Упражнения для повторения курса математики 6 класса

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 10: Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. Страницы 166–174.

Что повторяем

Это финиш года. Новых правил здесь нет, только задачи на всё, что ты уже умеешь. Споткнулся — открой нужный параграф.

• Сложение, вычитание, умножение и деление рациональных чисел — § 11–21 (часть 1).
• Раскрытие скобок, подобные слагаемые — § 23–25 (часть 1).
• Линейные уравнения, в том числе с модулем — § 27–30 (часть 2).
• Системы линейных уравнений и задачи на них — § 51–55 (часть 2).
• Линейные неравенства, числовые промежутки, системы неравенств — § 32–39 (часть 2).
• Среднее арифметическое, размах, мода, медиана — § 46 (часть 2).

👨‍👩‍👧 Родителю. Здесь 48 номеров, и многие из них длинные. Не нужно решать всё за один вечер. Удобно брать по одному подразделу. Если ребёнок «плавает» в теме, вернитесь к указанному параграфу и разберите там 2–3 задачи.

💡 Три правила, которые спасают почти в каждом номере: минус перед скобкой меняет знаки внутри; при делении неравенства на отрицательное число знак переворачивается; ответ системы — пара чисел, и проверять её надо в обоих уравнениях.

Решаем упражнения

1. Действия с рациональными числами

№ 1313

Вычисли 18 примеров: $-8 - 4$; $-9 - 10$; $6 - (-5)$; $12 - (-4)$; $-5 - (-1)$; $5 - (-3)$; $-13 + 10$; $13 - (-7)$; $-29 - 5$; $5 - (-5)$; $-1{,}2 - 1{,}2$; $-3{,}2 - (-4{,}1)$; $2{,}6 - 5{,}96$; $0 - 5{,}2$; $0 - (-2{,}4)$; $-5{,}3 - 0$; $1 - (-4{,}9)$; $2 - 7{,}3$.

Как думать. Вычитание заменяем сложением с противоположным числом: $a - (-b) = a + b$, $a - b = a + (-b)$.

Решение.

Ответ: $-12$; $-19$; 11; 16; $-4$; 8; $-3$; 20; $-34$; 10; $-2{,}4$; 0,9; $-3{,}36$; $-5{,}2$; 2,4; $-5{,}3$; 5,9; $-5{,}3$.

№ 1314

Найди разность и проверь сложением: 1) $7{,}8 - (-6{,}9)$; 2) $-6{,}7 - (-7{,}6)$; 3) $-5{,}4 - 6{,}8$; 4) $-5\frac{4}{5} - (-20\frac{3}{5})$; 5) $-1\frac{7}{9} - 3\frac{5}{6}$; 6) $\frac{16}{21} - 5\frac{1}{3}$.

Как думать. Проверка: разность плюс вычитаемое должна дать уменьшаемое.

Решение.

1. $7{,}8 + 6{,}9 = 14{,}7$. Проверка: $14{,}7 + (-6{,}9) = 7{,}8$ ✓.
2. $-6{,}7 + 7{,}6 = 0{,}9$. Проверка: $0{,}9 + (-7{,}6) = -6{,}7$ ✓.
3. $-5{,}4 - 6{,}8 = -12{,}2$. Проверка: $-12{,}2 + 6{,}8 = -5{,}4$ ✓.
4. $-5\frac{4}{5} + 20\frac{3}{5} = 14\frac{4}{5}$. Проверка: $14\frac{4}{5} + (-20\frac{3}{5}) = -5\frac{4}{5}$ ✓.
5. $-(1\frac{14}{18} + 3\frac{15}{18}) = -4\frac{29}{18} = -5\frac{11}{18}$. Проверка: $-5\frac{11}{18} + 3\frac{15}{18} = -1\frac{14}{18} = -1\frac{7}{9}$ ✓.
6. $\frac{16}{21} - \frac{112}{21} = -\frac{96}{21} = -4\frac{4}{7}$. Проверка: $-4\frac{12}{21} + 5\frac{7}{21} = \frac{16}{21}$ ✓.

Ответ: 1) 14,7; 2) 0,9; 3) $-12{,}2$; 4) $14\frac{4}{5}$; 5) $-5\frac{11}{18}$; 6) $-4\frac{4}{7}$.

№ 1315

Найди значение: 1) $-1\frac{3}{7} - \frac{1}{4}$; 2) $2\frac{1}{3} - 3\frac{4}{9}$; 3) $-5\frac{3}{4} - (-2\frac{1}{9})$; 4) $-5{,}9 - 0$; 5) $1 - (-2{,}7)$; 6) $5 - 6\frac{2}{3}$.

Решение.

1. $-(1\frac{12}{28} + \frac{7}{28}) = -1\frac{19}{28}$.
2. $2\frac{3}{9} - 3\frac{4}{9} = -1\frac{1}{9}$.
3. $-5\frac{27}{36} + 2\frac{4}{36} = -3\frac{23}{36}$.
4. $-5{,}9$.
5. $1 + 2{,}7 = 3{,}7$.
6. $5 - 6\frac{2}{3} = -1\frac{2}{3}$.

Ответ: 1) $-1\frac{19}{28}$; 2) $-1\frac{1}{9}$; 3) $-3\frac{23}{36}$; 4) $-5{,}9$; 5) 3,7; 6) $-1\frac{2}{3}$.

№ 1316

Вычисли: 1) $-2{,}4 - 1{,}75 - (-\frac{5}{12})$; 2) $-4{,}2 - 3{,}25 - (-\frac{1}{12})$; 3) $-61{,}3 - (-7{,}7) + 5{,}36$; 4) $-8{,}6 + (-4{,}9) - 8{,}6 - (-5{,}3)$; 5) $-9 + 10 - 51 + 42$; 6) $10 - 61 + 72 - 13$; 7) $-10 - 2 + 33 - 4$; 8) $60 - 71 + 8 - 9 + 10$.

