Упражнения для повторения курса математики 5 класса

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 0: Повторение курса 5 класса. Страницы 4–17.

Что повторяем

Перед 6 классом полезно «размять» всё, что ты умеешь. Здесь 89 заданий, и многие из них — загадки: правильный ответ оказывается настоящей датой или фактом о Казахстане. Если ответ получился странным (например, музей открыт в 3017 году), значит, где-то ошибка.

1. Действия с натуральными числами и порядок действий — № 1–3, 5, 13, 58.
2. Десятичные дроби: четыре действия, удобные способы счёта — № 4, 6, 7, 10, 14, 61–66.
3. Обыкновенные дроби и смешанные числа — № 8, 9, 11, 12, 15–20, 59, 60, 67, 68, 77.
4. Округление чисел — № 22–25.
5. Выражения с буквами и формулы — № 26, 27, 43, 44, 47.
6. Периметр, площадь, объём — № 28–33, 42, 45, 46, 48, 49, 54, 56, 83, 89.
7. Уравнения — № 35–37, 69–76, 79, 80.
8. Проценты и части числа — № 38–41, 52–57, 81, 82.
9. Круговая диаграмма и координатный луч — № 84–88.

Переверни карточки — это главные правила 5 класса.

💡 Не решай всё за один вечер. Возьми одну тему за раз: 10–15 заданий — и перерыв.

👨‍👩‍👧 Родителю. В заданиях-загадках ответ можно проверить «по смыслу»: год должен быть правдоподобным, число медалей — целым. Если ответ «не похож на правду», попросите ребёнка найти шаг, где он ошибся.

Разомнись перед стартом:

Решаем упражнения

Натуральные и десятичные числа

№ 1

Вычисли: 1) $619 \cdot 17 + 237$; 2) $738 \cdot 54 - 28,852$; 3) $31,852 - 543 \cdot 49$; 4) $24,948 : 28 + 119$; 5) $60,180 : 68 : 15$; 6) $69,768 : 57 : 18$.

Как думать. Умножение и деление идут раньше сложения и вычитания. Два деления подряд выполняем слева направо.

Решение.

1. $619 \cdot 17 = 10,523$; $10,523 + 237 = 10,760$.
2. $738 \cdot 54 = 39,852$; $39,852 - 28,852 = 11,000$.
3. $543 \cdot 49 = 26,607$; $31,852 - 26,607 = 5245$.
4. $24,948 : 28 = 891$; $891 + 119 = 1010$.
5. $60,180 : 68 = 885$; $885 : 15 = 59$.
6. $69,768 : 57 = 1224$; $1224 : 18 = 68$.

Ответ: 1) 10 760; 2) 11 000; 3) 5245; 4) 1010; 5) 59; 6) 68.

№ 2

Выполни действия: 1) $67,812 - (489 \cdot 105 + 7445)$; 2) $(94,554 : 927 + 884) - 109$; 3) $39,405 : 555 + 301 \cdot 203$; 4) $346,252 : 428 - 18,231 : 309$.

Как думать. Сначала то, что в скобках, а внутри скобок — умножение и деление.

Решение.

1. $489 \cdot 105 = 51,345$; $51,345 + 7445 = 58,790$; $67,812 - 58,790 = 9022$.
2. $94,554 : 927 = 102$; $102 + 884 = 986$; $986 - 109 = 877$.
3. $39,405 : 555 = 71$; $301 \cdot 203 = 61,103$; $71 + 61,103 = 61,174$.
4. $346,252 : 428 = 809$; $18,231 : 309 = 59$; $809 - 59 = 750$.

Ответ: 1) 9022; 2) 877; 3) 61 174; 4) 750.

№ 3

Национальный музей в Астане. 1) Год открытия — значение $(895 \cdot 409 - 188,823) : 88$. 2) Площадь комплекса в 74 раза больше 1000 м². 3) Число залов — $(706 \cdot 273 - 17,497) : 179 : 89$. 4) Экранов в медиаполе в 400 раз меньше, чем 320 000.

Как думать. «В 74 раза больше» — умножаем, «в 400 раз меньше» — делим.

Решение.

1. $895 \cdot 409 = 366,055$; $366,055 - 188,823 = 177,232$; $177,232 : 88 = 2014$.
2. $1000 \cdot 74 = 74,000$ м².
3. $706 \cdot 273 = 192,738$; $192,738 - 17,497 = 175,241$; $175,241 : 179 = 979$; $979 : 89 = 11$.
4. $320,000 : 400 = 800$.

Ответ: музей открыт в 2014 году; площадь 74 000 м²; 11 залов; 800 экранов.

№ 4

Найди $a$, $b$, $c$: 1) $a = 8,6 + 0,064 \cdot 125 : 20$ — место Казахстана в мире по площади; 2) $b = 89,89 : 101 + 45,75 : 25$ — площадь страны в млн км²; 3) $c = (500,5 : 500 + 78,999) : \frac{2}{3} \cdot 25$ — протяжённость с запада на восток в км.

Решение.

1. $0,064 \cdot 125 = 8$; $8 : 20 = 0,4$; $a = 8,6 + 0,4 = 9$.
2. $89,89 : 101 = 0,89$; $45,75 : 25 = 1,83$; $b = 0,89 + 1,83 = 2,72$.
3. $500,5 : 500 = 1,001$; $1,001 + 78,999 = 80$; $80 : \frac{2}{3} = 80 \cdot \frac{3}{2} = 120$; $c = 120 \cdot 25 = 3000$.

Ответ: $a = 9$ (9-е место); $b = 2,72$ млн км²; $c = 3000$ км.

🌟 Казахстан — самая большая в мире страна, у которой нет выхода к открытому океану.

№ 5

Переведи римские числа в арабские: стадион «Астана Арена» открыт III июля MMIX г.; крыша закрывается за XX минут; поле CV × LXVIII м, высота «травы» XL мм, зимой внутри X градусов; XXX января MMXI г. — открытие VII Зимних Азиатских игр.

Как думать. I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, M = 1000. Если меньшая цифра стоит перед большей, её вычитают: IV = 4, XL = 40.

Решение.

1. III = 3, MMIX = 2000 + 9 = 2009 → 3 июля 2009 г.
2. XX = 20 → за 20 минут.
3. CV = 100 + 5 = 105; LXVIII = 50 + 10 + 5 + 3 = 68; XL = 50 − 10 = 40; X = 10.
4. XXX = 30; MMXI = 2011; VII = 7.

Ответ: 1) 3 июля 2009 г.; 2) 20 мин; 3) 105 × 68 м, 40 мм, 10 градусов; 4) 30 января 2011 г., VII = 7.

№ 6

Посчитай удобным способом: 1) $35,49 \cdot 1,42 + 35,49 \cdot 8,58$; 2) $2,753 \cdot 65,1 - 65,1 \cdot 2,247$; 3) $0,995 \cdot 7,28 - 0,09 \cdot 7,28$; 4) $49,49 \cdot 5,24 + 5,24 \cdot 6,51$.

Как думать. В каждой паре есть общий множитель. Вынесем его за скобки: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

Решение.

1. $35,49 \cdot (1,42 + 8,58) = 35,49 \cdot 10 = 354,9$.
2. $65,1 \cdot (2,753 - 2,247) = 65,1 \cdot 0,506 = 32,9406$.
3. $7,28 \cdot (0,995 - 0,09) = 7,28 \cdot 0,905 = 6,5884$.
4. $5,24 \cdot (49,49 + 6,51) = 5,24 \cdot 56 = 293,44$.

Ответ: 1) 354,9; 2) 32,9406; 3) 6,5884; 4) 293,44.

№ 7

Найди значения: 1) $9,4a - b : 8,08$ при $a = 8,25$, $b = 614,08$; 2) $6,05c + 23,7 : d$ при $c = 0,36$, $d = 9,48$; 3) $285,6 : m - n : 7,9$ при $m = 67,2$, $n = 32,785$; 4) $2,8k + 11,4t$ при $k = 3,9$, $t = 5,7$.

Решение.

1. $9,4 \cdot 8,25 = 77,55$; $614,08 : 8,08 = 76$; $77,55 - 76 = 1,55$.
2. $6,05 \cdot 0,36 = 2,178$; $23,7 : 9,48 = 2,5$; $2,178 + 2,5 = 4,678$.
3. $285,6 : 67,2 = 4,25$; $32,785 : 7,9 = 4,15$; $4,25 - 4,15 = 0,1$.
4. $2,8 \cdot 3,9 = 10,92$; $11,4 \cdot 5,7 = 64,98$; $10,92 + 64,98 = 75,9$.

Ответ: 1) 1,55; 2) 4,678; 3) 0,1; 4) 75,9.

Обыкновенные дроби

№ 8

Запиши десятичной дробью: 1) $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{20}$, $\frac{1}{25}$, $\frac{1}{40}$, $\frac{1}{50}$; 2) $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{7}{8}$; 3) $\frac{2}{25}$, $\frac{3}{25}$, $\frac{4}{25}$, $\frac{8}{25}$.

Как думать. Подбираем множитель, чтобы знаменатель стал 10, 100, 1000 или 10 000: $\frac{1}{8} = \frac{125}{1000}$. Или просто делим числитель на знаменатель.

Решение.

Ответ: в таблице.

💡 Запомни три «восьмушки»: $\frac{1}{8} = 0,125$, $\frac{3}{8} = 0,375$, $\frac{5}{8} = 0,625$. Они встречаются очень часто.

