§ 1. Отношение двух чисел. Процентное отношение двух чисел

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 1: Отношения и пропорции. Страницы 18–23.

Чему научишься

• Находить отношение двух чисел и понимать, что оно показывает.
• Читать отношение правильно: «отношение 5 к 7».
• Записывать обратное отношение.
• Узнавать, сколько процентов одно число составляет от другого.
• Считать, на сколько процентов что-то выросло.

Разминка

Вспомним то, что пригодится сегодня. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Во сколько раз 20 больше 5? $20 : 5 = 4$, в 4 раза.
• Какую часть от 20 составляет 5? $5 : 20 = \frac{1}{4} = 0{,}25$.
• Что такое 1%? Одна сотая часть: $1% = \frac{1}{100} = 0{,}01$.
• Сколько процентов в числе 0,3? $0{,}3 = \frac{30}{100} = $ 30%.
• Чему равно 30% от 1000? $1000 \cdot 0{,}3 = $ 300.

💡 Заметил? В первых двух вопросах мы делили одни и те же числа, только в разном порядке. Именно об этом сегодняшний урок.

Разбираемся

Деление, которое сравнивает

У Айгерим 20 конфет, у её брата Тимура — 5. Как сравнить? Можно вычесть: у сестры на 15 больше. А можно разделить: $20 : 5 = 4$ — у сестры в 4 раза больше.

📌 Частное двух чисел называют отношением этих чисел.

Отношение отвечает на два вопроса:

• во сколько раз одно число больше или меньше другого: $20 : 5 = 4$;
• какую часть меньшее число составляет от большего: $5 : 20 = 0{,}25$, то есть четверть.

Отношение не обязано быть целым. Например, $21 : 5 = 4{,}2$, а $5 : 21 = \frac{5}{21}$.

Как это прочитать

Запись $5 : 7$ или $\frac{5}{7}$ можно прочитать по-разному: «отношение пяти к семи», «отношение числа 5 к числу 7», «отношение чисел 5 и 7», «частное чисел 5 и 7». Все варианты верные.

⚠️ Частая ошибка. «Отношение 5 к 7» — это $5 : 7$, а не $7 : 5$. Первое названное число всегда пишем первым, оно стоит в числителе.

Перевернём отношение

Если поменять числа местами, получится обратное отношение. Для $3 : 4$ обратное — $4 : 3$. Как дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$, такие отношения называют взаимно обратными. Их произведение всегда равно 1.

Секрет: отношение не меняется

Умножь или раздели оба числа на одно и то же число (не нуль) — отношение останется прежним. Это то же самое, что основное свойство дроби:

$\frac{12}{16} = \frac{3}{4}$, ведь мы разделили 12 и 16 на 4.

Этим удобно пользоваться: $228 : 342$ считать трудно, а после деления обоих чисел на 114 получаем просто $2 : 3$.

Отношение в процентах

Процент — это сотая часть. Чтобы выразить отношение в процентах, умножь его на 100 и допиши знак %.

$3 : 4 = 0{,}75 = 75%$.

Посмотри на полоску из 100 клеточек: закрашено 75 из 100.

📌 Сколько процентов число $a$ составляет от числа $b$? 1) Раздели $a$ на $b$. 2) Результат умножь на 100 и поставь %.

Пример 1. Картошка и овощи

С гектара собирают 150 ц картофеля и 200 ц овощей. Сколько процентов урожай картофеля составляет от урожая овощей?

$150 : 200 = 0{,}75 = 75%$. Ответ: 75%.

Пример 2. На сколько процентов выросло

Урожай картофеля вырос с 80 ц/га до 150 ц/га. На сколько процентов?

1. Сначала узнаём, на сколько вырос урожай: $150 - 80 = 70$ ц/га.
2. Теперь сравниваем прибавку с тем, что было сначала: $70 : 80 = 0{,}875 = 87{,}5%$.

Ответ: на 87,5%.

⚠️ Частая ошибка. Делят прибавку на новое число: $70 : 150$. Нет! Проценты роста считают от того, что было до изменения, то есть от 80.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка перед делением сказать вслух: «Сравниваю что? С чем?». То, с чем сравнивают, всегда идёт в делитель. Это снимает половину ошибок в задачах на проценты.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как найти, во сколько раз одно число больше или меньше другого? Разделить большее число на меньшее.
• Как узнать, какую часть от большего числа составляет меньшее? Разделить меньшее число на большее.
• Когда говорят об отношении чисел? Когда сравнивают числа делением: находят их частное.
• Изменится ли отношение $a : b$, если $a$ и $b$ умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю? Нет, не изменится. Это как основное свойство дроби.
• Как выразить частное в процентах? Умножить его на 100 и дописать знак %.
• Как найти, сколько процентов одно число составляет от другого? Разделить первое число на второе и результат выразить в процентах.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 90

Во сколько раз $a$ больше или меньше $b$? 1) $a = 100$, $b = 20$; 2) $a = 50$, $b = 200$; 3) $a = 360$, $b = 60$; 4) $a = 9$, $b = 450$.