Как думать. В пунктах 1–2 дробь $\frac{5}{12}$ не переводится в конечную десятичную. Поэтому десятичные переводим в обыкновенные. В пунктах 5–8 удобно отдельно сложить все «плюсы» и все «минусы».

Решение.

1. $-2{,}4 - 1{,}75 = -4{,}15 = -4\frac{3}{20}$. Дальше $-4\frac{9}{60} + \frac{25}{60} = -3\frac{44}{60} = -3\frac{11}{15}$.
2. $-4{,}2 - 3{,}25 = -7{,}45 = -7\frac{27}{60}$. Дальше $-7\frac{27}{60} + \frac{5}{60} = -7\frac{22}{60} = -7\frac{11}{30}$.
3. $-61{,}3 + 7{,}7 + 5{,}36 = -53{,}6 + 5{,}36 = -48{,}24$.
4. $-8{,}6 - 4{,}9 - 8{,}6 + 5{,}3 = -22{,}1 + 5{,}3 = -16{,}8$.
5. $52 - 60 = -8$.
6. $82 - 74 = 8$.
7. $33 - 16 = 17$.
8. $78 - 80 = -2$.

Ответ: 1) $-3\frac{11}{15}$; 2) $-7\frac{11}{30}$; 3) $-48{,}24$; 4) $-16{,}8$; 5) $-8$; 6) 8; 7) 17; 8) $-2$.

№ 1317

Вычисли: 1) $21{,}8 - (7\frac{19}{20} - 8\frac{3}{5})$; 2) $-8{,}25 - (-\frac{1}{30} + \frac{7}{30})$; 3) $3\frac{1}{14} + 2\frac{3}{7} - (-2{,}85)$; 4) $28 - 3\frac{5}{12} + (-4{,}5 + 2\frac{1}{4})$.

Решение.

1. В скобках: $7\frac{19}{20} - 8\frac{12}{20} = -\frac{13}{20} = -0{,}65$. Дальше $21{,}8 + 0{,}65 = 22{,}45 = 22\frac{9}{20}$.
2. В скобках: $\frac{6}{30} = 0{,}2$. Дальше $-8{,}25 - 0{,}2 = -8{,}45$.
3. $3\frac{1}{14} + 2\frac{6}{14} = 5\frac{7}{14} = 5{,}5$. Дальше $5{,}5 + 2{,}85 = 8{,}35$.
4. В скобках: $-4{,}5 + 2{,}25 = -2{,}25 = -2\frac{3}{12}$. Дальше $28 - 3\frac{5}{12} - 2\frac{3}{12} = 28 - 5\frac{8}{12} = 22\frac{1}{3}$.

Ответ: 1) $22\frac{9}{20}$; 2) $-8{,}45$; 3) 8,35; 4) $22\frac{1}{3}$.

№ 1318

Раздели: 1) $-9{,}6 : 12$; 2) $-0{,}12 : (-0{,}3)$; 3) $-0{,}35 : (-0{,}07)$; 4) $636 : (-0{,}12)$.

Как думать. Одинаковые знаки — частное положительное, разные — отрицательное.

Решение. 1) $-0{,}8$; 2) $1{,}2 : 3 = 0{,}4$; 3) $35 : 7 = 5$; 4) $-(63,600 : 12) = -5300$.

Ответ: 1) $-0{,}8$; 2) 0,4; 3) 5; 4) $-5300$.

№ 1319

Перемножь: 1) $9{,}8 \cdot (-3\frac{4}{29}) \cdot 4\frac{1}{7}$; 2) $4\frac{1}{2} \cdot (-4{,}05) \cdot (-1\frac{1}{9})$; 3) $4\frac{2}{3} \cdot (-1\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{5}{18})$; 4) $4{,}8 \cdot \frac{5}{6} \cdot (-1{,}8) \cdot \frac{5}{9}$; 5) $-2{,}36 \cdot 5{,}4 \cdot 2\frac{7}{9}$; 6) $(-1\frac{1}{2}) \cdot 0{,}5 \cdot 2{,}8$; 7) $2\frac{7}{20} \cdot \frac{15}{47} \cdot (-0{,}64)$; 8) $7{,}5 \cdot (-0{,}01) \cdot \frac{1}{10} \cdot (-1\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{40}$.

Как думать. Сначала определи знак: чётное число минусов — плюс, нечётное — минус. Потом считай без знаков и сокращай заранее.

Решение.

1. $-127\frac{2}{5}$ (см. шаги).
2. Два минуса — плюс. $\frac{9}{2} \cdot \frac{81}{20} \cdot \frac{10}{9} = \frac{81}{4} = 20\frac{1}{4}$.
3. Два минуса — плюс. $\frac{14}{3} \cdot \frac{9}{5} \cdot \frac{5}{18} = \frac{14}{6} = 2\frac{1}{3}$.
4. $4{,}8 \cdot \frac{5}{6} = 4$; $4 \cdot (-1{,}8) = -7{,}2$; $-7{,}2 \cdot \frac{5}{9} = -4$.
5. $-2{,}36 \cdot 5{,}4 = -12{,}744$; $-12{,}744 \cdot \frac{25}{9} = -1{,}416 \cdot 25 = -35{,}4$.
6. $-1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 2{,}8 = -2{,}1$.
7. $\frac{47}{20} \cdot \frac{15}{47} = \frac{3}{4}$; $\frac{3}{4} \cdot (-\frac{16}{25}) = -\frac{12}{25}$.
8. Два минуса — плюс. $7{,}5 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}1 = 0{,}0075$; $0{,}0075 \cdot \frac{4}{3} = 0{,}01$; $0{,}01 : 40 = \frac{1}{4000}$.

