3.9. Сложение и вычитание смешанных чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 178–185.

Чему научишься

• Складывать и вычитать смешанные числа: целые — к целым, дроби — к дробям.
• Приводить дробные части к общему знаменателю.
• «Занимать» единицу, когда дробь уменьшаемого слишком мала.
• Вычитать смешанное число из целого: $9 - 6\frac{3}{10}$.
• Наводить порядок в ответе: $8\frac{9}{7}$ превращать в $9\frac{2}{7}$.

Разминка

Реши в уме, потом открой ответ.

• $2\frac{3}{5} + 4\frac{1}{5} = ?$ Целые: $2 + 4 = 6$, пятые: $3 + 1 = 4$. Получаем $6\frac{4}{5}$.
• $3\frac{1}{2} + 5\frac{3}{4} = ?$ $8 + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = 8 + \frac{5}{4} = 8 + 1\frac{1}{4} = 9\frac{1}{4}$.
• $7\frac{5}{8} - 4\frac{1}{3} = ?$ Целые: 3. Дроби: $\frac{15}{24} - \frac{8}{24} = \frac{7}{24}$. Ответ $3\frac{7}{24}$.
• $9 - 2\frac{5}{6} = ?$ $9 = 8\frac{6}{6}$, тогда $8\frac{6}{6} - 2\frac{5}{6} = 6\frac{1}{6}$.

💡 Смешанное число — это сумма целого и дроби: $2\frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5}$. Поэтому целые считаем с целыми, а дроби с дробями. Вот и вся тема!

Разбираемся

Целые отдельно, дроби отдельно

Представь: у тебя 1 целая шоколадка и ещё $\frac{3}{5}$ шоколадки. Друг дал 2 целые и $\frac{1}{5}$. Сколько стало? Целых $1 + 2 = 3$, кусочков-пятых $3 + 1 = 4$.

С вычитанием так же: $8\frac{7}{9} - 5\frac{2}{9} = 3\frac{7 - 2}{9} = 3\frac{5}{9}$.

Дробь «переполнилась»

$5\frac{4}{7} + 3\frac{5}{7} = 8\frac{9}{7}$. Но $\frac{9}{7}$ — это больше целого: $\frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$. Лишнюю единицу переносим к целым: $8\frac{9}{7} = 9\frac{2}{7}$.

⚠️ Частая ошибка. Оставить ответ $8\frac{9}{7}$. У смешанного числа дробная часть всегда правильная — числитель меньше знаменателя. Проверяй это в конце каждого примера.

Разные знаменатели

Сначала приводим дробные части к общему знаменателю. Целые при этом не трогаем.

$4\frac{5}{6} + 2\frac{3}{8}$: НОК(6, 8) = 24, множители 4 и 3. Получаем $4\frac{20}{24} + 2\frac{9}{24} = 6\frac{29}{24} = 7\frac{5}{24}$.

$6\frac{7}{8} - 4\frac{2}{3} = 6\frac{21}{24} - 4\frac{16}{24} = 2\frac{5}{24}$.

Когда приходится «разменять» целое

$8\frac{1}{5} - 3\frac{4}{9}$. Общий знаменатель 45: $8\frac{9}{45} - 3\frac{20}{45}$. Ой: из $\frac{9}{45}$ нельзя отнять $\frac{20}{45}$!

Берём одну целую и режем её на 45 частей: $8\frac{9}{45} = 7 + \frac{45}{45} + \frac{9}{45} = 7\frac{54}{45}$. Теперь всё получается: $7\frac{54}{45} - 3\frac{20}{45} = 4\frac{34}{45}$.

💡 Это как вычитание в столбик, когда «занимаешь десяток». Только здесь занимаем одну целую и превращаем её в $\frac{45}{45}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Если ребёнок боится «займа», попросите нарисовать: 8 целых пирогов и $\frac{1}{5}$ пирога, а отдать нужно 3 пирога и $\frac{4}{9}$. От маленького кусочка $\frac{4}{9}$ не отрежешь — значит, придётся разрезать один целый пирог. Картинка снимает страх перед этим шагом.

Целое число минус смешанное

Записываем целое как смешанное с тем же знаменателем, «заняв» единицу: $9 - 6\frac{3}{10} = 8\frac{10}{10} - 6\frac{3}{10} = 2\frac{7}{10}$.

А если целое прибавляем или вычитаем — работаем только с целыми частями: $5 + 7\frac{3}{8} = 12\frac{3}{8}$, $5\frac{2}{7} - 3 = 2\frac{2}{7}$.

⚠️ Частая ошибка. $9 - 6\frac{3}{10} = 3\frac{3}{10}$ — вычли целые и «приписали» дробь. Проверь сложением: $6\frac{3}{10} + 3\frac{3}{10} = 9\frac{6}{10}$, а не 9. Значит, ошибка.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как сложить смешанные числа с одинаковыми знаменателями? Отдельно целые, отдельно дроби. Если дробь вышла неправильной, выделить из неё целую часть: $7\frac{3}{8} + 4\frac{1}{8} = 11\frac{4}{8} = 11\frac{1}{2}$.
• А с разными знаменателями? Сначала привести дробные части к наименьшему общему знаменателю: $3\frac{5}{12} + 6\frac{2}{15} = 3\frac{25}{60} + 6\frac{8}{60} = 9\frac{33}{60} = 9\frac{11}{20}$.
• Как найти разность смешанных чисел с разными знаменателями? Привести дроби к общему знаменателю, вычесть целые и дроби. Не хватает — занять единицу: $7\frac{3}{4} - 2\frac{1}{5} = 7\frac{15}{20} - 2\frac{4}{20} = 5\frac{11}{20}$.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 532

Две цепочки действий, в середине каждой — число 1. Первая: $a \xrightarrow{+\frac{5}{8}} \square \xrightarrow{+\frac{1}{4}} 1 \xrightarrow{-\frac{2}{5}} \square \xrightarrow{+\frac{1}{5}} \square \xrightarrow{-\frac{3}{10}} b$. Вторая: $c \xrightarrow{+\frac{1}{9}} \square \xrightarrow{+\frac{2}{3}} 1 \xrightarrow{-\frac{1}{2}} \square \xrightarrow{+\frac{1}{10}} \square \xrightarrow{-\frac{2}{5}} d$. Найди буквы.

