3.11. Умножение обыкновенных дробей и смешанных чисел — Математика 5 класс, Алдамуратова: разбор и ответы
ААқыл · разбор уроков

Разберём любой номер вместе!

3.11. Умножение обыкновенных дробей и смешанных чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 191–199.

Чему научишься

  • Умножать дробь на натуральное число — меняется только числитель.
  • Умножать дробь на дробь: «верх на верх, низ на низ».
  • Умножать смешанные числа через неправильные дроби.
  • Сокращать до умножения, чтобы не возиться с огромными числами.
  • Возводить дробь в квадрат и в куб.

Разминка

Умножение на натуральное число — это просто сложение одинаковых слагаемых. Посчитай в уме, потом открой ответ.

  • $\frac{5}{7} \cdot 4$? $\frac{5}{7} + \frac{5}{7} + \frac{5}{7} + \frac{5}{7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}$.
  • $\frac{7}{9} \cdot 5$? $\frac{35}{9} = 3\frac{8}{9}$.
  • $\frac{6}{13} \cdot 2$? $\frac{12}{13}$.
  • $1\frac{1}{5} \cdot 2$? $1 \cdot 2 + \frac{1}{5} \cdot 2 = 2\frac{2}{5}$.
  • $3\frac{2}{7} \cdot 3$? $9 + \frac{6}{7} = 9\frac{6}{7}$.
  • $5\frac{3}{8} \cdot 2$? $10 + \frac{6}{8} = 10\frac{3}{4}$.

💡 Заметил? Во всех примерах знаменатель остался прежним — вырос только числитель. Это и есть первое правило урока.

Разбираемся

Дробь на натуральное число: доли те же, их просто больше

Квадратная плитка со стороной $\frac{3}{25}$ м. Чтобы найти периметр, сложим четыре стороны:

$\frac{3}{25} + \frac{3}{25} + \frac{3}{25} + \frac{3}{25} = \frac{3 \cdot 4}{25} = \frac{12}{25}$ (м).

Знаменатель говорит, на какие доли резали целое. Доли не изменились — двадцать пятые. Просто их стало в 4 раза больше.

📌 Чтобы умножить дробь на натуральное число, умножь на него числитель, а знаменатель оставь: $\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$.

Например, $\frac{7}{10} \cdot 3 = \frac{21}{10} = 2\frac{1}{10}$. А в $\frac{5}{8} \cdot 4$ сначала сократим 4 и 8 на 4: $\frac{5 \cdot 1}{2} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Дробь на дробь: смотрим на клетки

Возьми квадрат со стороной 1 дм. Разрежь его по длине на 8 равных полосок, а по высоте — на 5. Получится $8 \cdot 5 = 40$ одинаковых клеток. Каждая клетка — это $\frac{1}{40}$ дм².

Теперь нарисуем в углу прямоугольник: длина $\frac{7}{8}$ дм (7 полосок из 8), высота $\frac{3}{5}$ дм (3 полоски из 5). Посчитай его клетки.

Закрашено $7 \cdot 3 = 21$ клетка из $8 \cdot 5 = 40$. Значит, площадь прямоугольника $\frac{21}{40}$ дм². И это ровно то же самое, что

$\frac{7}{8} \cdot \frac{3}{5} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 5} = \frac{21}{40}$.

📌 Чтобы умножить дробь на дробь, перемножь числители — это новый числитель, и перемножь знаменатели — это новый знаменатель: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.

💡 Вот и ответ на загадку совы. $\frac{7}{8}$ меньше 1, и $\frac{3}{5}$ меньше 1. Взять «часть от части» — получится ещё меньше. Поэтому произведение двух правильных дробей меньше каждой из них.

Сначала сократи, потом умножай

Запиши всё под одну черту — и сразу ищи, что сократить. Сокращать можно любой числитель с любым знаменателем:

$\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 6} = \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 2} = \frac{5}{16}$ (3 и 6 сократили на 3).

Квадрат дроби — это дробь, умноженная сама на себя: $\left(\frac{5}{7}\right)^2 = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 7} = \frac{25}{49}$.

⚠️ Частая ошибка. Перед умножением приводят дроби к общему знаменателю, как при сложении. Это лишняя работа: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ — это просто $\frac{1}{6}$. Общий знаменатель нужен только для сложения и вычитания.

Смешанные числа: сначала «переодень»

Смешанное число сначала превращаем в неправильную дробь. Дальше — как обычно:

$3\frac{2}{5} \cdot 6\frac{1}{4} = \frac{17}{5} \cdot \frac{25}{4} = \frac{17 \cdot 25}{5 \cdot 4} = \frac{17 \cdot 5}{1 \cdot 4} = \frac{85}{4} = 21\frac{1}{4}$.

Ещё два примера: $2\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{14}{15}$; $8\frac{3}{10} \cdot 5 = \frac{83}{10} \cdot 5 = \frac{83}{2} = 41\frac{1}{2}$.

⚠️ Частая ошибка. Перемножают отдельно целые части и отдельно дроби: $2\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{2} = 4\frac{1}{4}$. Неверно! Правильно: $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$. Прикинь: $2\frac{1}{2}$ больше 2, значит, ответ больше $2 \cdot 2\frac{1}{2} = 5$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Пусть ребёнок вслух проговаривает порядок: «перевожу в неправильные дроби — пишу под одну черту — сокращаю — умножаю — выделяю целую часть». Если он сначала перемножает большие числа, а потом долго сокращает, покажите, насколько короче сократить заранее.

Нуль и буквы

Если один из множителей — нуль, всё произведение равно нулю: $\frac{4}{7} \cdot 0 = 0$. Отсюда удобный приём: если $5\left(x - \frac{2}{3}\right) = 0$, то нулю равна скобка, и $x = \frac{2}{3}$.