№ 9

Вычисли: 1) $\frac{3}{20} + \frac{2}{15}$; 2) $\frac{17}{32} - \frac{5}{12}$; 3) $\frac{11}{28} + \frac{9}{14}$; 4) $\frac{35}{36} - \frac{41}{45}$; 5) $3\frac{21}{25} + 1\frac{2}{5}$; 6) $4\frac{13}{16} - 2\frac{3}{8}$; 7) $5\frac{5}{6} - \frac{31}{48}$; 8) $6\frac{4}{7} - 2\frac{37}{77}$.

Как думать. Ищем наименьший общий знаменатель (НОК знаменателей). У смешанных чисел целые и дробные части считаем отдельно.

Решение.

1. $\frac{9}{60} + \frac{8}{60} = \frac{17}{60}$.
2. $\frac{51}{96} - \frac{40}{96} = \frac{11}{96}$.
3. $\frac{11}{28} + \frac{18}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}$.
4. $\frac{175}{180} - \frac{164}{180} = \frac{11}{180}$.
5. $3\frac{21}{25} + 1\frac{10}{25} = 4\frac{31}{25} = 5\frac{6}{25}$.
6. $4\frac{13}{16} - 2\frac{6}{16} = 2\frac{7}{16}$.
7. $5\frac{40}{48} - \frac{31}{48} = 5\frac{9}{48} = 5\frac{3}{16}$.
8. $6\frac{44}{77} - 2\frac{37}{77} = 4\frac{7}{77} = 4\frac{1}{11}$.

Ответ: 1) $\frac{17}{60}$; 2) $\frac{11}{96}$; 3) $1\frac{1}{28}$; 4) $\frac{11}{180}$; 5) $5\frac{6}{25}$; 6) $2\frac{7}{16}$; 7) $5\frac{3}{16}$; 8) $4\frac{1}{11}$.

№ 10

Найди сумму и разность чисел: 1) 48,93 и 41,83; 2) 568,19 и 2,81; 3) 100,99 и 99,01; 4) 40,007 и 39,07.

Как думать. Пишем запятую под запятой. Недостающие разряды дополняем нулями: 39,07 = 39,070.

Решение.

1. $48,93 + 41,83 = 90,76$; $48,93 - 41,83 = 7,1$.
2. $568,19 + 2,81 = 571$; $568,19 - 2,81 = 565,38$.
3. $100,99 + 99,01 = 200$; $100,99 - 99,01 = 1,98$.
4. $40,007 + 39,070 = 79,077$; $40,007 - 39,070 = 0,937$.

Ответ: 1) 90,76 и 7,1; 2) 571 и 565,38; 3) 200 и 1,98; 4) 79,077 и 0,937.

№ 11

Найди сумму и разность: 1) $7\frac{11}{12}$ и $4\frac{9}{16}$; 2) $25\frac{13}{42}$ и $19\frac{9}{14}$; 3) $5\frac{7}{30}$ и $3\frac{11}{18}$; 4) $49\frac{3}{20}$ и $38\frac{1}{12}$.

Как думать. Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше, «занимаем» единицу: $25\frac{13}{42} = 24\frac{55}{42}$.

Решение.

1. Знаменатель 48: $7\frac{44}{48} + 4\frac{27}{48} = 11\frac{71}{48} = 12\frac{23}{48}$; $7\frac{44}{48} - 4\frac{27}{48} = 3\frac{17}{48}$.
2. Знаменатель 42: $25\frac{13}{42} + 19\frac{27}{42} = 44\frac{40}{42} = 44\frac{20}{21}$; $24\frac{55}{42} - 19\frac{27}{42} = 5\frac{28}{42} = 5\frac{2}{3}$.
3. Знаменатель 90: $5\frac{21}{90} + 3\frac{55}{90} = 8\frac{76}{90} = 8\frac{38}{45}$; $4\frac{111}{90} - 3\frac{55}{90} = 1\frac{56}{90} = 1\frac{28}{45}$.
4. Знаменатель 60: $49\frac{9}{60} + 38\frac{5}{60} = 87\frac{14}{60} = 87\frac{7}{30}$; $49\frac{9}{60} - 38\frac{5}{60} = 11\frac{4}{60} = 11\frac{1}{15}$.

Ответ: 1) $12\frac{23}{48}$ и $3\frac{17}{48}$; 2) $44\frac{20}{21}$ и $5\frac{2}{3}$; 3) $8\frac{38}{45}$ и $1\frac{28}{45}$; 4) $87\frac{7}{30}$ и $11\frac{1}{15}$.

№ 12

Мавзолей Ходжи Ахмеда Ясави в Туркестане. Найди суммы: 1) $39 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2$ — диаметр главного купола снаружи, м; 2) $3^2 + 0,6^2 + 0,8^2 + 8$ — диаметр кирпичного купола внутри, м; 3) $29,4375 + \left(\frac{3}{4}\right)^2$ — число комнат и залов; 4) $23\frac{5}{9} + \left(3\frac{2}{3}\right)^2$ — высота центрального зала, м; 5) $7^2 + 0,3^2 + 0,4^2 + 10\frac{3}{4}$ — сколько вёдер вмещает казан; 6) нуля и наименьшего простого числа — масса казана в тоннах.

Как думать. Сначала возводим в квадрат, потом складываем. Заметь: $\frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$ и $0,36 + 0,64 = 1$ — красивые пары.

Решение.

1. $39 + \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 39 + 1 = 40$.
2. $9 + 0,36 + 0,64 + 8 = 18$.
3. $29,4375 + 0,5625 = 30$.
4. $\left(\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9} = 13\frac{4}{9}$; $23\frac{5}{9} + 13\frac{4}{9} = 37$.
5. $49 + 0,09 + 0,16 + 10,75 = 60$.
6. Наименьшее простое число — 2; $0 + 2 = 2$.

Ответ: 1) 40 м; 2) 18 м; 3) 30 комнат и залов; 4) 37 м; 5) 60 вёдер; 6) 2 т.

🌟 Этот казан называют Тайказан. Его отлили из сплава семи металлов, а мавзолей включён в список Всемирного наследия ЮНЕСКО.

№ 13

История выставок ЭКСПО: 1) $450,000 : 90 - 3149$ — год первой Всемирной выставки в Лондоне; 2) $(89 \cdot 101 + 1011) : 20 + 1355$ — с этого года появились выставочные площадки; 3) $5 : 0,001 - 555 \cdot 9$ — через сколько лет проводят всемирные выставки.

Решение.

1. $450,000 : 90 = 5000$; $5000 - 3149 = 1851$.
2. $89 \cdot 101 = 8989$; $8989 + 1011 = 10,000$; $10,000 : 20 = 500$; $500 + 1355 = 1855$.
3. $5 : 0,001 = 5000$; $555 \cdot 9 = 4995$; $5000 - 4995 = 5$.

Ответ: 1) 1851 г.; 2) 1855 г.; 3) через 5 лет.

№ 14

Сравни: 1) $8,39 + 17,51$ и $30 - 4,1$; 2) $81,27 - 35,2$ и $24,9 + 21,18$; 3) $100 - 81,25$ и $13,34 + 6,4$; 4) $202,09 - 183,82$ и $300,233 - 281,963$.

Решение.

1. $25,9$ и $25,9$ → равны.
2. $46,07$ и $46,08$ → $46,07 < 46,08$.
3. $18,75$ и $19,74$ → $18,75 < 19,74$.
4. $18,27$ и $18,27$ → равны.

Ответ: 1) =; 2) <; 3) <; 4) =.

№ 15

Сравни: 1) $8\frac{3}{16} + 1,3125$ и $10\frac{7}{20} - 0,95$; 2) $20,9 - 13\frac{7}{10}$ и $6\frac{8}{25} + 1,28$.

Как думать. Переведём дроби в десятичные: $\frac{3}{16} = 0,1875$, $\frac{7}{20} = 0,35$, $\frac{8}{25} = 0,32$.

Решение.

1. $8,1875 + 1,3125 = 9,5$; $10,35 - 0,95 = 9,4$; $9,5 > 9,4$.
2. $20,9 - 13,7 = 7,2$; $6,32 + 1,28 = 7,6$; $7,2 < 7,6$.

Ответ: 1) >; 2) <.

№ 16

Вычисли: 1) $\frac{25}{49} \cdot \frac{21}{50}$; 2) $\frac{45}{64} : \frac{81}{96}$; 3) $\frac{121}{140} \cdot \frac{350}{363}$; 4) $\frac{39}{203} : \frac{78}{145}$; 5) $22\frac{6}{7} \cdot 2\frac{11}{40}$; 6) $42\frac{2}{3} : 4\frac{20}{27}$.

Как думать. Сокращай до умножения — числа станут маленькими. Смешанные числа сначала превращай в неправильные дроби.

Решение.

1. $\frac{25 \cdot 21}{49 \cdot 50} = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 2} = \frac{3}{14}$.
2. $\frac{45}{64} \cdot \frac{96}{81} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 9} = \frac{5}{6}$.
3. $\frac{121 \cdot 350}{140 \cdot 363} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$.
4. $\frac{39}{203} \cdot \frac{145}{78} = \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 2} = \frac{5}{14}$ (тут $203 = 7 \cdot 29$, $145 = 5 \cdot 29$).
5. $\frac{160}{7} \cdot \frac{91}{40} = 4 \cdot 13 = 52$.
6. $\frac{128}{3} : \frac{128}{27} = \frac{128}{3} \cdot \frac{27}{128} = 9$.

Ответ: 1) $\frac{3}{14}$; 2) $\frac{5}{6}$; 3) $\frac{5}{6}$; 4) $\frac{5}{14}$; 5) 52; 6) 9.

№ 17

Парк 28 гвардейцев-панфиловцев в Алматы. 1) Площадь парка в гектарах кратна 2 и 9 и меньше 30. 2) Год сооружения мемориала Славы — $19\frac{3}{4} \cdot 10^2$. 3) К какой годовщине Победы открыт мемориал?