Ответ: 1) $-127\frac{2}{5}$; 2) $20\frac{1}{4}$; 3) $2\frac{1}{3}$; 4) $-4$; 5) $-35{,}4$; 6) $-2{,}1$; 7) $-\frac{12}{25}$; 8) $\frac{1}{4000}$.

№ 1320

Сравни: 1) $-24 \cdot 8$ и 0; 2) $-2{,}4 \cdot (-3{,}6)$ и 0; 3) $-3{,}5 \cdot \frac{2}{7}$ и $-\frac{2}{9}$; 4) 0 и $(-2{,}4) \cdot (-3{,}9)$.

Как думать. В пунктах 1, 2, 4 считать не нужно: хватит знака произведения.

Решение.

1. Минус на плюс — отрицательное: $-192 < 0$.
2. Минус на минус — положительное: $8{,}64 > 0$.
3. $-3{,}5 \cdot \frac{2}{7} = -1$. Из двух отрицательных меньше то, у которого модуль больше: $-1 < -\frac{2}{9}$.
4. $0 < 9{,}36$.

Ответ: 1)

2. Скобки и линейные уравнения

№ 1321

Раскрой скобки: 1) $m + (n - k)$; 2) $c - (-a - b)$; 3) $(-2) \cdot (x + y - 8)$; 4) $(-3) \cdot (-x + y + 2)$.

Как думать. Плюс перед скобкой — знаки сохраняются. Минус — все знаки внутри меняются. Множитель умножаем на каждое слагаемое.

Решение. 1) $m + n - k$; 2) $c + a + b$; 3) $-2x - 2y + 16$; 4) $3x - 3y - 6$.

Ответ: 1) $m + n - k$; 2) $c + a + b$; 3) $-2x - 2y + 16$; 4) $3x - 3y - 6$.

№ 1322

Раскрой скобки и реши: 1) $3{,}3 - (x - 6{,}7) = 100$; 2) $-1{,}3 + (x - 4{,}8) = -7{,}1$; 3) $4 - \frac{5}{7} - (m - 1) = \frac{11}{14}$; 4) $1\frac{5}{6} - (y + \frac{1}{2}) = 1\frac{1}{2}$.

Решение.

1. $3{,}3 - x + 6{,}7 = 100$, $10 - x = 100$, $x = -90$.
2. $-1{,}3 + x - 4{,}8 = -7{,}1$, $x - 6{,}1 = -7{,}1$, $x = -1$.
3. $4 - \frac{5}{7} - m + 1 = \frac{11}{14}$, $4\frac{2}{7} - m = \frac{11}{14}$, $m = \frac{60}{14} - \frac{11}{14} = \frac{49}{14} = 3{,}5$.
4. $1\frac{5}{6} - y - \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$, $1\frac{1}{3} - y = 1\frac{1}{2}$, $y = -\frac{1}{6}$.

Ответ: 1) $-90$; 2) $-1$; 3) 3,5; 4) $-\frac{1}{6}$.

№ 1323

Реши: 1) $9x = 8x - 6 - x$; 2) $-4x + 8 - 7 = x - 1$; 3) $6 - 4y - 1 = y + 3$; 4) $5y = 2y + 9$.

Как думать. Буквы — влево, числа — вправо. Переносим через знак «=» — меняем знак.

Решение.

1. $9x = 7x - 6$, $2x = -6$, $x = -3$.
2. $-4x + 1 = x - 1$, $-5x = -2$, $x = 0{,}4$.
3. $5 - 4y = y + 3$, $-5y = -2$, $y = 0{,}4$.
4. $3y = 9$, $y = 3$.

Ответ: 1) $-3$; 2) 0,4; 3) 0,4; 4) 3.

№ 1324

Реши: 1) $3(x - 2) = 4x$; 2) $5(y + 3) = 10$; 3) $3(2x - 7) = 9$; 4) $6(z - 1) = 18$.

Решение.

1. $3x - 6 = 4x$, $-x = 6$, $x = -6$.
2. $y + 3 = 2$, $y = -1$.
3. $2x - 7 = 3$, $2x = 10$, $x = 5$.
4. $z - 1 = 3$, $z = 4$.

Ответ: 1) $-6$; 2) $-1$; 3) 5; 4) 4.

№ 1325

Реши: 1) $2(2 - y) = y - 5$; 2) $-4(x - 2) = -6$; 3) $-(3x - 4) = 3x - 8$; 4) $3(x - 5) = x + 3$.

Решение.

1. $4 - 2y = y - 5$, $-3y = -9$, $y = 3$.
2. $-4x + 8 = -6$, $-4x = -14$, $x = 3{,}5$.
3. $-3x + 4 = 3x - 8$, $-6x = -12$, $x = 2$.
4. $3x - 15 = x + 3$, $2x = 18$, $x = 9$.

Ответ: 1) 3; 2) 3,5; 3) 2; 4) 9.

№ 1326

Реши: 1) $0{,}8x - 3{,}5 = -1{,}2x + 0{,}5$; 2) $1{,}3(t - 0{,}6) = 1{,}8t$; 3) $1{,}2(x - 5) = 0{,}2x + 6$; 4) $7{,}2 - (6{,}2 - x) = 2{,}2$.

Решение.

1. $0{,}8x + 1{,}2x = 0{,}5 + 3{,}5$, $2x = 4$, $x = 2$.
2. $1{,}3t - 0{,}78 = 1{,}8t$, $-0{,}5t = 0{,}78$, $t = -1{,}56$.
3. $1{,}2x - 6 = 0{,}2x + 6$, $x = 12$.
4. $7{,}2 - 6{,}2 + x = 2{,}2$, $1 + x = 2{,}2$, $x = 1{,}2$.

Ответ: 1) 2; 2) $-1{,}56$; 3) 12; 4) 1,2.