Как думать. Известно среднее звено — 1. Влево идём обратными действиями (вместо «плюс» — «минус»), вправо — как написано.

Решение. Первая цепочка:

• влево: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$; $\frac{3}{4} - \frac{5}{8} = \frac{6}{8} - \frac{5}{8} = \frac{1}{8}$, значит $a = \frac{1}{8}$;
• вправо: $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$; $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$; $\frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, значит $b = \frac{1}{2}$.

Вторая цепочка:

• влево: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$; $\frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$, значит $c = \frac{2}{9}$;
• вправо: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$; $\frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$; $\frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$, значит $d = \frac{1}{5}$.

Ответ: $a = \frac{1}{8}$, $b = \frac{1}{2}$, $c = \frac{2}{9}$, $d = \frac{1}{5}$.

№ 533

Посчитай устно: $3\frac{5}{6} - 1\frac{1}{6}$; $8\frac{7}{9} - 5\frac{2}{9}$; $10\frac{9}{11} - 4\frac{2}{11}$; $7\frac{2}{3} - \frac{2}{3}$; $4\frac{5}{8} - 3$; $10\frac{1}{9} - 4$; $6\frac{5}{9} - \frac{5}{9}$; $3 - 1\frac{3}{4}$.

Как думать. Знаменатели одинаковые — целые вычитаем из целых, дроби из дробей. Последний пример — с «займом».

Решение.

1. $3\frac{5}{6} - 1\frac{1}{6} = 2\frac{4}{6} = 2\frac{2}{3}$;
2. $8\frac{7}{9} - 5\frac{2}{9} = 3\frac{5}{9}$;
3. $10\frac{9}{11} - 4\frac{2}{11} = 6\frac{7}{11}$;
4. $7\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 7$;
5. $4\frac{5}{8} - 3 = 1\frac{5}{8}$;
6. $10\frac{1}{9} - 4 = 6\frac{1}{9}$;
7. $6\frac{5}{9} - \frac{5}{9} = 6$;
8. $3 - 1\frac{3}{4} = 2\frac{4}{4} - 1\frac{3}{4} = 1\frac{1}{4}$.

Ответ: 1) $2\frac{2}{3}$; 2) $3\frac{5}{9}$; 3) $6\frac{7}{11}$; 4) 7; 5) $1\frac{5}{8}$; 6) $6\frac{1}{9}$; 7) 6; 8) $1\frac{1}{4}$.

Уровень A

№ 534

Сложи: $3\frac{1}{2} + 1\frac{5}{6}$; $4\frac{2}{5} + 9\frac{3}{7}$; $8\frac{3}{4} + 2\frac{7}{8}$; $2\frac{3}{8} + 1\frac{5}{6}$; $6\frac{1}{5} + 1\frac{2}{3}$; $4\frac{3}{8} + 8\frac{1}{2}$.

Как думать. Приводим дробные части к общему знаменателю, складываем, а потом смотрим: не «переполнилась» ли дробь?

Решение.

1. $3\frac{3}{6} + 1\frac{5}{6} = 4\frac{8}{6} = 5\frac{2}{6} = 5\frac{1}{3}$;
2. общий знаменатель 35: $4\frac{14}{35} + 9\frac{15}{35} = 13\frac{29}{35}$;
3. $8\frac{6}{8} + 2\frac{7}{8} = 10\frac{13}{8} = 11\frac{5}{8}$;
4. общий знаменатель 24: $2\frac{9}{24} + 1\frac{20}{24} = 3\frac{29}{24} = 4\frac{5}{24}$;
5. общий знаменатель 15: $6\frac{3}{15} + 1\frac{10}{15} = 7\frac{13}{15}$;
6. $4\frac{3}{8} + 8\frac{4}{8} = 12\frac{7}{8}$.

Ответ: 1) $5\frac{1}{3}$; 2) $13\frac{29}{35}$; 3) $11\frac{5}{8}$; 4) $4\frac{5}{24}$; 5) $7\frac{13}{15}$; 6) $12\frac{7}{8}$.

№ 535

Вычти: $3\frac{4}{5} - 2\frac{3}{5}$; $7\frac{5}{6} - 4\frac{2}{3}$; $4\frac{5}{6} - 2\frac{5}{12}$; $10\frac{4}{9} - 8\frac{5}{18}$; $9\frac{1}{2} - 2\frac{1}{4}$; $6\frac{3}{4} - 2\frac{2}{3}$; $11\frac{3}{7} - 5\frac{1}{3}$; $8\frac{3}{5} - 6\frac{3}{10}$.

Как думать. Здесь «заём» не понадобится: дробь уменьшаемого везде не меньше дроби вычитаемого.

Решение.

