3.12. Взаимно обратные числа

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава III: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 200–202.

Чему научишься

• Узнавать взаимно обратные числа: их произведение равно 1.
• «Переворачивать» дробь, чтобы получить обратное число.
• Находить число, обратное смешанному и натуральному числу.
• Объяснять, почему у нуля обратного числа нет.
• Решать уравнения вида $\frac{a}{b}x = 1$ в одно действие.

Разминка

Вспомни прошлый урок: верх на верх, низ на низ.

• $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$? $\frac{6}{6} = 1$.
• $\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}$? $\frac{20}{20} = 1$.
• $8 \cdot \frac{1}{8}$? $\frac{8}{8} = 1$.
• $1\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$? $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$.

💡 Опять единица! И опять, и опять. Это не случайность — у таких пар чисел есть своё имя.

Разбираемся

Числа-«перевёртыши»

Умножим $\frac{5}{7}$ на $\frac{7}{5}$:

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 5} = \frac{35}{35} = 1$.

Сверху и снизу оказались одни и те же числа — они полностью сократились. Посмотри на эти две дроби: одна меньше целого, другая больше. А вместе дают ровно 1.

📌 Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

«Взаимно» — потому что дружба работает в обе стороны: $\frac{7}{5}$ обратно числу $\frac{5}{7}$, а $\frac{5}{7}$ обратно числу $\frac{7}{5}$.

Почему получается ровно 1 — смотрим на клетки

Пусть одна клетка — это $\frac{1}{6}$ единицы. Тогда квадрат $1 \times 1$ — это 6 на 6 клеток. А прямоугольник со сторонами $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ — это 4 клетки на 9 клеток. Сравни площади!

Прямоугольник узкий, зато высокий. Площадь у него такая же, как у единичного квадрата: $4 \cdot 9 = 36 = 6 \cdot 6$. Вот почему $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$.

Как найти обратное число

Для дроби — переверни её: числитель вниз, знаменатель наверх. $\frac{7}{15}$ и $\frac{15}{7}$ — взаимно обратные.

Для смешанного числа — сначала «переодень» его в неправильную дробь, потом переворачивай:

$9\frac{2}{5} = \frac{47}{5}$, обратное число $\frac{5}{47}$.

Для натурального числа — поставь его в знаменатель под единицу: 9 и $\frac{1}{9}$ взаимно обратные, ведь $9 \cdot \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

⚠️ Частая ошибка. Для $2\frac{1}{3}$ пишут обратным $2\frac{3}{1}$ или $\frac{3}{1}$ — переворачивают только дробную часть. Правильно: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, обратное $\frac{3}{7}$. Проверка всегда одна — перемножь: $\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7} = 1$. Верно!

Особые числа: 1 и 0

• Число 1 обратно самому себе: $1 \cdot 1 = 1$.
• У нуля обратного числа нет. Что ни умножай на 0, получится 0, а не 1. Вот и ответ на загадку совы!

Что получается после «переворота»

• Правильная дробь меньше 1, обратная ей — неправильная (больше 1): $\frac{3}{10} \to \frac{10}{3}$.
• Смешанное число больше 1, обратное ему — правильная дробь: $1\frac{1}{5} = \frac{6}{5} \to \frac{5}{6}$.
• Обратное натуральному числу — дробь с числителем 1: $12 \to \frac{1}{12}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Эта короткая тема — подготовка к делению дробей на следующем уроке. Делить на дробь — значит умножать на обратное число. Устройте быструю игру: вы называете число, ребёнок — обратное. Особенно полезно погонять смешанные числа.

Самостоятельная работа (задания 1–6)

Задание 1. Выбери пять пар взаимно обратных чисел.

Пары: 1) $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$; 3) $\frac{4}{7}$ и $\frac{7}{4}$; 4) $\frac{7}{10}$ и $\frac{10}{7}$; 5) $\frac{2}{9}$ и $\frac{9}{2}$; 8) $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$. В остальных парах произведение не равно 1: например, $\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$.

Задание 2. Запиши дроби, обратные данным. $\frac{5}{12} \to \frac{12}{5}$; $\frac{9}{13} \to \frac{13}{9}$; $\frac{11}{7} \to \frac{7}{11}$; $\frac{2}{13} \to \frac{13}{2}$; $\frac{10}{11} \to \frac{11}{10}$; $\frac{9}{100} \to \frac{100}{9}$.

Задание 3. Найди пять пар взаимно обратных среди пар со смешанными числами.

1. $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ и $\frac{3}{7}$ — да; 2) $5\frac{1}{2} = \frac{11}{2}$ и $\frac{2}{11}$ — да; 3) $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$ и $\frac{3}{8}$ — нет (нужно $\frac{5}{8}$); 4) $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$ и $\frac{3}{14}$ — да; 5) $7\frac{2}{3} = \frac{23}{3}$ и $\frac{3}{23}$ — да; 6) $8\frac{1}{4} = \frac{33}{4}$ и $\frac{8}{5}$ — нет; 7) $10\frac{1}{2} = \frac{21}{2}$ и $\frac{21}{2}$ — нет, это одно и то же число; 8) $3\frac{5}{6} = \frac{23}{6}$ и $\frac{6}{23}$ — да. Пять пар: 1, 2, 4, 5, 8.

Задание 4. Запиши число, обратное данному.

$3\frac{2}{7} = \frac{23}{7} \to \frac{7}{23}$; $\frac{15}{8} \to \frac{8}{15}$; $2\frac{3}{10} = \frac{23}{10} \to \frac{10}{23}$; $\frac{14}{3} \to \frac{3}{14}$; $5\frac{2}{9} = \frac{47}{9} \to \frac{9}{47}$; $7\frac{1}{6} = \frac{43}{6} \to \frac{6}{43}$; $10\frac{3}{4} = \frac{43}{4} \to \frac{4}{43}$.