№ 1327

Реши: 1) $3x - 4 + 2x = 6 + 2x - 4$; 2) $50 - 7y - 16 = 3y - 16$; 3) $-6a + 16 = 4a - 6a - 24$; 4) $5x - 6 + x = 2(x - 1)$.

Решение.

1. $5x - 4 = 2x + 2$, $3x = 6$, $x = 2$.
2. $34 - 7y = 3y - 16$, $-10y = -50$, $y = 5$.
3. $-6a + 16 = -2a - 24$, $-4a = -40$, $a = 10$.
4. $6x - 6 = 2x - 2$, $4x = 4$, $x = 1$.

Ответ: 1) 2; 2) 5; 3) 10; 4) 1.

№ 1328

Реши: 1) $\frac{1}{3}x + 6 = 2x$; 2) $\frac{1}{2}(4x - 2) = -7$; 3) $\frac{5}{6}x + 3 = \frac{1}{6}x$.

Решение.

1. $6 = 2x - \frac{1}{3}x = \frac{5}{3}x$, $x = 6 \cdot \frac{3}{5} = 3{,}6$.
2. $2x - 1 = -7$, $2x = -6$, $x = -3$.
3. $\frac{4}{6}x = -3$, $x = -3 \cdot \frac{3}{2} = -4{,}5$.

Ответ: 1) 3,6; 2) $-3$; 3) $-4{,}5$.

№ 1329

Реши: 1) $\frac{5}{16} - (\frac{3}{16} - x) = \frac{5}{8}$; 2) $(m + \frac{4}{15}) - \frac{2}{15} = 0{,}8$; 3) $\frac{5}{24} - (x - \frac{1}{6}) = -\frac{7}{24}$; 4) $(y + \frac{5}{18}) + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.

Решение.

1. $\frac{5}{16} - \frac{3}{16} + x = \frac{10}{16}$, $\frac{2}{16} + x = \frac{10}{16}$, $x = \frac{8}{16} = 0{,}5$.
2. $m + \frac{2}{15} = \frac{12}{15}$, $m = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
3. $\frac{5}{24} - x + \frac{4}{24} = -\frac{7}{24}$, $x = \frac{9}{24} + \frac{7}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
4. $y + \frac{5}{18} + \frac{8}{18} = \frac{10}{18}$, $y = -\frac{3}{18} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: 1) 0,5; 2) $\frac{2}{3}$; 3) $\frac{2}{3}$; 4) $-\frac{1}{6}$.

№ 1330

Реши: 1) $3(2x + 8) - (5x + 2) = 0$; 2) $-(3y + 4) + (2y - 1) = 0$; 3) $8(3 - 2x) + 5(3x + 5) = 9$; 4) $3(y - 5) - 2(y - 4) = 8$.

Решение.

1. $6x + 24 - 5x - 2 = 0$, $x + 22 = 0$, $x = -22$.
2. $-3y - 4 + 2y - 1 = 0$, $-y - 5 = 0$, $y = -5$.
3. $24 - 16x + 15x + 25 = 9$, $49 - x = 9$, $x = 40$.
4. $3y - 15 - 2y + 8 = 8$, $y - 7 = 8$, $y = 15$.

Ответ: 1) $-22$; 2) $-5$; 3) 40; 4) 15.

№ 1331

Реши уравнения и узнай годы основания городов: 1) $0{,}01x - 2^4 = |-1{,}18|$ — Семипалатинск; 2) $0{,}5^2x + |-11| = 21^2$ — Усть-Каменогорск; 3) $\frac{3}{4}x - |-2|^8 - \frac{5}{6}x = -|-7|^2 - 0{,}5^2x$ — крепость и Акмолинский округ; 4) $0{,}375x - |-6| - \frac{4}{9}x - |-3|^4 = 0{,}5x + |-2|^4 - \frac{5^4}{10^3}x$ — укрепление Верный; 5) $-0{,}1^2x + |-4|^2 = -1{,}3^2 - 1$ — Актюбинск; 6) $-(-\frac{1}{2})^4x - 3^4 = -|-7|^2 \cdot |-2|^3 \cdot (-5) + 0{,}9375x - 148$ — Костанай.

Как думать. Сначала вычисли все степени и модули — останется обычное линейное уравнение.

Решение.

1. $0{,}01x - 16 = 1{,}18$, $0{,}01x = 17{,}18$, $x = 1718$.
2. $0{,}25x + 11 = 441$, $0{,}25x = 430$, $x = 1720$.
3. $\frac{3}{4}x - 256 - \frac{5}{6}x = -49 - 0{,}25x$. Иксы влево: $(\frac{3}{4} - \frac{5}{6} + \frac{1}{4})x = 256 - 49$, $\frac{1}{6}x = 207$, $x = 1242$. Но крепость Акмолинск основана в 1830 году. Это число получается, если перед $|-7|^2$ стоит плюс: $\frac{1}{6}x = 256 + 49 = 305$, $x = 1830$. Похоже, в условии опечатка в знаке.
4. $x = 1854$ (см. шаги).
5. $-0{,}01x + 16 = -1{,}69 - 1$, $-0{,}01x = -18{,}69$, $x = 1869$.
6. $(-\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$, $|-7|^2 \cdot |-2|^3 \cdot (-5) = 49 \cdot 8 \cdot (-5) = -1960$, со знаком минус перед ним $+1960$. Уравнение: $-\frac{1}{16}x - 81 = 1960 + \frac{15}{16}x - 148$. Иксы влево: $-x = 1812 + 81 = 1893$, $x = -1893$. Год не бывает отрицательным; видимо, в условии потерян знак, и имеется в виду 1893 год — тогда поселение стало городом Кустанаем.

Ответ: 1) 1718; 2) 1720; 3) 1830 (по записи условия выходит 1242); 4) 1854; 5) 1869; 6) 1893 (по записи выходит $-1893$).

