3.10. Аликвотные дроби — Математика 5 класс, Алдамуратова: разбор и ответы
ААқыл · разбор уроков

Разберём любой номер вместе!

3.10. Аликвотные дроби

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 186–188.

Это параграф для дополнительного изучения. Тема не обязательная, но очень полезная: она тренирует сложение дробей и учит хитро делить вещи поровну.

Чему научишься

  • Узнавать аликвотные (единичные) дроби — с числителем 1.
  • Объяснять, почему каждая из них меньше 1 и почему самая большая — $\frac{1}{2}$.
  • Раскладывать любую дробь на сумму единичных дробей с разными знаменателями — как в Древнем Египте.
  • Делить дыни, яблоки и шоколадки поровну, не кроша каждую на мелкие кусочки.
  • Пользоваться полезным равенством $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n \cdot (n + 1)}$.

Разминка

Реши в уме, потом открой ответ.

  • $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = ?$ $\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
  • $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = ?$ $\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
  • Что больше: $\frac{1}{5}$ или $\frac{1}{8}$? Числители равны — больше та, где знаменатель меньше: $\frac{1}{5} > \frac{1}{8}$. Пиццу на 5 человек режут на куски крупнее, чем на 8.

💡 Посмотри на первые два примера с конца: $\frac{3}{4}$ — это $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$. Сегодня мы будем как раз «разбирать» дроби на такие кусочки с числителем 1.

Разбираемся

Дроби-«одиночки»

Аликвотная дробь — это дробь с числителем 1 и натуральным знаменателем больше 1: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{15}$, $\frac{1}{99}$. Она показывает ровно одну долю целого, поэтому её ещё зовут единичной.

🌟 Слово «аликвотная» пришло из латыни: aliquot — «несколько». А древние египтяне считали «настоящими» только такие дроби. Все остальные они записывали суммой единичных дробей с разными знаменателями.

Кто больше, кто меньше

  • Любая единичная дробь правильная: 1 меньше знаменателя. Значит, она меньше 1.
  • Чем больше знаменатель, тем меньше дробь: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4} > \ldots$
  • Самая большая — $\frac{1}{2}$ (знаменатель 1 не разрешён).
  • Самой маленькой нет: какую ни возьми, $\frac{1}{n + 1}$ будет ещё меньше.

Как разложить дробь по-египетски

Способ «разбей числитель». Раскладываем числитель на слагаемые, каждое из которых — делитель знаменателя. Тогда каждая дробь сократится до числителя 1.

$\frac{7}{12} = \frac{4}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$ (4, 2 и 1 — делители 12).

Если подходящих делителей мало, сначала домножим дробь на удобное число: $\frac{2}{7} = \frac{12}{42} = \frac{7}{42} + \frac{3}{42} + \frac{2}{42} = \frac{1}{6} + \frac{1}{14} + \frac{1}{21}$.

🌟 Египетские писцы делали целые таблицы таких разложений. Одна из них есть в папирусе Ахмеса (около 2000 лет до нашей эры). Например, там записано $\frac{2}{13} = \frac{1}{8} + \frac{1}{52} + \frac{1}{104}$. Проверь: $\frac{16}{104} = \frac{13}{104} + \frac{2}{104} + \frac{1}{104}$.

Способ «отними половину». Если дробь больше $\frac{1}{2}$, отнимем $\frac{1}{2}$ и разложим остаток: $\frac{7}{8} = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$.

⚠️ Частая ошибка. $\frac{2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$. Равенство верное, но знаменатели одинаковые — египтяне так не писали. Правильно, например: $\frac{2}{5} = \frac{6}{15} = \frac{5}{15} + \frac{1}{15} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$.

Даже единичную дробь можно разложить

Волшебное правило: $\frac{1}{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n \cdot (n + 1)}$.

Например, $\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$. Проверим: $\frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ ✓.

Отсюда же: $\frac{1}{n \cdot (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$. Например, $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$.

Зачем это нужно: делим поровну

Олжас, Нуртас и Алмас купили 2 дыни. Каждому положено $\frac{2}{3}$ дыни. Резать каждую дыню на три части неудобно. Зато $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$! Режем обе дыни пополам, каждый берёт по половинке, а последнюю половинку делим на троих.