1. $3\frac{4}{5} - 2\frac{3}{5} = 1\frac{1}{5}$;
2. $7\frac{5}{6} - 4\frac{4}{6} = 3\frac{1}{6}$;
3. $4\frac{10}{12} - 2\frac{5}{12} = 2\frac{5}{12}$;
4. $10\frac{8}{18} - 8\frac{5}{18} = 2\frac{3}{18} = 2\frac{1}{6}$;
5. $9\frac{2}{4} - 2\frac{1}{4} = 7\frac{1}{4}$;
6. $6\frac{9}{12} - 2\frac{8}{12} = 4\frac{1}{12}$;
7. $11\frac{9}{21} - 5\frac{7}{21} = 6\frac{2}{21}$;
8. $8\frac{6}{10} - 6\frac{3}{10} = 2\frac{3}{10}$.

Ответ: 1) $1\frac{1}{5}$; 2) $3\frac{1}{6}$; 3) $2\frac{5}{12}$; 4) $2\frac{1}{6}$; 5) $7\frac{1}{4}$; 6) $4\frac{1}{12}$; 7) $6\frac{2}{21}$; 8) $2\frac{3}{10}$.

№ 536

Вычисли: $\frac{1}{2} + 6\frac{3}{7}$; $6 + 4\frac{9}{11}$; $\frac{2}{9} + 1\frac{8}{15}$; $\frac{1}{14} + 9\frac{3}{7}$; $7\frac{1}{12} + 6$; $\frac{5}{7} + 3\frac{1}{4}$.

Как думать. У дроби целая часть — 0. Целое число складываем только с целой частью.

Решение.

1. $\frac{7}{14} + 6\frac{6}{14} = 6\frac{13}{14}$;
2. $6 + 4\frac{9}{11} = 10\frac{9}{11}$;
3. общий знаменатель 45: $\frac{10}{45} + 1\frac{24}{45} = 1\frac{34}{45}$;
4. $\frac{1}{14} + 9\frac{6}{14} = 9\frac{7}{14} = 9\frac{1}{2}$;
5. $7\frac{1}{12} + 6 = 13\frac{1}{12}$;
6. общий знаменатель 28: $\frac{20}{28} + 3\frac{7}{28} = 3\frac{27}{28}$.

Ответ: 1) $6\frac{13}{14}$; 2) $10\frac{9}{11}$; 3) $1\frac{34}{45}$; 4) $9\frac{1}{2}$; 5) $13\frac{1}{12}$; 6) $3\frac{27}{28}$.

№ 537

Вычисли: $7 - 5\frac{1}{4}$; $6 - 5\frac{2}{3}$; $12 - 9\frac{3}{8}$; $11 - 6\frac{2}{3}$; $8 - 3\frac{2}{7}$; $5\frac{6}{13} - 2$; $9\frac{3}{10} - 4$; $2\frac{3}{14} - 1$.

Как думать. Вычитаем из целого — занимаем единицу: $7 = 6\frac{4}{4}$. Вычитаем целое — уменьшаем только целую часть.

Решение.

1. $7 - 5\frac{1}{4} = 6\frac{4}{4} - 5\frac{1}{4} = 1\frac{3}{4}$;
2. $6 - 5\frac{2}{3} = 5\frac{3}{3} - 5\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$;
3. $12 - 9\frac{3}{8} = 11\frac{8}{8} - 9\frac{3}{8} = 2\frac{5}{8}$;
4. $11 - 6\frac{2}{3} = 10\frac{3}{3} - 6\frac{2}{3} = 4\frac{1}{3}$;
5. $8 - 3\frac{2}{7} = 7\frac{7}{7} - 3\frac{2}{7} = 4\frac{5}{7}$;
6. $5\frac{6}{13} - 2 = 3\frac{6}{13}$;
7. $9\frac{3}{10} - 4 = 5\frac{3}{10}$;
8. $2\frac{3}{14} - 1 = 1\frac{3}{14}$.

Ответ: 1) $1\frac{3}{4}$; 2) $\frac{1}{3}$; 3) $2\frac{5}{8}$; 4) $4\frac{1}{3}$; 5) $4\frac{5}{7}$; 6) $3\frac{6}{13}$; 7) $5\frac{3}{10}$; 8) $1\frac{3}{14}$.

№ 538

Грузовик вёз в кузове $4\frac{2}{5}$ т угля, а в прицепе — $3\frac{1}{4}$ т. Сколько угля всего?

Решение. $4\frac{2}{5} + 3\frac{1}{4} = 4\frac{8}{20} + 3\frac{5}{20} = 7\frac{13}{20}$ т.

Ответ: $7\frac{13}{20}$ т.

№ 539

Арбуз с дыней весят $11\frac{7}{10}$ кг, дыня — $3\frac{1}{5}$ кг. На сколько арбуз тяжелее дыни? Варианты: A) $5\frac{3}{10}$; B) $5\frac{7}{10}$; C) $6\frac{4}{5}$; D) $4\frac{8}{25}$ кг.

Как думать. Ловушка! $11\frac{7}{10}$ — это арбуз вместе с дыней. Сначала найдём арбуз, потом разницу.

Решение.

1. Арбуз: $11\frac{7}{10} - 3\frac{1}{5} = 11\frac{7}{10} - 3\frac{2}{10} = 8\frac{5}{10} = 8\frac{1}{2}$ кг.
2. Разница: $8\frac{1}{2} - 3\frac{1}{5} = 8\frac{5}{10} - 3\frac{2}{10} = 5\frac{3}{10}$ кг.

Ответ: на $5\frac{3}{10}$ кг — вариант A.

№ 540

Для статуи взяли $37\frac{4}{5}$ кг меди, $4\frac{19}{20}$ кг цинка и $2\frac{1}{4}$ кг олова. Какова масса сплава? Варианты: A) $40\frac{1}{2}$; B) 40; C) 41; D) 45 кг.

Решение. Общий знаменатель 20: $37\frac{16}{20} + 4\frac{19}{20} + 2\frac{5}{20} = 43\frac{40}{20} = 43 + 2 = 45$ кг.