Как думать. Число, кратное и 2, и 9, делится на 18. Таких чисел меньше 30 — только 18.

Решение.

1. Кратные 18: 18, 36, … Меньше 30 только 18.
2. $19\frac{3}{4} \cdot 100 = 19,75 \cdot 100 = 1975$.
3. $1975 - 1945 = 30$ — к 30-летию Победы.

Ответ: 1) 18 га; 2) 1975 г.; 3) к 30-летию Победы.

№ 18

Сравни: 1) $\frac{2}{43} \cdot 10\frac{3}{4}$ и $5\frac{1}{7} : 2\frac{4}{7}$; 2) $9\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{19}$ и $3\frac{1}{6} : 6\frac{1}{3}$; 3) $5\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{34}$ и $11\frac{1}{2} : 8\frac{5}{8}$; 4) $\frac{8}{15} \cdot \frac{20}{24}$ и $1\frac{8}{27} : 1\frac{2}{3}$.

Решение.

1. $\frac{2}{43} \cdot \frac{43}{4} = \frac{1}{2}$; $\frac{36}{7} : \frac{18}{7} = 2$; $\frac{1}{2} < 2$.
2. $\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{19} = \frac{1}{2}$; $\frac{19}{6} : \frac{19}{3} = \frac{1}{2}$; равны.
3. $\frac{17}{3} \cdot \frac{9}{34} = \frac{3}{2}$; $\frac{23}{2} : \frac{69}{8} = \frac{23}{2} \cdot \frac{8}{69} = \frac{4}{3}$; $\frac{3}{2} > \frac{4}{3}$.
4. $\frac{8}{15} \cdot \frac{20}{24} = \frac{4}{9}$; $\frac{35}{27} : \frac{5}{3} = \frac{7}{9}$; $\frac{4}{9} < \frac{7}{9}$.

Ответ: 1) <; 2) =; 3) >; 4) <.

№ 19

Выполни действия: 1) $\frac{2}{47} \cdot 9,4 + 5,6$; 2) $2,1 - 6,2 \cdot \frac{3}{31}$; 3) $5,8 : 9\frac{2}{3} + 8,04$.

Как думать. $9,4 = 47 \cdot 0,2$ и $6,2 = 31 \cdot 0,2$ — знаменатели сокращаются.

Решение.

1. $\frac{2}{47} \cdot 9,4 = 2 \cdot 0,2 = 0,4$; $0,4 + 5,6 = 6$.
2. $6,2 \cdot \frac{3}{31} = 0,2 \cdot 3 = 0,6$; $2,1 - 0,6 = 1,5$.
3. $5,8 : \frac{29}{3} = 5,8 \cdot 3 : 29 = 0,6$; $0,6 + 8,04 = 8,64$.

Ответ: 1) 6; 2) 1,5; 3) 8,64.

№ 20

Выполни действия: 1) $40 + 6\frac{1}{9} : 2\frac{1}{27} - 23\frac{10}{11}$; 2) $53,5 - 14\frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{17} + 8\frac{2}{3}$.

Решение.

1. $\frac{55}{9} : \frac{55}{27} = 3$; $40 + 3 = 43$; $43 - 23\frac{10}{11} = 19\frac{1}{11}$.
2. $\frac{85}{6} \cdot \frac{18}{17} = 15$; $53,5 - 15 = 38,5$; $38\frac{1}{2} + 8\frac{2}{3} = 47\frac{1}{6}$.

Ответ: 1) $19\frac{1}{11}$; 2) $47\frac{1}{6}$.

№ 21

Годы событий истории Казахстана: 1) $19,91 \cdot 100$ — закон о независимости; 2) $19,92 \cdot 2^2 \cdot 5^2$ — утверждены флаг и герб; 3) $4 \cdot 19 \cdot 25 + 5^2 \cdot 31 \cdot 4 \cdot 0,03$ — первая Конституция; 4) $19\frac{19}{20} \cdot 4 \cdot 5^2$ — действующая Конституция.

Как думать. $2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$. Ищи сотню в каждом примере!

Решение.

1. $19,91 \cdot 100 = 1991$.
2. $19,92 \cdot 100 = 1992$.
3. $4 \cdot 25 \cdot 19 = 1900$; $25 \cdot 4 \cdot 31 \cdot 0,03 = 100 \cdot 0,93 = 93$; $1900 + 93 = 1993$.
4. $19\frac{19}{20} \cdot 100 = 19,95 \cdot 100 = 1995$.

Ответ: 1) 1991 г.; 2) 1992 г.; 3) 1993 г.; 4) 1995 г.

Округление

№ 22

Найди сумму чисел 2,499; 1,028; 25,0009; 300,4; 47,4663 и округли её до единиц, десятых, сотых, тысячных.

Как думать. Смотрим на цифру справа от нужного разряда: 0–4 — отбрасываем, 5–9 — прибавляем 1.

Решение. $2,499 + 1,028 + 25,0009 + 300,4 + 47,4663 = 376,3942$.

Ответ: 1) 376; 2) 376,4; 3) 376,39; 4) 376,394.

№ 23

Найди разность: 1) 808,35 и 99,169; 2) 22,1 и 0,083; 3) 5,05 и 1,207; 4) 33,402 и 19,1. Округли до десятков, десятых, сотых.

Решение.

Ответ: в таблице.

⚠️ Частая ошибка. 3,843 до десятков — это 0, а не 4. В разряде десятков стоит 0, а следующая цифра 3 меньше 5.

№ 24

Найди произведение: 1) 2,35 и 9,05; 2) 0,47 и 2,104; 3) 20,3 и 0,771; 4) 7,06 и 0,24. Округли до единиц, сотых, тысячных.

Решение.

Ответ: в таблице.

№ 25

Найди частное: 1) 23 и 8; 2) 41 и 16; 3) 103 и 25; 4) 277 и 32. Округли до единиц, десятков, десятых, сотых.

Решение.

Ответ: в таблице.

Выражения с буквами

№ 26

Найди значения при $a = 5,4$, $b = \frac{7}{36}$: 1) $100a + 0,9b$; 2) $a : \frac{20}{27} - 0,72b$; 3) $\frac{8}{9}a - b : \frac{35}{144}$; 4) $3,2 : a - \frac{81}{84}b$.

Решение.

1. $100 \cdot 5,4 = 540$; $0,9 \cdot \frac{7}{36} = \frac{9}{10} \cdot \frac{7}{36} = \frac{7}{40} = 0,175$; итого $540,175$.
2. $5,4 \cdot \frac{27}{20} = 7,29$; $0,72 \cdot \frac{7}{36} = 0,14$; $7,29 - 0,14 = 7,15$.
3. $\frac{8}{9} \cdot 5,4 = 4,8$; $\frac{7}{36} \cdot \frac{144}{35} = \frac{4}{5} = 0,8$; $4,8 - 0,8 = 4$.
4. $3,2 : 5,4 = \frac{32}{54} = \frac{16}{27}$; $\frac{81}{84} \cdot \frac{7}{36} = \frac{3}{16}$; $\frac{16}{27} - \frac{3}{16} = \frac{256 - 81}{432} = \frac{175}{432}$.

Ответ: 1) 540,175; 2) 7,15; 3) 4; 4) $\frac{175}{432}$.

№ 27

Найди $450c + \frac{5}{24} : d$ при: 1) $c = 1,6$, $d = \frac{25}{27}$; 2) $c = \frac{1}{90}$, $d = \frac{2}{3}$; 3) $c = 0,09$, $d = \frac{5}{36}$; 4) $c = \frac{7}{225}$, $d = \frac{50}{57}$.

Решение.

1. $450 \cdot 1,6 = 720$; $\frac{5}{24} \cdot \frac{27}{25} = \frac{9}{40} = 0,225$; $720,225$.
2. $450 \cdot \frac{1}{90} = 5$; $\frac{5}{24} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{16}$; $5\frac{5}{16}$.
3. $450 \cdot 0,09 = 40,5$; $\frac{5}{24} \cdot \frac{36}{5} = 1,5$; $42$.
4. $450 \cdot \frac{7}{225} = 14$; $\frac{5}{24} \cdot \frac{57}{50} = \frac{19}{80} = 0,2375$; $14,2375$.

Ответ: 1) 720,225; 2) $5\frac{5}{16}$; 3) 42; 4) 14,2375.

Периметр, площадь, объём

№ 28

Найди периметр и площадь прямоугольника со сторонами: 1) 0,6 дм и 0,5 дм; 2) 4,4 см и 1,5 см; 3) $\frac{4}{7}$ дм и $\frac{2}{14}$ дм; 4) $\frac{8}{15}$ см и 1,2 см.

Как думать. $P = 2 \cdot (a + b)$, $S = a \cdot b$. Площадь — в квадратных единицах.

Решение.

1. $P = 2 \cdot 1,1 = 2,2$ дм = 22 см; $S = 0,6 \cdot 0,5 = 0,3$ дм².
2. $P = 2 \cdot 5,9 = 11,8$ см; $S = 4,4 \cdot 1,5 = 6,6$ см².
3. $\frac{2}{14} = \frac{1}{7}$; $P = 2 \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$ дм; $S = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{49}$ дм².
4. $1,2 = \frac{6}{5} = \frac{18}{15}$; $P = 2 \cdot \frac{26}{15} = 3\frac{7}{15}$ см; $S = \frac{8}{15} \cdot \frac{6}{5} = \frac{16}{25} = 0,64$ см².

Ответ: 1) 2,2 дм (22 см), 0,3 дм²; 2) 11,8 см, 6,6 см²; 3) $1\frac{3}{7}$ дм, $\frac{4}{49}$ дм²; 4) $3\frac{7}{15}$ см, 0,64 см².

