 7 = 5$, $5 \cdot 18 = 90$.
2. $48 : 12 = 4$, $4 \cdot 13 = 52$.
3. $99 : 11 = 9$, $9 \cdot 14 = 126$.
4. $70 : 14 = 5$, $5 \cdot 12 \cdot 5 = 300$.
5. $45 : 15 = 3$, $7 \cdot 32 \cdot 3 = 672$.
6. $54 : 9 = 6$, $5 \cdot 21 \cdot 6 = 630$.

Ответ: 1) 90; 2) 52; 3) 126; 4) 300; 5) 672; 6) 630.

№ 202

Раздели: 1) $15a : 3$; $21b : 7$; $42c : 6$; 2) $54ab : 9$; $72xy : 12$; $51ab : 3$; 3) $36mn : 4$; $45xy : 15$; $28xy : 7$.

Как думать. $15a$ — это $15 \cdot a$, то есть произведение. Делим число, а буквы остаются как были.

Решение.

1. $15a : 3 = 5a$; $21b : 7 = 3b$; $42c : 6 = 7c$.
2. $54ab : 9 = 6ab$; $72xy : 12 = 6xy$; $51ab : 3 = 17ab$.
3. $36mn : 4 = 9mn$; $45xy : 15 = 3xy$; $28xy : 7 = 4xy$.

Ответ: 1) $5a$, $3b$, $7c$; 2) $6ab$, $6xy$, $17ab$; 3) $9mn$, $3xy$, $4xy$.

№ 203

Подбери по три натуральных $x$, чтобы: 1) $18x$ делилось на 5; 2) $24x$ — на 7; 3) $41x$ — на 3; 4) $72x$ — на 11.

Как думать. Число перед $x$ на нужный делитель не делится. Значит, делиться должен сам $x$ — бери числа из таблицы умножения на этот делитель.

Решение.

1. 18 на 5 не делится — берём $x = 5, 10, 15$. Например, $18 \cdot 5 = 90$, а 90 делится на 5.
2. $x = 7, 14, 21$.
3. $x = 3, 6, 9$.
4. $x = 11, 22, 33$.

Ответ: например, 1) 5, 10, 15; 2) 7, 14, 21; 3) 3, 6, 9; 4) 11, 22, 33.

№ 204

1) Есть 7 наборов по 12 ложек. Можно ли разложить все ложки по 4 на стол? На сколько столов хватит? 2) В двух букетах 35 и 21 цветок. Можно ли расставить их по 7 в вазы? Сколько ваз нужно?

Как думать. В первой задаче — произведение, во второй — сумма. Подбираем нужное правило.

Решение.

1. Ложек всего $12 \cdot 7$. Множитель 12 делится на 4, значит, делится и произведение: $(12 \cdot 7) : 4 = 3 \cdot 7 = 21$.
2. Цветков всего $35 + 21$. Оба слагаемых делятся на 7, значит, делится и сумма: $(35 + 21) : 7 = 5 + 3 = 8$.

Ответ: 1) можно, на 21 стол; 2) можно, потребуется 8 ваз.

№ 205

Мост длиной 475 м поезд проходит за 45 с, а мимо дежурного на платформе — за 20 с. Найди скорость и длину поезда. Варианты длины: 320, 360, 300, 380 м.

Как думать. Поезд «проехал мост», когда с моста съехал последний вагон. Значит, кроме моста, он проезжает ещё и всю свою длину.

Решение.

1. За 20 с поезд проходит свою длину, за 45 с — мост и свою длину.
2. На мост остаётся $45 - 20 = 25$ с.
3. Скорость: $475 : 25 = 19$ м/с.
4. Длина поезда: $19 \cdot 20 = 380$ м.

Проверка: $(475 + 380) : 19 = 855 : 19 = 45$ с. Верно.

Ответ: скорость 19 м/с; длина поезда 380 м (вариант D).

⚠️ Частая ошибка. Делят $475 : 45$ и получают некрасивую скорость. Забыли, что на мосту поезд проезжает ещё и свою длину.