Ответ: 45 кг — вариант D.

Уровень B

№ 541

Запиши 3, 5, 8 и 9 как сумму двух смешанных чисел со знаменателем 7. Образец: $7 = 2\frac{3}{4} + 4\frac{1}{4}$.

Как думать. Дробные части вместе должны дать ровно одну целую: например, $\frac{3}{7} + \frac{4}{7} = 1$. Тогда целые части в сумме — на 1 меньше нужного числа.

Решение. Ответов много, вот примеры:

1. $3 = 1\frac{3}{7} + 1\frac{4}{7}$ (целые $1 + 1 = 2$, и ещё одна целая из дробей);
2. $5 = 2\frac{2}{7} + 2\frac{5}{7}$;
3. $8 = 3\frac{1}{7} + 4\frac{6}{7}$;
4. $9 = 4\frac{3}{7} + 4\frac{4}{7}$.

Ответ: например, $3 = 1\frac{3}{7} + 1\frac{4}{7}$; $5 = 2\frac{2}{7} + 2\frac{5}{7}$; $8 = 3\frac{1}{7} + 4\frac{6}{7}$; $9 = 4\frac{3}{7} + 4\frac{4}{7}$.

№ 542

Сложи: $3\frac{1}{15} + 2\frac{7}{25}$; $2\frac{7}{10} + 9\frac{2}{15}$; $9\frac{5}{18} + 6\frac{1}{12}$; $1\frac{7}{12} + 3\frac{5}{9}$; $5\frac{5}{24} + 2\frac{1}{6}$; $3\frac{1}{12} + 4\frac{2}{15}$.

Как думать. Знаменатели посложнее — ищи НОК аккуратно. Например, НОК(15, 25) = 75.

Решение.

1. общий знаменатель 75: $3\frac{5}{75} + 2\frac{21}{75} = 5\frac{26}{75}$;
2. 30: $2\frac{21}{30} + 9\frac{4}{30} = 11\frac{25}{30} = 11\frac{5}{6}$;
3. 36: $9\frac{10}{36} + 6\frac{3}{36} = 15\frac{13}{36}$;
4. 36: $1\frac{21}{36} + 3\frac{20}{36} = 4\frac{41}{36} = 5\frac{5}{36}$;
5. 24: $5\frac{5}{24} + 2\frac{4}{24} = 7\frac{9}{24} = 7\frac{3}{8}$;
6. 60: $3\frac{5}{60} + 4\frac{8}{60} = 7\frac{13}{60}$.

Ответ: 1) $5\frac{26}{75}$; 2) $11\frac{5}{6}$; 3) $15\frac{13}{36}$; 4) $5\frac{5}{36}$; 5) $7\frac{3}{8}$; 6) $7\frac{13}{60}$.

№ 543

Вычти: $12\frac{5}{9} - 7\frac{1}{6}$; $7\frac{1}{4} - 3\frac{7}{15}$; $9\frac{5}{12} - 6\frac{2}{7}$; $4\frac{1}{6} - 2\frac{4}{21}$; $5\frac{9}{25} - 3\frac{8}{15}$; $4\frac{3}{35} - 2\frac{5}{14}$; $10\frac{3}{8} - 4\frac{2}{3}$; $7\frac{1}{16} - 3\frac{5}{24}$.

Как думать. Приведя к общему знаменателю, сравни дробные части. Если у уменьшаемого дробь меньше — занимай единицу.

Решение.

1. 18: $12\frac{10}{18} - 7\frac{3}{18} = 5\frac{7}{18}$;
2. 60: $7\frac{15}{60} - 3\frac{28}{60} = 6\frac{75}{60} - 3\frac{28}{60} = 3\frac{47}{60}$;
3. 84: $9\frac{35}{84} - 6\frac{24}{84} = 3\frac{11}{84}$;
4. 42: $4\frac{7}{42} - 2\frac{8}{42} = 3\frac{49}{42} - 2\frac{8}{42} = 1\frac{41}{42}$;
5. 75: $5\frac{27}{75} - 3\frac{40}{75} = 4\frac{102}{75} - 3\frac{40}{75} = 1\frac{62}{75}$;
6. 70: $4\frac{6}{70} - 2\frac{25}{70} = 3\frac{76}{70} - 2\frac{25}{70} = 1\frac{51}{70}$;
7. 24: $10\frac{9}{24} - 4\frac{16}{24} = 9\frac{33}{24} - 4\frac{16}{24} = 5\frac{17}{24}$;
8. 48: $7\frac{3}{48} - 3\frac{10}{48} = 6\frac{51}{48} - 3\frac{10}{48} = 3\frac{41}{48}$.

Ответ: 1) $5\frac{7}{18}$; 2) $3\frac{47}{60}$; 3) $3\frac{11}{84}$; 4) $1\frac{41}{42}$; 5) $1\frac{62}{75}$; 6) $1\frac{51}{70}$; 7) $5\frac{17}{24}$; 8) $3\frac{41}{48}$.

№ 544

Посчитай удобно: 1) $3\frac{1}{8} + 7\frac{5}{12} + 5\frac{3}{8} + \frac{1}{12}$; 2) $10\frac{2}{5} + 15\frac{5}{6} + 3\frac{3}{5} + 4\frac{1}{6}$; 3) $9\frac{7}{8} + 5\frac{2}{7} + 1\frac{1}{8} + 4\frac{5}{7}$; 4) $15\frac{7}{18} + 11\frac{8}{9} + \frac{4}{9} + \frac{5}{18}$.

Как думать. Собери в пары числа с одинаковыми знаменателями. Их дроби часто дают целое — и ответ выходит круглым!

Решение.