№ 29

Найди периметр и площадь квадрата со стороной: 1) 6,5 см; 2) 1,8 см; 3) $\frac{25}{28}$ дм; 4) $5\frac{3}{4}$ см.

Решение. $P = 4a$, $S = a \cdot a$.

1. $P = 26$ см; $S = 42,25$ см².
2. $P = 7,2$ см; $S = 3,24$ см².
3. $P = \frac{100}{28} = 3\frac{4}{7}$ дм; $S = \frac{625}{784}$ дм².
4. $P = 4 \cdot \frac{23}{4} = 23$ см; $S = \frac{529}{16} = 33\frac{1}{16}$ см².

Ответ: 1) 26 см, 42,25 см²; 2) 7,2 см, 3,24 см²; 3) $3\frac{4}{7}$ дм, $\frac{625}{784}$ дм²; 4) 23 см, $33\frac{1}{16}$ см².

№ 30

Площадь прямоугольника 15 см², длина: 1) 0,3 дм; 2) 1,2 см; 3) $\frac{5}{12}$ дм; 4) $3\frac{1}{3}$ см. Найди ширину.

Как думать. Ширина = площадь : длина. Но сначала переведи дециметры в сантиметры, ведь площадь дана в см².

Решение.

1. 0,3 дм = 3 см; $15 : 3 = 5$ см.
2. $15 : 1,2 = 12,5$ см.
3. $\frac{5}{12}$ дм $= \frac{50}{12}$ см $= \frac{25}{6}$ см; $15 : \frac{25}{6} = 15 \cdot \frac{6}{25} = 3,6$ см.
4. $15 : \frac{10}{3} = 15 \cdot \frac{3}{10} = 4,5$ см.

Ответ: 1) 5 см; 2) 12,5 см; 3) 3,6 см; 4) 4,5 см.

№ 31

Найди объём куба с ребром: 1) 0,2 м; 2) $\frac{3}{4}$ см; 3) 1,1 см; 4) $1\frac{2}{5}$ см.

Решение. $V = a \cdot a \cdot a$.

1. $0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$ м³.
2. $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{27}{64}$ см³.
3. $1,1 \cdot 1,1 \cdot 1,1 = 1,331$ см³.
4. $1,4 \cdot 1,4 \cdot 1,4 = 2,744$ см³.

Ответ: 1) 0,008 м³; 2) $\frac{27}{64}$ см³; 3) 1,331 см³; 4) 2,744 см³.

№ 32

Найди объём прямоугольного параллелепипеда: 1) 5,5 см, 2,6 см, 3,4 см; 2) $\frac{10}{21}$ дм, $\frac{7}{25}$ дм, $\frac{9}{16}$ дм.

Решение.

1. $5,5 \cdot 2,6 = 14,3$; $14,3 \cdot 3,4 = 48,62$ см³.
2. По шагам: $\frac{10}{21} \cdot \frac{7}{25} = \frac{2}{15}$; $\frac{2}{15} \cdot \frac{9}{16} = \frac{3}{40}$ дм³.

Ответ: 1) 48,62 см³; 2) $\frac{3}{40}$ дм³.

№ 33

Сторона квадрата 23 см. 1) Найди периметр. 2) Найди площадь второго квадрата, если его периметр на 0,8 дм больше.

Как думать. 0,8 дм = 8 см. Зная периметр квадрата, сторону найдём делением на 4.

Решение.

1. $P = 4 \cdot 23 = 92$ см.
2. Периметр второго: $92 + 8 = 100$ см; сторона $100 : 4 = 25$ см; площадь $25 \cdot 25 = 625$ см².

Ответ: 1) 92 см; 2) 625 см².

Вычисления-загадки и уравнения

№ 34

Животный мир Казахстана: 1) $43\frac{2}{3} : 26,2 + \left(846 - 10\frac{2}{3}\right)$ — видов позвоночных; 2) $(56,03 \cdot 4,6 - 256,848) : 0,005$ — видов млекопитающих; 3) $\left(17,6 : 4\frac{5}{7} + 2\frac{1}{3}\right) \cdot 1\frac{2}{13}$ — во сколько раз бульон из сухих белых грибов питательнее мясного.

Решение.

1. $\frac{131}{3} : \frac{131}{5} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$; $846 - 10\frac{2}{3} = 835\frac{1}{3}$; $1\frac{2}{3} + 835\frac{1}{3} = 837$.
2. $56,03 \cdot 4,6 = 257,738$; $257,738 - 256,848 = 0,89$; $0,89 : 0,005 = 178$.
3. $17,6 : \frac{33}{7} = \frac{88}{5} \cdot \frac{7}{33} = \frac{56}{15} = 3\frac{11}{15}$; $3\frac{11}{15} + 2\frac{5}{15} = 6\frac{1}{15} = \frac{91}{15}$; $\frac{91}{15} \cdot \frac{15}{13} = 7$.

Ответ: 1) 837 видов; 2) 178 видов; 3) в 7 раз.

№ 35

Реши уравнения: 1) $x + 8,34 = 10$; 2) $9,26 + x = 13,1$; 3) $x + 27\frac{8}{9} = 52$; 4) $6,2 + \frac{2}{35}x = 11$; 5) $x + 71\frac{6}{13} = 72$; 6) $40\frac{5}{12} + x = 61\frac{4}{15}$; 7) $x - 19,5 = 2,85$; 8) $40,02 - x = 37,7$; 9) $x - 31\frac{4}{21} = 13\frac{9}{28}$; 10) $81\frac{5}{6} - x = 79\frac{3}{4}$.

Как думать. Неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое. Неизвестное уменьшаемое = разность + вычитаемое. Неизвестное вычитаемое = уменьшаемое − разность.

Решение.

1. $x = 10 - 8,34 = 1,66$.
2. $x = 13,1 - 9,26 = 3,84$.
3. $x = 52 - 27\frac{8}{9} = 24\frac{1}{9}$.
4. $\frac{2}{35}x = 11 - 6,2 = 4,8$; $x = 4,8 : \frac{2}{35} = 4,8 \cdot 17,5 = 84$.
5. $x = 72 - 71\frac{6}{13} = \frac{7}{13}$.
6. $x = 61\frac{16}{60} - 40\frac{25}{60} = 60\frac{76}{60} - 40\frac{25}{60} = 20\frac{51}{60} = 20\frac{17}{20}$.
7. $x = 2,85 + 19,5 = 22,35$.
8. $x = 40,02 - 37,7 = 2,32$.
9. $x = 13\frac{27}{84} + 31\frac{16}{84} = 44\frac{43}{84}$.
10. $x = 81\frac{10}{12} - 79\frac{9}{12} = 2\frac{1}{12}$.

Ответ: 1) 1,66; 2) 3,84; 3) $24\frac{1}{9}$; 4) 84; 5) $\frac{7}{13}$; 6) $20\frac{17}{20}$; 7) 22,35; 8) 2,32; 9) $44\frac{43}{84}$; 10) $2\frac{1}{12}$.

№ 36

Реши уравнения: 1) $7,5x = 35,88$; 2) $1,25x = 40$; 3) $7\frac{2}{3}x = \frac{9}{46}$; 4) $3\frac{2}{11}x = 35$; 5) $4\frac{1}{9}x = 72$; 6) $8\frac{5}{13}x = 4\frac{5}{26}$; 7) $x : 3,05 = 9,4$; 8) $315,9 : x = 7,02$; 9) $x : 10\frac{2}{3} = 14\frac{2}{23}$; 10) $27\frac{7}{12} : x = 3,31$; 11) $x : 12\frac{4}{13} = \frac{39}{160}$; 12) $2,64 : x = 37\frac{5}{7}$.

Как думать. Неизвестный множитель = произведение : другой множитель. Неизвестное делимое = частное · делитель. Неизвестный делитель = делимое : частное.

Решение.

1. $x = 35,88 : 7,5 = 4,784$.
2. $x = 40 : 1,25 = 32$.
3. $x = \frac{9}{46} : \frac{23}{3} = \frac{9}{46} \cdot \frac{3}{23} = \frac{27}{1058}$.
4. $x = 35 : \frac{35}{11} = 11$.
5. $x = 72 : \frac{37}{9} = \frac{648}{37} = 17\frac{19}{37}$.
6. $x = \frac{109}{26} : \frac{109}{13} = \frac{1}{2}$.
7. $x = 9,4 \cdot 3,05 = 28,67$.
8. $x = 315,9 : 7,02 = 45$.
9. $x = \frac{324}{23} \cdot \frac{32}{3} = \frac{3456}{23} = 150\frac{6}{23}$.
10. $x = \frac{331}{12} : \frac{331}{100} = \frac{100}{12} = 8\frac{1}{3}$.
11. $x = \frac{39}{160} \cdot \frac{160}{13} = 3$.
12. $x = 2,64 : \frac{264}{7} = \frac{264}{100} \cdot \frac{7}{264} = 0,07$.

Ответ: 1) 4,784; 2) 32; 3) $\frac{27}{1058}$; 4) 11; 5) $17\frac{19}{37}$; 6) $\frac{1}{2}$; 7) 28,67; 8) 45; 9) $150\frac{6}{23}$; 10) $8\frac{1}{3}$; 11) 3; 12) 0,07.

💡 Заметь пары-близнецы: в № 6 $\frac{109}{26}$ и $\frac{109}{13}$, в № 10 — 331 и 331. Так авторы подсказывают: «сократи меня!».

№ 37

Толщину вечной мерзлоты в Сибири ($x$ м) узнаешь из уравнения $0,01x - 10 = 0$.

Решение. $0,01x = 10$; $x = 10 : 0,01 = 1000$.

Ответ: 1000 м.