🌟 Все эти города старше 150 лет. Семей (1718) — один из самых старых городов Казахстана с русскими крепостями, а Верный через много лет стал Алматы.

3. Подобные слагаемые и значения выражений

№ 1332

Приведи подобные слагаемые: 1) $6a + b + 2b - a$; 2) $6x + 4b - b - 3x$; 3) $4a - b - a + 16$; 4) $15a + a - 3a - 6a$.

Решение. 1) $5a + 3b$; 2) $3x + 3b$; 3) $3a - b + 16$; 4) $7a$.

Ответ: 1) $5a + 3b$; 2) $3x + 3b$; 3) $3a - b + 16$; 4) $7a$.

№ 1333

Найди значение: 1) $-m^2 + 2m - 4 - 3m - 6 + 2m^2 + m$ при $m = -5$; 2) $-6{,}3x + 8 - 3{,}7x - 5$ при $x = -2$; $-\frac{1}{8}$; $-0{,}4$.

Как думать. Сначала упрости, потом подставляй — так меньше вычислений.

Решение.

1. $-m^2 + 2m^2 = m^2$; $2m - 3m + m = 0$; $-4 - 6 = -10$. Выражение $= m^2 - 10 = 25 - 10 = 15$.
2. Выражение $= -10x + 3$. При $x = -2$: $20 + 3 = 23$. При $x = -\frac{1}{8}$: $1{,}25 + 3 = 4{,}25$. При $x = -0{,}4$: $4 + 3 = 7$.

Ответ: 1) 15; 2) 23; 4,25; 7.

№ 1334

Раскрой скобки и приведи подобные: 1) $5a + (a - 8) - (2a - 4)$; 2) $(6x - 1) + (8 - x) - (3 - 2x)$; 3) $7 + (3a - 2) - (4 + 2a) - 11 + 3a$; 4) $5m - (3m + 5) + (2m - 4)$.

Решение.

1. $5a + a - 8 - 2a + 4 = 4a - 4$.
2. $6x - 1 + 8 - x - 3 + 2x = 7x + 4$.
3. $7 + 3a - 2 - 4 - 2a - 11 + 3a = 4a - 10$.
4. $5m - 3m - 5 + 2m - 4 = 4m - 9$.

Ответ: 1) $4a - 4$; 2) $7x + 4$; 3) $4a - 10$; 4) $4m - 9$.

№ 1335

Приведи подобные: 1) $\frac{5}{7}x - \frac{2}{3} - \frac{3}{14}x - \frac{1}{3}$; 2) $\frac{5}{6}a - 1\frac{1}{3}a + \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}x$; 3) $0{,}2m - \frac{2}{9} - 4m + \frac{5}{9}$; 4) $\frac{2}{7}x - \frac{4}{9}y - \frac{5}{14}x + \frac{2}{3}y$.

Решение.

1. $\frac{10}{14}x - \frac{3}{14}x = \frac{1}{2}x$; $-\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = -1$. Итог: $\frac{1}{2}x - 1$.
2. $\frac{5}{6}a - \frac{8}{6}a = -\frac{1}{2}a$; $\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}x = \frac{1}{2}x$. Итог: $-\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}x$.
3. $0{,}2m - 4m = -3{,}8m$; $-\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{1}{3}$. Итог: $-3{,}8m + \frac{1}{3}$.
4. $\frac{4}{14}x - \frac{5}{14}x = -\frac{1}{14}x$; $-\frac{4}{9}y + \frac{6}{9}y = \frac{2}{9}y$. Итог: $-\frac{1}{14}x + \frac{2}{9}y$.

Ответ: 1) $\frac{1}{2}x - 1$; 2) $-\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}x$; 3) $-3{,}8m + \frac{1}{3}$; 4) $-\frac{1}{14}x + \frac{2}{9}y$.

4. Ещё уравнения: без корней, с дробями, пропорции

№ 1336

Докажи, что у уравнения нет корней: 1) $x + 4 = x - 3$; 2) $|2x - 3| = -1$.

Решение.

1. Вычтем $x$ из обеих частей: $4 = -3$. Это неверно при любом $x$. Значит, корней нет.
2. Модуль любого числа — это расстояние, он не бывает отрицательным: $|2x - 3| \ge 0$. А справа $-1 < 0$. Равенства не будет ни при каком $x$.

Ответ: корней нет в обоих уравнениях.

№ 1337

Реши: 1) $6x = 2x - 12$; 2) $5a = -a - 13$; 3) $-4x + 8 - 7 = x - 1$; 4) $6 - 4y = y + 3$; 5) $-\frac{1}{6}x - 1 = 3 - \frac{5}{6}x$; 6) $-\frac{11}{21}x + 2 = \frac{10}{21}x - 9$; 7) $\frac{1}{3} + \frac{5}{6}x = \frac{1}{12}x - \frac{3}{4}$; 8) $-\frac{14}{15}x + \frac{9}{10} = \frac{1}{30}x + \frac{2}{3}$.

Решение.

1. $4x = -12$, $x = -3$.
2. $6a = -13$, $a = -2\frac{1}{6}$.
3. $-5x = -2$, $x = 0{,}4$.
4. $-5y = -3$, $y = 0{,}6$.
5. $\frac{4}{6}x = 4$, $x = 6$.
6. $-\frac{21}{21}x = -11$, $x = 11$.
7. $\frac{9}{12}x = -\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{13}{12}$, $x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9}$.
8. $-\frac{29}{30}x = \frac{20}{30} - \frac{27}{30} = -\frac{7}{30}$, $x = \frac{7}{29}$.

Ответ: 1) $-3$; 2) $-2\frac{1}{6}$; 3) 0,4; 4) 0,6; 5) 6; 6) 11; 7) $-1\frac{4}{9}$; 8) $\frac{7}{29}$.

