Упражнения для повторения пройденного за год

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IX: Развертки пространственных фигур. Страницы 179–186.

book: ru-5-matematika-aldamuratova-2017 part: 2 lesson: "year.rep" title: "Упражнения для повторения пройденного за год" pages: 179-186 kind: review time: 90 hook: "Целый год математики уместился в 49 задач! Пройди их по темам — и увидишь, как много ты теперь умеешь."

Упражнения для повторения пройденного за год

Что повторяем

Это финальный забег по всему 5 классу. Задачи разбиты на 8 тем, как ступеньки. Если какая-то тема «буксует», открой нужный параграф и перечитай объяснение.

1. Натуральные числа и нуль — часть 1, § 1.1–1.12: запись чисел, координатный луч, сравнение, порядок действий, выражения, уравнения.
2. Делимость натуральных чисел — часть 1, § 2.1–2.9: делители и кратные, признаки делимости, НОД и НОК.
3. Обыкновенные дроби — часть 1, § 3.1–3.13; часть 2, § 3.14–3.15: сокращение, сравнение, общий знаменатель, четыре действия, совместная работа. Движение по реке — § 2.10.
4. Десятичные дроби — часть 2, § 4.1–4.12: четыре действия, перенос запятой, задачи на движение.
5. Множества — часть 2, § 5.1–5.4: подмножество, пересечение и объединение, круги Эйлера–Венна.
6. Проценты — часть 2, § 6.1–6.3: процент от числа и число по его процентам.
7. Углы. Многоугольники — часть 2, § 7.1–7.4: градусы, транспортир, биссектриса, периметр.
8. Диаграммы. Развёртка куба — часть 2, § 8.2–8.3 (круговые диаграммы) и § 9.1 (развёртки).

Переверни карточки — это главные правила года в одном месте.

💡 Не решай всё подряд за один вечер. Одна-две темы за раз — и к концу недели повторишь весь год.

👨‍👩‍👧 Родителю. Если ребёнок ошибся, спросите: «К какой теме эта задача?» — и вместе найдите правило в нужном параграфе. Это полезнее, чем сразу показать решение.

Разомнись перед стартом:

Решаем упражнения

1. Натуральные числа и нуль

№ 1317

Над знаками стоят номера действий. Расставь скобки так, чтобы считать именно в этом порядке, и найди значение: 1) $716 + 952 - 574 : 27$ (порядок 3, 1, 2); 2) $625 - 596 \cdot 901 - 867$ (1, 3, 2); 3) $2215 : 128 + 315 \cdot 86$ (2, 1, 3); 4) $522 + 723 : 932 - 517 \cdot 57$ (1, 3, 2, 4).

Как думать. Если действие по обычным правилам шло бы позже, а по номеру — раньше, его надо «поднять» скобками.

Решение.

1. Вычитание, потом деление, потом сложение: $716 + (952 - 574) : 27 = 716 + 378 : 27 = 716 + 14 = 730$.
2. Оба вычитания раньше умножения: $(625 - 596) \cdot (901 - 867) = 29 \cdot 34 = 986$.
3. Сложение, потом деление, потом умножение: $2215 : (128 + 315) \cdot 86 = 2215 : 443 \cdot 86 = 5 \cdot 86 = 430$.
4. Сложение, вычитание, деление, умножение: $(522 + 723) : (932 - 517) \cdot 57 = 1245 : 415 \cdot 57 = 3 \cdot 57 = 171$.

Ответ: 1) 730; 2) 986; 3) 430; 4) 171.

№ 1318

Из цифр 0, 3, 5, 7, 9 (каждая по разу) составь наибольшее и наименьшее пятизначные числа.

Как думать. Для самого большого — цифры по убыванию. Для самого маленького — по возрастанию, но нуль первым ставить нельзя.

Решение.

1. По убыванию: 9, 7, 5, 3, 0 — получаем 97 530.
2. По возрастанию было бы 03579, но так нельзя. Первой ставим 3, а нуль — вторым: 30 579.

Ответ: 1) 97 530; 2) 30 579.

№ 1319

На луче с единичным отрезком 1 см отметь точки $A(x)$, $B(x - 2)$, $C(x + 3)$. Найди $AB$, $AC$ и $BC$.

Как думать. Длина отрезка на луче — это разность координат: из большей вычитаем меньшую. Число $x$ можно взять любое — ответ от него не зависит.

Решение.

1. $AB = x - (x - 2) = 2$ отрезка, то есть 2 см.
2. $AC = (x + 3) - x = 3$ см.
3. $BC = (x + 3) - (x - 2) = 5$ см. Проверка: $AB + AC = 2 + 3 = 5$.

Ответ: $AB = 2$ см, $AC = 3$ см, $BC = 5$ см.

№ 1320

Сравни числа, где часть цифр закрыта звёздочками: 1) 5** и 8*; 2) 63* и 93*; 3) **3 и ***2; 4) 25** и 16***; 5) 42*7 и 39*8; 6) ***3 и **7.

Как думать. У кого цифр больше — то число и больше. Если цифр поровну, сравниваем старшие разряды.

Решение.

1. 5** — трёхзначное, 8* — двузначное: $5** > 8*$.
2. Оба трёхзначные, сотни 6 и 9: $63* < 93*$.
3. **3 — трёхзначное, ***2 — четырёхзначное: $**3 < ***2$.
4. 25** — четырёхзначное, 16*** — пятизначное: $25** < 16***$.
5. Оба четырёхзначные, тысячи 4 и 3: $427 > 398$.
6. ***3 — четырёхзначное, **7 — трёхзначное: $***3 > **7$.