Проценты и части числа

№ 38

Вечная мерзлота занимает около 15% поверхности Земли, а вся поверхность — 510,2 млн км². Сколько это миллионов км²?

Решение. $510,2 \cdot 0,15 = 76,53$.

Ответ: около 76,53 млн км².

№ 39

Найди: 1) 35% от 200; 2) 40% от 125; 3) 200% от 88; 4) 80% от 97; 5) 95% от 132; 6) 250% от 46.

Как думать. Процент — это сотая часть. Делим число на 100 и умножаем на число процентов. 200% — это число, взятое дважды.

Решение.

1. $200 : 100 \cdot 35 = 70$.
2. $125 \cdot 0,4 = 50$.
3. $88 \cdot 2 = 176$.
4. $97 \cdot 0,8 = 77,6$.
5. $132 \cdot 0,95 = 125,4$.
6. $46 \cdot 2,5 = 115$.

Ответ: 1) 70; 2) 50; 3) 176; 4) 77,6; 5) 125,4; 6) 115.

№ 40

Найди число, если: 1) 25% его равны 30; 2) 60% — 120; 3) 74% — 100; 4) 150% — 3; 5) 200% — 404; 6) 500% — 500.

Как думать. Делим известную часть на число процентов (так найдём 1%) и умножаем на 100.

Решение.

1. $30 : 25 \cdot 100 = 120$.
2. $120 : 60 \cdot 100 = 200$.
3. $100 : 74 \cdot 100 = \frac{10,000}{74} = \frac{5000}{37} = 135\frac{5}{37}$.
4. $3 : 150 \cdot 100 = 2$.
5. $404 : 200 \cdot 100 = 202$.
6. $500 : 500 \cdot 100 = 100$.

Ответ: 1) 120; 2) 200; 3) $135\frac{5}{37}$; 4) 2; 5) 202; 6) 100.

№ 41

Космодромы: 1) $\frac{1}{19}$ от 323 — столько космодромов в мире; 2) число, 3% которого равны 35,67, — пусков с Байконура в 1957–2001 гг.; 3) число, 60% которого равны 742,2, — аппаратов, выведенных на орбиту с Байконура; 4) $\frac{1}{30}$ от 900 — сколько процентов всех пусков 2000–2001 гг. пришлось на Байконур.

Решение.

1. $323 : 19 = 17$.
2. $35,67 : 3 \cdot 100 = 1189$.
3. $742,2 : 60 \cdot 100 = 1237$.
4. $900 : 30 = 30$.

Ответ: 1) 17; 2) 1189; 3) 1237; 4) 30%.

🌟 С Байконура 12 апреля 1961 года стартовал Юрий Гагарин, а в 1991 году — первый космонавт-казах Тохтар Аубакиров.

Задачи и формулы

№ 42

1) Одна сторона прямоугольника 17,9 см, другая на 6,3 см меньше. Найди периметр. 2) Ширина 3,7 см, длина на 8,4 см больше. Найди периметр. 3) Одна сторона 3,2 см, периметр 33,2 см. Найди другую сторону.

Решение.

1. $17,9 - 6,3 = 11,6$ см; $P = 2 \cdot (17,9 + 11,6) = 59$ см.
2. $3,7 + 8,4 = 12,1$ см; $P = 2 \cdot (3,7 + 12,1) = 31,6$ см.
3. Полупериметр $33,2 : 2 = 16,6$ см; вторая сторона $16,6 - 3,2 = 13,4$ см.

Ответ: 1) 59 см; 2) 31,6 см; 3) 13,4 см.

№ 43

По формуле $s = v \cdot t$ найди: 1) $s$, если $v = 50$ км/ч, $t = 3$ ч 15 мин; 2) $v$, если $s = 180$ км, $t = 2$ ч 30 мин; 3) $t$, если $s = 100$ км, $v = 60$ км/ч.

Как думать. Минуты переводим в часы: 15 мин $= \frac{1}{4}$ ч, 30 мин $= \frac{1}{2}$ ч.

Решение.

1. $s = 50 \cdot 3,25 = 162,5$ км.
2. $v = 180 : 2,5 = 72$ км/ч.
3. $t = 100 : 60 = 1\frac{2}{3}$ ч = 1 ч 40 мин.

Ответ: 1) 162,5 км; 2) 72 км/ч; 3) 1 ч 40 мин.

№ 44

По формуле стоимости $С = К \cdot Ц$ найди: 1) С, если К = 20 шт., Ц = 40 тг/шт.; 2) К, если С = 500 тг, Ц = 25 тг/шт.; 3) Ц, если С = 4230 тг, К = 6 шт.

Решение.

1. $С = 20 \cdot 40 = 800$ тг.
2. $К = 500 : 25 = 20$ шт.
3. $Ц = 4230 : 6 = 705$ тг/шт.

Ответ: 1) 800 тг; 2) 20 шт.; 3) 705 тг/шт.

№ 45

1) Периметр треугольника 1,8 дм, две стороны по 0,5 дм. Найди третью. 2) Периметр 3,4 дм, одна сторона 1,4 дм, две другие равны. Найди их.

Решение.

1. $1,8 - 0,5 - 0,5 = 0,8$ дм.
2. $3,4 - 1,4 = 2$ дм на две равные стороны; $2 : 2 = 1$ дм.

Ответ: 1) 0,8 дм; 2) по 1 дм.

№ 46

1) Длина прямоугольника 12 см, ширина — $\frac{2}{3}$ длины. 2) Длина 8 см, ширина — 40% длины. Найди периметры.

Решение.

1. Ширина $12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ см; $P = 2 \cdot (12 + 8) = 40$ см.
2. Ширина $8 \cdot 0,4 = 3,2$ см; $P = 2 \cdot (8 + 3,2) = 22,4$ см.

Ответ: 1) 40 см; 2) 22,4 см.

№ 47

Запеканка: на $x$ г очищенной тыквы нужно столько же творога, сахара и сливочного масла; тёмного шоколада — 20% от массы тыквы, сахарной пудры — 10%. Сколько продуктов нужно на 1) 500 г; 2) 1 кг; 3) 250 г тыквы?

Как думать. Творог, сахар и масло — по $x$ г. Шоколад — $0,2x$, пудра — $0,1x$.

Решение.

Ответ: в таблице.

🌟 Математика в жизни моей семьи. Найдите дома любимый рецепт и пересчитайте его на половину порции или на двойную. Это та же задача!

№ 48

Периметр прямоугольника 20 см, одна сторона составляет $\frac{3}{10}$ периметра. Придумай вопрос и реши.

Как думать. Естественный вопрос: «Найдите длины сторон прямоугольника» (можно добавить: «и его площадь»).

Решение.

1. Одна сторона: $20 \cdot \frac{3}{10} = 6$ см.
2. Полупериметр: $20 : 2 = 10$ см; вторая сторона: $10 - 6 = 4$ см.
3. Площадь (если спросили): $6 \cdot 4 = 24$ см².

Ответ: стороны 6 см и 4 см (площадь 24 см²).

№ 49

Периметр прямоугольника 68 мм, одна сторона — 15% периметра. Придумай вопрос и реши.

Как думать. Вопрос: «Найдите длины сторон прямоугольника».

Решение.

1. Одна сторона: $68 \cdot 0,15 = 10,2$ мм.
2. Вторая: $68 : 2 - 10,2 = 34 - 10,2 = 23,8$ мм = 2,38 см.

Ответ: 10,2 мм и 23,8 мм (2,38 см).

№ 50

Скорость катера в стоячей воде 13,2 км/ч, скорость течения 3 км/ч. Придумай вопрос и реши.

Как думать. Вопрос: «Найдите скорость катера по течению и против течения». По течению река помогает, против — мешает.

Решение.

1. По течению: $13,2 + 3 = 16,2$ км/ч.
2. Против течения: $13,2 - 3 = 10,2$ км/ч.

Ответ: 16,2 км/ч и 10,2 км/ч.

№ 51

Скорость катера по течению 15 км/ч, скорость течения 2,7 км/ч. Придумай вопрос и реши.

Как думать. Вопрос: «Какова собственная скорость катера и скорость против течения?»

Решение.

1. Собственная: $15 - 2,7 = 12,3$ км/ч.
2. Против течения: $12,3 - 2,7 = 9,6$ км/ч.

Ответ: 12,3 км/ч; против течения 9,6 км/ч.

№ 52

Автомобиль должен проехать 800 км, проехал 85% пути. Придумай вопрос и реши.

Как думать. Вопросы: «Сколько километров он проехал? Сколько осталось?»

Решение.

1. Проехал: $800 \cdot 0,85 = 680$ км.
2. Осталось: $800 - 680 = 120$ км (это 15% пути).

Ответ: проехал 680 км, осталось 120 км.

№ 53

Нужно проехать 450 км, проехано $\frac{65}{90}$ пути. Сколько км осталось? Составь и реши обратную задачу.

Решение.

1. Проехал: $450 \cdot \frac{65}{90} = 5 \cdot 65 = 325$ км.
2. Осталось: $450 - 325 = 125$ км.

Обратная задача. Автомобиль должен проехать 450 км и проехал 325 км. Какую часть пути он проехал? Решение: $\frac{325}{450} = \frac{13}{18}$ (это то же, что $\frac{65}{90}$).

Ответ: 125 км; в обратной задаче — $\frac{13}{18}$ пути.

№ 54

Длина прямоугольника 82 см, ширина — 65% длины. Найди площадь и периметр. Составь и реши обратную задачу.

Решение.

1. Ширина: $82 \cdot 0,65 = 53,3$ см.
2. Площадь: $82 \cdot 53,3 = 4370,6$ см².
3. Периметр: $2 \cdot (82 + 53,3) = 270,6$ см = 2 м 7 дм 6 мм.