№ 1338

Реши 12 уравнений: 1) $4(-2z + 5) = 14 - 2(4z - 3)$; 2) $-5(z - 7) = 30 - (2z + 1)$; 3) $-2(x + 5) + 3 = 2 - 3(x + 1)$; 4) $3(2x - 1) + 6x = 10x - 7$; 5) $0{,}3(x - 4) - 0{,}7x = -2$; 6) $0{,}6(5 + 2x) - 2 = 0{,}2x$; 7) $-2{,}5(x - 4) + 0{,}5x = 24$; 8) $48 - 0{,}2(x + 16) + 1{,}2x = 3{,}8$; 9) $\frac{4}{7}(21 - x) = \frac{3}{7}x + 20$; 10) $-\frac{1}{9}x + 14 = \frac{8}{9}(x + 18)$; 11) $\frac{2}{33}(11x - 3) + \frac{1}{3}x = -\frac{9}{11}$; 12) $\frac{5}{6}x + \frac{7}{12}(12 + 2x) = -10$.

Как думать. Пункт 1 с подвохом: после раскрытия скобок обе части одинаковые.

Решение.

1. $-8z + 20 = 14 - 8z + 6 = 20 - 8z$. Равенство верно при любом $z$.
2. $-5z + 35 = 29 - 2z$, $-3z = -6$, $z = 2$.
3. $-2x - 7 = -3x - 1$, $x = 6$.
4. $12x - 3 = 10x - 7$, $2x = -4$, $x = -2$.
5. $-0{,}4x - 1{,}2 = -2$, $-0{,}4x = -0{,}8$, $x = 2$.
6. $3 + 1{,}2x - 2 = 0{,}2x$, $x = -1$.
7. $-2{,}5x + 10 + 0{,}5x = 24$, $-2x = 14$, $x = -7$.
8. $48 - 0{,}2x - 3{,}2 + 1{,}2x = 3{,}8$, $x + 44{,}8 = 3{,}8$, $x = -41$.
9. $12 - \frac{4}{7}x = \frac{3}{7}x + 20$, $-x = 8$, $x = -8$.
10. $-\frac{1}{9}x + 14 = \frac{8}{9}x + 16$, $-x = 2$, $x = -2$.
11. $\frac{2}{3}x - \frac{2}{11} + \frac{1}{3}x = -\frac{9}{11}$, $x = -\frac{7}{11}$.
12. $\frac{5}{6}x + 7 + \frac{7}{6}x = -10$, $2x = -17$, $x = -8{,}5$.

Ответ: 1) любое число; 2) 2; 3) 6; 4) $-2$; 5) 2; 6) $-1$; 7) $-7$; 8) $-41$; 9) $-8$; 10) $-2$; 11) $-\frac{7}{11}$; 12) $-8{,}5$.

№ 1339

Реши пропорции: 1) $\frac{0{,}9}{7 + 5y} = \frac{0{,}2}{y - 4}$; 2) $\frac{2}{2 - x} = \frac{7}{4{,}5 - 4x}$; 3) $\frac{3}{x + 1} = \frac{10}{3x + 3\frac{2}{9}}$.

Как думать. Основное свойство пропорции: произведение крайних равно произведению средних. Знаменатель при найденном корне не должен стать нулём.

Решение.

1. $0{,}9(y - 4) = 0{,}2(7 + 5y)$, $0{,}9y - 3{,}6 = 1{,}4 + y$, $-0{,}1y = 5$, $y = -50$.
2. $2(4{,}5 - 4x) = 7(2 - x)$, $9 - 8x = 14 - 7x$, $-x = 5$, $x = -5$.
3. $3(3x + 3\frac{2}{9}) = 10(x + 1)$, $9x + 9\frac{2}{3} = 10x + 10$, $x = -\frac{1}{3}$.

Проверка п. 3: $\frac{3}{2/3} = 4{,}5$ и $\frac{10}{-1 + 29/9} = \frac{10}{20/9} = 4{,}5$ ✓.

Ответ: 1) $-50$; 2) $-5$; 3) $-\frac{1}{3}$.

№ 1340

Реши уравнения про игрунку: 1) $0{,}15(x - 9) + 3{,}2(x - 6{,}5) = 0{,}12(x - 31) - 68{,}68 - 4{,}7(x - 36)$ — масса детёныша в граммах; 2) $4{,}5(10y - 5^2 \cdot 2) - 3(3\frac{2}{3}y + 10^3) = 9(2\frac{5}{9}y + 30) - (19y - 75)$ — наибольшая масса взрослой в граммах; 3) $\frac{13}{17}(48\frac{5}{13}z - 52\frac{4}{13}) - 6\frac{1}{3}(6z + 805\frac{5}{19}) = \frac{3}{8}(122\frac{2}{3}z - 240) - \frac{9}{11}(14\frac{2}{3}z - 12\frac{2}{9}) - 300 - 70$ — длина тела в мм.

Как думать. Длинно, но не сложно: раскрываем скобки, иксы влево, числа вправо. Смешанные числа подобраны так, что всё красиво сокращается.

Решение.

1. $0{,}15x - 1{,}35 + 3{,}2x - 20{,}8 = 0{,}12x - 3{,}72 - 68{,}68 - 4{,}7x + 169{,}2$. Левая часть $3{,}35x - 22{,}15$, правая $-4{,}58x + 96{,}8$. Тогда $7{,}93x = 118{,}95$, $x = 15$.
2. $45y - 225 - 11y - 3000 = 23y + 270 - 19y + 75$. Слева $34y - 3225$, справа $4y + 345$. Тогда $30y = 3570$, $y = 119$.
3. Левая часть: $\frac{13}{17} \cdot \frac{629}{13}z = 37z$, $\frac{13}{17} \cdot \frac{680}{13} = 40$, $\frac{19}{3} \cdot 6z = 38z$, $\frac{19}{3} \cdot \frac{15,300}{19} = 5100$. Выходит $-z - 5140$. Правая: $46z - 90 - 12z + 10 - 370 = 34z - 450$. Тогда $-35z = 4690$, $z = -134$. Длина не бывает отрицательной — в записи условия, видимо, опечатка. Настоящая длина тела игрунки — около 136 мм (13–14 см).