Как думать. Всегда делим большее число на меньшее. Потом смотрим, какое число больше, и говорим «больше» или «меньше».

Решение.

1. $100 : 20 = 5$ — $a$ больше $b$ в 5 раз.
2. $200 : 50 = 4$ — $a$ меньше $b$ в 4 раза.
3. $360 : 60 = 6$ — $a$ больше $b$ в 6 раз.
4. $450 : 9 = 50$ — $a$ меньше $b$ в 50 раз.

Ответ: 1) больше в 5 раз; 2) меньше в 4 раза; 3) больше в 6 раз; 4) меньше в 50 раз.

№ 91

Во сколько раз $x$ больше или меньше $y$? 1) $x = 11$, $y = 88$; 2) $x = 144$, $y = 12$; 3) $x = 53$, $y = 318$; 4) $x = 480$, $y = 24$.

Решение.

1. $88 : 11 = 8$ — $x$ меньше в 8 раз.
2. $144 : 12 = 12$ — $x$ больше в 12 раз.
3. $318 : 53 = 6$ — $x$ меньше в 6 раз.
4. $480 : 24 = 20$ — $x$ больше в 20 раз.

Ответ: 1) меньше в 8 раз; 2) больше в 12 раз; 3) меньше в 6 раз; 4) больше в 20 раз.

№ 92

На крышу ушло 18 кг краски из 20 кг. Какая часть краски израсходована?

Решение. $18 : 20 = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} = 0{,}9$.

Ответ: 0,9 краски.

№ 93

Из 16 рулонов обоев поклеили 12. Какая часть рулонов ушла на ремонт?

Решение. $12 : 16 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

Ответ: 0,75.

№ 94

Гепард бежит со скоростью 120 км/ч, меч-рыба плывёт 135 км/ч. Какую часть от скорости меч-рыбы составляет скорость гепарда?

Как думать. «Часть от скорости меч-рыбы» — значит, скорость меч-рыбы идёт в делитель.

Решение. $120 : 135 = \frac{120}{135} = \frac{8}{9}$ (сократили на 15).

Ответ: $\frac{8}{9}$.

🌟 Меч-рыба — один из самых быстрых пловцов в океане. Гепард на суше чуть медленнее её в воде!

№ 95

Улитка ползёт 9,6 мм/мин, крот движется 60 мм/мин. Какую часть от скорости крота составляет скорость улитки?

Решение. $9{,}6 : 60 = 0{,}16$.

Ответ: 0,16.

№ 96

Стрекоза летит 228 м/мин, воробей — 342 м/мин. Какую часть от скорости воробья составляет скорость стрекозы?

Как думать. Числа большие — сократим. Оба делятся на 114.

Решение. $\frac{228}{342} = \frac{228 : 114}{342 : 114} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

№ 97

Какую часть прямой угол составляет: 1) от полного угла; 2) от развёрнутого?

Решение.

1. $90 : 360 = \frac{1}{4}$.
2. $90 : 180 = \frac{1}{2}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{4}$; 2) $\frac{1}{2}$.

№ 98

Сколько процентов прямой угол составляет: 1) от полного угла; 2) от развёрнутого?

Решение. Берём ответы № 97 и умножаем на 100.

1. $\frac{1}{4} = 0{,}25 = 25%$.
2. $\frac{1}{2} = 0{,}5 = 50%$.

Ответ: 1) 25%; 2) 50%.

№ 99

Какую часть и сколько процентов полного угла составляет развёрнутый угол?

Решение. $180 : 360 = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50%$.

Ответ: 1) $\frac{1}{2}$; 2) 50%.

№ 100

Сколько процентов число $d$ составляет от числа $c$? 1) $c = 400$, $d = 100$; 2) $c = 555$, $d = 111$; 3) $c = 130$, $d = 780$; 4) $c = 321$, $d = 963$.

Как думать. «От числа $c$» — значит, делим на $c$. Если $d$ больше $c$, процентов получится больше 100. Это нормально!

Решение.