Букву пишут после дроби: $\frac{5}{8}x$. Число $\frac{5}{8}$ здесь называют коэффициентом.

Проверь, как понял

Проверь себя

  • Как умножить дробь на натуральное число? Умножить на это число числитель, знаменатель оставить.
  • По какому правилу умножают дроби? Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
  • Как умножить смешанные числа? Записать их неправильными дробями и перемножить.

Решаем упражнения

Устный счёт

№ 573

Четыре цепочки: начинаешь с числа и по очереди делаешь пять действий. Запиши каждый промежуточный результат.

  1. $\frac{14}{17}$; $+\frac{2}{17}$, $-\frac{3}{17}$, $-\frac{8}{17}$, $+\frac{6}{17}$, $-\frac{9}{17}$.
  2. $\frac{1}{8}$; $+\frac{5}{8}$, $+\frac{1}{4}$, $-\frac{2}{5}$, $+\frac{1}{5}$, $+\frac{3}{5}$.
  3. $\frac{2}{9}$; $+\frac{1}{9}$, $+\frac{2}{3}$, $-\frac{2}{7}$, $-\frac{4}{7}$, $+\frac{6}{7}$.
  4. $\frac{3}{10}$; $-\frac{1}{10}$, $+\frac{4}{5}$, $-\frac{1}{6}$, $-\frac{3}{6}$, $+\frac{2}{3}$.

Как думать. Это разминка на сложение и вычитание. Как только знаменатель меняется, приводи к новому. Сокращай сразу — дальше считать легче.

Решение.

  1. $\frac{14}{17} \to \frac{16}{17} \to \frac{13}{17} \to \frac{5}{17} \to \frac{11}{17} \to \frac{2}{17}$;
  2. $\frac{1}{8} \to \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \to 1 \to \frac{3}{5} \to \frac{4}{5} \to \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$;
  3. $\frac{2}{9} \to \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \to 1 \to \frac{5}{7} \to \frac{1}{7} \to 1$;
  4. $\frac{3}{10} \to \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \to 1 \to \frac{5}{6} \to \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \to 1$.

Ответ: 1) $\frac{2}{17}$; 2) $1\frac{2}{5}$; 3) 1; 4) 1.

№ 574

Перемножь устно: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$; $\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{4}$; $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$; $9 \cdot \frac{1}{10}$; $\frac{5}{7} \cdot 2$; $\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{7}$; $\frac{7}{10} \cdot \frac{3}{4}$; $\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5}$.

Как думать. Верх на верх, низ на низ. Если множитель — натуральное число, умножаем только числитель.

Решение.

пример ответ
1) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$
2) $\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{4}$ $\frac{9}{32}$
3) $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$ $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
4) $9 \cdot \frac{1}{10}$ $\frac{9}{10}$
5) $\frac{5}{7} \cdot 2$ $\frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$
6) $\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{7}$ $\frac{5}{42}$
7) $\frac{7}{10} \cdot \frac{3}{4}$ $\frac{21}{40}$
8) $\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5}$ $\frac{6}{35}$

Ответ: см. таблицу.

Уровень A

№ 575

Умножь дроби: $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}$; $\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2}$; $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}$; $\frac{5}{12} \cdot \frac{8}{9}$; $\frac{15}{16} \cdot \frac{8}{25}$; $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$; $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6}$; $\frac{7}{15} \cdot \frac{5}{7}$.

Как думать. Пишем всё под одну черту и сокращаем до умножения. Ищи пары «числитель одной дроби — знаменатель другой».

Решение.

  1. $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{1}{6}$;
  2. $\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$;
  3. $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8} = \frac{1}{4}$;
  4. $\frac{5}{12} \cdot \frac{8}{9} = \frac{5 \cdot 8}{12 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 9} = \frac{10}{27}$;
  5. $\frac{15}{16} \cdot \frac{8}{25} = \frac{15 \cdot 8}{16 \cdot 25} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$;
  6. $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$;
  7. $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$;
  8. $\frac{7}{15} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{6}$; 2) $\frac{2}{9}$; 3) $\frac{1}{4}$; 4) $\frac{10}{27}$; 5) $\frac{3}{10}$; 6) $\frac{1}{3}$; 7) $\frac{1}{8}$; 8) $\frac{1}{3}$.

№ 576

Умножь смешанное число на натуральное: $3\frac{1}{4} \cdot 8$; $5\frac{1}{3} \cdot 6$; $4 \cdot 1\frac{1}{2}$; $7 \cdot 1\frac{1}{3}$; $2\frac{3}{8} \cdot 6$; $1\frac{3}{4} \cdot 2$; $3 \cdot 2\frac{1}{9}$; $8 \cdot 3\frac{1}{2}$.

Как думать. Два пути. Через неправильную дробь — надёжно. По частям (целая часть отдельно, дробь отдельно) — быстро в уме. С натуральным множителем так можно!

Решение.

  1. $3\frac{1}{4} \cdot 8 = \frac{13}{4} \cdot 8 = 13 \cdot 2 = 26$;
  2. $5\frac{1}{3} \cdot 6 = \frac{16}{3} \cdot 6 = 16 \cdot 2 = 32$;
  3. $4 \cdot 1\frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$;
  4. $7 \cdot 1\frac{1}{3} = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$;
  5. $2\frac{3}{8} \cdot 6 = \frac{19}{8} \cdot 6 = \frac{19 \cdot 3}{4} = \frac{57}{4} = 14\frac{1}{4}$;
  6. $1\frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{7}{4} \cdot 2 = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$;
  7. $3 \cdot 2\frac{1}{9} = 3 \cdot \frac{19}{9} = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}$;
  8. $8 \cdot 3\frac{1}{2} = 8 \cdot \frac{7}{2} = 28$.

