§ 11. Как правильно рассчитать расстояние на карте с использованием масштаба

Естествознание, 6 класс. Учебник: Верховцева Л. А. и др. (Алматыкітап баспасы, 2023). Раздел 2: Человек. Земля. Вселенная. Страницы 68–74.

Чему научишься

• Объяснять, что такое масштаб и зачем он нужен.
• Узнавать три формы масштаба: численный, именованный, линейный.
• Переводить численный масштаб в именованный и обратно за пару секунд.
• Измерять расстояния по карте линейкой и циркулем-измерителем.
• Решать задачи «карта ↔ местность».

Разминка

• Сколько сантиметров в 1 м? 100 см.
• Сколько метров в 1 км? 1000 м. Значит, в 1 км — $1000 \cdot 100 = 100,000$ см.
• Сколько сантиметров в 1 дм? 10 см.
• Какая карта подробнее: 1 : 10 000 или 1 : 1 000 000? 1 : 10 000. Чем меньше число, тем крупнее масштаб.

💡 Запомни число 100 000: столько сантиметров в одном километре. На нём держится весь урок.

Разбираемся

Как нарисовать комнату 5 × 10 м в тетради

Попробуй начертить в тетради прямоугольник со сторонами 5 м и 10 м. Ничего не выйдет: тетрадь всего 20 см в ширину! Значит, размеры надо уменьшить в одно и то же число раз.

Например, договоримся: 1 см в тетради — это 2 м в жизни. Тогда 5 м станут 2,5 см, а 10 м — 5 см. На рисунке в параграфе как раз такой прямоугольник на клетчатой бумаге, а под ним подписано: «в 1 см 2 м», «1 : 200» и маленькая линейка с делениями.

Что помогает узнать настоящую длину и ширину такого прямоугольника? Надпись с масштабом. Без неё чертёж ничего не говорит о реальных размерах.

📌 Масштаб — число, которое показывает, во сколько раз настоящие размеры уменьшены (или увеличены) на чертеже, плане или карте.

Три формы масштаба

Один и тот же масштаб можно записать тремя способами:

Именованный — самый понятный: в нём прямо написано, сколько метров или километров в 1 см.

Численный — это дробь с единицей вверху: $\frac{1}{250,000}$. Знаменатель показывает, во сколько раз линии на карте короче, чем на местности.

📌 В численном масштабе слева и справа всегда сантиметры. 1 : 250 000 значит: 1 см карты = 250 000 см местности.

Фокус с пятью нулями

В 1 км ровно 100 000 см — это единица и пять нулей. Поэтому:

• закрой пальцем последние пять нулей знаменателя — останутся километры в 1 см;
• закрой два нуля — останутся метры в 1 см (в 1 м 100 см).

Пример: 1 : 500 000. Закрываем пять нулей — остаётся 5. Значит, в 1 см 5 км.

А если нулей меньше пяти? 1 : 250 000: после «25» только четыре нуля. Закрываем пять знаков с конца — получается 2,5 км.

⚠️ Частая ошибка. Закрывают все нули подряд. У 1 : 20 000 000 семь нулей, но закрыть надо только пять: остаётся 200, то есть в 1 см 200 км, а не 2 км.

Линейный масштаб

Линейный масштаб — прямая линия, разделённая на равные отрезки. Возле делений написано, сколько метров или километров каждому соответствует.

Длина одного отрезка на линейке называется основанием масштаба. У нас оно равно 1 см. А сколько метров или километров приходится на это основание — это величина масштаба. Самый левый отрезок обычно поделён мельче, чтобы точно измерять «хвостики».

Как измерить расстояние по карте

Способ 1. Линейкой и численным масштабом. Нужно найти расстояние между сёлами A и B, масштаб 1 : 50 000 (в 1 см 0,5 км). На рисунке к карте приложена линейка, отрезок AB — 5 см.

Способ 2. Циркулем-измерителем и линейным масштабом. Ножки циркуля ставят на две точки карты. Затем, не меняя раствора, переносят циркуль на линейный масштаб и читают ответ. На рисунке циркуль показал 1070 м: 1 км по основной линейке и ещё 70 м по мелким делениям слева.

Способ 3. «Шагами» циркуля для больших расстояний. Раствор циркуля ставят ровно на целое число километров, например на 1 км. Потом «шагают» им вдоль линии на карте, считая шаги. На рисунке от Пеньков до Лужков получилось 4 шага по 1 км, а остаток измерили по линейному масштабу — 680 м. Всего $4 \text{ км} + 680 \text{ м} = 4$ км 680 м.

