2.4. Признаки делимости натуральных чисел на 2, 5 и 10

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава II: Делимость натуральных чисел. Страницы 82–86.

Чему научишься

• Отличать чётные цифры от нечётных.
• По последней цифре за секунду говорить, делится ли число на 2, на 5 и на 10.
• Понимать, почему всё, что делится на 10, делится и на 2, и на 5.
• Ловить продавца на ошибке с помощью признаков делимости.

Разминка

Сначала вспомним прошлый урок.

• Когда произведение делится на число? Когда хотя бы один множитель делится на него. $14 \cdot 9$ делится на 7, потому что 14 делится на 7.
• Когда сумма делится на число? Когда каждое слагаемое делится. $35 + 21$ делится на 7.
• Когда разность делится на число? Когда делятся и уменьшаемое, и вычитаемое. $56 - 14 = 42$ делится на 7.

А теперь подсмотрим новую тему.

• Выпиши числа от 10 до 30, кратные 2. Чем они оканчиваются? 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 — только на 0, 2, 4, 6, 8.
• А числа от 10 до 40, кратные 5? 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 — на 0 или 5.
• Почему 160, 230, 450 делятся на 10, а 146, 213, 381 — нет? У первых в конце 0, у вторых — нет.
• Какие из 10, 7, 12, 13, 24, 16, 23, 28 кратны 2? 10, 12, 24, 16, 28 — все оканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8.

Разбираемся

Секрет одной цифры

Чтобы узнать, делится ли 7 358 на 2, можно делить столбиком. А можно просто глянуть на последнюю цифру. Правило, которое отвечает про делимость без деления, называют признаком делимости.

Делимость на 2

Цифры 0, 2, 4, 6, 8 — чётные, а 1, 3, 5, 7, 9 — нечётные.

📌 Число делится на 2, если его последняя цифра чётная.

7 358 оканчивается на 8 — делится ($7358 : 2 = 3679$). А 4 271 оканчивается на 1 — не делится. Числа, которые делятся на 2, называют чётными: 6, 14, 28, 310. Остальные — нечётные: 7, 19, 33, 411.

Почему хватает последней цифры

Разрежь число на «десятки» и «единицы»: $7358 = 7350 + 8$. Число 7350 — это сколько-то целых десятков, а десяток делится и на 2, и на 5. Значит, всё решают единицы — последняя цифра. Вот и весь секрет!

Делимость на 5 и на 10

Посчитай пятёрками: 5, 10, 15, 20, 25, 30… На конце всё время то 5, то 0.

📌 Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5. Число делится на 10, если оно оканчивается на 0.

1 235 делится на 5 ($1235 : 5 = 247$), 1 237 — нет. 1 070 делится на 10 ($1070 : 10 = 107$), а 1 075 — нет, хотя на 5 делится.

💡 $10 = 2 \cdot 5$. Поэтому всё, что делится на 10, делится и на 2, и на 5. Например, $80 : 10 = 8$, $80 : 2 = 40$, $80 : 5 = 16$.

⚠️ Частая ошибка. Смотрят на первую цифру: «2 345 чётное, потому что начинается с 2». Нет! Признаки на 2, 5 и 10 работают только по последней цифре. Закрой пальцем все цифры, кроме последней, и решай по ней.

⚠️ Частая ошибка. Забывают, что 0 — чётная цифра. Поэтому 120 и 3 500 делятся на 2.

👨‍👩‍👧 Родителю. Поиграйте в «быстрые ответы»: вы называете число, ребёнок за секунду говорит, на что из 2, 5, 10 оно делится. 3 470 — на все три, 8 125 — только на 5, 9 006 — только на 2.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие цифры называют чётными? 0, 2, 4, 6, 8.
• Какие цифры нечётные? 1, 3, 5, 7, 9.
• Примеры чётных и нечётных чисел? Чётные: 12, 40, 356. Нечётные: 13, 41, 357.
• Какие числа делятся на 2? Те, что оканчиваются чётной цифрой.
• Какие числа делятся на 5? Те, что оканчиваются на 0 или 5.
• Какие числа делятся на 10? Те, что оканчиваются на 0.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 215

Четыре цепочки: делай действия по очереди, начиная с первого числа.

Как думать. Каждый результат — стартовое число для следующего шага. Не торопись и записывай промежуточные ответы.

Решение.

1. $420 : 70 = 6$; $6 + 12 = 18$; $18 \cdot 5 = 90$; $90 - 48 = 42$; $42 : 6 = 7$.
2. $96 - 15 = 81$; $81 : 9 = 9$; $9 \cdot 50 = 450$; $450 + 120 = 570$; $570 - 180 = 390$.
3. $16 \cdot 5 = 80$; $80 + 220 = 300$; $300 : 6 = 50$; $50 - 19 = 31$; $31 \cdot 3 = 93$.
4. $190 + 70 = 260$; $260 : 13 = 20$; $20 \cdot 8 = 160$; $160 - 55 = 105$; $105 : 3 = 35$.