По частям первый пример выглядит так: $3\frac{1}{4} \cdot 8 = 3 \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot 8 = 24 + 2 = 26$.

Ответ: 1) 26; 2) 32; 3) 6; 4) $9\frac{1}{3}$; 5) $14\frac{1}{4}$; 6) $3\frac{1}{2}$; 7) $6\frac{1}{3}$; 8) 28.

№ 577

Перемножь смешанные числа: $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{5}$; $2\frac{7}{9} \cdot 3\frac{3}{5}$; $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{5}$; $3\frac{7}{9} \cdot 1\frac{1}{17}$; $7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{4}{15}$; $5\frac{1}{6} \cdot 3\frac{1}{7}$; $3\frac{3}{7} \cdot 2\frac{1}{3}$; $7\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{11}$.

Как думать. Тут целые части отдельно уже не перемножить — только через неправильные дроби. Почти везде всё красиво сокращается, и выходит целое число.

Решение.

  1. $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{7 \cdot 2}{5} = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$;
  2. $2\frac{7}{9} \cdot 3\frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{18}{5} = 5 \cdot 2 = 10$;
  3. $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{5} = \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5} = 4$;
  4. $3\frac{7}{9} \cdot 1\frac{1}{17} = \frac{34}{9} \cdot \frac{18}{17} = 2 \cdot 2 = 4$;
  5. $7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{4}{15} = \frac{15}{2} \cdot \frac{34}{15} = 17$;
  6. $5\frac{1}{6} \cdot 3\frac{1}{7} = \frac{31}{6} \cdot \frac{22}{7} = \frac{31 \cdot 11}{3 \cdot 7} = \frac{341}{21} = 16\frac{5}{21}$;
  7. $3\frac{3}{7} \cdot 2\frac{1}{3} = \frac{24}{7} \cdot \frac{7}{3} = 8$;
  8. $7\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{11} = \frac{22}{3} \cdot \frac{24}{11} = 2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: 1) $2\frac{4}{5}$; 2) 10; 3) 4; 4) 4; 5) 17; 6) $16\frac{5}{21}$; 7) 8; 8) 16.

№ 578

Умножь: $8\frac{9}{20} \cdot \frac{2}{13}$; $5\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8}$; $10\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7}$; $\frac{5}{6} \cdot 1\frac{6}{5}$; $3\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{8}$; $9\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}$; $10\frac{1}{5} \cdot \frac{10}{17}$; $\frac{3}{11} \cdot 5\frac{1}{2}$.

Как думать. Смешанное число — в неправильную дробь, потом сокращаем крест-накрест. В первом примере не пугайся числа 169: это $13 \cdot 13$.

Решение.

  1. $8\frac{9}{20} \cdot \frac{2}{13} = \frac{169}{20} \cdot \frac{2}{13} = \frac{13 \cdot 1}{10} = 1\frac{3}{10}$ (169 и 13 сократили на 13, 2 и 20 — на 2);
  2. $5\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{8} = 2$;
  3. $10\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} = \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{7} = 3$;
  4. $\frac{5}{6} \cdot 1\frac{6}{5}$: так как $1\frac{6}{5} = 1 + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}$, получаем $\frac{5}{6} \cdot \frac{11}{5} = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}$;
  5. $3\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{28}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$;
  6. $9\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{64}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{48}{7} = 6\frac{6}{7}$;
  7. $10\frac{1}{5} \cdot \frac{10}{17} = \frac{51}{5} \cdot \frac{10}{17} = 3 \cdot 2 = 6$;
  8. $\frac{3}{11} \cdot 5\frac{1}{2} = \frac{3}{11} \cdot \frac{11}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: 1) $1\frac{3}{10}$; 2) 2; 3) 3; 4) $1\frac{5}{6}$; 5) $1\frac{1}{6}$; 6) $6\frac{6}{7}$; 7) 6; 8) $1\frac{1}{2}$.

№ 579

Посчитай удобным способом: $\left(\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{2}{3}$; $\frac{2}{9} \cdot \left(\frac{3}{10} \cdot \frac{7}{8}\right)$; $\frac{15}{19} \cdot \left(\frac{19}{25} \cdot \frac{7}{9}\right) \cdot \frac{5}{7}$; $\left(\frac{10}{13} \cdot \frac{11}{12}\right) \cdot \left(\frac{12}{55} \cdot \frac{13}{20}\right)$.

Как думать. Множители можно переставлять и группировать как угодно. Пишем все под одну черту — и одинаковые числа сверху и снизу просто исчезают.

Решение.

  1. $\frac{1}{5} \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$;
  2. $\frac{2 \cdot 3 \cdot 7}{9 \cdot 10 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 7}{3 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{7}{120}$;
  3. $\frac{15 \cdot 19 \cdot 7 \cdot 5}{19 \cdot 25 \cdot 9 \cdot 7} = \frac{15 \cdot 5}{25 \cdot 9} = \frac{75}{225} = \frac{1}{3}$;
  4. $\frac{10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13}{13 \cdot 12 \cdot 55 \cdot 20} = \frac{10 \cdot 11}{55 \cdot 20} = \frac{1}{5 \cdot 2} = \frac{1}{10}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{10}$; 2) $\frac{7}{120}$; 3) $\frac{1}{3}$; 4) $\frac{1}{10}$.

№ 580

Найди значение: $\frac{5}{12}a + 7$ при $a = 4$; $\frac{4}{9}b + \frac{2}{3}$ при $b = \frac{3}{4}$; $\frac{2}{5} + 1\frac{1}{4}a$ при $a = 1\frac{3}{5}$; $2\frac{3}{10}b + \frac{1}{2}$ при $b = 2\frac{1}{2}$.

Как думать. Подставь число вместо буквы. Сначала умножение, потом сложение.