👨‍👩‍👧 Родителю. Эта тема хорошо «живёт» на кухне. Спросите: «Как разделить 3 блина на 4 человек?» ($\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$: два блина пополам, один — на четыре части.) Пусть ребёнок сначала нарисует, потом запишет равенство.

Проверь, как понял

Проверь себя

  • Какие дроби называются аликвотными? С числителем 1 и натуральным знаменателем больше 1, например $\frac{1}{7}$.
  • Они правильные или неправильные? Правильные: числитель 1 всегда меньше знаменателя. Поэтому каждая аликвотная дробь меньше 1.
  • Чему равна наибольшая аликвотная дробь? $\frac{1}{2}$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 560

Выпиши аликвотные дроби из ряда: $\frac{2}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{3}{5}, \frac{7}{10}, \frac{1}{21}, \frac{1}{45}, \frac{5}{8}, \frac{1}{8}$.

Как думать. Смотрим только на числитель: он должен быть равен 1.

Решение. Подходят $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{21}$, $\frac{1}{45}$ и ещё раз $\frac{1}{8}$ (она встречается в ряду дважды).

Ответ: $\frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{21}, \frac{1}{45}, \frac{1}{8}$.

№ 561

Разложи $\frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{7}{8}, \frac{2}{3}, \frac{5}{9}$ на сумму аликвотных дробей с разными знаменателями. Образец: $\frac{7}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$ или $\frac{1}{2} + \frac{1}{12}$.

Как думать. Удобно начинать с $\frac{1}{2}$: отнять её и разложить остаток. Ответов может быть несколько — главное, чтобы равенство было верным, а знаменатели разными.

Решение.

  1. $\frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$;
  2. $\frac{5}{7} = \frac{10}{14} = \frac{7}{14} + \frac{2}{14} + \frac{1}{14} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14}$;
  3. $\frac{7}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$;
  4. $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$;
  5. $\frac{5}{9} = \frac{10}{18} = \frac{9}{18} + \frac{1}{18} = \frac{1}{2} + \frac{1}{18}$.

Ответ: например, $\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$; $\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14}$; $\frac{7}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$; $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$; $\frac{5}{9} = \frac{1}{2} + \frac{1}{18}$.

№ 562

Разложи $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{10}$ на сумму аликвотных дробей с разными знаменателями. Образец: $\frac{1}{8} = \frac{5}{40} = \frac{4}{40} + \frac{1}{40} = \frac{1}{10} + \frac{1}{40}$.

Как думать. Домножим на 3: $\frac{1}{n} = \frac{3}{3n} = \frac{2}{3n} + \frac{1}{3n}$. Знаменатели тут чётные, поэтому $\frac{2}{3n}$ сократится на 2.

Решение.

  1. $\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$;
  2. $\frac{1}{4} = \frac{3}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$;
  3. $\frac{1}{6} = \frac{3}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{1}{9} + \frac{1}{18}$;
  4. $\frac{1}{8} = \frac{3}{24} = \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24}$ (или, как в образце, $\frac{1}{10} + \frac{1}{40}$);
  5. $\frac{1}{10} = \frac{3}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{1}{15} + \frac{1}{30}$.

Ответ: $\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$; $\frac{1}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$; $\frac{1}{6} = \frac{1}{9} + \frac{1}{18}$; $\frac{1}{8} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24}$; $\frac{1}{10} = \frac{1}{15} + \frac{1}{30}$ (возможны и другие верные разложения).

№ 563

1) Трое мальчиков делят 2 дыни поровну, не разрезая каждую на 3 части. 2) Без линейки раздели 3 одинаковых кружева на 5 равных частей, не разрезая каждое на 5 частей.

Как думать. Сначала узнаём, сколько получит каждый, и раскладываем это на единичные дроби. Каждая дробь подскажет, как резать.

Решение.

  1. Каждому $\frac{2}{3}$ дыни. $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$. Режем обе дыни пополам — 4 половинки. Каждый берёт по половинке. Последнюю делим на троих — каждому ещё по $\frac{1}{6}$ дыни.
  2. Каждому $\frac{3}{5}$ кружева. $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = \frac{5}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10}$. Каждое кружево складываем пополам и разрезаем — 6 половинок. Пятеро берут по половинке. Последнюю половинку делим на 5 равных частей — каждому ещё по $\frac{1}{10}$.