1. $\left(3\frac{1}{8} + 5\frac{3}{8}\right) + \left(7\frac{5}{12} + \frac{1}{12}\right) = 8\frac{4}{8} + 7\frac{6}{12} = 8\frac{1}{2} + 7\frac{1}{2} = 16$;
2. $\left(10\frac{2}{5} + 3\frac{3}{5}\right) + \left(15\frac{5}{6} + 4\frac{1}{6}\right) = 14 + 20 = 34$;
3. $\left(9\frac{7}{8} + 1\frac{1}{8}\right) + \left(5\frac{2}{7} + 4\frac{5}{7}\right) = 11 + 10 = 21$;
4. $\left(15\frac{7}{18} + \frac{5}{18}\right) + \left(11\frac{8}{9} + \frac{4}{9}\right) = 15\frac{12}{18} + 11\frac{12}{9} = 15\frac{2}{3} + 12\frac{1}{3} = 28$.

Ответ: 1) 16; 2) 34; 3) 21; 4) 28.

№ 545

Найди значения: 1) $8\frac{7}{10} - \left(7\frac{4}{5} - a\right)$ при $a = 6\frac{1}{2}$; 2) $14\frac{1}{6} - \left(8\frac{9}{10} - b\right)$ при $b = 5\frac{2}{3}$; 3) $a - \left(9\frac{3}{50} - 5\frac{7}{25}\right)$ при $a = 7\frac{1}{2}$; 4) $\left(20\frac{1}{5} - b\right) - 6\frac{1}{3}$ при $b = 11\frac{2}{15}$.

Как думать. Подставляем букву, считаем скобку, потом второе действие. Внимательно с «займом»!

Решение.

1. Скобка: $7\frac{8}{10} - 6\frac{5}{10} = 1\frac{3}{10}$. Затем $8\frac{7}{10} - 1\frac{3}{10} = 7\frac{4}{10} = 7\frac{2}{5}$.
2. Скобка: $8\frac{27}{30} - 5\frac{20}{30} = 3\frac{7}{30}$. Затем $14\frac{5}{30} - 3\frac{7}{30} = 13\frac{35}{30} - 3\frac{7}{30} = 10\frac{28}{30} = 10\frac{14}{15}$.
3. Скобка: $9\frac{3}{50} - 5\frac{14}{50} = 8\frac{53}{50} - 5\frac{14}{50} = 3\frac{39}{50}$. Затем $7\frac{25}{50} - 3\frac{39}{50} = 6\frac{75}{50} - 3\frac{39}{50} = 3\frac{36}{50} = 3\frac{18}{25}$.
4. Скобка: $20\frac{3}{15} - 11\frac{2}{15} = 9\frac{1}{15}$. Затем $9\frac{1}{15} - 6\frac{5}{15} = 8\frac{16}{15} - 6\frac{5}{15} = 2\frac{11}{15}$.

Ответ: 1) $7\frac{2}{5}$; 2) $10\frac{14}{15}$; 3) $3\frac{18}{25}$; 4) $2\frac{11}{15}$.

№ 546

Найди корни: 1) $x + \frac{2}{x} = 7\frac{2}{7}$; 2) $y - \frac{y}{7} = 5\frac{1}{7}$; 3) $y - \frac{1}{y} = 8\frac{8}{9}$; 4) $y + \frac{3}{y} = 10\frac{3}{10}$.

Как думать. Сравни левую часть с записью справа. $7\frac{2}{7} = 7 + \frac{2}{7}$ — очень похоже на $x + \frac{2}{x}$ при $x = 7$. Подбираем и обязательно проверяем.

Решение.

1. $x = 7$: $7 + \frac{2}{7} = 7\frac{2}{7}$ ✓.
2. Левая часть: $\frac{7y}{7} - \frac{y}{7} = \frac{6y}{7}$. Справа $5\frac{1}{7} = \frac{36}{7}$. Значит $6y = 36$, $y = 6$. Проверка: $6 - \frac{6}{7} = 5\frac{1}{7}$ ✓.
3. $8\frac{8}{9} = 9 - \frac{1}{9}$, поэтому $y = 9$. Проверка: $9 - \frac{1}{9} = 8\frac{8}{9}$ ✓.
4. $y = 10$: $10 + \frac{3}{10} = 10\frac{3}{10}$ ✓.

🌟 Для любознательных: в 1) подходит ещё $x = \frac{2}{7}$, ведь $2 : \frac{2}{7} = 7$, и $\frac{2}{7} + 7 = 7\frac{2}{7}$. Так же в 4) подходит $y = \frac{3}{10}$. Делить на дробь ты научишься позже.

Ответ: 1) 7 (и ещё $\frac{2}{7}$); 2) 6; 3) 9; 4) 10 (и ещё $\frac{3}{10}$).

№ 547

Придумай задачи к выражениям: 1) $6\frac{1}{12} - 4\frac{2}{3}$; 2) $7\frac{1}{8} - 3\frac{3}{4}$; 3) $9 - 7\frac{7}{8}$.

Как думать. Вычитание — это «было — убрали — сколько осталось?» Подойдёт мука, лента, дорога — что угодно.

Решение. Примеры (можно придумать свои):

1. В пакете было $6\frac{1}{12}$ кг муки, на баурсаки ушло $4\frac{2}{3}$ кг. Сколько осталось? $6\frac{1}{12} - 4\frac{8}{12} = 5\frac{13}{12} - 4\frac{8}{12} = 1\frac{5}{12}$ кг.
2. Лента длиной $7\frac{1}{8}$ м, отрезали $3\frac{3}{4}$ м. Сколько осталось? $7\frac{1}{8} - 3\frac{6}{8} = 6\frac{9}{8} - 3\frac{6}{8} = 3\frac{3}{8}$ м.
3. До дома 9 км, проехали $7\frac{7}{8}$ км. Сколько осталось? $8\frac{8}{8} - 7\frac{7}{8} = 1\frac{1}{8}$ км.