Решение.

  1. $\frac{5}{12} \cdot 4 + 7 = \frac{5}{3} + 7 = 1\frac{2}{3} + 7 = 8\frac{2}{3}$;
  2. $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$;
  3. $\frac{2}{5} + 1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{3}{5} = \frac{2}{5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{2}{5} + 2 = 2\frac{2}{5}$;
  4. $2\frac{3}{10} \cdot 2\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{23}{10} \cdot \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{23}{4} + \frac{2}{4} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$.

Ответ: 1) $8\frac{2}{3}$; 2) 1; 3) $2\frac{2}{5}$; 4) $6\frac{1}{4}$.

№ 581

1) 1 кг конфет стоит 350 тг. Сколько стоят $1\frac{3}{5}$ кг? 2) 1 см³ золота весит $19\frac{3}{10}$ г. Сколько весят 20 см³? 3) Спутник летит со скоростью $7\frac{9}{10}$ км/с. Сколько он пролетит за 8 с?

Как думать. Цену одного килограмма умножаем на число килограммов. Так же с массой и со скоростью.

Решение.

  1. $350 \cdot 1\frac{3}{5} = 350 \cdot \frac{8}{5} = 70 \cdot 8 = 560$ (тг);
  2. $19\frac{3}{10} \cdot 20 = \frac{193}{10} \cdot 20 = 193 \cdot 2 = 386$ (г);
  3. $7\frac{9}{10} \cdot 8 = \frac{79}{10} \cdot 8 = \frac{632}{10} = 63\frac{1}{5}$ (км).

Ответ: 1) 560 тг; 2) 386 г; 3) $63\frac{1}{5}$ км.

№ 582

Квадратная пластинка со стороной $2\frac{3}{4}$ дм. Найди её периметр и площадь.

Как думать. $2\frac{3}{4}$ дм — это 11 четвертинок дециметра. Разрежь пластинку на клетки по $\frac{1}{4}$ дм — и посчитай их.

Решение.

  1. $P = 2\frac{3}{4} \cdot 4 = \frac{11}{4} \cdot 4 = 11$ (дм);
  2. $S = \left(\frac{11}{4}\right)^2 = \frac{121}{16} = 7\frac{9}{16}$ (дм²).

Ответ: периметр 11 дм, площадь $7\frac{9}{16}$ дм².

№ 583

На одно платье уходит $2\frac{3}{4}$ м ткани. Портниха 7 раз отрезала ткань от рулона. Сколько платьев она сшила и сколько ткани ушло?

Как думать. Задача на смекалку! Каждый разрез отделяет кусок. Но после седьмого разреза в руках остаётся ещё один, последний кусок. Как с палкой: один разрез — две части.

Решение.

  1. Кусков: $7 + 1 = 8$, значит, платьев 8.
  2. Ткани: $2\frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{11}{4} \cdot 8 = 22$ (м).

Ответ: 8 платьев, 22 м ткани.

Уровень B

№ 584

Посчитай: $\left(\frac{3}{4} + \frac{1}{20}\right) \cdot \frac{1}{2}$; $\left(\frac{7}{12} - \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{16}{19}$; $\left(7\frac{3}{5} - 2\frac{4}{15}\right) \cdot \frac{9}{32}$; $\left(\frac{11}{24} + \frac{1}{6}\right) \cdot 1\frac{3}{5}$; $\left(5\frac{1}{2} + 2\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{5}{9}$; $\left(7 - 2\frac{5}{16}\right) \cdot \frac{4}{25}$.

Как думать. Сначала скобки (там нужен общий знаменатель), потом умножение (там он не нужен).

Решение.

  1. $\frac{3}{4} + \frac{1}{20} = \frac{15}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$; $\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{5}$;
  2. $\frac{7}{12} - \frac{4}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$; $\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{19} = \frac{4}{19}$;
  3. $7\frac{9}{15} - 2\frac{4}{15} = 5\frac{5}{15} = 5\frac{1}{3} = \frac{16}{3}$; $\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{32} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$;
  4. $\frac{11}{24} + \frac{4}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$; $\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5} = 1$;
  5. $5\frac{5}{10} + 2\frac{6}{10} = 8\frac{1}{10} = \frac{81}{10}$; $\frac{81}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$;
  6. $7 - 2\frac{5}{16} = 4\frac{11}{16} = \frac{75}{16}$; $\frac{75}{16} \cdot \frac{4}{25} = \frac{3}{4}$.

Ответ: 1) $\frac{2}{5}$; 2) $\frac{4}{19}$; 3) $1\frac{1}{2}$; 4) 1; 5) $4\frac{1}{2}$; 6) $\frac{3}{4}$.

№ 585

Посчитай: $\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{15} - \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{15}$; $\frac{7}{18} \cdot \frac{9}{14} + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7}$; $\frac{9}{20} \cdot \frac{2}{3} + \frac{5}{14} \cdot \frac{7}{25}$; $3\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} - 3\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{27}$; $2\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} - \frac{3}{4} \cdot 1\frac{2}{3}$; $1\frac{17}{28} \cdot \frac{7}{9} + \frac{14}{25} \cdot \frac{5}{7}$.

Как думать. Скобок нет, значит, сначала оба умножения, а потом сложение или вычитание.

Решение.