Ответ: 1) каждому по $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{6}$ дыни; 2) каждому по $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{10}$ кружева.

Уровень B

№ 564

Прямоугольник из 6 клеток: 3 клетки синие, 2 серые, 1 пустая. Какая часть синяя, какая серая, какая пустая? Запиши 1 как сумму аликвотных дробей.

Как думать. Каждую часть записываем дробью со знаменателем 6 и сокращаем — получатся единичные дроби.

Решение.

  1. Синие: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
  2. Серые: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
  3. Пустая: $\frac{1}{6}$.

Вместе это весь прямоугольник: $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$. Проверка: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ ✓.

Ответ: 1) $\frac{1}{2}$; 2) $\frac{1}{3}$; 3) $\frac{1}{6}$; $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$.

№ 565

Разложи $\frac{5}{12}, \frac{9}{10}, \frac{2}{11}, \frac{8}{15}, \frac{15}{16}$ на сумму аликвотных дробей с разными знаменателями.

Как думать. Пробуй оба способа: «разбей числитель на делители» и «домножь, потом разбей». Для $\frac{15}{16}$ подойдёт «отними половину» несколько раз подряд.

Решение.

  1. $\frac{5}{12} = \frac{4}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{12}$;
  2. $\frac{9}{10} = \frac{27}{30} = \frac{15}{30} + \frac{10}{30} + \frac{2}{30} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$;
  3. $\frac{2}{11} = \frac{12}{66} = \frac{11}{66} + \frac{1}{66} = \frac{1}{6} + \frac{1}{66}$;
  4. $\frac{8}{15} = \frac{16}{30} = \frac{15}{30} + \frac{1}{30} = \frac{1}{2} + \frac{1}{30}$;
  5. $\frac{15}{16} = \frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$.

Ответ: например, $\frac{5}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{12}$; $\frac{9}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$; $\frac{2}{11} = \frac{1}{6} + \frac{1}{66}$; $\frac{8}{15} = \frac{1}{2} + \frac{1}{30}$; $\frac{15}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$.

№ 566

Разложи $\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \frac{1}{11}$ на сумму аликвотных дробей с разными знаменателями.

Как думать. Знаменатели нечётные — приём «домножь на 3» не сработает. Берём правило $\frac{1}{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n \cdot (n + 1)}$. Откуда оно: $\frac{1}{n} = \frac{n + 1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n(n + 1)} + \frac{1}{n(n + 1)}$.

Решение.

  1. $\frac{1}{3} = \frac{4}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$;
  2. $\frac{1}{5} = \frac{6}{30} = \frac{5}{30} + \frac{1}{30} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}$;
  3. $\frac{1}{7} = \frac{8}{56} = \frac{7}{56} + \frac{1}{56} = \frac{1}{8} + \frac{1}{56}$;
  4. $\frac{1}{9} = \frac{10}{90} = \frac{9}{90} + \frac{1}{90} = \frac{1}{10} + \frac{1}{90}$;
  5. $\frac{1}{11} = \frac{12}{132} = \frac{11}{132} + \frac{1}{132} = \frac{1}{12} + \frac{1}{132}$.

Ответ: $\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$; $\frac{1}{5} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}$; $\frac{1}{7} = \frac{1}{8} + \frac{1}{56}$; $\frac{1}{9} = \frac{1}{10} + \frac{1}{90}$; $\frac{1}{11} = \frac{1}{12} + \frac{1}{132}$.

№ 567

6 мальчиков делят 5 яблок поровну, не разрезая каждое яблоко на 6 долей. Как это сделать?

Как думать. Каждому достаётся $\frac{5}{6}$ яблока. Разложим эту дробь на единичные — и станет ясно, как резать.

Решение.

  1. $\frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$.
  2. Три яблока режем пополам — 6 половинок, каждому по одной.
  3. Два яблока режем на 3 части — 6 третей, каждому по одной.

Проверка: разрезали $3 + 2 = 5$ яблок ✓.

Ответ: каждый получает $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$ яблока.

№ 568

Раздели 7 плиток шоколада между 10 мальчиками так, чтобы ни одну плитку не ломать больше чем на 5 частей.