1. $100 : 400 = 0{,}25 = 25%$.
2. $111 : 555 = 0{,}2 = 20%$.
3. $780 : 130 = 6 = 600%$.
4. $963 : 321 = 3 = 300%$.

Ответ: 1) 25%; 2) 20%; 3) 600%; 4) 300%.

💡 100% — это всё число целиком. 300% — три таких числа.

№ 101

Из 6 кг сырого кофе получается 5 кг жареного. Сколько процентов от сырых зёрен составляют жареные?

Решение. $5 : 6 = \frac{5}{6}$. В процентах: $\frac{5}{6} \cdot 100 = \frac{500}{6} = 83\frac{1}{3}%$.

Ответ: $83\frac{1}{3}%$.

№ 102

В 10 кг воздуха 8 кг азота и 2 кг кислорода. Сколько процентов воздуха составляет азот, а сколько кислород?

Решение.

1. Азот: $8 : 10 = 0{,}8 = 80%$.
2. Кислород: $2 : 10 = 0{,}2 = 20%$.

Проверка: $80% + 20% = 100%$ ✓.

Ответ: 1) 80%; 2) 20%.

Математика и экология

№ 103

Сколько процентов число 10,8 составляет от 15 (столько процентов пыли задерживают кроны деревьев и кустарников)? Сколько процентов 71,4 составляет от 119 (столько процентов вредных газов они задерживают)?

Решение.

1. $10{,}8 : 15 = 0{,}72 = 72%$.
2. $71{,}4 : 119 = 0{,}6 = 60%$.

Ответ: 1) до 72% пыли; 2) 60% вредных газов.

🌟 Вот почему в городах сажают деревья вдоль дорог. Аллеи Алматы и Астаны — это ещё и большой пылевой фильтр.

Уровень B

№ 104

Какую часть от $z$ составляет $x$? 1) $x = 8\frac{1}{3} \cdot 1{,}35 - 0{,}25$, $z = (108 - 106{,}75) \cdot 17\frac{3}{5}$; 2) $x = \frac{1}{3} \cdot \left(40\frac{4}{7} - 38\frac{1}{3}\right) : 2\frac{5}{7}$, $z = (51{,}4 - 50{,}8) \cdot \frac{20}{27}$.

Как думать. Сначала аккуратно считаем $x$ и $z$, потом делим $x$ на $z$.

Решение.

1. $8\frac{1}{3} \cdot 1{,}35 = \frac{25}{3} \cdot \frac{27}{20} = \frac{45}{4} = 11{,}25$; $x = 11{,}25 - 0{,}25 = 11$. $z = 1{,}25 \cdot 17{,}6 = 22$. $x : z = 11 : 22 = \frac{1}{2}$.

2. $40\frac{4}{7} - 38\frac{1}{3} = 2\frac{12}{21} - \frac{7}{21} = 2\frac{5}{21} = \frac{47}{21}$. $\frac{1}{3} \cdot \frac{47}{21} = \frac{47}{63}$; $\frac{47}{63} : \frac{19}{7} = \frac{47}{63} \cdot \frac{7}{19} = \frac{47}{171}$. Это $x$. $z = 0{,}6 \cdot \frac{20}{27} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$. $x : z = \frac{47}{171} \cdot \frac{9}{4} = \frac{47}{76}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{2}$; 2) $\frac{47}{76}$.

№ 105

Сколько процентов от $b$ составляет $a$? 1) $a = 2\frac{7}{37} \cdot \left(73\frac{2}{9} - 71\frac{1}{6}\right)$, $b = (1{,}819 + 3{,}181) : \frac{2}{9}$; 2) $a = \left(8{,}5 + 9\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{60}{109}$, $b = \left(13\frac{7}{15} + 11{,}8\right) \cdot \frac{300}{379}$.

Как думать. Множители $\frac{60}{109}$ и $\frac{300}{379}$ подобраны неслучайно: скобка как раз даёт 109 и 379 в числителе. Всё красиво сократится.

Решение.

1. $73\frac{2}{9} - 71\frac{1}{6} = 2\frac{4}{18} - \frac{3}{18} = 2\frac{1}{18} = \frac{37}{18}$. $a = \frac{81}{37} \cdot \frac{37}{18} = \frac{81}{18} = 4{,}5$. $b = 5 : \frac{2}{9} = 5 \cdot \frac{9}{2} = 22{,}5$. $4{,}5 : 22{,}5 = 0{,}2 = 20%$.

2. По шагам выше: $a = 10$, $b = 20$, $10 : 20 = 50%$.

Ответ: 1) 20%; 2) 50%.