  1. $\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{15} = \frac{1}{2}$; $\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1}{9}$; $\frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9}{18} - \frac{2}{18} = \frac{7}{18}$;
  2. $\frac{7}{18} \cdot \frac{9}{14} = \frac{1}{4}$; $\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{2}{7}$; $\frac{1}{4} + \frac{2}{7} = \frac{7}{28} + \frac{8}{28} = \frac{15}{28}$;
  3. $\frac{9}{20} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{10}$; $\frac{5}{14} \cdot \frac{7}{25} = \frac{1}{10}$; $\frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{5}$;
  4. $\frac{15}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{2}$; $\frac{81}{25} \cdot \frac{5}{27} = \frac{3}{5}$; $\frac{3}{2} - \frac{3}{5} = \frac{15}{10} - \frac{6}{10} = \frac{9}{10}$;
  5. $\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6} = 2$; $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{4}$; $2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$;
  6. $\frac{45}{28} \cdot \frac{7}{9} = \frac{5}{4}$; $\frac{14}{25} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2}{5}$; $\frac{5}{4} + \frac{2}{5} = \frac{25}{20} + \frac{8}{20} = \frac{33}{20} = 1\frac{13}{20}$.

Ответ: 1) $\frac{7}{18}$; 2) $\frac{15}{28}$; 3) $\frac{2}{5}$; 4) $\frac{9}{10}$; 5) $\frac{3}{4}$; 6) $1\frac{13}{20}$.

№ 586

Вынеси общий множитель за скобки и посчитай: $8 \cdot \frac{4}{11} + 8 \cdot \frac{7}{11}$; $5 \cdot \frac{1}{7} + 5 \cdot \frac{6}{7}$; $\frac{2}{5} \cdot \frac{6}{13} + \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{13}$; $\frac{5}{8} \cdot \frac{5}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{6}$; $\frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7}$; $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{6}$.

Как думать. $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Найди множитель, который повторяется, — а в скобках часто выходит 1 или удобная дробь.

Решение.

  1. $8 \cdot \left(\frac{4}{11} + \frac{7}{11}\right) = 8 \cdot 1 = 8$;
  2. $5 \cdot \left(\frac{1}{7} + \frac{6}{7}\right) = 5 \cdot 1 = 5$;
  3. $\frac{6}{13} \cdot \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{4}\right) = \frac{6}{13} \cdot \frac{13}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$;
  4. $\frac{5}{6} \cdot \left(\frac{5}{8} - \frac{2}{8}\right) = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{8} = \frac{5}{16}$;
  5. $\frac{3}{5} \cdot \left(1 - \frac{2}{7}\right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{3}{7}$ (число $\frac{3}{5}$ — это $\frac{3}{5} \cdot 1$);
  6. $\frac{1}{7} \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{24} = \frac{1}{24}$.

Ответ: 1) 8; 2) 5; 3) $\frac{3}{10}$; 4) $\frac{5}{16}$; 5) $\frac{3}{7}$; 6) $\frac{1}{24}$.

№ 587

1) Найди квадраты: $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{2}{7}$, $1\frac{1}{2}$, $4\frac{1}{9}$, $6\frac{2}{3}$. 2) Найди кубы: $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{4}{9}$, $1\frac{1}{3}$, $2\frac{1}{4}$, $3\frac{1}{2}$.

Как думать. Возводим в квадрат (в куб) отдельно числитель и отдельно знаменатель. Смешанное число сначала делаем неправильной дробью.

Решение.

  1. $\frac{1}{16}$; $\frac{9}{64}$; $\frac{25}{36}$; $\frac{4}{49}$; $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$; $\left(\frac{37}{9}\right)^2 = \frac{1369}{81} = 16\frac{73}{81}$; $\left(\frac{20}{3}\right)^2 = \frac{400}{9} = 44\frac{4}{9}$.
  2. $\frac{1}{8}$; $\frac{8}{27}$; $\frac{1}{125}$; $\frac{64}{729}$; $\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27} = 2\frac{10}{27}$; $\left(\frac{9}{4}\right)^3 = \frac{729}{64} = 11\frac{25}{64}$; $\left(\frac{7}{2}\right)^3 = \frac{343}{8} = 42\frac{7}{8}$.

⚠️ Частая ошибка. $\left(1\frac{1}{2}\right)^2$ — это не $1\frac{1}{4}$! Сначала $\frac{3}{2}$, потом $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.

Ответ: см. решение.

№ 588

Вырази: 1) в граммах: $\frac{3}{4}$ кг; $\frac{7}{10}$ кг; $1\frac{3}{5}$ кг; $2\frac{1}{20}$ кг; $3\frac{2}{25}$ кг; 2) в сантиметрах: $\frac{2}{5}$ дм; $\frac{3}{10}$ дм; $\frac{7}{20}$ м; $\frac{11}{25}$ м; $1\frac{9}{10}$ м; 3) в секундах: $\frac{1}{3}$ мин; $\frac{1}{4}$ мин; $\frac{9}{10}$ мин; $\frac{1}{3600}$ ч; $\frac{1}{2}$ ч.

Как думать. 1 кг = 1000 г, 1 дм = 10 см, 1 м = 100 см, 1 мин = 60 с, 1 ч = 3600 с. Умножаем дробь на число мелких единиц в крупной.

Решение.

  1. $\frac{3}{4} \cdot 1000 = 750$ г; $\frac{7}{10} \cdot 1000 = 700$ г; $1\frac{3}{5} \cdot 1000 = 1600$ г; $2\frac{1}{20} \cdot 1000 = 2050$ г; $3\frac{2}{25} \cdot 1000 = 3080$ г.
  2. $\frac{2}{5} \cdot 10 = 4$ см; $\frac{3}{10} \cdot 10 = 3$ см; $\frac{7}{20} \cdot 100 = 35$ см; $\frac{11}{25} \cdot 100 = 44$ см; $1\frac{9}{10} \cdot 100 = 190$ см.
  3. $\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ с; $\frac{1}{4} \cdot 60 = 15$ с; $\frac{9}{10} \cdot 60 = 54$ с; $\frac{1}{3600} \cdot 3600 = 1$ с; $\frac{1}{2} \cdot 3600 = 1800$ с.