Как думать. Каждому $\frac{7}{10}$ плитки. Ищем разложение, где знаменатели не больше 5.

Решение.

  1. $\frac{7}{10} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5}$.
  2. Пять плиток ломаем пополам — 10 половинок, каждому по одной.
  3. Две плитки ломаем на 5 частей — 10 пятых, каждому по одной.

Ни одна плитка не сломана больше чем на 5 частей ✓.

Ответ: каждый получает $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{5}$ плитки.

Уровень C

№ 569

Запиши как разность аликвотных дробей: $\frac{1}{4 \cdot 5}$, $\frac{1}{5 \cdot 6}$, $\frac{1}{6 \cdot 7}$, $\frac{1}{8 \cdot 9}$, $\frac{1}{9 \cdot 10}$. Образец: $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$.

Как думать. Множители в знаменателе отличаются на 1, а значит, $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{(n + 1) - n}{n(n + 1)} = \frac{1}{n(n + 1)}$.

Решение.

  1. $\frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$, так как $\frac{5 - 4}{20} = \frac{1}{20}$;
  2. $\frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$;
  3. $\frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}$;
  4. $\frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$;
  5. $\frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{4} - \frac{1}{5}$; 2) $\frac{1}{5} - \frac{1}{6}$; 3) $\frac{1}{6} - \frac{1}{7}$; 4) $\frac{1}{8} - \frac{1}{9}$; 5) $\frac{1}{9} - \frac{1}{10}$.

№ 570

Найди сумму $\frac{1}{15} + \frac{1}{14 \cdot 15} + \frac{1}{13 \cdot 14} + \frac{1}{12 \cdot 13} + \frac{1}{11 \cdot 12}$.

Как думать. Задача на смекалку. Не надо искать огромный общий знаменатель. Заменим каждую дробь разностью, как в № 569, — и почти всё сократится.

Решение.

  1. Заменяем: $\frac{1}{15} + \left(\frac{1}{14} - \frac{1}{15}\right) + \left(\frac{1}{13} - \frac{1}{14}\right) + \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{12}\right)$.
  2. $\frac{1}{15}$ и $-\frac{1}{15}$ взаимно уничтожаются, так же $\frac{1}{14}$, $\frac{1}{13}$, $\frac{1}{12}$.
  3. Остаётся только $\frac{1}{11}$.

Ответ: $\frac{1}{11}$.

№ 571

Если на каждый тополь сядет по 3 вороны, один тополь останется пустым. Если по 2 — одного тополя не хватит. Сколько ворон и сколько тополей?

Как думать. «Одного тополя не хватит» при посадке по 2 — значит, двум воронам не досталось места. Запишем число ворон двумя способами.

Решение.

  1. Пусть тополей $n$. По 3 вороны заняты $n - 1$ тополей: ворон $3 \cdot (n - 1)$.
  2. По 2 вороны нужно $n + 1$ тополей: ворон $2 \cdot (n + 1)$.
  3. $3n - 3 = 2n + 2$, отсюда $n = 5$. Ворон $3 \cdot 4 = 12$.

Проверка: 12 ворон по 3 занимают 4 тополя из 5 — один пустой. По 2 им нужно 6 тополей, а есть 5 — одного не хватает ✓.

Ответ: 12 ворон, 5 тополей.

№ 572

Купец завещал старшему сыну $\frac{1}{2}$ богатства, младшему — $\frac{1}{3}$, дочери — $\frac{1}{6}$. Смогут ли дети поделить наследство точно по завещанию?

Как думать. Сложим все доли. Если выйдет ровно 1, наследство делится без остатка и без нехватки.

Решение. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Доли дают ровно всё наследство: ничего не остаётся, и всем хватает.

Ответ: да, смогут, потому что $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$.

Шпаргалка

  • Аликвотная (единичная) дробь — числитель 1, знаменатель больше 1.
  • Любая аликвотная дробь меньше 1; наибольшая — $\frac{1}{2}$.
  • Раскладываем так: числитель — на делители знаменателя; не выходит — сначала домножаем дробь.
  • Делить поровну удобно по разложению: $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ — сначала всем по половинке.

Мини-тест

← 3.9. Сложение и вычитание смешанных чисел · Исторические сведения →