9.2. Задачи на разрезание фигур. Задачи на склеивание фигур

Математика, 5 класс. Учебник: Алдамуратова Т.А. и др. (Атамұра, 2017). Глава IX: Развертки пространственных фигур. Страницы 177–178.

Чему научишься

• Выбирать рёбра куба или коробки, по которым резать, чтобы вышла нужная развёртка.
• Знать волшебное число: для развёртки режут ровно 7 рёбер из 12.
• Считать длину линии разреза.
• Склеивать модель из развёртки с язычками и находить противоположные грани.

Разминка

Ответь в уме, потом открой ответ.

• Сколько у куба рёбер? А граней? 12 рёбер и 6 граней.
• В ряду из четырёх граней развёртки какие грани противоположны? Через одну: 1-я и 3-я, 2-я и 4-я.
• Площадь поверхности куба с ребром 3 см? $6 \cdot 3 \cdot 3 = $ 54 см$^2$.
• Сумма рёбер коробки 7 см × 5 см × 2 см? $4 \cdot (7 + 5 + 2) = $ 56 см.

Разбираемся

Режем коробку: где сгиб, а где разрез

Возьми бумажный куб. Чтобы разложить его плоско, часть рёбер разрезаем ножницами. По остальным рёбрам грани остаются соединены — это будущие сгибы.

Посмотри на развёртку. Линии на ней — это сгибы. Посчитай их:

Почему именно 5? Шесть граней надо соединить в одну фигуру. Чтобы связать 6 кусков, хватает 5 «мостиков». Значит, целыми остаются 5 рёбер, а разрезать надо

$12 - 5 = 7 \text{ рёбер}.$

📌 Для любой развёртки куба или прямоугольного параллелепипеда режут 7 рёбер, а 5 остаются сгибами.

У куба все рёбра одинаковые, поэтому разрез куба с ребром $a$ всегда равен $7a$. При $a = 3$ см это $7 \cdot 3 = 21$ см.

У коробки рёбра разные, и длина разреза зависит от того, какие рёбра разрезали. Считать удобно так:

$\text{разрез} = \text{сумма всех рёбер} - \text{рёбра-сгибы}.$

⚠️ Частая ошибка. Считают разрезанными все стороны по краю развёртки. Но каждый разрез на развёртке виден дважды — по разу у каждой из двух граней. Поэтому сторон по краю 14, а разрезанных рёбер 7.

Как понять, по каким рёбрам резать

1. Найди на развёртке ряд из четырёх граней — это «пояс» вокруг тела.
2. Найди, к какой грани пояса приставлены две оставшиеся (верх и низ).
3. На модели назови эти грани буквами вершин.
4. Рёбра, по которым соседние грани развёртки соединены, — сгибы (их 5). Остальные — разрезы (их 7).
5. Проверка: разрезы образуют одну сплошную ломаную без замкнутых кусков.

Клеим: от развёртки к коробке

Чтобы склеить модель, по краям развёртки рисуют язычки — узкие полоски. Их загибают внутрь и приклеивают к соседней грани. Язычок нужен только на одной из двух сторон, которые сойдутся, иначе они будут мешать друг другу.

👨‍👩‍👧 Родителю. Перед склейкой пусть ребёнок карандашом подпишет, какая грань станет верхом, а какая — низом. Потом проверьте на готовой модели. Так «противоположные грани» становятся понятны руками, а не только в уме.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Сколько рёбер куба надо разрезать, чтобы вышла развёртка? 7 из 12.
• Почему именно 7? Шесть граней развёртки соединены пятью сгибами, $12 - 5 = 7$.
• Чему равна длина разреза куба с ребром $a$? $7a$.
• Зачем нужны язычки? Чтобы было чем склеить грани между собой.

Решаем упражнения

№ 1313

Модель куба ABCDEFHL с ребром 3 см. Какие рёбра разрезать, чтобы вышла развёртка: ряд из 4 квадратов и по квадрату над и под первым? Найди длину ломаной разреза.

Как думать. Первый квадрат ряда — грань, к которой приставлены верх и низ. Пусть это передняя грань ABCD (A, D — снизу, B, C — сверху). Ряд: передняя ABCD, правая DCHL, задняя LHFE, левая EFBA.

Решение.

1. Сгибы в ряду: CD (перед — право), HL (право — зад), EF (зад — лево).
2. Верх BCHF приставлен к передней грани по ребру BC, низ ADLE — по ребру AD. Это ещё два сгиба.
3. Всего сгибов 5: CD, HL, EF, BC, AD.
4. Остальные 7 рёбер разрезаем: AB, BF, FH, HC, AE, EL, LD. Они образуют одну ломаную C–H–F–B–A–E–L–D.
5. Длина разреза: $7 \cdot 3 = 21$ см.

Можно взять другую грань в роли первого квадрата — набор рёбер изменится. Но их всегда будет 7, а разрез останется 21 см.

Ответ: 1) например, AB, BF, FH, HC, AE, EL, LD; 2) 21 см.