Ответ: 1) 750 г, 700 г, 1600 г, 2050 г, 3080 г; 2) 4 см, 3 см, 35 см, 44 см, 190 см; 3) 20 с, 15 с, 54 с, 1 с, 1800 с.

№ 589

Реши уравнения: $4\left(x - \frac{1}{2}\right) = 0$; $8\left(x - \frac{3}{14}\right) = 0$; $\left(x - 1\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{2}{3} = 0$; $\left(x - 2\frac{1}{4}\right) \cdot \frac{4}{5} = 0$; $12\left(x - 1\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{6}\right) = 0$; $9\left(x - 3\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7}\right) = 0$.

Как думать. Число перед скобкой — не нуль. Значит, нулю равна скобка. А скобка равна нулю, когда $x$ равен тому, что из него вычитают.

Решение.

  1. $x - \frac{1}{2} = 0$, $x = \frac{1}{2}$;
  2. $x - \frac{3}{14} = 0$, $x = \frac{3}{14}$;
  3. $x - 1\frac{3}{4} = 0$, $x = 1\frac{3}{4}$;
  4. $x - 2\frac{1}{4} = 0$, $x = 2\frac{1}{4}$;
  5. $1\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{13}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$, значит, $x = 1\frac{1}{12}$;
  6. $3\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7} = 2$, значит, $x = 2$.

Ответ: 1) $\frac{1}{2}$; 2) $\frac{3}{14}$; 3) $1\frac{3}{4}$; 4) $2\frac{1}{4}$; 5) $1\frac{1}{12}$; 6) 2.

№ 590

1) У куба верхняя грань $ABCD$. Площадь треугольника $ACD$ — $24\frac{1}{2}$ см². Куб разрезали по диагонали пополам и закрасили половину (призму над треугольником $ACD$). Найди её объём. 2) Из стального бруска массой 9 кг сделали 14 деталей по $\frac{5}{8}$ кг. Сколько стали осталось?

Как думать. Диагональ делит квадратную грань на два одинаковых треугольника. Значит, площадь грани вдвое больше площади треугольника. А по площади грани узнаем ребро.

Решение.

  1. Площадь грани: $24\frac{1}{2} \cdot 2 = 49$ (см²). Ребро куба 7 см, так как $7 \cdot 7 = 49$.
  2. Объём куба: $7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$ (см³).
  3. Закрашена половина куба: $343 : 2 = 171\frac{1}{2}$ (см³).

Вторая задача:

  1. На детали ушло $\frac{5}{8} \cdot 14 = \frac{70}{8} = 8\frac{3}{4}$ (кг).
  2. Осталось $9 - 8\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ (кг).

Ответ: 1) $171\frac{1}{2}$ см³; 2) $\frac{1}{4}$ кг (250 г).

№ 591

Практическая работа: измерь пол в своей комнате, найди его площадь и сколько нужно краски, если на 1 м² уходит $\frac{3}{10}$ кг.

Как думать. Меряй рулеткой вдоль стен, округляй до десятых метра. Площадь — длина на ширину, краска — площадь на расход.

Решение (пример). Пусть комната 5 м на 4 м.

  1. Площадь: $5 \cdot 4 = 20$ (м²).
  2. Краска: $\frac{3}{10} \cdot 20 = 6$ (кг).

Если стороны дробные, например $4\frac{1}{2}$ м и $3\frac{1}{2}$ м, то площадь $\frac{9}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4}$ м², а краски $\frac{3}{10} \cdot \frac{63}{4} = \frac{189}{40} = 4\frac{29}{40}$ кг, то есть почти 5 кг.

Ответ: у каждого свой; для комнаты 5 × 4 м — 20 м² и 6 кг краски.

№ 592

Ботанический сад — около 108 га. Каждые 50 м² зелени летом за сутки дают $2\frac{1}{4}$ кг кислорода. Сколько кислорода даёт весь сад за сутки?

Как думать. Сначала переведи гектары в квадратные метры. Потом узнай, сколько в саду «кусочков» по 50 м², и умножь на кислород с одного кусочка.

Решение.

  1. 1 га = 10 000 м², значит, 108 га = 1 080 000 м².
  2. Площадок по 50 м²: $1,080,000 : 50 = 21,600$.
  3. Кислорода: $21,600 \cdot 2\frac{1}{4} = 21,600 \cdot 2 + 21,600 : 4 = 43,200 + 5400 = 48,600$ (кг).

🌟 Почти 50 тонн кислорода в сутки — столько весят несколько больших грузовиков. Вот зачем городам парки!

Ответ: 48 600 кг = 48 т 600 кг.

№ 593

Между домом Диаса и школой 20 домов. Если идти от дома к школе, темноволосые мальчики живут в 1-м доме и дальше в каждом 3-м. Если идти от школы, рыжие мальчики живут в 1-м доме и дальше в каждом 6-м. В остальных домах — только девочки. Сколько таких домов?

Как думать. Пронумеруем дома от дома Диаса: 1, 2, …, 20. Тогда «первый дом от школы» — это дом 20. Выпиши номера мальчиков и проверь, нет ли общих.

Решение.

  1. Темноволосые мальчики: дома 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 — 7 домов.
  2. Рыжие мальчики (идём назад по 6): 20, 14, 8, 2 — 4 дома.
  3. Общих домов нет, мальчики живут в $7 + 4 = 11$ домах.
  4. Девочки: $20 - 11 = 9$ домов.

Ответ: 9 домов.

№ 594

Окружность колеса велосипеда $1\frac{4}{5}$ м, за 1 с колесо делает $1\frac{2}{3}$ оборота. Сколько проедет велосипедист за 5 мин?

Как думать. За один оборот колесо прокатывается ровно на длину своей окружности. Найди, сколько оборотов будет за 5 минут.

Решение.