🌟 В программе «Google Планета Земля» есть инструмент «Линейка»: ставишь две точки — и программа сама пишет расстояние. Так учёные и лётчики проверяют большие расстояния между городами.

👨‍👩‍👧 Родителю. Дайте ребёнку бумажную карту города или области и линейку. Попросите найти расстояние от дома до бабушки или до школы, а потом сравните с картой в телефоне. Совпадение «до сотни метров» очень вдохновляет.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что такое масштаб? Число, показывающее, во сколько раз изображение меньше (или больше) настоящего предмета.
• Назови три формы масштаба. Численный, именованный, линейный.
• Как быстро перевести численный масштаб в километры? Закрыть пять нулей в знаменателе.
• Что такое основание и величина масштаба? Основание — длина отрезка линейки (1 см); величина — сколько метров или километров ему соответствует.

Решаем упражнения

№ 1

(задание по ходу параграфа) Начерти в тетради прямоугольник со сторонами 5 м и 10 м. Что надо сделать, чтобы это получилось?

Как думать. Настоящие размеры в тетрадь не влезут. Нужно выбрать масштаб — во сколько раз уменьшать.

Решение.

1. Выбираем масштаб, например в 1 см 2 м (1 : 200).
2. Сторона 5 м: $5 : 2 = 2{,}5$ см. Сторона 10 м: $10 : 2 = 5$ см.
3. Чертим прямоугольник 2,5 × 5 см и подписываем под ним масштаб.

Ответ: надо выбрать масштаб; при масштабе 1 : 200 получится прямоугольник 2,5 см × 5 см.

№ 2

(задание по ходу параграфа) Переведи численный масштаб в именованный: 1 : 250 000; 1 : 125 000 000; 1 : 20 000 000; 1 : 600 000; 1 : 500 000; 1 : 8 000 000; 1 : 1 000 000; 1 : 12 500 00.

Как думать. Пять нулей с конца закрываем — получаем километры в 1 см.

Решение.

📕 Похоже, в условии опечатка: масштаб напечатан как «1 : 12 500 00». Скорее всего, имелось в виду 1 : 12 500 000. Мы решили именно так.

Ответ: 2,5 км; 1250 км; 200 км; 6 км; 5 км; 80 км; 10 км; 125 км (если 1 : 1 250 000 — 12,5 км).

№ 3

(задание по ходу параграфа) Переведи именованный масштаб в численный: в 1 см — 5 км; 10 км; 50 м; 250 км; 320 км; 75 км; 500 м; 500 м.

Как думать. Обратный фокус: к километрам дописываем пять нулей, к метрам — два нуля. Получаем сантиметры.

Решение.

• в 1 см 5 км → 1 : 500 000
• в 1 см 10 км → 1 : 1 000 000
• в 1 см 50 м → 1 : 5000
• в 1 см 250 км → 1 : 25 000 000
• в 1 см 320 км → 1 : 32 000 000
• в 1 см 75 км → 1 : 7 500 000
• в 1 см 500 м → 1 : 50 000 (этот масштаб встречается в задании дважды)

Ответ: 1 : 500 000; 1 : 1 000 000; 1 : 5000; 1 : 25 000 000; 1 : 32 000 000; 1 : 7 500 000; 1 : 50 000; 1 : 50 000.

№ 4

Между посёлками 4,5 км. Какой длины будет отрезок на карте с масштабом «1 см : 1000 м»?

Как думать. Здесь идём от местности к карте, поэтому делим на величину масштаба.

Решение. 1000 м = 1 км, значит, в 1 см 1 км. $4{,}5 \text{ км} : 1 \text{ км} = 4{,}5$ см.

Ответ: 4,5 см.

№ 5

От точки А до точки Б на карте 5 см, масштаб — в 1 см 2 км. Каково расстояние на местности?

Решение. $5 \cdot 2 = 10$ км.

Ответ: 10 км.

№ 6

На карте масштаба 1 : 2500 между берегами реки 4 см. Какой ширины река?

Как думать. Масштаб крупный, поэтому ответ удобнее в метрах.

Решение.

1. 1 : 2500 → в 1 см 2500 см = 25 м.
2. $4 \cdot 25 = 100$ м.

Ответ: 100 м.