Обратная задача. Ширина прямоугольника 53,3 см, это 65% его длины. Найди длину. Решение: $53,3 : 65 \cdot 100 = 82$ см.

Ответ: $S = 4370,6$ см², $P = 270,6$ см; в обратной задаче — 82 см.

№ 55

Вспахали $\frac{5}{11}$ поля площадью 330 га. Сколько гектаров вспахали? Составь и реши обратную задачу.

Решение. $330 : 11 \cdot 5 = 150$ га.

Обратная задача. Вспахали 150 га, это $\frac{5}{11}$ поля. Какова площадь поля? Решение: $150 : 5 \cdot 11 = 330$ га.

Ответ: 150 га; в обратной задаче — 330 га.

№ 56

Одна сторона треугольника 12 дм, две другие — по 80% от неё. Найди периметр.

Решение. $12 \cdot 0,8 = 9,6$ дм; $P = 12 + 9,6 + 9,6 = 31,2$ дм.

Ответ: 31,2 дм.

№ 57

В первый час автомобиль проехал 68 км — это 40% пути, во второй — 72 км. Сколько осталось?

Как думать. Сначала найдём весь путь по его части.

Решение.

1. Весь путь: $68 : 40 \cdot 100 = 170$ км.
2. Осталось: $170 - 68 - 72 = 30$ км.

Ответ: 30 км.

Длинные вычисления

№ 58

Медали Казахстана на VII Зимних Азиатских играх: 1) $((1,25 \cdot 800 + 1486,4 : 1,6) - 9) : 60$ — золотые; 2) $((2,25 \cdot 600 + 2135 : 3,5) - 90) : 110$ — бронзовые; 3) $((100 : 0,05 - 323,4 : 9,8) - 77) : 90$ — серебряные.

Решение.

1. $1,25 \cdot 800 = 1000$; $1486,4 : 1,6 = 929$; $1929 - 9 = 1920$; $1920 : 60 = 32$.
2. $2,25 \cdot 600 = 1350$; $2135 : 3,5 = 610$; $1960 - 90 = 1870$; $1870 : 110 = 17$.
3. $100 : 0,05 = 2000$; $323,4 : 9,8 = 33$; $1967 - 77 = 1890$; $1890 : 90 = 21$.

Ответ: 32 золотые, 17 бронзовых, 21 серебряная медаль (всего 70).

№ 59

Выполни действия: 1) $1,26 \cdot \frac{10}{27} : 0,84 - \frac{5}{6}$; 2) $\frac{64}{155} \cdot 4,65 : 0,18 + 1\frac{1}{3}$; 3) $5\frac{1}{21} \cdot 0,9 : 6\frac{2}{35} - 0,5$; 4) $7,5 \cdot 2\frac{31}{40} : 16,65 + 0,25$.

Как думать. Где удобно — переводи десятичные дроби в обыкновенные: $1,26 = \frac{126}{100}$, $0,9 = \frac{9}{10}$.

Решение.

1. $1,26 \cdot \frac{10}{27} = \frac{126}{270} = \frac{7}{15}$; $\frac{7}{15} : \frac{84}{100} = \frac{7}{15} \cdot \frac{100}{84} = \frac{5}{9}$; $\frac{5}{9} - \frac{5}{6} = \frac{10}{18} - \frac{15}{18}$. Вычитаемое больше уменьшаемого: результат меньше нуля, $-\frac{5}{18}$. Такие числа ты изучишь в § 7.
2. $\frac{64}{155} \cdot 4,65 = 1,92$; $1,92 : 0,18 = 10\frac{2}{3}$; $10\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3} = 12$.
3. $\frac{106}{21} \cdot \frac{9}{10} = \frac{159}{35}$; $\frac{159}{35} : \frac{212}{35} = \frac{159}{212} = \frac{3}{4}$; $0,75 - 0,5 = 0,25$.
4. $7,5 \cdot 2,775 = 20,8125$; $20,8125 : 16,65 = 1,25$; $1,25 + 0,25 = 1,5$.

Ответ: 1) $-\frac{5}{18}$; 2) 12; 3) 0,25; 4) 1,5.

№ 60

Выполни действия: 1) $\left(3\frac{7}{16} : 20\frac{5}{8} - \frac{2}{15}\right) \cdot 0,9 + 1,17$; 2) $\left(2\frac{9}{16} + 5,45 : 6\frac{8}{35}\right) : 6\frac{1}{9}$; 3) $2,4 \cdot \left(5\frac{7}{18} : 3\frac{22}{25} - \frac{5}{12}\right) + 3\frac{1}{3} + 3$; 4) $\left(10\frac{1}{7} - 3,48 \cdot \frac{75}{116}\right) : 31\frac{4}{7}$.

Решение.

1. Смотри шаги выше: $1,2$.
2. $5,45 : \frac{218}{35} = \frac{545}{100} \cdot \frac{35}{218} = \frac{7}{8}$; $2\frac{9}{16} + \frac{14}{16} = 3\frac{7}{16} = \frac{55}{16}$; $\frac{55}{16} : \frac{55}{9} = \frac{9}{16}$.
3. $\frac{97}{18} : \frac{97}{25} = \frac{25}{18}$; $\frac{50}{36} - \frac{15}{36} = \frac{35}{36}$; $2,4 \cdot \frac{35}{36} = \frac{12}{5} \cdot \frac{35}{36} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$; $2\frac{1}{3} + 3\frac{1}{3} + 3 = 8\frac{2}{3}$.
4. $3,48 \cdot \frac{75}{116} = 2,25$; $10\frac{1}{7} - 2\frac{1}{4} = 7\frac{25}{28} = \frac{221}{28}$; $\frac{221}{28} : \frac{221}{7} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Ответ: 1) 1,2; 2) $\frac{9}{16}$; 3) $8\frac{2}{3}$; 4) $\frac{1}{4}$.

№ 61

Сложи частное 9,86 и 1,7 и произведение 1,4 и 43,15.

Решение. $9,86 : 1,7 + 1,4 \cdot 43,15 = 5,8 + 60,41 = 66,21$.

Ответ: 66,21.

№ 62

От частного 4,9962 и 0,12 отними произведение 3,4 и 0,02.

Решение. $4,9962 : 0,12 - 3,4 \cdot 0,02 = 41,635 - 0,068 = 41,567$.

Ответ: 41,567.

№ 63

Умножь сумму 8,945 и 12,255 на разность 80,94 и 78,84.

Решение. $(8,945 + 12,255) \cdot (80,94 - 78,84) = 21,2 \cdot 2,1 = 44,52$.

Ответ: 44,52.

№ 64

Раздели разность 98,631 и 45,231 на сумму 19,781 и 0,219.

Решение. $(98,631 - 45,231) : (19,781 + 0,219) = 53,4 : 20 = 2,67$.

Ответ: 2,67.

№ 65

Вычисли: 1) $45,6x - 8,901 : y + 6,2z$ при $x = 2,5$, $y = 0,09$, $z = 50,1$; 2) $65,065 : x - 4,25y + 6,8z$ при $x = 1,3$, $y = 0,08$, $z = 1,25$.

Решение.

1. $45,6 \cdot 2,5 = 114$; $8,901 : 0,09 = 98,9$; $6,2 \cdot 50,1 = 310,62$; $114 - 98,9 + 310,62 = 325,72$.
2. $65,065 : 1,3 = 50,05$; $4,25 \cdot 0,08 = 0,34$; $6,8 \cdot 1,25 = 8,5$; $50,05 - 0,34 + 8,5 = 58,21$.

Ответ: 1) 325,72; 2) 58,21.

№ 66

Вычисли: 1) $63,5x + 78,78 : y - 34,6z$ при $x = 1,8$, $y = 1,3$, $z = 0,7$; 2) $x : 8,9 + 63,2y - 74,5z$ при $x = 49,84$, $y = 5,5$, $z = 0,08$.

Решение.

1. $63,5 \cdot 1,8 = 114,3$; $78,78 : 1,3 = 60,6$; $34,6 \cdot 0,7 = 24,22$; $114,3 + 60,6 - 24,22 = 150,68$.
2. $49,84 : 8,9 = 5,6$; $63,2 \cdot 5,5 = 347,6$; $74,5 \cdot 0,08 = 5,96$; $5,6 + 347,6 - 5,96 = 347,24$.

Ответ: 1) 150,68; 2) 347,24.

№ 67

Вычисли: 1) $8\frac{2}{3}x + 3\frac{3}{5} : y - 0,076z$ при $x = 0,33$, $y = 2,5$, $z = 50$; 2) $\frac{25}{26} : x + 3\frac{6}{7}y - 9\frac{4}{9}z$ при $x = 2\frac{4}{13}$, $y = 3\frac{1}{2}$, $z = 1,8$.

Решение.

1. $\frac{26}{3} \cdot 0,33 = 2,86$; $3,6 : 2,5 = 1,44$; $0,076 \cdot 50 = 3,8$; $2,86 + 1,44 - 3,8 = 0,5$.
2. $\frac{25}{26} : \frac{30}{13} = \frac{25}{26} \cdot \frac{13}{30} = \frac{5}{12}$; $\frac{27}{7} \cdot \frac{7}{2} = 13\frac{1}{2}$; $\frac{85}{9} \cdot \frac{9}{5} = 17$. Сумма первых двух $13\frac{11}{12}$ меньше 17, поэтому результат меньше нуля: $13\frac{11}{12} - 17 = -3\frac{1}{12}$. Вычитать большее из меньшего научишься в § 15.

Ответ: 1) 0,5; 2) $-3\frac{1}{12}$.