Задание 5. Запиши числа, обратные правильным дробям, смешанным числам и натуральным числам, и допиши вывод.

1. $\frac{5}{7}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{8}{9}$, $\frac{11}{13}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{9}{13}$, $\frac{11}{20}$ $\to$ $\frac{7}{5}$, $\frac{10}{3}$, $\frac{9}{8}$, $\frac{13}{11}$, $2$, $\frac{13}{9}$, $\frac{20}{11}$. Число, обратное правильной дроби, — неправильная дробь (иногда она равна натуральному числу, как $\frac{2}{1} = 2$).
2. $1\frac{1}{5}$, $2\frac{3}{7}$, $4\frac{1}{8}$, $10\frac{2}{5}$, $21\frac{5}{9}$, $30\frac{5}{7}$, $8\frac{3}{10}$ $\to$ $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{17}$, $\frac{8}{33}$, $\frac{5}{52}$, $\frac{9}{194}$, $\frac{7}{215}$, $\frac{10}{83}$. Число, обратное смешанному числу, — правильная дробь.
3. 3, 5, 7, 9, 12, 1, 17, 10, 100 $\to$ $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{12}$, $1$, $\frac{1}{17}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{100}$. Число, обратное натуральному, — аликвотная дробь (с числителем 1); исключение — число 1, оно обратно само себе.

Задание 6. Переверни дроби с буквами. $\frac{1}{a} \to a$; $\frac{1}{7x} \to 7x$; $\frac{a}{b} \to \frac{b}{a}$; $\frac{5}{a} \to \frac{a}{5}$; $\frac{b}{7} \to \frac{7}{b}$; $\frac{2x}{5} \to \frac{5}{2x}$; $\frac{3x}{2y} \to \frac{2y}{3x}$. Буквы здесь не равны нулю.

Проверь, как понял

Решаем упражнения

№ 603

1) Оператор набрал текст за 3 ч. Какую часть текста он набирал за 1 ч? 2) Бассейн наполняется за 20 мин. Какая часть наполняется за 1 мин? 3) Дистанцию Динара пробежала за 15 с, а Данияр — за 12 с. У кого скорость больше?

Как думать. Если вся работа сделана за $n$ минут (часов, секунд), то за одну такую единицу сделана $\frac{1}{n}$ часть. Время и «часть за единицу времени» — взаимно обратные числа.

Решение.

1. За 1 ч — $\frac{1}{3}$ текста.
2. За 1 мин — $\frac{1}{20}$ бассейна.
3. За 1 с Динара пробегает $\frac{1}{15}$ дистанции, Данияр — $\frac{1}{12}$. Из двух дробей с числителем 1 больше та, у которой знаменатель меньше: $\frac{1}{12} > \frac{1}{15}$.

💡 Логично: кто пробежал быстрее (за меньшее время), у того и скорость больше.

Ответ: 1) $\frac{1}{3}$; 2) $\frac{1}{20}$; 3) у Данияра.

№ 604

Какие утверждения верны? 1) 1 обратно самому себе; 2) произведение взаимно обратных чисел меньше 1; 3) у 0 нет обратного числа; 4) у любого числа есть обратное; 5) у любого числа, кроме нуля, есть обратное; 6) произведение взаимно обратных чисел равно 1.

Как думать. Проверяй каждое утверждение определением: «произведение равно 1». И вспомни про ноль-исключение.

Решение.

1. Верно: $1 \cdot 1 = 1$.
2. Неверно: оно равно 1, а не меньше.
3. Верно: $0 \cdot$ (любое число) $= 0 \ne 1$.
4. Неверно: у нуля обратного нет.
5. Верно.
6. Верно: это и есть определение.

Ответ: верны 1, 3, 5, 6.

№ 605

Реши уравнения: $\frac{2}{7}x = 1$; $9x = 1$; $1\frac{5}{8}x = 1$; $\frac{1}{2}x = 1$; $\frac{7}{15}x = 1$; $3\frac{2}{5}x = 1$; $100x = 1$; $\frac{2}{13}x = 1$.

Как думать. Если произведение двух чисел равно 1, они взаимно обратные. Значит, $x$ — это просто число, обратное коэффициенту. Никаких долгих вычислений!

Решение.

1. $\frac{2}{7}x = 1$, $x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$;
2. $9x = 1$, $x = \frac{1}{9}$;
3. $1\frac{5}{8} = \frac{13}{8}$, $x = \frac{8}{13}$;
4. $\frac{1}{2}x = 1$, $x = 2$;
5. $\frac{7}{15}x = 1$, $x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}$;
6. $3\frac{2}{5} = \frac{17}{5}$, $x = \frac{5}{17}$;
7. $100x = 1$, $x = \frac{1}{100}$;
8. $\frac{2}{13}x = 1$, $x = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$.

Проверка, например, для 3): $\frac{13}{8} \cdot \frac{8}{13} = 1$.

Ответ: 1) $3\frac{1}{2}$; 2) $\frac{1}{9}$; 3) $\frac{8}{13}$; 4) 2; 5) $2\frac{1}{7}$; 6) $\frac{5}{17}$; 7) $\frac{1}{100}$; 8) $6\frac{1}{2}$.

Шпаргалка

• Взаимно обратные числа — их произведение равно 1.
• Обратное дроби $\frac{a}{b}$ — дробь $\frac{b}{a}$.
• Смешанное число сначала переводим в неправильную дробь, потом переворачиваем.
• Обратное натуральному $n$ — дробь $\frac{1}{n}$.
• У нуля обратного числа нет.

Мини-тест