Делимость суммы

№ 206

Вычисли, деля каждое слагаемое: 1) $(84 + 28) : 14$; 2) $(133 + 76) : 19$; 3) $(192 + 72) : 24$; 4) $(220 + 88) : 44$; 5) $(183 + 305) : 61$; 6) $(300 + 150) : 75$.

Как думать. Дели каждое слагаемое отдельно, потом сложи то, что получилось.

Решение.

1. $84 : 14 + 28 : 14 = 6 + 2 = 8$.
2. $133 : 19 + 76 : 19 = 7 + 4 = 11$.
3. $192 : 24 + 72 : 24 = 8 + 3 = 11$.
4. $220 : 44 + 88 : 44 = 5 + 2 = 7$.
5. $183 : 61 + 305 : 61 = 3 + 5 = 8$.
6. $300 : 75 + 150 : 75 = 4 + 2 = 6$.

Ответ: 1) 8; 2) 11; 3) 11; 4) 7; 5) 8; 6) 6.

№ 207

Раздели: 1) $(18x + 45y) : 9$; 2) $(35m + 42n) : 7$; 3) $(40m + 55n) : 5$; 4) $(195a + 65b) : 13$.

Как думать. Сначала делим первое слагаемое, потом второе. Буквы не трогаем.

Решение.

1. $18x : 9 + 45y : 9 = 2x + 5y$.
2. $35m : 7 + 42n : 7 = 5m + 6n$.
3. $40m : 5 + 55n : 5 = 8m + 11n$.
4. $195a : 13 + 65b : 13 = 15a + 5b$ (проверка: $13 \cdot 15 = 195$, $13 \cdot 5 = 65$).

Ответ: 1) $2x + 5y$; 2) $5m + 6n$; 3) $8m + 11n$; 4) $15a + 5b$.

№ 208

В классе 14 мальчиков и 12 девочек. Можно ли разбиться на 2 равные команды? Сколько в каждой мальчиков и девочек?

Как думать. Если и мальчиков, и девочек можно поделить пополам, то весь класс тоже делится пополам — и команды будут честными.

Решение.

1. В команде $14 : 2 = 7$ мальчиков и $12 : 2 = 6$ девочек.
2. Проверка: всего $14 + 12 = 26$, $26 : 2 = 13$, и $7 + 6 = 13$. Сходится.

Ответ: да, в каждой команде 7 мальчиков и 6 девочек.

№ 209

У Алёши 4 конфеты, у Бори 6, у Вити 6, у Саши конфет нет, зато есть 4 марки. Конфеты поделили поровну на четверых, а Саша за свои конфеты отдал марки. Кто сколько марок получил?

Как думать. Задача на смекалку. Марку получает тот, кто отдал Саше конфету.

Решение.

1. Всего $4 + 6 + 6 = 16$ конфет, каждому по $16 : 4 = 4$.
2. Алёша остался со своими 4 конфетами.
3. Боря и Витя отдали по $6 - 4 = 2$ конфеты, Саша получил $2 + 2 = 4$.
4. 4 марки — 2 Боре и 2 Вите.

Ответ: Боря получил 2 марки, Витя — 2 марки, Алёша — ни одной.

Делимость разности

№ 210

Какие разности делятся на 7? Вычисли их: 1) $147 - 105$; 2) $88 - 63$; 3) $217 - 84$; 4) $137 - 45$; 5) $231 - 49$; 6) $315 - 112$.

Как думать. Проверь уменьшаемое и вычитаемое. Оба делятся на 7 — разность делится. Одно делится, другое нет — не делится. Если оба не делятся, придётся посчитать.

Решение.

1. $147 = 7 \cdot 21$, $105 = 7 \cdot 15$ — делится: $147 - 105 = 42$.
2. $63 = 7 \cdot 9$, а 88 на 7 не делится — разность не делится ($88 - 63 = 25$).
3. $217 = 7 \cdot 31$, $84 = 7 \cdot 12$ — делится: $217 - 84 = 133$ ($133 = 7 \cdot 19$).
4. 137 и 45 на 7 не делятся. Считаем: $137 - 45 = 92$, $92 : 7 = 13$ (ост. 1) — не делится.
5. $231 = 7 \cdot 33$, $49 = 7 \cdot 7$ — делится: $231 - 49 = 182$ ($182 = 7 \cdot 26$).
6. $315 = 7 \cdot 45$, $112 = 7 \cdot 16$ — делится: $315 - 112 = 203$ ($203 = 7 \cdot 29$).