  1. 5 мин = 300 с.
  2. Оборотов за 300 с: $1\frac{2}{3} \cdot 300 = \frac{5}{3} \cdot 300 = 500$.
  3. За один оборот колесо проходит $1\frac{4}{5}$ м: $500 \cdot \frac{9}{5} = 900$ (м).

Ответ: 900 м.

Уровень C

№ 595

Посчитай: $\left(\frac{5}{7}\right)^2 \cdot \frac{7}{15}$; $\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \frac{32}{45}$; $\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{4}{5}$; $\left(2\frac{5}{7}\right)^2 \cdot \frac{14}{19}$; $\left(2\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{27}{98}$; $\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot \frac{11}{32}$; $\left(\frac{3}{10}\right)^2 \cdot \frac{5}{6}$; $\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{15}{24}$.

Как думать. Сначала квадрат, потом умножение. Не спеши перемножать $19 \cdot 19$ — сначала поищи, что сократить.

Решение.

  1. $\frac{25}{49} \cdot \frac{7}{15} = \frac{5}{7 \cdot 3} = \frac{5}{21}$;
  2. $\frac{9}{16} \cdot \frac{32}{45} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$;
  3. $\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$;
  4. $\left(\frac{19}{7}\right)^2 \cdot \frac{14}{19} = \frac{19 \cdot 19 \cdot 14}{7 \cdot 7 \cdot 19} = \frac{19 \cdot 2}{7} = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7}$;
  5. $\left(\frac{7}{3}\right)^2 \cdot \frac{27}{98} = \frac{49 \cdot 27}{9 \cdot 98} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$;
  6. $\frac{64}{121} \cdot \frac{11}{32} = \frac{2}{11}$;
  7. $\frac{9}{100} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3}{40}$;
  8. $\frac{4}{9} \cdot \frac{15}{24} = \frac{60}{216} = \frac{5}{18}$.

Ответ: 1) $\frac{5}{21}$; 2) $\frac{2}{5}$; 3) $\frac{1}{5}$; 4) $5\frac{3}{7}$; 5) $1\frac{1}{2}$; 6) $\frac{2}{11}$; 7) $\frac{3}{40}$; 8) $\frac{5}{18}$.

№ 596

Найди значение: 1) $1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{6} - \frac{1}{2}$; 2) $1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{7} \cdot 1\frac{1}{8} - \frac{1}{4}$; 3) $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{2}{5} \cdot 1\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{9} \cdot 1\frac{2}{11} + \frac{1}{2}$; 4) $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{4}{7} \cdot 1\frac{4}{11} \cdot 1\frac{4}{15} \cdot 1\frac{4}{19} - \frac{2}{3}$.

Как думать. Переведи числа в неправильные дроби — и увидишь цепочку: знаменатель каждой дроби равен числителю предыдущей. Почти всё сокращается, как падающие костяшки домино.

Решение.

  1. $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{2}$; $\frac{7}{2} - \frac{1}{2} = 3$;
  2. $\frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{9}{8} = \frac{9}{4}$; $\frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2$;
  3. $\frac{5}{2} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{9}{7} \cdot \frac{11}{9} \cdot \frac{13}{11} = \frac{13}{2}$; $\frac{13}{2} + \frac{1}{2} = 7$;
  4. $\frac{7}{3} \cdot \frac{11}{7} \cdot \frac{15}{11} \cdot \frac{19}{15} \cdot \frac{23}{19} = \frac{23}{3}$; $\frac{23}{3} - \frac{2}{3} = 7$.

Ответ: 1) 3; 2) 2; 3) 7; 4) 7.

№ 597

Угадай закономерность и допиши три дроби: 1) $\frac{1}{37}$; $\frac{2}{37}$; $\frac{3}{37}$; $\frac{4}{37}$; … 2) $\frac{21}{29}$; $\frac{19}{29}$; $\frac{17}{29}$; $\frac{15}{29}$; … 3) $\frac{1}{17}$; $\frac{2}{17}$; $\frac{4}{17}$; $\frac{8}{17}$; …

Как думать. Знаменатель везде стоит на месте. Следи, что происходит с числителем: прибавляют, отнимают или умножают?

Решение.

  1. Числитель растёт на 1: $\frac{5}{37}$, $\frac{6}{37}$, $\frac{7}{37}$;
  2. Числитель уменьшается на 2: $\frac{13}{29}$, $\frac{11}{29}$, $\frac{9}{29}$;
  3. Числитель каждый раз удваивается (дробь умножается на 2): $\frac{16}{17}$, $\frac{32}{17}$, $\frac{64}{17}$.

Ответ: 1) $\frac{5}{37}$; $\frac{6}{37}$; $\frac{7}{37}$; 2) $\frac{13}{29}$; $\frac{11}{29}$; $\frac{9}{29}$; 3) $\frac{16}{17}$; $\frac{32}{17}$; $\frac{64}{17}$.

№ 598

Лодка догоняет плот, до которого 9 км. Собственная скорость лодки $10\frac{1}{2}$ км/ч. Какое расстояние будет между ними через $\frac{2}{3}$ ч?

Как думать. Плот плывёт со скоростью течения. Лодка вниз по реке — со скоростью «своя + течение». Течение одинаково несёт обоих, поэтому лодка приближается к плоту ровно со своей собственной скоростью.

Решение.

  1. За $\frac{2}{3}$ ч лодка приблизится на $10\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{3} = 7$ (км).
  2. Останется $9 - 7 = 2$ (км).

Ответ: 2 км.

№ 599

1) У девочки 4 яблока, 4 половинки яблока и 4 «пол-пол-яблока». Сколько всего яблок? 2) У Самата 27 груш. Он отдал Юре $\frac{1}{3}$ груш, Ермуханбету — $\frac{1}{3}$ остатка, Диме — $\frac{1}{3}$ нового остатка. Сколько груш осталось?