Ответ: 1)

№ 1321

Фляга с водой весит 29 кг. Половину воды перелили — фляга стала весить 16 кг. Сколько весит пустая фляга?

Как думать. Масса уменьшилась ровно на половину воды. Значит, разница масс подскажет, сколько воды.

Решение.

1. Половина воды: $29 - 16 = 13$ кг.
2. Вся вода: $13 \cdot 2 = 26$ кг.
3. Пустая фляга: $29 - 26 = 3$ кг.

Ответ: 3 кг.

№ 1322

Яблоко в 3 раза тяжелее сливы. Лимон на 50 г легче яблока и в 2 раза легче груши. Груша весит 320 г. Сколько весит слива?

Как думать. Знаем только грушу, поэтому шагаем «назад» по цепочке: груша, лимон, яблоко, слива.

Решение.

1. Лимон: $320 : 2 = 160$ г.
2. Яблоко на 50 г тяжелее лимона: $160 + 50 = 210$ г.
3. Слива: $210 : 3 = 70$ г.

Ответ: 70 г.

№ 1323

2 прыжка собаки по длине равны 3 прыжкам зайца. Пока собака делает 3 прыжка, заяц делает 5. Догонит ли собака зайца?

Как думать. Надо сравнить, кто пробегает больше за одно и то же время. Удобно взять 6 прыжков собаки: 6 делится и на 2, и на 3.

Решение.

1. Пока собака делает 6 прыжков ($3 \cdot 2$), заяц делает $5 \cdot 2 = 10$ прыжков.
2. 6 прыжков собаки — это по длине $3 \cdot 3 = 9$ прыжков зайца.
3. За одно время собака пробегает 9 «заячьих прыжков», а заяц — 10. $9 < 10$, заяц быстрее.

Ответ: не может: заяц за то же время пробегает больше, чем собака.

№ 1324

Упрости с помощью распределительного свойства и найди значение: 1) $3(x + 5) + 7x$ при $x = 4$; 2) $12(4 + y) - 5y$ при $y = 2$; 3) $6x + 4(2x + 7)$ при $x = 3$; 4) $9y + 2(6y + 5)$ при $y = 7$.

Как думать. Раскрой скобки, собери вместе все «иксы» — и только потом подставляй число.

Решение.

1. $3(x + 5) + 7x = 3x + 15 + 7x = 10x + 15$; при $x = 4$: $40 + 15 = 55$.
2. $12(4 + y) - 5y = 48 + 12y - 5y = 7y + 48$; при $y = 2$: $14 + 48 = 62$.
3. $6x + 4(2x + 7) = 6x + 8x + 28 = 14x + 28$; при $x = 3$: $42 + 28 = 70$.
4. $9y + 2(6y + 5) = 9y + 12y + 10 = 21y + 10$; при $y = 7$: $147 + 10 = 157$.

Ответ: 1) 55; 2) 62; 3) 70; 4) 157.

⚠️ Частая ошибка. Умножают только первое слагаемое: $3(x + 5) = 3x + 5$. Число перед скобками умножается на каждое слагаемое внутри.

№ 1325

Реши уравнения: 1) $7(x + 8) - 25 = 66$; 2) $9(5x + 13) = 252$; 3) $15(13x - 7) = 285$; 4) $(y + 46) : 3 = 18$; 5) $(2x + 39) : 5 = 13$; 6) $182 : (x - 15) = 14$.

Как думать. Уравнение — как свёрнутый подарок. Снимаем «обёртки» по одной, начиная с последнего действия.

Решение.

1. $7(x + 8) - 25 = 66$; $7(x + 8) = 91$; $x + 8 = 13$; $x = 5$.
2. $9(5x + 13) = 252$; $5x + 13 = 28$; $5x = 15$; $x = 3$.
3. $15(13x - 7) = 285$; $13x - 7 = 19$; $13x = 26$; $x = 2$.
4. $(y + 46) : 3 = 18$; $y + 46 = 54$; $y = 8$.
5. $(2x + 39) : 5 = 13$; $2x + 39 = 65$; $2x = 26$; $x = 13$.
6. $182 : (x - 15) = 14$; $x - 15 = 182 : 14 = 13$; $x = 28$.

Проверка для 1): $7 \cdot (5 + 8) - 25 = 91 - 25 = 66$. Верно.

Ответ: 1) 5; 2) 3; 3) 2; 4) 8; 5) 13; 6) 28.

№ 1326

3 кг мандаринов стоят $a$ тг, 4 кг яблок — $b$ тг. Что означают выражения: 1) $a : 3$; 2) $b : 4$; 3) $a : 3 + b : 4$; 4) $2(a : 3) + 5(b : 4)$?

Как думать. Если цену нескольких килограммов разделить на число килограммов, получится цена одного.

Решение.

1. $a : 3$ — цена 1 кг мандаринов (тг).
2. $b : 4$ — цена 1 кг яблок (тг).
3. $a : 3 + b : 4$ — сколько стоят вместе 1 кг мандаринов и 1 кг яблок.
4. $2(a : 3) + 5(b : 4)$ — стоимость покупки: 2 кг мандаринов и 5 кг яблок.

Ответ: см. решение.

№ 1327

Реши ребусы (звёздочка — пропущенная цифра): 1) $39 : 14 = 8$; 2) $88 : 23 = 3*$; 3) $37 : 49 = 1$; 4) $62 : 37 = 2$.*

Как думать. Деление проверяют умножением. Последняя цифра произведения подсказывает последнюю цифру частного.

Решение.