№ 68

Вычисли: 1) $1\frac{5}{9}x - 1\frac{2}{7} : y + 0,9z$ при $x = 0,375$, $y = 3\frac{3}{7}$, $z = \frac{25}{27}$; 2) $\frac{9}{16} : x + 1\frac{1}{25}y - \frac{1}{35}z$ при $x = 3,375$, $y = 1\frac{2}{3}$, $z = 24,5$.

Как думать. $0,375 = \frac{3}{8}$, $3,375 = 3\frac{3}{8} = \frac{27}{8}$.

Решение.

1. $\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{7}{12}$; $\frac{9}{7} : \frac{24}{7} = \frac{3}{8}$; $\frac{9}{10} \cdot \frac{25}{27} = \frac{5}{6}$; $\frac{14}{24} - \frac{9}{24} + \frac{20}{24} = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24}$.
2. $\frac{9}{16} : \frac{27}{8} = \frac{1}{6}$; $\frac{26}{25} \cdot \frac{5}{3} = \frac{26}{15}$; $\frac{1}{35} \cdot 24,5 = 0,7$; $\frac{5}{30} + \frac{52}{30} - \frac{21}{30} = \frac{36}{30} = 1,2$.

Ответ: 1) $1\frac{1}{24}$; 2) 1,2.

Уравнения

№ 69

Годы принятия экологических законов: 1) $2000 - x = 3$; 2) $998 + x = 3000$; 3) $3000 - x = 998$; 4) $x : 4 = 501$; 5) $10,020 : x = 5$.

Решение.

1. $x = 2000 - 3 = 1997$ — закон об особо охраняемых природных территориях.
2. $x = 3000 - 998 = 2002$ — об охране атмосферного воздуха.
3. $x = 3000 - 998 = 2002$ — о защите растений.
4. $x = 501 \cdot 4 = 2004$ — о качестве и безопасности пищевых продуктов.
5. $x = 10,020 : 5 = 2004$ — об охране животного мира.

Ответ: 1) 1997 г.; 2) 2002 г.; 3) 2002 г.; 4) 2004 г.; 5) 2004 г.

№ 70

Реши: 1) $(60,1 - x) + 9,09 = 18,1$; 2) $44,2 - (x + 0,45) = 21,8$; 3) $7,34 + (100 - x) = 56,3$; 4) $(x + 67,45) - 91,01 = 4,59$.

Как думать. Скобку считаем одним «большим неизвестным». Сначала находим его, потом $x$.

Решение.

1. $60,1 - x = 18,1 - 9,09 = 9,01$; $x = 60,1 - 9,01 = 51,09$.
2. $x + 0,45 = 44,2 - 21,8 = 22,4$; $x = 22,4 - 0,45 = 21,95$.
3. $100 - x = 56,3 - 7,34 = 48,96$; $x = 100 - 48,96 = 51,04$.
4. $x + 67,45 = 4,59 + 91,01 = 95,6$; $x = 95,6 - 67,45 = 28,15$.

Ответ: 1) 51,09; 2) 21,95; 3) 51,04; 4) 28,15.

№ 71

Реши: 1) $\left(x - 12\frac{23}{40}\right) + 5\frac{8}{15} = 13\frac{19}{24}$; 2) $\left(x - 17\frac{1}{9}\right) - 4\frac{5}{12} = 19\frac{17}{18}$.

Решение.

1. Общий знаменатель 120. $x - 12\frac{23}{40} = 13\frac{95}{120} - 5\frac{64}{120} = 8\frac{31}{120}$; $x = 8\frac{31}{120} + 12\frac{69}{120} = 20\frac{100}{120} = 20\frac{5}{6}$.
2. Общий знаменатель 36. $x - 17\frac{1}{9} = 19\frac{34}{36} + 4\frac{15}{36} = 24\frac{13}{36}$; $x = 24\frac{13}{36} + 17\frac{4}{36} = 41\frac{17}{36}$.

Ответ: 1) $20\frac{5}{6}$; 2) $41\frac{17}{36}$.

№ 72

Реши: 1) $(y - 9,2) - 13\frac{5}{9} = 35,5$; 2) $80,5 - \left(y - 9\frac{3}{4}\right) = 28\frac{5}{6}$.

Как думать. $\frac{5}{9}$ в десятичную не переводится, поэтому считаем в обыкновенных дробях: $9,2 = 9\frac{1}{5}$, $35,5 = 35\frac{1}{2}$, $80,5 = 80\frac{1}{2}$.

Решение.

1. $y - 9\frac{1}{5} = 35\frac{9}{18} + 13\frac{10}{18} = 49\frac{1}{18}$; $y = 49\frac{5}{90} + 9\frac{18}{90} = 58\frac{23}{90}$.
2. $y - 9\frac{3}{4} = 80\frac{1}{2} - 28\frac{5}{6} = 51\frac{2}{3}$; $y = 51\frac{8}{12} + 9\frac{9}{12} = 61\frac{5}{12}$.

Ответ: 1) $58\frac{23}{90}$; 2) $61\frac{5}{12}$.

№ 73

Найди корни: 1) $(5,6 - x) : 0,04 = 3,5$; 2) $88,4 : (x + 11,03) = 4,42$; 3) $2,8 \cdot (6,21 - x) = 0,84$; 4) $(x + 0,579) \cdot 5,1 = 3,06$.

Решение.

1. $5,6 - x = 3,5 \cdot 0,04 = 0,14$; $x = 5,46$.
2. $x + 11,03 = 88,4 : 4,42 = 20$; $x = 8,97$.
3. $6,21 - x = 0,84 : 2,8 = 0,3$; $x = 5,91$.
4. $x + 0,579 = 3,06 : 5,1 = 0,6$; $x = 0,021$.

Ответ: 1) 5,46; 2) 8,97; 3) 5,91; 4) 0,021.

№ 74

Найди корни: 1) $(8,9 + x) : 3,4 = 8,5$; 2) $20,5 : (x + 399) = 0,05$; 3) $1,8 \cdot (10,7 - x) = 1,98$; 4) $(0,988 + x) \cdot 2,5 = 4,87$.

Решение.

1. $8,9 + x = 8,5 \cdot 3,4 = 28,9$; $x = 20$.
2. $x + 399 = 20,5 : 0,05 = 410$; $x = 11$.
3. $10,7 - x = 1,98 : 1,8 = 1,1$; $x = 9,6$.
4. $0,988 + x = 4,87 : 2,5 = 1,948$; $x = 0,96$.

Ответ: 1) 20; 2) 11; 3) 9,6; 4) 0,96.

№ 75

Найди корни: 1) $\frac{9}{11}\left(x - \frac{2}{3}\right) = 50$; 2) $11,2 : \left(x - \frac{2}{15}\right) = 6$; 3) $\left(2\frac{1}{16} + x\right) : 3\frac{9}{32} = \frac{2}{3}$; 4) $\left(x + \frac{8}{27}\right) : 19\frac{5}{9} = \frac{1}{12}$.

Решение.

1. $x - \frac{2}{3} = 50 : \frac{9}{11} = \frac{550}{9} = 61\frac{1}{9}$; $x = 61\frac{1}{9} + \frac{6}{9} = 61\frac{7}{9}$.
2. $x - \frac{2}{15} = 11,2 : 6 = \frac{112}{60} = 1\frac{13}{15}$; $x = 1\frac{13}{15} + \frac{2}{15} = 2$.
3. $2\frac{1}{16} + x = \frac{2}{3} \cdot \frac{105}{32} = \frac{35}{16} = 2\frac{3}{16}$; $x = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
4. $x + \frac{8}{27} = \frac{1}{12} \cdot \frac{176}{9} = \frac{44}{27}$; $x = \frac{36}{27} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: 1) $61\frac{7}{9}$; 2) 2; 3) $\frac{1}{8}$; 4) $1\frac{1}{3}$.

№ 76

Дворец Республики в Алматы: 1) год постройки — корень $x - (317,25 + 532,54) = 652\frac{3}{4} + 467,46$; 2) площадь в тысячах м² — корень $x - 4\frac{3}{8} = 5,625$; 3) число мест — НОК чисел 3 и $10^3$.

Решение.

1. $317,25 + 532,54 = 849,79$; $652,75 + 467,46 = 1120,21$; $x = 1120,21 + 849,79 = 1970$.
2. $x = 5,625 + 4,375 = 10$.
3. 3 и 1000 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому НОК $= 3 \cdot 1000 = 3000$.

Ответ: построен в 1970 г.; площадь 10 тыс. м²; 3000 мест.

№ 77

Найди $c = a \cdot b$: 1) $a = 2,2 \cdot (3,428 + 1,572) \cdot \left(13 - 12\frac{4}{11}\right)$, $b = \left(40\frac{2}{3} : 2\frac{7}{27} - 16\frac{4}{9}\right) \cdot 4,5$ — видов пресмыкающихся; 2) $a = \frac{13}{33} : 2\frac{59}{198} \cdot 2\frac{6}{7} : \frac{6}{7}$, $b = \left(16\frac{1}{3} : 5\frac{5}{6} + 1\frac{2}{5}\right) + 16,8$ — видов земноводных.

Решение.

1. $a$: $3,428 + 1,572 = 5$; $13 - 12\frac{4}{11} = \frac{7}{11}$; $2,2 \cdot 5 \cdot \frac{7}{11} = 11 \cdot \frac{7}{11} = 7$. $b$: $\frac{122}{3} : \frac{61}{27} = 18$; $18 - 16\frac{4}{9} = 1\frac{5}{9}$; $\frac{14}{9} \cdot 4,5 = 7$. $c = 7 \cdot 7 = 49$.
2. По шагам выше: $a = \frac{4}{7}$, $b = 21$, $c = 12$.

Ответ: 1) 49 видов пресмыкающихся; 2) 12 видов земноводных.