Как думать. «Пол-пол-яблока» — это половина от половины, то есть $\frac{1}{4}$. Во второй задаче каждый раз берём треть от того, что осталось, а не от 27.

Решение.

  1. $4 + 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} = 4 + 2 + 1 = 7$ (яблок).
  2. Юре: $27 \cdot \frac{1}{3} = 9$, осталось 18. Ермуханбету: $18 \cdot \frac{1}{3} = 6$, осталось 12. Диме: $12 \cdot \frac{1}{3} = 4$, осталось 8.

Ответ: 1) 7 яблок; 2) 8 груш.

№ 600

Купили дыню, арбуз и тыкву. Всё без дыни весит 11 кг, без арбуза — 9 кг, без тыквы — 12 кг. Найди массу каждого.

Как думать. Сложи три данных числа. Каждый плод попадёт в сумму ровно два раза.

Решение.

  1. $11 + 9 + 12 = 32$ (кг) — это удвоенная масса всех трёх.
  2. Все три вместе: $32 : 2 = 16$ (кг).
  3. Дыня: $16 - 11 = 5$ кг; арбуз: $16 - 9 = 7$ кг; тыква: $16 - 12 = 4$ кг.

Проверка: арбуз + тыква = 11, дыня + тыква = 9, дыня + арбуз = 12. Верно.

Ответ: дыня 5 кг, арбуз 7 кг, тыква 4 кг.

№ 601

На клетчатой бумаге (сторона клетки $\frac{1}{2}$ см) нарисован прямоугольник $AEFK$ 6 см на 4 см. На верхней стороне $EF$ стоят точки $B$ и $C$: $EB = 2$ см, $BC = 3$ см, $CF = 1$ см. На правой стороне $FK$ — точка $D$: $FD = 2$ см, $DK = 2$ см. Найди площадь прямоугольника, трёх прямоугольных треугольников по углам и четырёхугольника $ABCD$.

Как думать. Прямоугольный треугольник — это половинка прямоугольника на его катетах. А четырёхугольник = большой прямоугольник минус три «уголка».

Решение.

  1. $S_{AEFK} = 6 \cdot 4 = 24$ (см²).
  2. $S_{AEB} = 4 \cdot 2 : 2 = 4$ (см²) (катеты $EA = 4$, $EB = 2$).
  3. $S_{CFD} = 1 \cdot 2 : 2 = 1$ (см²) (катеты $CF = 1$, $FD = 2$).
  4. $S_{ADK} = 6 \cdot 2 : 2 = 6$ (см²) (катеты $AK = 6$, $DK = 2$).
  5. $S_{ABCD} = 24 - 4 - 1 - 6 = 13$ (см²).

Ответ: прямоугольник 24 см²; треугольники 4 см², 1 см², 6 см²; четырёхугольник $ABCD$ — 13 см².

№ 602

Посчитай: 1) $\frac{1}{3} \cdot \left(2\frac{2}{15} \cdot 6\frac{1}{4} - 5\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{8}\right) + 4\frac{5}{9}$; 2) $30\frac{4}{5} - 1\frac{2}{5} \cdot \left(1\frac{4}{5} \cdot \left(12\frac{7}{12} - 9\frac{19}{36}\right) - \frac{17}{35} \cdot 1\frac{11}{34}\right)$.

Как думать. Сначала внутренние скобки, а внутри скобок умножение — раньше вычитания. Каждое действие пиши отдельной строкой, чтобы не запутаться.

Решение.

  1. $\frac{1}{3} \cdot \left(2\frac{2}{15} \cdot 6\frac{1}{4} - 5\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{8}\right) + 4\frac{5}{9}$:
    1. $2\frac{2}{15} \cdot 6\frac{1}{4} = \frac{32}{15} \cdot \frac{25}{4} = \frac{8 \cdot 5}{3 \cdot 1} = \frac{40}{3}$;
    2. $5\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{8} = \frac{16}{3} \cdot \frac{9}{8} = 6$;
    3. $\frac{40}{3} - 6 = \frac{40}{3} - \frac{18}{3} = \frac{22}{3}$;
    4. $\frac{1}{3} \cdot \frac{22}{3} = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9}$;
    5. $2\frac{4}{9} + 4\frac{5}{9} = 7$.
  2. $30\frac{4}{5} - 1\frac{2}{5} \cdot \left(1\frac{4}{5} \cdot \left(12\frac{7}{12} - 9\frac{19}{36}\right) - \frac{17}{35} \cdot 1\frac{11}{34}\right)$:
    1. $12\frac{21}{36} - 9\frac{19}{36} = 3\frac{2}{36} = 3\frac{1}{18} = \frac{55}{18}$;
    2. $\frac{9}{5} \cdot \frac{55}{18} = \frac{11}{2}$;
    3. $\frac{17}{35} \cdot \frac{45}{34} = \frac{9}{14}$;
    4. $\frac{11}{2} - \frac{9}{14} = \frac{77}{14} - \frac{9}{14} = \frac{68}{14} = \frac{34}{7}$;
    5. $\frac{7}{5} \cdot \frac{34}{7} = \frac{34}{5} = 6\frac{4}{5}$;
    6. $30\frac{4}{5} - 6\frac{4}{5} = 24$.

Ответ: 1) 7; 2) 24.

Шпаргалка

  • Дробь на натуральное число: $\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$, знаменатель не меняется.
  • Дробь на дробь: верх на верх, низ на низ.
  • Смешанные числа переводим в неправильные дроби; целые и дроби отдельно не перемножаем.
  • Сокращаем до умножения.
  • Произведение двух правильных дробей меньше каждой из них.

Мини-тест

← Исторические сведения · 3.12. Взаимно обратные числа →