Ответ: 1) $1\frac{5}{12}$; 2) $3\frac{3}{8}$; 3) $1\frac{1}{8}$ (задачи могут быть любыми с такими действиями).

№ 548

1) Ученик готовил уроки $1\frac{1}{4}$ ч: естествознание — $\frac{1}{3}$ ч, математика — на $\frac{1}{6}$ ч дольше, а остальное время учил стихотворение. Сколько времени ушло на стих? 2) Придумай похожую задачу про себя.

Как думать. Сначала найдём время на математику, потом — сколько ушло на два предмета, а остаток — это стих.

Решение.

1. Математика: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ч.
2. Естествознание и математика вместе: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$ ч.
3. Стихотворение: $1\frac{1}{4} - \frac{5}{6} = 1\frac{3}{12} - \frac{10}{12} = \frac{15}{12} - \frac{10}{12} = \frac{5}{12}$ ч. Это 25 минут ($60 : 12 \cdot 5$).

2. Пример: «Я делал уроки $1\frac{1}{2}$ ч. На русский язык ушло $\frac{1}{4}$ ч, на математику на $\frac{1}{4}$ ч больше. Остальное время я читал. Сколько я читал?» Ответ: $1\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ ч.

Ответ: 1) $\frac{5}{12}$ ч (25 мин); 2) задача составляется самостоятельно.

№ 549

1) Трактор в первый день вспахал $12\frac{7}{10}$ га, во второй — на $2\frac{1}{5}$ га больше. Сколько за два дня? Варианты: A) $28\frac{1}{2}$; B) $27\frac{3}{5}$; C) 29; D) $26\frac{1}{4}$ га. 2) В латуни $2\frac{2}{5}$ кг меди, а цинка на $\frac{9}{10}$ кг меньше. Найди массу латуни.

Как думать. В обеих задачах сначала находим вторую величину («на … больше / меньше»), потом складываем обе.

Решение.

1. Второй день: $12\frac{7}{10} + 2\frac{2}{10} = 14\frac{9}{10}$ га. За два дня: $12\frac{7}{10} + 14\frac{9}{10} = 26\frac{16}{10} = 27\frac{6}{10} = 27\frac{3}{5}$ га.
2. Цинк: $2\frac{4}{10} - \frac{9}{10} = 1\frac{14}{10} - \frac{9}{10} = 1\frac{5}{10} = 1\frac{1}{2}$ кг. Латунь: $2\frac{4}{10} + 1\frac{5}{10} = 3\frac{9}{10}$ кг.

Ответ: 1) $27\frac{3}{5}$ га — вариант B; 2) $3\frac{9}{10}$ кг.

№ 550

10 кучек камешков лежат по кругу, в соседних кучках число камешков отличается на 1. В самой большой — 14. Сколько в самой маленькой? Чётна ли общая сумма?

Как думать. Задача на смекалку. Идём по кругу от кучки к кучке: каждый шаг +1 или −1. Обойдя круг, вернёмся туда же — значит, шагов «вверх» столько же, сколько «вниз»: по 5.

Решение.

1. Самое маленькое число выйдет, если от 14 идти только вниз: 14, 13, 12, 11, 10, 9, а потом вверх: 10, 11, 12, 13 — и снова 14. Всего 10 кучек. Меньше 9 быть не может: от 14 до любой кучки по кругу не больше 5 шагов.
2. При другой раскладке наименьшая кучка может быть и больше (например, 14, 13, 14, 13, … — наименьшая 13). Поэтому: в самой маленькой кучке не меньше 9 камешков; при раскладке «спуск и подъём» — ровно 9.
3. Чётность. Соседние числа отличаются на 1, значит чётные и нечётные кучки чередуются: 5 чётных и 5 нечётных. Сумма пяти нечётных чисел нечётна, а чётные слагаемые чётность не меняют. Сумма нечётная.

Проверка на примере: $14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 115$ — нечётное.

Ответ: в самой маленькой кучке не меньше 9 камешков (при раскладке 14, 13, …, 9, …, 13 — ровно 9); сумма всех камешков нечётная.

№ 551

По железной дороге от Караганды через Астану и Ерейментау до Екибастуза $505\frac{1}{4}$ км. От Астаны до Ерейментау $140\frac{4}{5}$ км, от Ерейментау до Екибастуза $167\frac{9}{20}$ км. Сколько км от Караганды до Астаны?

Как думать. Весь путь = Караганда–Астана + Астана–Ерейментау + Ерейментау–Екибастуз. Неизвестен первый кусок.

Решение.

1. От Астаны до Екибастуза: $140\frac{16}{20} + 167\frac{9}{20} = 307\frac{25}{20} = 308\frac{5}{20} = 308\frac{1}{4}$ км.
2. От Караганды до Астаны: $505\frac{1}{4} - 308\frac{1}{4} = 197$ км.

Ответ: 197 км.

Уровень C

№ 552

Найди число в рамке и $x$: 1) $\square\frac{8}{3x} - 4\frac{1}{x} = 3\frac{1}{3}$; 2) $3\frac{1}{6x} + \square\frac{1}{3x} = 7\frac{1}{4}$; 3) $8\frac{1}{3x} - \square\frac{1}{5x} = 6\frac{1}{30}$. Варианты чисел: 2; 7; 5; 4.

Как думать. Задача повышенной трудности. Разбираемся отдельно с дробными частями и отдельно с целыми. Из дробей находим $x$, из целых — число в рамке.