№ 1314

Развёртка коробки: ряд из 4 прямоугольников высотой 6 см — A (узкий), закрашенный (широкий), B (узкий), Г (широкий, 4 см); над закрашенным — D высотой 3 см, под ним — Б. 1) Склей модель с язычками. 2) Какая грань сверху, если закрашенная снизу? 3) Найди площадь поверхности.

Как думать. В ряду из четырёх граней противоположны грани через одну. А узкая грань должна быть такой же ширины, как высота D, — иначе крышка не закроет коробку.

Решение.

1. Как склеить:
   1. перечерти развёртку на плотную бумагу, соблюдая размеры;
   2. пририсуй язычки шириной около 1 см к прямоугольникам D и Б (по бокам и по внешнему краю) и к одному краю крайнего прямоугольника ряда;
   3. вырежи, согни по всем линиям, намажь язычки клеем и склей.
2. Закрашенная грань — 2-я в ряду, напротив неё 4-я — Г. Значит, если закрашенная внизу, сверху будет Г. A и B — тоже пара противоположных граней, D и Б — третья пара.
3. Размеры. Высота ряда — 6 см. Широкие грани (закрашенная и Г) — 4 см. Узкие грани такой же ширины, как высота D, то есть 3 см. Коробка 4 см × 3 см × 6 см.
4. Площадь поверхности: $2 \cdot (4 \cdot 6 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3) = 2 \cdot (24 + 18 + 12) = 2 \cdot 54 = 108$ см$^2$.

Ответ: 2) верхняя грань — Г; 3) 108 см$^2$.

№ 1315

Модель коробки ABCDEFHL: длина 7 см, ширина 5 см, высота 2 см. Развёртка: ряд из четырёх прямоугольников высотой 5 см (шириной 7, 2, 7 и 2 см), к первому прямоугольнику 7 × 5 сверху и снизу приставлено по прямоугольнику 7 × 2. Какие рёбра разрезать? Найди длину разреза.

Как думать. Ряд высотой 5 см — это «пояс» из граней со стороной 5 см: верх ABCD (7 × 5), боковая 2 × 5, низ EFHL (7 × 5), вторая боковая 2 × 5. Прямоугольники 7 × 2 — передняя и задняя грани, они приставлены к верху по рёбрам 7 см.

Решение.

1. Пусть у верхней грани ABCD рёбра AD и BC по 7 см, AB и DC по 5 см, вертикальные рёбра AE, BF, CH, DL по 2 см.
2. Пояс: верх ABCD — боковая DCHL — низ LHFE — боковая EFBA. Сгибы в поясе: DC, HL, EF (по 5 см).
3. Передняя грань ADLE и задняя BCHF приставлены к верху по рёбрам AD и BC (по 7 см). Это ещё 2 сгиба.
4. Разрезаем остальные 7 рёбер: AB, AE, BF, CH, DL, EL, FH. Это ломаная D–L–E–A–B–F–H–C.
5. Длина разреза: AB = 5 см; AE, BF, CH, DL — по 2 см; EL и FH — по 7 см. $5 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 7 = 5 + 8 + 14 = 27$ см.

Какие буквы окажутся на рёбрах, зависит от подписей на рисунке. Но длина разреза для такой развёртки всегда 27 см.

Ответ: 1) например, AB, AE, BF, CH, DL, EL, FH; 2) 27 см.

№ 1316

Складной куб с ребром 5 см собирается из трёх деталей: полоски из 4 квадратов A, Б, закрашенный, В и двух отдельных квадратов Г и D (все с язычками). 2) Какая грань снизу, если закрашенная сверху? 3) Найди площадь поверхности.

Как думать. Полоса из четырёх квадратов сворачивается в «пояс» куба, а Г и D закрывают его с двух сторон.

Решение.

1. Изготовление:
   1. начерти полосу из четырёх квадратов 5 см × 5 см и два отдельных квадрата 5 см × 5 см;
   2. пририсуй язычки, как на рисунке: у A — слева, у Б и В — сверху и снизу, у Г и D — слева и справа;
   3. сверни полосу в кольцо и склей язычком A; потом вставь Г и D в отверстия и приклей их к язычкам Б и В.
2. В полосе A, Б, закрашенный, В закрашенный квадрат — 3-й, напротив него 1-я грань — A. Если закрашенная сверху, то внизу A.
3. Площадь одной грани $5 \cdot 5 = 25$ см$^2$, площадь поверхности $6 \cdot 25 = 150$ см$^2$ (язычки не считаем — они внутри).

Ответ: 2) нижняя грань — A; 3) 150 см$^2$.

🌟 Такие складные модели делают упаковщики: коробку для торта или пиццы привозят плоской, а собирают за секунду по сгибам.

Шпаргалка

• Разрезы образуют одну сплошную ломаную.
• Две «крышки» у пояса — противоположные грани.
• Язычки в площадь поверхности не входят — они внутри.

Мини-тест