Ответ: 1) 7; 2) 390; 3) 93; 4) 35.

Уровень A

№ 216

Раздели числа 54, 60, 71, 102, 107, 208, 379, 420, 620, 653, 1000, 5632, 10 895, 13 786 на чётные и нечётные.

Как думать. Смотри только на последнюю цифру: 1, 3, 5, 7, 9 — нечётное.

Решение. У 71, 107, 379, 653, 10 895 последние цифры 1, 7, 9, 3, 5 — нечётные. У остальных на конце 4, 0, 2, 8, 6 — чётные.

Ответ:

• нечётные: 71, 107, 379, 653, 10 895;
• чётные: 54, 60, 102, 208, 420, 620, 1000, 5632, 13 786.

№ 217

Из чисел 144, 173, 184, 278, 391, 415, 520, 646, 825, 990, 975, 997 выпиши те, что делятся на 2, на 5, на 10.

Как думать. Для каждого числа смотрим на последнюю цифру и проверяем три признака.

Решение. На 2 — последняя цифра чётная. На 5 — 0 или 5. На 10 — только 0. Числа 173, 391, 997 не делятся ни на одно из них.

Ответ:

1. на 2: 144, 184, 278, 520, 646, 990;
2. на 5: 415, 520, 825, 990, 975;
3. на 10: 520, 990.

№ 218

Поставь цифру вместо звёздочки в 63*, 37*, 49*, чтобы число делилось на 2, на 5, на 10.

Как думать. Звёздочка — последняя цифра. Для 2 подходят 0, 2, 4, 6, 8; для 5 — 0 и 5; для 10 — только 0.

Решение.

Ответ: см. таблицу.

№ 219

Прочитанных страниц в 4 раза больше, чем непрочитанных. Сколько страниц в книге: 142, 144 или 145? Сколько прочитано?

Как думать. Непрочитанные — 1 часть, прочитанные — 4 части, вся книга — 5 частей. Значит, страниц должно делиться на 5.

Решение.

1. Из 142, 144, 145 на 5 делится только 145.
2. Одна часть: $145 : 5 = 29$ страниц — не прочитано.
3. Прочитано: $29 \cdot 4 = 116$ страниц.

Проверка: $116 + 29 = 145$, и $116 : 29 = 4$.

Ответ: в книге 145 страниц, прочитано 116 страниц.

Уровень B

№ 220

Не считая, выбери суммы, которые делятся на 2 и на 5: а) 916 + 328; б) 542 + 914; в) 270 + 565; г) 813 + 216; д) 315 + 650; е) 710 + 311; ж) 450 + 317; з) 990 + 734. Потом найди суммы.

Как думать. Последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых. Сложи их — и сразу видно, чем кончится ответ.

Решение.

Ответ: 1) на 2 делятся а), б), з); 2) на 5 делятся в), д). Значения сумм — в таблице.

№ 221

Выбери произведения, которые делятся на 2, на 5, на 10: а) $7 \cdot 16$; б) $11 \cdot 25$; в) $13 \cdot 10$; г) $13 \cdot 15$; д) $7 \cdot 20 \cdot 3$; е) $19 \cdot 11 \cdot 13$; ж) $2 \cdot 5 \cdot 23$; з) $21 \cdot 3 \cdot 6$. Найди значения.

Как думать. Произведение делится на число, если делится хотя бы один множитель. Есть чётный множитель и множитель, делящийся на 5, — значит, делится на 10.

Решение.

Частные: $112 : 2 = 56$; $275 : 5 = 55$; $130 : 2 = 65$, $130 : 5 = 26$, $130 : 10 = 13$; $195 : 5 = 39$; $420 : 2 = 210$, $420 : 5 = 84$, $420 : 10 = 42$; $230 : 2 = 115$, $230 : 5 = 46$, $230 : 10 = 23$; $378 : 2 = 189$.

Ответ: 1) на 2: а, в, д, ж, з; 2) на 5: б, в, г, д, ж; 3) на 10: в, д, ж.

№ 222

Из цифр 0, 3, 4, 5 (каждая один раз) составь двузначные числа, которые делятся на 2, на 5, на 10.

Как думать. Нулём число не начинается. Сначала подбираем последнюю цифру по признаку, потом первую — из оставшихся.

Решение.

1. На 2: в конце 0 или 4. С нулём: 30, 40, 50. С четвёркой: 34, 54 (04 — не двузначное).
2. На 5: в конце 0 или 5. С нулём: 30, 40, 50. С пятёркой: 35, 45.
3. На 10: в конце 0: 30, 40, 50.

Ответ: 1) 30, 34, 40, 50, 54; 2) 30, 35, 40, 45, 50; 3) 30, 40, 50.