Решение.

1. Дроби: $\frac{8}{3x} - \frac{3}{3x} = \frac{5}{3x}$. Нужно $\frac{5}{3x} = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}$, значит $3x = 15$, $x = 5$. Целые: $\square - 4 = 3$, в рамке 7. Проверка: $7\frac{8}{15} - 4\frac{3}{15} = 3\frac{5}{15} = 3\frac{1}{3}$ ✓.
2. Дроби: $\frac{1}{6x} + \frac{2}{6x} = \frac{3}{6x} = \frac{1}{2x}$. Нужно $\frac{1}{2x} = \frac{1}{4}$, значит $x = 2$. Целые: $3 + \square = 7$, в рамке 4. Проверка: $3\frac{1}{12} + 4\frac{2}{12} = 7\frac{3}{12} = 7\frac{1}{4}$ ✓.
3. Дроби: $\frac{5}{15x} - \frac{3}{15x} = \frac{2}{15x}$. Нужно $\frac{2}{15x} = \frac{1}{30} = \frac{2}{60}$, значит $15x = 60$, $x = 4$. Целые: $8 - \square = 6$, в рамке 2. Проверка: $8\frac{5}{60} - 2\frac{3}{60} = 6\frac{2}{60} = 6\frac{1}{30}$ ✓.

Ответ: 1) в рамке 7, $x = 5$; 2) в рамке 4, $x = 2$; 3) в рамке 2, $x = 4$.

№ 553

Заполни рамки и найди суммы: 1) $3\frac{1}{\square} + 1\frac{\square}{10} = \square\frac{2 + 3}{30}$; 2) $1\frac{\square}{25} + 7\frac{1}{\square} = \square\frac{9 + 5}{75}$; 3) $2\frac{9}{\square} + \square\frac{1}{12} = 6\frac{27 + \square}{48}$; 4) $3\frac{1}{\square} + \square\frac{2}{15} = 7\frac{5 + \square}{60}$.

Как думать. Числитель после приведения = старый числитель × дополнительный множитель. Зная, во что превратилась дробь, восстанавливаем её.

Решение.

1. $\frac{1}{\square} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ — знаменатель 15. $\frac{\square}{10} = \frac{3}{30}$ — числитель 1. Целые: $3 + 1 = 4$. $3\frac{1}{15} + 1\frac{1}{10} = 4\frac{2 + 3}{30} = 4\frac{5}{30} = 4\frac{1}{6}$.
2. $\frac{\square}{25} = \frac{9}{75}$ — числитель 3. $\frac{1}{\square} = \frac{5}{75} = \frac{1}{15}$ — знаменатель 15. Целые: $1 + 7 = 8$. $1\frac{3}{25} + 7\frac{1}{15} = 8\frac{9 + 5}{75} = 8\frac{14}{75}$.
3. $\frac{9}{\square} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$ — знаменатель 16. $\frac{1}{12} = \frac{4}{48}$ — в рамке числителя 4. Целые: $2 + \square = 6$, в рамке 4. $2\frac{9}{16} + 4\frac{1}{12} = 6\frac{27 + 4}{48} = 6\frac{31}{48}$.
4. $\frac{1}{\square} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ — знаменатель 12. $\frac{2}{15} = \frac{8}{60}$ — в рамке 8. Целые: $3 + \square = 7$, в рамке 4. $3\frac{1}{12} + 4\frac{2}{15} = 7\frac{5 + 8}{60} = 7\frac{13}{60}$.

Ответ: 1) $3\frac{1}{15} + 1\frac{1}{10} = 4\frac{1}{6}$; 2) $1\frac{3}{25} + 7\frac{1}{15} = 8\frac{14}{75}$; 3) $2\frac{9}{16} + 4\frac{1}{12} = 6\frac{31}{48}$; 4) $3\frac{1}{12} + 4\frac{2}{15} = 7\frac{13}{60}$.

№ 554

Вычисли: 1) $5\frac{7}{15} - \left(7\frac{1}{12} - \left(4\frac{29}{60} - \left(2\frac{1}{5} - 1\frac{5}{6}\right)\right)\right)$; 2) $6\frac{13}{24} - \left(\left(14\frac{7}{24} - 10\frac{31}{48}\right) - \left(2\frac{3}{4} - 1\frac{7}{12}\right)\right) - 1\frac{1}{16}$.

Как думать. Начинаем с самых внутренних скобок и идём наружу, как будто снимаем матрёшки.

Решение. 1)

1. $2\frac{1}{5} - 1\frac{5}{6} = 2\frac{6}{30} - 1\frac{25}{30} = 1\frac{36}{30} - 1\frac{25}{30} = \frac{11}{30}$.
2. $4\frac{29}{60} - \frac{11}{30} = 4\frac{29}{60} - \frac{22}{60} = 4\frac{7}{60}$.
3. $7\frac{1}{12} - 4\frac{7}{60} = 7\frac{5}{60} - 4\frac{7}{60} = 6\frac{65}{60} - 4\frac{7}{60} = 2\frac{58}{60} = 2\frac{29}{30}$.
4. $5\frac{7}{15} - 2\frac{29}{30} = 5\frac{14}{30} - 2\frac{29}{30} = 4\frac{44}{30} - 2\frac{29}{30} = 2\frac{15}{30} = 2\frac{1}{2}$.