Уровень C

№ 106

Число 1000. 1) Найди 30% от него. 2) Увеличь результат в 150 раз. 3) Найди отношение нового числа к 1000. 4) Во сколько раз 1000 больше или меньше этого отношения?

Решение.

1. $1000 \cdot 0{,}3 = 300$.
2. $300 \cdot 150 = 45,000$.
3. $45,000 : 1000 = 45$.
4. 1000 больше 45: $1000 : 45 = \frac{200}{9} = 22\frac{2}{9}$.

Ответ: 1) 300; 2) 45 000; 3) 45; 4) 1000 больше в $22\frac{2}{9}$ раза.

№ 107

Два квадрата со сторонами 2,5 см и 3 см. Найди отношение сторон, периметры и их отношение, площади и их процентное отношение. Сравни все отношения с отношением сторон.

Решение.

1. Отношение сторон: $2{,}5 : 3 = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.
2. Периметры: $4 \cdot 2{,}5 = 10$ см и $4 \cdot 3 = 12$ см.
3. Отношение периметров: $10 : 12 = \frac{5}{6}$.
4. Площади: $2{,}5 \cdot 2{,}5 = 6{,}25$ см² и $3 \cdot 3 = 9$ см².
5. $6{,}25 : 9 = \frac{625}{900} = \frac{25}{36}$; в процентах $\frac{25}{36} \cdot 100 = 69\frac{4}{9}% \approx 69{,}4%$.
6. Отношение периметров равно отношению сторон ($\frac{5}{6}$). Отношение площадей равно $\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$ — это отношение сторон, умноженное само на себя.

Ответ: $\frac{5}{6}$; 10 см и 12 см; $\frac{5}{6}$; 6,25 см² и 9 см²; $69\frac{4}{9}%$; периметры относятся как стороны, площади — как квадраты сторон.

💡 Запомни это наблюдение: увеличишь сторону квадрата в 2 раза — площадь вырастет в 4 раза.

Готовимся к следующей теме

№ 108

Найди произведения: 1) $259 \cdot 804$; 2) $2{,}9 \cdot 0{,}56$; 3) $\frac{87}{100} \cdot 6\frac{26}{29}$; 4) $8\frac{12}{13} \cdot 0{,}39$.

Решение.

1. $259 \cdot 804 = 259 \cdot 800 + 259 \cdot 4 = 207,200 + 1036 = 208,236$.
2. $2{,}9 \cdot 0{,}56 = 1{,}624$.
3. $\frac{87}{100} \cdot \frac{200}{29} = \frac{3 \cdot 2}{1} = 6$.
4. $\frac{116}{13} \cdot \frac{39}{100} = \frac{116 \cdot 3}{100} = 3{,}48$.

Ответ: 1) 208 236; 2) 1,624; 3) 6; 4) 3,48.

№ 109

Сравни: 1) $0{,}15 \cdot 6{,}6$ и $0{,}003 \cdot 33$; 2) $41\frac{1}{49} \cdot \frac{7}{201}$ и $343 : 4900$.

Решение.

1. $0{,}15 \cdot 6{,}6 = 0{,}99$; $0{,}003 \cdot 33 = 0{,}099$. $0{,}99 > 0{,}099$.
2. $41\frac{1}{49} = \frac{2010}{49}$; $\frac{2010}{49} \cdot \frac{7}{201} = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$. А $343 : 4900 = 0{,}07$. $1\frac{3}{7} > 0{,}07$.

Ответ: 1) первое больше; 2) первое больше.

№ 110

Реши уравнения: 1) $2x \cdot 0{,}25 = 64$; 2) $3x \cdot 8\frac{2}{17} = 1\frac{11}{23}$.

Как думать. Сначала перемножим известные множители, потом найдём неизвестный множитель делением.

Решение.

1. $2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5$, значит, $0{,}5x = 64$, $x = 64 : 0{,}5 = 128$.
2. $3 \cdot 8\frac{2}{17} = 3 \cdot \frac{138}{17} = \frac{414}{17}$. Тогда $x = \frac{34}{23} : \frac{414}{17} = \frac{34 \cdot 17}{23 \cdot 414} = \frac{289}{4761}$.

Ответ: 1) 128; 2) $\frac{289}{4761}$.

Шпаргалка

• Отношение — это частное: $20 : 5 = 4$, $5 : 20 = 0{,}25$.
• «Отношение $a$ к $b$» — это $a : b$, первым пишем первое названное.
• Обратное отношение — числа меняются местами.
• $a$ составляет от $b$: $\frac{a}{b} \cdot 100%$.
• Рост в процентах считают от начального значения.

Мини-тест