№ 7

Ученики в походе ехали на велосипедах со скоростью 12 км/ч. На карте масштаба 1 : 1 000 000 дорога между городами — 0,6 дм. Сколько времени займёт поездка?

Как думать. Ловушка — дециметры! Масштаб считает в сантиметрах, поэтому сначала переводим 0,6 дм в см.

Решение. $0{,}6 \text{ дм} = 6 \text{ см}$; $6 \cdot 10 = 60$ км; $60 : 12 = 5$ ч.

Ответ: 5 часов.

№ 8

(задание по ходу параграфа: «Работа с картами атласа») Какое расстояние проедет путешественник по маршрутам: Алматы — Усть-Каменогорск — Астана — Костанай; Алматы — Бишкек — Кызылорда — Актобе; Атырау — Актобе — Астана — Павлодар?

Как думать. Действуй по правилам работы с атласом: прочитай название карты, найди масштаб (обычно в правом нижнем углу), измерь линейкой каждый отрезок маршрута, умножь на величину масштаба и сложи. Можно проверить себя «Линейкой» в «Google Планета Земля»: найди город через поиск, поставь метки и проведи линию.

Решение. Расстояния по прямой между городами (примерные, у тебя по атласу может выйти немного иначе):

Пример расчёта по атласу: если масштаб 1 : 10 000 000 (в 1 см 100 км), а от Алматы до Бишкека 1,9 см, то $1{,}9 \cdot 100 = 190$ км.

Ответ: примерно 2240 км, 1820 км и 1930 км по прямой.

№ 9

(задание без номера в учебнике: домашнее «Определи масштабы карт своей местности», пункт 1) Найди дома карты, на которых изображена твоя местность.

Как думать. Подойдут карта области из атласа, карта Казахстана, карта города, туристическая схема, карта в телефоне. Если дома нет — спроси в библиотеке или в книжном.

Пример ответа. Для Алматы: карта Казахстана в атласе, карта Алматинской области, туристская карта окрестностей Медеу, карта города.

Ответ: у каждого свой набор, лучше 3–4 карты.

№ 10

(задание без номера в учебнике, пункт 2) Выпиши масштабы этих карт. Какой крупнее, какой мельче?

Как думать. Сравни числа в знаменателях: чем меньше число, тем масштаб крупнее.

Пример ответа.

• Карта Казахстана — 1 : 8 000 000 (мелкий).
• Карта области — 1 : 2 000 000.
• Туристская карта — 1 : 50 000.
• Карта города — 1 : 25 000 (самый крупный).

Ответ: крупнее всех тот, у кого знаменатель меньше; мельче — у кого больше.

№ 11

(задание без номера в учебнике, пункт 3) Сравни карты разных масштабов: на каких показана большая территория, на каких — меньшая?

Пример ответа. На карте 1 : 8 000 000 помещается вся страна. На карте 1 : 25 000 — только часть города. Чем мельче масштаб, тем больше территория на листе того же размера.

Ответ: большая территория — на мелкомасштабных картах, меньшая — на крупномасштабных.

№ 12

(задание без номера в учебнике, пункт 4) На каких картах местность изображена подробнее? Сделай вывод: как площадь территории и подробность зависят от масштаба.

Пример ответа.

• На карте города видны улицы, парки, отдельные здания.
• На карте Казахстана наш город — просто кружок.
• Вывод: чем крупнее масштаб, тем меньше территория и тем больше подробностей. Чем мельче масштаб, тем больше территория, но меньше деталей.

Ответ: площадь и подробность связаны наоборот: больше территория — меньше деталей.

№ 13

(задание без номера в учебнике: «Рефлексивный экран») Продолжи фразы: «Сегодня я узнал…», «Было трудно…», «Теперь я могу…» и другие.

Как думать. Выбери 4–5 фраз и закончи честно.

Пример ответа.

• Сегодня я узнал, что масштаб бывает численный, именованный и линейный.
• Было трудно не перепутать, сколько нулей закрывать.
• Теперь я могу найти расстояние между городами по карте.
• Меня удивило, что циркулем можно «шагать» по карте.

Ответ: у каждого свой.

Шпаргалка

• 1 км = 100 000 см; 1 м = 100 см.
• 1 : 500 000 → в 1 см 5 км; в 1 см 50 м → 1 : 5000.
• Расстояние на местности = см на карте × км (или м) в 1 см.
• Мерить можно линейкой, циркулем по линейному масштабу, «шагами» циркуля.

Мини-тест