Ответ: 1) 15 г; 2) 119 г; 3) по записи условия выходит $-134$; длина тела игрунки — 136 мм.

🌟 Игрунка (карликовая мартышка) живёт в лесах Амазонии. Взрослая весит около 100–120 г — меньше, чем смартфон!

5. Системы уравнений и задачи

№ 1341

Реши системы: 1) $x + y = 33$, $x - y = 11$; 2) $x - y = 39$, $x + y = 61$; 3) $x + 2y = 27$, $3x - y = 11$; 4) $4x - y = 19$, $x + 15y = 20$; 5) $7x - 4y = 11{,}5$, $9x + 5y = -5{,}5$; 6) $11x - 13y = -35$, $-17x + 2y = 36$; 7) $\frac{6}{7}x - \frac{5}{9}y = 2$, $-\frac{2}{21}x - \frac{1}{9}y = 6$; 8) $\frac{1}{6}x - \frac{3}{4}y = -1$, $\frac{11}{12}x + \frac{1}{2}y = 13$; 9) $\frac{3}{5}x + \frac{1}{25}y = 32$, $\frac{7}{50}x - \frac{9}{10}y = -38$; 10) $\frac{4}{11}x - \frac{20}{33}y = -\frac{8}{11}$, $\frac{2}{3}x + \frac{10}{11}y = -\frac{8}{11}$.

Как думать. Если у переменной коэффициент 1 — подставляй. Если коэффициенты противоположны или легко уравниваются — складывай. Дроби сначала убери, умножив уравнение на общий знаменатель.

Решение.

1. Сложим: $2x = 44$, $x = 22$, $y = 11$.
2. Сложим: $2x = 100$, $x = 50$, $y = 11$.
3. $y = 3x - 11$; $x + 6x - 22 = 27$, $7x = 49$, $x = 7$, $y = 10$.
4. $y = 4x - 19$; $x + 60x - 285 = 20$, $61x = 305$, $x = 5$, $y = 1$.
5. Умножим на 5 и на 4: $35x - 20y = 57{,}5$, $36x + 20y = -22$. Сложим: $71x = 35{,}5$, $x = 0{,}5$; $4y = 3{,}5 - 11{,}5 = -8$, $y = -2$.
6. $2y = 36 + 17x$, $y = 18 + 8{,}5x$; $11x - 234 - 110{,}5x = -35$, $-99{,}5x = 199$, $x = -2$, $y = 1$.
7. Умножим оба на 63: $54x - 35y = 126$, $-6x - 7y = 378$. Второе умножим на 5 и вычтем из первого: $84x = -1764$, $x = -21$; $-7y = 378 - 126 = 252$, $y = -36$.
8. Умножим на 12: $2x - 9y = -12$, $11x + 6y = 156$. Умножим на 2 и на 3 и сложим: $37x = 444$, $x = 12$; $9y = 36$, $y = 4$.
9. Умножим на 25 и на 50: $15x + y = 800$, $7x - 45y = -1900$. $y = 800 - 15x$; $682x = 34,100$, $x = 50$, $y = 50$.
10. Умножим на 33: $12x - 20y = -24$, $22x + 30y = -24$, то есть $3x - 5y = -6$ и $11x + 15y = -12$. Первое на 3 и сложим: $20x = -30$, $x = -1{,}5$; $5y = 3x + 6 = 1{,}5$, $y = 0{,}3$.

Ответ: 1) $(22; 11)$; 2) $(50; 11)$; 3) $(7; 10)$; 4) $(5; 1)$; 5) $(0{,}5; -2)$; 6) $(-2; 1)$; 7) $(-21; -36)$; 8) $(12; 4)$; 9) $(50; 50)$; 10) $(-1{,}5; 0{,}3)$.

№ 1342

Реши системы с дробями: 1) $\frac{3x - 1}{2} + \frac{9 - 5y}{3} = 2{,}5$, $\frac{8 - 3y}{4} - \frac{6 + 5x}{3} = 0$; 2) $\frac{7y + 1}{5} - \frac{x - 2}{6} = 2\frac{4}{15}$, $\frac{8x + 3}{2} - \frac{y - 10}{7} = -5\frac{3}{14}$; 3) $\frac{2x - 1}{10} - \frac{y + 2}{5} + \frac{3 - x}{15} = \frac{1}{30}$, $\frac{3 + x}{6} + \frac{5 - y}{4} - \frac{2y - 1}{12} = 1\frac{3}{7}$; 4) $\frac{y + 2}{9} - \frac{x - 2}{2} + \frac{x - y}{18} = \frac{1}{9}$, $\frac{x + y}{2} + \frac{6 - x}{8} - \frac{7 - y}{16} = 1\frac{1}{4}$.

Как думать. Умножаем каждое уравнение на общий знаменатель всех его дробей. Получается обычная система без дробей.

Решение.

1. Умножим на 6 и на 12: $9x - 10y = 0$ и $20x + 9y = 0$. Подходит только $x = 0$, $y = 0$ (проверь: $-\frac{1}{2} + 3 = 2{,}5$ ✓, $2 - 2 = 0$ ✓).
2. $(-2; 1)$ — см. шаги.
3. Первое умножим на 30: $2x - 3y = 5$. Второе на 12 даёт $2x - 5y + 22 = 12 \cdot 1\frac{3}{7}$. Справа выходит $\frac{120}{7}$ — неудобное число. Скорее всего, в условии $1\frac{3}{4}$: тогда справа 21, и $2x - 5y = -1$. Вычтем: $2y = 6$, $y = 3$, $x = 7$. Если же считать с $1\frac{3}{7}$, выйдет $x = 9\frac{25}{28}$, $y = 4\frac{13}{14}$.
4. Умножим на 18: $-8x + y = -20$. Умножим второе на 16: $6x + 9y = 15$, то есть $2x + 3y = 5$. $y = 8x - 20$; $26x - 60 = 5$, $x = 2{,}5$, $y = 0$.