1. $14\frac{7}{24} - 10\frac{31}{48} = 14\frac{14}{48} - 10\frac{31}{48} = 13\frac{62}{48} - 10\frac{31}{48} = 3\frac{31}{48}$.
2. $2\frac{3}{4} - 1\frac{7}{12} = 2\frac{9}{12} - 1\frac{7}{12} = 1\frac{2}{12} = 1\frac{1}{6}$.
3. $3\frac{31}{48} - 1\frac{1}{6} = 3\frac{31}{48} - 1\frac{8}{48} = 2\frac{23}{48}$.
4. $6\frac{13}{24} - 2\frac{23}{48} = 6\frac{26}{48} - 2\frac{23}{48} = 4\frac{3}{48} = 4\frac{1}{16}$.
5. $4\frac{1}{16} - 1\frac{1}{16} = 3$.

Ответ: 1) $2\frac{1}{2}$; 2) 3.

№ 555

Длина прямоугольника $7\frac{3}{5}$ см. Его периметр такой же, как у квадрата со стороной 6 см. Найди ширину прямоугольника.

Как думать. Длина плюс ширина — это половина периметра.

Решение.

1. Периметр квадрата: $6 \cdot 4 = 24$ см.
2. Длина + ширина: $24 : 2 = 12$ см.
3. Ширина: $12 - 7\frac{3}{5} = 11\frac{5}{5} - 7\frac{3}{5} = 4\frac{2}{5}$ см.

Ответ: $4\frac{2}{5}$ см.

№ 556

За три дня продали 1206 кг яблок. За первый и второй дни — $825\frac{3}{4}$ кг, за второй и третий — $849\frac{1}{5}$ кг. Сколько продали во второй день?

Как думать. Если сложить две данные суммы, второй день попадёт в них дважды. Лишнее по сравнению с общим количеством — это и есть второй день.

Решение.

1. $825\frac{3}{4} + 849\frac{1}{5} = 825\frac{15}{20} + 849\frac{4}{20} = 1674\frac{19}{20}$ кг.
2. $1674\frac{19}{20} - 1206 = 468\frac{19}{20}$ кг.

Ответ: $468\frac{19}{20}$ кг.

№ 557

Квадрат $ABCD$ разрезан на 4 части: квадрат со стороной $a$ (площадь 25 см²), прямоугольник $a \times b$ (площадь 15 см²), квадрат со стороной $b$ и ещё один прямоугольник $a \times b$. Сторона $ABCD$ равна $a + b$. Найди его периметр.

Как думать. По площади квадрата узнаём его сторону $a$. По площади прямоугольника — сторону $b$.

Решение.

1. $a \cdot a = 25$, значит $a = 5$ см.
2. $a \cdot b = 15$, то есть $5 \cdot b = 15$, $b = 3$ см.
3. Сторона $ABCD$: $5 + 3 = 8$ см. Периметр: $8 \cdot 4 = 32$ см.

Ответ: 32 см.

№ 558

Поезд длиной 420 м проехал мост за 58 с, а мимо дежурного по станции — за 21 с. Найди длину моста.

Как думать. Мимо человека поезд проходит свою длину. А мост — длину моста плюс свою длину: от момента, когда голова въехала, до момента, когда хвост съехал.

Решение.

1. Скорость поезда: $420 : 21 = 20$ м/с.
2. За 58 с поезд проходит $20 \cdot 58 = 1160$ м.
3. Длина моста: $1160 - 420 = 740$ м.

Ответ: 740 м.

№ 559

Вычисли и расставь буквы под ответами (2; $6\frac{3}{20}$; 4; $4\frac{1}{6}$; $3\frac{3}{100}$; $3\frac{1}{18}$) — получится название модели Земли. О: $7\frac{5}{18} - 3\frac{2}{27} - \frac{11}{54}$; У: $9\frac{3}{20} - 2\frac{3}{25} - 4$; Л: $13 - 5\frac{7}{12} - 1\frac{4}{15}$; С: $8\frac{7}{12} - 4\frac{5}{18} - 1\frac{1}{4}$; Г: $5\frac{11}{42} - 2\frac{3}{14} - 1\frac{1}{21}$; Б: $11 - 6\frac{13}{21} - \frac{3}{14}$.

Как думать. В каждом примере удобно сразу привести все дроби к одному знаменателю. Там, где вычитаем из целого, сначала сложи оба вычитаемых.

Решение.

• О: общий знаменатель 54: $7\frac{15}{54} - 3\frac{4}{54} - \frac{11}{54} = 4\frac{11}{54} - \frac{11}{54} = 4$.
• У: $9\frac{15}{100} - 2\frac{12}{100} = 7\frac{3}{100}$; $7\frac{3}{100} - 4 = 3\frac{3}{100}$.
• Л: вычитаемые вместе: $5\frac{35}{60} + 1\frac{16}{60} = 6\frac{51}{60}$; $13 - 6\frac{51}{60} = 12\frac{60}{60} - 6\frac{51}{60} = 6\frac{9}{60} = 6\frac{3}{20}$.
• С: общий знаменатель 36: $8\frac{21}{36} - 4\frac{10}{36} - 1\frac{9}{36} = 3\frac{2}{36} = 3\frac{1}{18}$.
• Г: общий знаменатель 42: $5\frac{11}{42} - 2\frac{9}{42} - 1\frac{2}{42} = 2\frac{0}{42} = 2$.
• Б: вычитаемые вместе: $6\frac{26}{42} + \frac{9}{42} = 6\frac{35}{42}$; $11 - 6\frac{35}{42} = 10\frac{42}{42} - 6\frac{35}{42} = 4\frac{7}{42} = 4\frac{1}{6}$.

Ответ: ГЛОБУС.

Шпаргалка

• Смешанное число = целое + дробь. Целые — к целым, дроби — к дробям.
• Разные знаменатели — сначала общий знаменатель для дробных частей.
• Дробная часть в ответе всегда правильная.
• Не хватает дроби у уменьшаемого — «разменяй» одну целую.
• Проверяй вычитание сложением.

Мини-тест