Ответ: на 7 делятся 1) 42; 3) 133; 5) 182; 6) 203.

№ 211

Раздели: 1) $(27x - 9y) : 3$; 2) $(117m - 39n) : 13$; 3) $(136a - 85b) : 17$; 4) $(128c - 72d) : 8$.

Как думать. Как с суммой: делим уменьшаемое, делим вычитаемое, знак «минус» оставляем.

Решение.

1. $27x : 3 - 9y : 3 = 9x - 3y$.
2. $117m : 13 - 39n : 13 = 9m - 3n$.
3. $136a : 17 - 85b : 17 = 8a - 5b$.
4. $128c : 8 - 72d : 8 = 16c - 9d$.

Ответ: 1) $9x - 3y$; 2) $9m - 3n$; 3) $8a - 5b$; 4) $16c - 9d$.

№ 212

Из 27 учеников 15 сели на катер, а остальные — в лодки. Можно ли рассадить их поровну в 3 лодки? Сколько в каждой? Составь выражение.

Как думать. В лодки сели $27 - 15$ человек. И 27, и 15 делятся на 3 — значит, и разность делится.

Решение.

1. Выражение: $(27 - 15) : 3$.
2. $27 : 3 - 15 : 3 = 9 - 5 = 4$.
3. Проверка: $27 - 15 = 12$, $12 : 3 = 4$.

Ответ: можно, по 4 ученика в каждой лодке.

№ 213

Мотоциклист и велосипедист одновременно выехали из одного места в одну сторону. За одно и то же время мотоциклист проехал 93 км, велосипедист — 39 км. Найди время в пути и скорость отставания. Варианты: 12, 18, 17, 14 км/ч.

Как думать. Считаем время и скорости целыми. Тогда время в часах делит и 93, и 39. А скорость отставания — это насколько мотоциклист быстрее.

Решение.

1. Делители 93: 1, 3, 31, 93. Делители 39: 1, 3, 13, 39. Общие: 1 и 3.
2. Если время 1 ч, отставание $93 - 39 = 54$ км/ч — такого варианта нет.
3. Если время 3 ч: мотоциклист $93 : 3 = 31$ км/ч, велосипедист $39 : 3 = 13$ км/ч.
4. Отставание: $31 - 13 = 18$ км/ч. Или сразу через разность: $(93 - 39) : 3 = 54 : 3 = 18$ км/ч.

Ответ: 1) 3 ч; 2) 18 км/ч (вариант B).

Повторение

№ 214

Реши уравнения и под корнями 37, 29, 14, 3, 12, 16 поставь буквы — получится прибор, который показывает стороны горизонта.

Как думать. Решаем каждое уравнение, потом расставляем буквы по порядку чисел.

Решение.

• А: $x + 3 \cdot 25 = 87$; $x + 75 = 87$; $x = 12$.
• К: $555 : 5 - x = 74$; $111 - x = 74$; $x = 37$.
• М: $3 \cdot (35 - x) = 63$; $35 - x = 21$; $x = 14$.
• О: $8 \cdot 17 - x = 107$; $136 - x = 107$; $x = 29$.
• П: $2x + 87 = 93$; $2x = 6$; $x = 3$.
• С: $(120 - x) : 13 = 8$; $120 - x = 104$; $x = 16$.

Ответ: КОМПАС.

Шпаргалка

• $24 \cdot 19 \cdot 7$ делится на 8, потому что 24 делится на 8.
• $(84 + 28) : 14 = 84 : 14 + 28 : 14 = 8$.
• $117 - 65 = 13 \cdot (9 - 5)$ — делится на 13.
• $70 + 3$ не делится на 7: 70 делится, 3 — нет.

Мини-тест