№ 78

1) Саблезубые тигры вымерли около $10^4$ лет назад. Запиши это натуральным числом. 2) Наибольшая масса амурского тигра — $(2^3 \cdot 5^3 - 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^3)$ кг.

Решение.

1. $10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10,000$ лет назад (примерно в VIII тысячелетии до нашей эры).
2. $2^3 \cdot 5^3 = 1000$; $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900$; $2 \cdot 5^3 = 250$; $1000 - 900 + 250 = 350$.

Ответ: 1) 10 000 лет назад; 2) до 350 кг.

№ 79

1) $98,1 : (0,2x - 389,6) = 10,9$ — год введения тенге; 2) $1,195 : (0,5y - 4,22) = 0,25$ — число степеней защиты казахстанской валюты.

Решение.

1. $0,2x - 389,6 = 98,1 : 10,9 = 9$; $0,2x = 398,6$; $x = 398,6 : 0,2 = 1993$.
2. $0,5y - 4,22 = 1,195 : 0,25 = 4,78$; $0,5y = 9$; $y = 18$.

Ответ: 1) 1993 г. (15 ноября); 2) 18 степеней защиты.

№ 80

Из задуманного числа вычли 97,1, результат увеличили в 2,5 раза, прибавили 4,25 и получили 7. Найди число.

Как думать. Идём с конца и делаем обратные действия: вместо «прибавить» — «вычесть», вместо «умножить» — «разделить». Можно и уравнением: $(x - 97,1) \cdot 2,5 + 4,25 = 7$.

Решение. $7 - 4,25 = 2,75$; $2,75 : 2,5 = 1,1$; $1,1 + 97,1 = 98,2$.

Ответ: 98,2.

Части и проценты в задачах

№ 81

В первый день автомобиль проехал 170 км, во второй — $\frac{15}{17}$ этого пути, в третий — 120% пути второго дня. Сколько всего?

Решение.

1. Второй день: $170 : 17 \cdot 15 = 150$ км.
2. Третий день: $150 \cdot 1,2 = 180$ км.
3. Всего: $170 + 150 + 180 = 500$ км.

Ответ: 500 км.

№ 82

В первый день вспахали 180 га, во второй — 80% от этого, в третий — $\frac{11}{12}$ от второго дня. Сколько всего?

Решение.

1. Второй день: $180 \cdot 0,8 = 144$ га.
2. Третий день: $144 : 12 \cdot 11 = 132$ га.
3. Всего: $180 + 144 + 132 = 456$ га.

Ответ: 456 га.

№ 83

1) Длина прямоугольника 20 см, ширина — 80% длины. Найди площадь квадрата, периметр которого составляет $\frac{8}{9}$ периметра прямоугольника. 2) Сторона квадрата 16 см. Найди площадь второго квадрата, если его периметр — $\frac{1}{32}$ периметра первого.

Решение.

1. Ширина $20 \cdot 0,8 = 16$ см; периметр прямоугольника $2 \cdot 36 = 72$ см; периметр квадрата $72 : 9 \cdot 8 = 64$ см; сторона $64 : 4 = 16$ см; площадь $16 \cdot 16 = 256$ см².
2. Периметр первого $4 \cdot 16 = 64$ см; второго $64 : 32 = 2$ см; сторона $2 : 4 = 0,5$ см; площадь $0,5 \cdot 0,5 = 0,25$ см².

Ответ: 1) 256 см²; 2) 0,25 см².

⚠️ Частая ошибка. Если периметр стал в 32 раза меньше, площадь уменьшится не в 32 раза, а в $32 \cdot 32 = 1024$ раза: $256 : 1024 = 0,25$.

Диаграммы, координатный луч, площадь на клетках

№ 84

Деревья Борового: сосна — около 65%, берёза — 31%, осина — 3%, кустарники — 1%. Построй круговую диаграмму.

Как думать. Весь круг — 100% и $360^\circ$. Значит, 1% — это $3,6^\circ$. Умножаем каждый процент на 3,6 и откладываем угол транспортиром.

Решение.

• сосна: $65 \cdot 3,6 = 234^\circ$;
• берёза: $31 \cdot 3,6 = 111,6^\circ \approx 112^\circ$;
• осина: $3 \cdot 3,6 = 10,8^\circ \approx 11^\circ$;
• кустарники: $1 \cdot 3,6 = 3,6^\circ \approx 4^\circ$.

Проверка: $234 + 111,6 + 10,8 + 3,6 = 360^\circ$.

Ответ: секторы $234^\circ$, $\approx 112^\circ$, $\approx 11^\circ$, $\approx 4^\circ$ (диаграмма выше).

№ 85

Отметь на координатном луче точки $A(1)$, $B(5,5)$, $C(7)$, $M(9,5)$.

Как думать. Удобный единичный отрезок — 1 см (2 клетки). Тогда 5,5 и 9,5 попадают ровно на середину между клетками-сантиметрами.

Решение. От нуля отсчитываем: $A$ — 1 см, $B$ — 5,5 см, $C$ — 7 см, $M$ — 9,5 см.

Ответ: точки на луче выше.

№ 86

Выбери удобный единичный отрезок и отметь точки: 1) $A(10)$, $B(80)$, $C(70)$, $M(100)$; 2) $A(4)$, $B(8)$, $C(20)$, $M(24)$; 3) $A(13)$, $B(26)$, $C(52)$, $M(65)$.

Как думать. Числа большие, поэтому одно деление пусть означает сразу несколько единиц. Выбираем число, на которое делятся все координаты.

Решение.

1. Все числа делятся на 10. Одно деление (1 см) — 10 единиц: $A$ на 1-м делении, $B$ — на 8-м, $C$ — на 7-м, $M$ — на 10-м.
2. Все делятся на 4. 1 см — 4 единицы: $A$ — 1 см, $B$ — 2 см, $C$ — 5 см, $M$ — 6 см.
3. Все делятся на 13. 1 см — 13 единиц: $A$ — 1 см, $B$ — 2 см, $C$ — 4 см, $M$ — 5 см.

Ответ: 1) деление = 10; 2) деление = 4; 3) деление = 13.

№ 87

Отметь $A(2,5)$, $B(3,5)$, $C(6)$ и ещё: 1) $K$ — на 1,5 меньше координаты $A$; 2) $M$ — координата в 0,5 раз меньше координаты $B$; 3) $E$ — $\frac{2}{3}$ координаты $C$.

Как думать. «Меньше на» — вычитаем. «Меньше в … раз» — делим. А $\frac{2}{3}$ от числа — делим на 3 и умножаем на 2.

Решение.

1. $K$: $2,5 - 1,5 = 1$.
2. $M$: $3,5 : 0,5 = 7$. Сюрприз: деление на 0,5 даёт число больше — вдвое больше.
3. $E$: $6 : 3 \cdot 2 = 4$.

Ответ: $K(1)$, $M(7)$, $E(4)$.

№ 88

На рисунке три координатных луча с делениями. 1) Точка 4 стоит на 16-м делении (всего 22 деления). 2) Точка $3\frac{2}{7}$ — на 23-м делении (всего 24). 3) Точка 3,2 — на 16-м делении (всего 24). Построй единичный отрезок и отметь три точки с их координатами.

Как думать. Число делений до точки делим на её координату — получаем, сколько делений в единичном отрезке.

Решение.

1. $16 : 4 = 4$ деления в единичном отрезке; одно деление — $\frac{1}{4}$. Например: 1 — на 4-м делении, 2,5 — на 10-м, 5 — на 20-м.
2. $3\frac{2}{7} = \frac{23}{7}$, точка на 23-м делении, значит одно деление — $\frac{1}{7}$, а в единичном отрезке 7 делений. Например: 1 — на 7-м, 2 — на 14-м, $3\frac{3}{7}$ — на 24-м.
3. $16$ делений — это 3,2, одно деление — $3,2 : 16 = 0,2$, единичный отрезок — 5 делений. Например: 1 — на 5-м, 2,4 — на 12-м, 4,8 — на 24-м.

Ответ: единичные отрезки — 4, 7 и 5 делений; точки — любые, например указанные выше.

№ 89

На клетчатом рисунке три фигуры (одна клетка — 1 кв. ед.). Найди их площади. Во сколько раз площадь фигуры 3 больше фигуры 1? На сколько площадь фигуры 2 меньше фигуры 3?

Как думать. Достраиваем фигуру до прямоугольника и вычитаем срезанные кусочки. Срезанный уголок по диагонали одной клетки — это половинка клетки.

Решение.

1. Прямоугольник $8 \cdot 4 = 32$; срезаны 4 уголка по $\frac{1}{2}$: $32 - 2 = 30$ кв. ед.
2. Прямоугольник $11 \cdot 4 = 44$; срезаны 2 треугольника — половинки квадрата $2 \times 2$, по 2 кв. ед.: $44 - 4 = 40$ кв. ед.
3. Прямоугольник $13 \cdot 5 = 65$; 4 уголка по $\frac{1}{2}$ — это 2; вырез снизу: прорезь $1 \times 2 = 2$ и два скоса по $\frac{1}{2}$ — это 3. Итого $65 - 2 - 3 = 60$ кв. ед.
4. $60 : 30 = 2$ — в 2 раза; $60 - 40 = 20$ — на 20 кв. ед.

Ответ: 30, 40 и 60 кв. ед.; в 2 раза; на 20 кв. ед.

Шпаргалка

• Порядок действий: скобки → умножение и деление → сложение и вычитание.
• Общий множитель выносим за скобки — так считать быстрее (№ 6).
• Процент — сотая часть: $p%$ от $a$ — это $a : 100 \cdot p$.
• Площадь сложной фигуры на клетках — дострой до прямоугольника и вычти лишнее.
• Задачу «задумали число» решай с конца обратными действиями.

Мини-тест