1. $14 \cdot 8 = 39$. Подходит $14 \cdot 28 = 392$. Ребус: $392 : 14 = 28$.
2. $23 \cdot 3*$ оканчивается на 8. $3 \cdot 6 = 18$ — значит, 36. $23 \cdot 36 = 828$. Ребус: $828 : 23 = 36$.
3. $49 \cdot 1*$ оканчивается на 7. $9 \cdot 3 = 27$ — значит, 13. $49 \cdot 13 = 637$. Ребус: $637 : 49 = 13$.
4. $37 \cdot 2*$ оканчивается на 2. $7 \cdot 6 = 42$ — значит, 26. $37 \cdot 26 = 962$. Ребус: $962 : 37 = 26$.

Ответ: 1) $392 : 14 = 28$; 2) $828 : 23 = 36$; 3) $637 : 49 = 13$; 4) $962 : 37 = 26$.

2. Делимость натуральных чисел

№ 1328

1) Выпиши делители чисел 5, 16, 28. 2) Найди НОД чисел 18 и 24, 12 и 9, 12 и 20.

Как думать. Делители ищи парами: $1 \cdot 28$, $2 \cdot 14$, $4 \cdot 7$. Так ни один не потеряется.

Решение.

1. Делители 5: 1, 5. Делители 16: 1, 2, 4, 8, 16. Делители 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
2. Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Наибольший общий — 6. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12; делители 9: 1, 3, 9. НОД — 3. Делители 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Общие с 12: 1, 2, 4. НОД — 4.

Ответ: 1) 5: 1, 5; 16: 1, 2, 4, 8, 16; 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. 2) НОД(18; 24) = 6; НОД(12; 9) = 3; НОД(12; 20) = 4.

№ 1329

Найди НОК: 1) 3 и 4; 2) 12 и 18; 3) 16 и 3; 4) 30 и 45.

Как думать. Если у чисел нет общих делителей, кроме 1, НОК — их произведение. Иначе раскладываем на простые множители.

Решение.

1. 3 и 4 взаимно простые: НОК $= 3 \cdot 4 = 12$.
2. $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК $= 2^2 \cdot 3^2 = 36$.
3. 16 и 3 взаимно простые: НОК $= 48$.
4. $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $45 = 3^2 \cdot 5$. НОК $= 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90$.

Ответ: 1) 12; 2) 36; 3) 48; 4) 90.

№ 1330

Из цифр 5, 6, 7 (каждая по разу) запиши: наибольшее число, делящееся на 9; наименьшее, делящееся на 2; наибольшее, делящееся на 5.

Как думать. Сумма цифр $5 + 6 + 7 = 18$ делится на 9 — значит, любое число из этих цифр делится на 9. На 2 делится то, что оканчивается на 6, на 5 — то, что оканчивается на 5.

Решение.

1. Самое большое из всех — 765. Оно делится на 9.
2. Оканчиваются на 6: 576 и 756. Наименьшее — 576.
3. Оканчиваются на 5: 675 и 765. Наибольшее — 765.

Ответ: 1) 765; 2) 576; 3) 765.

№ 1331

1) Наибольшее трёхзначное число, кратное 45. 2) Наименьшее четырёхзначное число, кратное 45.

Как думать. Делим 999 на 45. Остаток показывает, сколько надо «отрезать», чтобы попасть в кратное.

Решение.

1. $999 : 45 = 22$ (ост. 9). Значит, $45 \cdot 22 = 990$.
2. Следующее кратное: $990 + 45 = 1035$ — уже четырёхзначное.

Ответ: 1) 990; 2) 1035.

№ 1332

Сколько двузначных чисел можно записать цифрами 5, 8 и 9?

Как думать. Цифры могут повторяться (например, 55). На первое место — любая из 3, на второе — снова любая из 3.

Решение. $3 \cdot 3 = 9$ чисел: 55, 58, 59, 85, 88, 89, 95, 98, 99.

Ответ: 9 чисел.

№ 1333

Частное двух чисел равно НОД(12; 16), а сумма — НОК(50; 75). Найди числа.

Как думать. Сначала найди НОД и НОК — это обычные числа. Потом задача превращается в «части»: одно число в несколько раз больше другого.

Решение.

1. НОД(12; 16) = 4. Значит, одно число в 4 раза больше другого.
2. $50 = 2 \cdot 5^2$, $75 = 3 \cdot 5^2$, НОК $= 2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 150$. Сумма чисел 150.
3. Меньшее — 1 часть, большее — 4 части, всего 5 частей: $150 : 5 = 30$.
4. Большее: $30 \cdot 4 = 120$.

Проверка: $120 + 30 = 150$, $120 : 30 = 4$.

Ответ: 120 и 30.

№ 1334

Енлик и Ляззат прошли шагами 140 м, их следы совпали 40 раз. Шаг Енлик 70 см. Какой шаг у Ляззат?

Как думать. Следы совпадают там, где расстояние делится и на шаг Енлик, и на шаг Ляззат. Значит, это задача на НОК.

Решение.

1. $140 \text{ м} = 14,000$ см.
2. Следы совпадают через каждые $14,000 : 40 = 350$ см.
3. Нужен шаг $x$, для которого НОК$(70; x) = 350$. $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$, $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$. В $x$ должно входить $5^2 = 25$. Подходят 25, 50, 175, 350 см.
4. Шаг 25 см — слишком мал, 175–350 см — слишком велик. Остаётся 50 см.

Проверка: НОК$(70; 50) = 350$. Верно.

Ответ: 50 см.

3. Обыкновенные дроби и действия над ними

№ 1335

Сократи дроби: $\frac{12}{15}$, $\frac{18}{30}$, $\frac{48}{56}$, $\frac{54}{81}$, $\frac{125}{200}$.

Как думать. Делим числитель и знаменатель на их НОД — и дробь сразу становится несократимой.

Решение.