№ 223

Мирас купил 5 одинаковых фломастеров, продавец насчитал 403 тг. Верно ли? Какой должна быть сумма, если продавец насчитал лишнее? Сколько стоит один фломастер?

Как думать. 5 одинаковых фломастеров стоят «цена · 5». Такое число обязано делиться на 5.

Решение.

1. 403 оканчивается на 3 — на 5 не делится. Продавец ошибся.
2. Он насчитал лишнее, значит, верная сумма меньше 403 и делится на 5. Ближайшая — 400 тг.
3. Один фломастер: $400 : 5 = 80$ тг.

Ответ: 1) неверно; 2) 400 тг; 3) 80 тг.

💡 Вот тебе суперсила в магазине: если купил 5 или 10 одинаковых вещей, сумма должна оканчиваться на 0 или 5 (для 10 — только на 0).

№ 224

Велосипед выдерживает 100 кг. Дедушка весит 80 кг, сын 60 кг, внук 30 кг. Как всем троим добраться до дачи на одном велосипеде?

Как думать. Задача на смекалку. Дедушка может ехать только один: $80 + 30 = 110 > 100$. Сын с внуком вместе могут: $60 + 30 = 90$. А кто-то должен пригонять велосипед обратно.

Решение.

1. Сын и внук едут на дачу (90 кг).
2. Внук возвращается один (30 кг).
3. Дедушка едет на дачу один (80 кг).
4. Сын возвращается один (60 кг).
5. Сын и внук едут на дачу (90 кг).

Ответ: за пять поездок: сын с внуком — туда, внук — обратно, дедушка — туда, сын — обратно, сын с внуком — туда.

Уровень C

№ 225

Число $x$ чётное. Какие из чисел $3x$; $x + 1$; $5x$; $7x - 3$; $5x + 4$; $2x + 1$; $9x + 7$; $11x + 6$ чётные, а какие нечётные?

Как думать. Если $x$ чётное, то $3x$, $5x$, $7x$, $9x$, $11x$ тоже чётные — ведь множитель $x$ делится на 2. Дальше работают простые правила: чётное + чётное = чётное; чётное ± нечётное = нечётное.

Решение.

• $3x$ — чётное; $5x$ — чётное.
• $x + 1$ — чётное + 1 = нечётное.
• $7x - 3$ — чётное − 3 = нечётное.
• $5x + 4$ — чётное + 4 = чётное.
• $2x + 1$ — нечётное.
• $9x + 7$ — нечётное.
• $11x + 6$ — чётное.

Проверка на $x = 2$: $6$; $3$; $10$; $11$; $14$; $5$; $25$; $28$. Всё сходится.

Ответ: чётные: $3x$, $5x$, $5x + 4$, $11x + 6$; нечётные: $x + 1$, $7x - 3$, $2x + 1$, $9x + 7$.

№ 226

Груши — 5 частей, сливы — 3 части массы сухофруктов. Может ли груш быть больше, чем слив, на 425 г? На 500 г? Сколько всего килограммов сухофруктов купили?

Как думать. Груш больше на $5 - 3 = 2$ части. Значит, разница — это две одинаковые части, и она должна делиться на 2 (части в целых граммах).

Решение.

1. 425 нечётное — на 2 не делится. Такой разницы быть не может.
2. 500 чётное. Одна часть: $500 : 2 = 250$ г.
3. Всего $5 + 3 = 8$ частей: $250 \cdot 8 = 2000$ г $= 2$ кг.

Проверка: груши $250 \cdot 5 = 1250$ г, сливы $250 \cdot 3 = 750$ г, разница $1250 - 750 = 500$ г.

Ответ: на 425 г — нет, на 500 г — да; купили 2 кг сухофруктов.

№ 227

Во дворе кошки и куры: 8 голов и 100 когтей. У кошки на каждой лапе 5 когтей, у курицы — 4. Сколько кошек и сколько кур?

Как думать. У кошки 4 лапы, у неё $4 \cdot 5 = 20$ когтей. У курицы 2 лапы — $2 \cdot 4 = 8$ когтей. Хитрый приём: сначала притворимся, что все животные — куры.

Решение.

1. Если все 8 — куры, когтей $8 \cdot 8 = 64$.
2. Не хватает $100 - 64 = 36$ когтей.
3. Каждая замена курицы на кошку добавляет $20 - 8 = 12$ когтей.
4. Кошек: $36 : 12 = 3$. Кур: $8 - 3 = 5$.

Проверка: $3 \cdot 20 + 5 \cdot 8 = 60 + 40 = 100$.

Ответ: 3 кошки и 5 кур.

Шпаргалка

• Смотри только на последнюю цифру.
• 0 — чётная цифра.
• $7358 = 7350 + 8$: десятки всегда делятся на 2 и на 5, решают единицы.
• Купил 5 одинаковых вещей — сумма должна оканчиваться на 0 или 5.

Мини-тест