1. $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ (на 3);
2. $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$ (на 6);
3. $\frac{48}{56} = \frac{6}{7}$ (на 8);
4. $\frac{54}{81} = \frac{2}{3}$ (на 27);
5. $\frac{125}{200} = \frac{5}{8}$ (на 25).

Ответ: $\frac{4}{5}$; $\frac{3}{5}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{5}{8}$.

№ 1336

Сравни дроби: 1) $\frac{555}{777}$ и $\frac{8888}{4444}$; 2) $\frac{44}{66}$ и $\frac{333}{555}$.

Как думать. Числа из одинаковых цифр отлично сокращаются: 555 и 777 делятся на 111, 8888 и 4444 — на 4444.

Решение.

1. $\frac{555}{777} = \frac{5}{7}$ — меньше 1. $\frac{8888}{4444} = 2$. Значит, $\frac{555}{777} < \frac{8888}{4444}$.
2. $\frac{44}{66} = \frac{2}{3} = \frac{10}{15}$; $\frac{333}{555} = \frac{3}{5} = \frac{9}{15}$. Значит, $\frac{44}{66} > \frac{333}{555}$.

Ответ: 1)

№ 1337

1) Запиши $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{12}$ со знаменателем 24. 2) Приведи $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{4}{15}$ к наименьшему общему знаменателю.

Как думать. Дополнительный множитель — это «во сколько раз новый знаменатель больше старого». На него умножаем и числитель, и знаменатель.

Решение.

1. Дополнительные множители: 12, 8, 6, 4, 3, 2. $\frac{1}{2} = \frac{12}{24}$; $\frac{2}{3} = \frac{16}{24}$; $\frac{3}{4} = \frac{18}{24}$; $\frac{1}{6} = \frac{4}{24}$; $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$; $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$.
2. НОК$(3; 5; 9; 15) = 45$. Множители: 15, 9, 5, 3. $\frac{1}{3} = \frac{15}{45}$; $\frac{2}{5} = \frac{18}{45}$; $\frac{2}{9} = \frac{10}{45}$; $\frac{4}{15} = \frac{12}{45}$.

Ответ: 1) $\frac{12}{24}$, $\frac{16}{24}$, $\frac{18}{24}$, $\frac{4}{24}$, $\frac{9}{24}$, $\frac{10}{24}$; 2) $\frac{15}{45}$, $\frac{18}{45}$, $\frac{10}{45}$, $\frac{12}{45}$.

№ 1338

Вычисли: 1) $2\frac{2}{11} \cdot \frac{7}{8} : \frac{7}{11}$; 2) $3\frac{2}{3} \cdot 4\frac{7}{8} : \frac{13}{16}$; 3) $1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{3} : \frac{4}{9}$; 4) $6\frac{4}{15} \cdot \frac{1}{2} : 3\frac{2}{15}$; 5) $8\frac{1}{3} \cdot 1\frac{5}{7} : 2\frac{8}{21}$; 6) $1\frac{5}{6} \cdot 3\frac{3}{5} : 2\frac{1}{5}$.

Как думать. Смешанные числа превращаем в неправильные дроби. Деление — в умножение на перевёрнутую дробь. И сокращаем до умножения — так числа остаются маленькими.

Решение.

1. $2\frac{2}{11} \cdot \frac{7}{8} : \frac{7}{11} = \frac{24}{11} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{7} = \frac{24}{8} = 3$.
2. $3\frac{2}{3} \cdot 4\frac{7}{8} : \frac{13}{16} = \frac{11}{3} \cdot \frac{39}{8} \cdot \frac{16}{13} = 11 \cdot 1 \cdot 2 = 22$.
3. $1\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{4}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{4} = 8$.
4. $6\frac{4}{15} \cdot \frac{1}{2} : 3\frac{2}{15} = \frac{94}{15} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{47} = \frac{94}{94} = 1$.
5. $8\frac{1}{3} \cdot 1\frac{5}{7} : 2\frac{8}{21} = \frac{25}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot \frac{21}{50} = \frac{25 \cdot 12 \cdot 21}{3 \cdot 7 \cdot 50} = 6$.
6. $1\frac{5}{6} \cdot 3\frac{3}{5} : 2\frac{1}{5} = \frac{11}{6} \cdot \frac{18}{5} \cdot \frac{5}{11} = 3$.

Ответ: 1) 3; 2) 22; 3) 8; 4) 1; 5) 6; 6) 3.

№ 1339

Вычисли: 1) $\left(6\frac{1}{4} - 4\frac{1}{8}\right) \cdot 4 + 3\frac{1}{3} : 2\frac{1}{2}$; 2) $\left(2\frac{4}{9} + 1\frac{1}{6}\right) \cdot 1\frac{4}{5} - 3\frac{1}{9} : 2\frac{1}{3}$; 3) $\left(2 - 1\frac{7}{12}\right) : \left(\frac{3}{8} - \frac{1}{6}\right) \cdot 3\frac{1}{4}$; 4) $\left(\frac{7}{10} - \frac{2}{5}\right) \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{5}{6}\right) : 6\frac{1}{2}$.

Как думать. Сначала скобки, потом умножение и деление, в конце сложение и вычитание. Каждое действие — отдельной строчкой, так не запутаешься.

Решение.

1. $6\frac{1}{4} - 4\frac{1}{8} = 6\frac{2}{8} - 4\frac{1}{8} = 2\frac{1}{8}$; $2\frac{1}{8} \cdot 4 = 8\frac{4}{8} = 8\frac{1}{2}$; $3\frac{1}{3} : 2\frac{1}{2} = \frac{10}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$; $8\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3} = 8\frac{3}{6} + 1\frac{2}{6} = 9\frac{5}{6}$.
2. $2\frac{4}{9} + 1\frac{1}{6} = 2\frac{8}{18} + 1\frac{3}{18} = 3\frac{11}{18} = \frac{65}{18}$; $\frac{65}{18} \cdot \frac{9}{5} = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$; $3\frac{1}{9} : 2\frac{1}{3} = \frac{28}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$; $6\frac{1}{2} - 1\frac{1}{3} = 6\frac{3}{6} - 1\frac{2}{6} = 5\frac{1}{6}$.
3. $2 - 1\frac{7}{12} = \frac{5}{12}$; $\frac{3}{8} - \frac{1}{6} = \frac{9}{24} - \frac{4}{24} = \frac{5}{24}$; $\frac{5}{12} : \frac{5}{24} = \frac{5}{12} \cdot \frac{24}{5} = 2$; $2 \cdot 3\frac{1}{4} = 6\frac{1}{2}$.
4. $\frac{7}{10} - \frac{2}{5} = \frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$; $\frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12}$; $\frac{3}{10} \cdot \frac{13}{12} = \frac{13}{40}$; $\frac{13}{40} : 6\frac{1}{2} = \frac{13}{40} \cdot \frac{2}{13} = \frac{1}{20}$.

Ответ: 1) $9\frac{5}{6}$; 2) $5\frac{1}{6}$; 3) $6\frac{1}{2}$; 4) $\frac{1}{20}$.

№ 1340

Вычисли: $\frac{2}{3}$, сложенная 17 раз, плюс $\frac{3}{5}$, сложенная 12 раз, минус $\frac{1}{15}$, сложенная 8 раз.

Как думать. Складывать одно и то же 17 раз долго. Одинаковые слагаемые — это умножение.

Решение.

1. $\frac{2}{3} \cdot 17 = \frac{34}{3} = \frac{170}{15}$.
2. $\frac{3}{5} \cdot 12 = \frac{36}{5} = \frac{108}{15}$.
3. $\frac{1}{15} \cdot 8 = \frac{8}{15}$.
4. $\frac{170}{15} + \frac{108}{15} - \frac{8}{15} = \frac{270}{15} = 18$.

Ответ: 18.

№ 1341

Два токаря вместе сделают задание за 15 дней. Они поработали вместе 5 дней, а остальное первый доделал один за 16 дней. За сколько дней каждый сделал бы всё задание один?

Как думать. Всё задание принимаем за 1. Тогда вдвоём за один день они делают $\frac{1}{15}$ задания.

Решение.

1. За 5 дней вместе: $\frac{1}{15} \cdot 5 = \frac{1}{3}$ задания.
2. Осталось: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ задания.
3. Первый за день: $\frac{2}{3} : 16 = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$ задания — всё сделает за 24 дня.
4. Второй за день: $\frac{1}{15} - \frac{1}{24} = \frac{8}{120} - \frac{5}{120} = \frac{3}{120} = \frac{1}{40}$ — всё сделает за 40 дней.

Ответ: первый — за 24 дня, второй — за 40 дней.

№ 1342

Собрали 20 кг трав: $\frac{1}{6}$ — зверобой, $\frac{1}{5}$ — тысячелистник, $\frac{1}{3}$ — мята, остальное — календула. Сколько килограммов календулы?

Как думать. Сначала узнаем, какую долю заняли три травы. Остаток — календула.

Решение.

1. Три травы: $\frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{5}{30} + \frac{6}{30} + \frac{10}{30} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10}$.
2. Календула: $1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ всех трав.
3. $20 \cdot \frac{3}{10} = 6$ кг.

Проверка: зверобой $3\frac{1}{3}$ кг, тысячелистник 4 кг, мята $6\frac{2}{3}$ кг, календула 6 кг; вместе 20 кг.

Ответ: 6 кг.

№ 1343

Собственная скорость катера $15\frac{1}{2}$ км/ч, течение $2\frac{1}{4}$ км/ч. За сколько часов катер пройдёт 71 км по течению?

Как думать. По течению река «подталкивает» катер, поэтому скорости складываются.

Решение.

1. Скорость по течению: $15\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} = 15\frac{2}{4} + 2\frac{1}{4} = 17\frac{3}{4} = \frac{71}{4}$ км/ч.
2. Время: $71 : \frac{71}{4} = 71 \cdot \frac{4}{71} = 4$ ч.

Ответ: за 4 ч.

4. Десятичные дроби и действия над ними

№ 1344

Вычисли: 1) $(13,37 + 35,43) : 8$; 2) $8,2 \cdot (75,38 - 46,18)$; 3) $18,21 \cdot 2,6 + 0,18 \cdot 67$; 4) $41,24 : 4 + 29,36$; 5) $0,46 \cdot 2,5 + 12,6 : 2,1$; 6) $95 \cdot 0,21 - 14,3 : 11$.

Решение.

1. $13,37 + 35,43 = 48,8$; $48,8 : 8 = 6,1$.
2. $75,38 - 46,18 = 29,2$; $8,2 \cdot 29,2 = 239,44$.
3. $18,21 \cdot 2,6 = 47,346$; $0,18 \cdot 67 = 12,06$; $47,346 + 12,06 = 59,406$.
4. $41,24 : 4 = 10,31$; $10,31 + 29,36 = 39,67$.
5. $0,46 \cdot 2,5 = 1,15$; $12,6 : 2,1 = 6$; $1,15 + 6 = 7,15$.
6. $95 \cdot 0,21 = 19,95$; $14,3 : 11 = 1,3$; $19,95 - 1,3 = 18,65$.

Ответ: 1) 6,1; 2) 239,44; 3) 59,406; 4) 39,67; 5) 7,15; 6) 18,65.

⚠️ Частая ошибка. Запятую в произведении ставят «как в первом множителе». А надо так: знаков после запятой столько, сколько у обоих множителей вместе. В $18,21 \cdot 2,6$ это $2 + 1 = 3$ знака: 47,346.

№ 1345

Найди значение: 1) $7 \cdot (2,3 + 0,8x) + 1,9x$ при $x = 0,4$; 2) $0,9 \cdot (6x + 5) - 3,2$ при $x = 1,2$; 3) $2,5 \cdot (3x + 0,4) - 5,1x$ при $x = 8$.

Как думать. Подставь число вместо $x$ и считай по порядку: скобки, умножение, сложение.

Решение.

1. При $x = 0,4$: $0,8 \cdot 0,4 = 0,32$; $2,3 + 0,32 = 2,62$; $7 \cdot 2,62 = 18,34$; $1,9 \cdot 0,4 = 0,76$; $18,34 + 0,76 = 19,1$.
2. При $x = 1,2$: $6 \cdot 1,2 = 7,2$; $7,2 + 5 = 12,2$; $0,9 \cdot 12,2 = 10,98$; $10,98 - 3,2 = 7,78$.
3. При $x = 8$: $3 \cdot 8 = 24$; $24 + 0,4 = 24,4$; $2,5 \cdot 24,4 = 61$; $5,1 \cdot 8 = 40,8$; $61 - 40,8 = 20,2$.

Ответ: 1) 19,1; 2) 7,78; 3) 20,2.

№ 1346

$\frac{4}{7}$ урюка положили в первый ящик, остальное — во второй. В первом на $2\frac{3}{4}$ кг больше. Сколько урюка в двух ящиках?

Как думать. Разница между ящиками — ровно одна седьмая всего урюка. Найдём её — найдём всё.

Решение.

1. Во втором ящике $1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ урюка.
2. Разница: $\frac{4}{7} - \frac{3}{7} = \frac{1}{7}$ всего урюка, это $2\frac{3}{4}$ кг.
3. Весь урюк: $2\frac{3}{4} \cdot 7 = \frac{11}{4} \cdot 7 = \frac{77}{4} = 19\frac{1}{4}$ кг.

Ответ: $19\frac{1}{4}$ кг (19,25 кг).

№ 1347

Если в десятичной дроби перенести запятую на один знак вправо, она вырастет на 78,75. Найди дробь.

Как думать. Запятая вправо на один знак — число стало в 10 раз больше. Старое — 1 часть, новое — 10 частей, разница — 9 частей.

Решение.

1. $10x - x = 9x = 78,75$.
2. $x = 78,75 : 9 = 8,75$.

Проверка: $87,5 - 8,75 = 78,75$. Верно.

Ответ: 8,75.

№ 1348

Поезд длиной 720 м проехал мост длиной 900 м за 1,5 мин. Мост какой длины он проедет за 1,1 мин с той же скоростью?

Как думать. Мост «пройден», когда с него съехал последний вагон. Значит, путь равен длине моста плюс длина поезда.

Решение.

1. Путь: $900 + 720 = 1620$ м.
2. Скорость: $1620 : 1,5 = 1080$ м/мин.
3. За 1,1 мин: $1080 \cdot 1,1 = 1188$ м.
4. Длина моста: $1188 - 720 = 468$ м.

Ответ: 468 м.

👨‍👩‍👧 Родителю. Ответ 660 м — значит, забыли про длину поезда. Нарисуйте мост и поезд в начале и в конце пути: станет видно, что голова поезда проходит лишние 720 м.

№ 1349

Между городами 406,2 км. Скорости автобусов 53,82 км/ч и 45,7 км/ч, они выехали навстречу в разное время. Первый до встречи проехал 269,1 км. На сколько часов раньше он выехал?

Как думать. Найдём, сколько часов был в пути каждый автобус до встречи. Разница и будет ответом.

Решение.

1. Время первого: $269,1 : 53,82 = 5$ ч.
2. Путь второго: $406,2 - 269,1 = 137,1$ км.
3. Время второго: $137,1 : 45,7 = 3$ ч.
4. Разница: $5 - 3 = 2$ ч.

Ответ: на 2 ч раньше.

№ 1350

Реши уравнения хитрым способом: 1) $\frac{0,5}{1,63} = \frac{9,2 - x}{16,3}$; 2) $\frac{0,1}{0,952} = \frac{6,3 + x}{95,2}$.

Как думать. Посмотри, во сколько раз знаменатель справа больше знаменателя слева. Во столько же раз и числитель справа больше числителя слева.

Решение.

1. $16,3 = 1,63 \cdot 10$, значит, $9,2 - x = 0,5 \cdot 10 = 5$; $x = 9,2 - 5 = 4,2$.
2. $95,2 = 0,952 \cdot 100$, значит, $6,3 + x = 0,1 \cdot 100 = 10$; $x = 10 - 6,3 = 3,7$.

Ответ: 1) 4,2; 2) 3,7.

5. Множества

№ 1351

Даны $A = {12, 14, 16, 18}$, $B = {15, 30, 45}$, $C = {15, 20, 25, 30, 35, 45}$. Какое множество — подмножество $C$? Запиши со знаком.

Как думать. Подмножество — это когда каждый элемент маленького множества есть в большом.

Решение.

1. Все элементы $B$ (15, 30, 45) есть в $C$. Значит, $B \subset C$.
2. Ни одного элемента $A$ в $C$ нет, поэтому $A \not\subset C$.

Ответ: $B \subset C$.

№ 1352

Лаура записала 20 чисел: 12 делятся на 5, 13 — на 9. Сколько делятся на оба числа, только на 5, только на 9? Нарисуй круги Эйлера–Венна.

Как думать. Каждое число делится хотя бы на 5 или на 9. Но $12 + 13 = 25$ — больше 20! Лишние 5 — это числа из общей части, их посчитали дважды.

Решение.

1. И на 5, и на 9: $12 + 13 - 20 = 5$ чисел.
2. Только на 5: $12 - 5 = 7$ чисел.
3. Только на 9: $13 - 5 = 8$ чисел.

Рисунок: два пересекающихся круга. В левом («делятся на 5») вне общей части — 7, в общей части — 5, в правом («делятся на 9») вне общей части — 8. Проверка: $7 + 5 + 8 = 20$.

Ответ: 1) 5; 2) 7; 3) 8.

№ 1353

Начерти два квадрата так, чтобы их пересечение было: 1) треугольником; 2) квадратом; 3) прямоугольником.

Как думать. Двигай квадраты в голове или вырежи два квадрата из бумаги и накладывай их по-разному.

Решение.

1. Треугольник. Поверни второй квадрат «ромбиком» (на $45^\circ$) и задвинь одним углом через сторону первого квадрата неглубоко. Общая часть — треугольник, одна его сторона лежит на стороне первого квадрата.
2. Квадрат. Нарисуй маленький квадрат внутри большого — пересечение равно маленькому квадрату. Или сдвинь два равных квадрата по диагонали — общий угол тоже квадрат.
3. Прямоугольник. Наложи два равных квадрата и сдвинь один вправо (не до конца). Общая часть — прямоугольник: высота как у квадрата, ширина меньше.

Ответ: см. описания построений.

№ 1354

По рисунку с кругами Эйлера–Венна запиши множества $A$, $B$, $C$ и соотношения: а) между $A$ и $C$; б) между $A$ и $B$.

На рисунке: круги $A$ и $B$ пересекаются; внутри $A$ лежит маленький круг $C$ с числами 6 и 9. В $A$ (вне $B$ и $C$) — 18, 21, 33; в общей части $A$ и $B$ — 15 и 45; в $B$ вне $A$ — 10, 25, 35.

Как думать. Элемент принадлежит множеству, если он лежит внутри его круга — в любой части, в том числе в общей.

Решение.

1. $A = {6, 9, 15, 18, 21, 33, 45}$; $B = {10, 15, 25, 35, 45}$; $C = {6, 9}$.
2. а) Круг $C$ целиком внутри $A$: $C \subset A$. б) $A$ и $B$ пересекаются: $A \cap B = {15, 45}$.

Ответ: 1) $A = {6, 9, 15, 18, 21, 33, 45}$, $B = {10, 15, 25, 35, 45}$, $C = {6, 9}$; 2) а) $C \subset A$; б) $A \cap B = {15, 45}$.

6. Проценты

№ 1355

Сплав весит 51 кг: $90%$ — железо, остальное — никель. Сколько каждого металла?

Как думать. $90%$ — это $0,9$ числа, а на никель остаётся $10%$.

Решение.

1. Железо: $51 \cdot 0,9 = 45,9$ кг.
2. Никель: $100% - 90% = 10%$; $51 \cdot 0,1 = 5,1$ кг.

Ответ: железа 45,9 кг, никеля 5,1 кг.

№ 1356

Оператор набрал в первый день $28%$, во второй — $20%$ страниц. Осталось 39 страниц. Сколько страниц в рукописи?

Как думать. Узнаем, сколько процентов осталось. Эти проценты — ровно 39 страниц.

Решение.

1. За два дня: $28% + 20% = 48%$.
2. Осталось: $100% - 48% = 52%$, это 39 страниц.
3. Вся рукопись: $39 : 0,52 = 75$ страниц.

Ответ: 75 страниц.

№ 1357

Компьютер стоил $a$ тг. Цену снизили на $20%$, потом новую цену — ещё на $5%$. На сколько процентов подешевел компьютер в итоге?

Как думать. Второй раз $5%$ берут от новой, уже сниженной цены. Поэтому просто сложить $20% + 5%$ нельзя.

Решение.

1. После первой уценки: $a - 0,2a = 0,8a$.
2. Вторая уценка: $0,8a \cdot 0,05 = 0,04a$. Цена: $0,8a - 0,04a = 0,76a$.
3. Всего цена упала на $a - 0,76a = 0,24a$, то есть на $24%$.

Ответ: на $24%$.

⚠️ Частая ошибка. Ответ «$25%$». Проверь на числе: при $a = 100,000$ тг после уценок цена 76 000 тг, а не 75 000 тг.

№ 1358

Юра прошёл 2,4 км — это $30%$ пути от станции до дачи. Найди весь путь.

Как думать. Знаем часть и сколько процентов она составляет — ищем целое делением.

Решение. $2,4 : 0,3 = 8$ км.

Ответ: 8 км.

№ 1359

Два одинаковых сосуда: первый не долит на $10%$ ёмкости, второй заполнен на $10%$. В первом на 16 л больше. Какая ёмкость у сосуда?

Как думать. Переведи всё в «сколько процентов заполнено». Разница в процентах соответствует 16 л.

Решение.

1. Первый заполнен на $100% - 10% = 90%$, второй — на $10%$.
2. Разница: $90% - 10% = 80%$ ёмкости, это 16 л.
3. Ёмкость: $16 : 0,8 = 20$ л.

Ответ: 20 л.

7. Углы. Многоугольники

№ 1360

Сколько градусов в угле, если это: 1) $\frac{1}{4}$ развёрнутого угла; 2) $\frac{5}{9}$ прямого; 3) $\frac{1}{6}$ полного?

Как думать. Вспомни «эталоны»: развёрнутый — $180^\circ$, прямой — $90^\circ$, полный — $360^\circ$. Дальше — дробь от числа.

Решение.

1. $180^\circ : 4 = 45^\circ$.
2. $90^\circ : 9 \cdot 5 = 50^\circ$.
3. $360^\circ : 6 = 60^\circ$.

Ответ: 1) $45^\circ$; 2) $50^\circ$; 3) $60^\circ$.

№ 1361

Построй угол $AOB = 35^\circ$ и проведи луч $OC$ так, чтобы $OB$ был биссектрисой угла $AOC$. Найди угол $AOC$.

Как думать. Биссектриса делит угол пополам. Значит, $\angle BOC = \angle AOB = 35^\circ$.

Решение.

1. Проведи луч $OA$, приложи транспортир, отметь $35^\circ$ и проведи луч $OB$.
2. Не сдвигая транспортир, отложи от $OB$ ещё $35^\circ$ в ту же сторону (это $70^\circ$ от $OA$) и проведи луч $OC$.
3. $\angle AOC = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

№ 1362

Периметр четырёхугольника $ABCD$ — 24 см, треугольника $ABC$ — 18 см, треугольника $ACD$ — 22 см. Найди диагональ $AC$.

На рисунке: четырёхугольник $ABCD$ с диагональю $AC$, она делит его на треугольники $ABC$ и $ACD$.

Как думать. Сложим периметры двух треугольников. Туда войдут все стороны четырёхугольника и ещё два раза диагональ $AC$.

Решение.

1. $P_{ABC} + P_{ACD} = (AB + BC + AC) + (AC + CD + DA) = P_{ABCD} + 2 \cdot AC$.
2. $18 + 22 = 40$ см; $40 = 24 + 2 \cdot AC$.
3. $2 \cdot AC = 16$ см, $AC = 8$ см.

Ответ: $AC = 8$ см.

8. Диаграммы. Развёртка куба

№ 1363

Круговая диаграмма: спортивный кружок — $50%$, шахматный — $20%$, музыкальный — $30%$ класса. Составь задачу и найди, сколько учеников в кружках, если в классе 30 человек.

Как думать. Половина круга — половина класса. Остальное — процент от числа.

Решение.

1. Пример условия: «В классе 30 учеников, каждый ходит в один кружок. Половина занимается спортом, $20%$ — шахматами, остальные — музыкой. Сколько учеников в каждом кружке?»
2. Спортивный: $30 \cdot 0,5 = 15$ учеников.
3. Шахматный: $30 \cdot 0,2 = 6$ учеников.
4. Музыкальный: $30 \cdot 0,3 = 9$ учеников. Проверка: $15 + 6 + 9 = 30$.

Ответ: в спортивном 15 учеников, в шахматном 6 (в музыкальном 9).

№ 1364

В воздухе $78%$ азота, $21%$ кислорода, остальное — другие газы. Построй круговую диаграмму.

Как думать. Весь круг — $100%$, это $360^\circ$. Значит, $1% = 3,6^\circ$.

Решение.

1. Другие газы: $100% - 78% - 21% = 1%$.
2. Азот: $78 \cdot 3,6^\circ = 280,8^\circ \approx 281^\circ$.
3. Кислород: $21 \cdot 3,6^\circ = 75,6^\circ \approx 76^\circ$.
4. Другие газы: $1 \cdot 3,6^\circ = 3,6^\circ \approx 3^\circ$ (округляем так, чтобы в сумме вышло $360^\circ$).
5. Начерти круг и радиус. Транспортиром отложи от радиуса $281^\circ$ (удобно: $180^\circ$ и ещё $101^\circ$) — это азот. Потом отложи $76^\circ$ — кислород. Узкий сектор около $3^\circ$ — другие газы. Раскрась и подпиши проценты.

Ответ: секторы $\approx 281^\circ$ (азот), $\approx 76^\circ$ (кислород), $\approx 3^\circ$ (другие газы).

🌟 Кислорода, которым мы дышим, в воздухе всего примерно пятая часть. Почти всё остальное — азот.

№ 1365

Мысленно сверни куб из развёртки. Какая грань окажется внизу, если закрашенная — сверху?

На рисунке: столбец из 4 квадратов; справа от верхнего квадрата — закрашенный квадрат; слева от нижнего квадрата — ещё один квадрат.

Как думать. Четыре квадрата столбца сворачиваются в кольцо — это боковые грани. Два квадрата, приложенные к столбцу с разных сторон, закрывают кольцо с двух концов. Значит, они противоположные.

Решение.

1. Столбец из 4 квадратов сворачиваем в кольцо — боковые грани.
2. Закрашенный квадрат прилегает к столбцу справа и закрывает кольцо с одной стороны. Это верх.
3. Квадрат слева от нижнего квадрата столбца закрывает кольцо с другой стороны. Он противоположен закрашенному — это низ.

Ответ: нижняя грань — квадрат, приложенный слева к нижнему квадрату столбца.

👨‍👩‍👧 Родителю. Если мысленно не выходит, перерисуйте развёртку на бумагу в клетку, вырежьте и сверните. Через пару таких опытов ребёнок начинает «видеть» куб без ножниц.

Шпаргалка

• Делители ищи парами: $1 \cdot 28$, $2 \cdot 14$, $4 \cdot 7$.
• Совместная работа: всё задание — 1, за день — $\frac{1}{\text{число дней}}$.
• Поезд проехал мост: путь = мост + поезд.
• Весь круг диаграммы — $100% = 360^\circ$, значит, $1% = 3,6^\circ$.
• В развёртке куба противоположные грани не касаются друг друга.

Мини-тест