Ответ: 1) $(0; 0)$; 2) $(-2; 1)$; 3) $(7; 3)$ (если в условии $1\frac{3}{4}$; при $1\frac{3}{7}$ получится $(9\frac{25}{28}; 4\frac{13}{14})$); 4) $(2{,}5; 0)$.

№ 1343

Найди два числа: утроенное первое плюс удвоенное второе равно 62, а первое, умноженное на 5, минус второе, умноженное на 6, равно $-18$.

Решение. $3x + 2y = 62$, $5x - 6y = -18$. Первое умножим на 3: $9x + 6y = 186$. Сложим со вторым: $14x = 168$, $x = 12$. $2y = 62 - 36 = 26$, $y = 13$.

Ответ: 12 и 13.

№ 1344

1) Скорость сближения двух машин 173 км/ч, скорость удаления 17 км/ч. Найди их скорости. 2) Теплоход по течению идёт 47 км/ч, против — 39 км/ч. Найди скорость течения и собственную скорость.

Как думать. Едут навстречу — скорости складываются, едут в одну сторону и удаляются — вычитаются.

Решение.

1. $x + y = 173$, $x - y = 17$. $x = 95$, $y = 78$.
2. $v + c = 47$, $v - c = 39$. $2c = 8$, $c = 4$; $v = 43$.

Ответ: 1) 95 км/ч и 78 км/ч; 2) течение 4 км/ч, теплоход 43 км/ч.

№ 1345

Реши систему при любом числе $p$: 1) $-2x + 5y - 7 = 0$, $px + 3y - 1 = 0$; 2) $8x - 9y + 4 = 0$, $4x - py + 2 = 0$.

Как думать. Задача повышенной трудности. Решаем как обычно, но $p$ — это число-«буква». Делить на выражение с $p$ можно, только если оно не равно нулю. Этот случай разбираем отдельно.

Решение.

1. Первое умножим на 3, второе на 5: $-6x + 15y = 21$, $5px + 15y = 5$. Вычтем: $-(6 + 5p)x = 16$.
   • Если $p \ne -1{,}2$: $x = -\frac{16}{5p + 6}$, $y = \frac{7 + 2x}{5} = \frac{7p + 2}{5p + 6}$.
   • Если $p = -1{,}2$: получится $0 \cdot x = 16$ — решений нет. Проверка при $p = 0$: $x = -\frac{8}{3}$, $y = \frac{1}{3}$; $\frac{16}{3} + \frac{5}{3} = 7$ ✓, $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ ✓.
2. Второе умножим на 2: $8x - 2py + 4 = 0$. Вычтем из первого: $(2p - 9)y = 0$.
   • Если $p \ne 4{,}5$: $y = 0$, тогда $8x + 4 = 0$, $x = -0{,}5$.
   • Если $p = 4{,}5$: уравнения одинаковые, решений бесконечно много: $y$ — любое, $x = \frac{9y - 4}{8}$.

Ответ: 1) при $p \ne -1{,}2$: $\left(-\frac{16}{5p + 6}; \frac{7p + 2}{5p + 6}\right)$, при $p = -1{,}2$ решений нет; 2) при $p \ne 4{,}5$: $(-0{,}5; 0)$, при $p = 4{,}5$ решений бесконечно много.

6. Неравенства и их системы

№ 1346

Найди наибольшее целое $x$: 1) $17{,}2x + 0{,}91 \le 16x + 18{,}71$; 2) $26x - 4{,}5 > 27x + 2{,}8$; 3) $50x - \frac{4}{9} \ge \frac{2}{3} + 51x$; 4) $7{,}4x + 5 < 7{,}3x + \frac{5}{6}$.

Как думать. Решаем неравенство и смотрим на ответ: самое большое целое число, которое в него попадает. Помни: делим на отрицательное — знак переворачиваем.

Решение.

1. $1{,}2x \le 17{,}8$, $x \le 14\frac{5}{6}$. Наибольшее целое 14.
2. $-x > 7{,}3$, $x < -7{,}3$. Наибольшее целое $-8$.
3. $-x \ge \frac{10}{9}$, $x \le -1\frac{1}{9}$. Наибольшее целое $-2$.
4. $0{,}1x < -4\frac{1}{6}$, $x < -41\frac{2}{3}$. Наибольшее целое $-42$.

Ответ: 1) 14; 2) $-8$; 3) $-2$; 4) $-42$.

⚠️ Частая ошибка. В пункте 2 пишут ответ $-7$. Но $-7 > -7{,}3$, оно в промежуток не входит. На числовой прямой «меньше $-7{,}3$» — это левее, а там первое целое $-8$.

№ 1347

Найди наименьшее целое $x$: 1) $2{,}43x - 21{,}11 \ge -1{,}57x + 2{,}89$; 2) $x - 1 > \frac{6}{7}x + \frac{4}{7}$; 3) $-19{,}83 + 5x \le 8x + 1{,}17$; 4) $-1{,}74x + 2 \le 3{,}26x - \frac{8}{11}$.

Решение.

1. $4x \ge 24$, $x \ge 6$. Наименьшее целое 6.
2. $\frac{1}{7}x > \frac{11}{7}$, $x > 11$. Наименьшее целое 12.
3. $-3x \le 21$, $x \ge -7$. Наименьшее целое $-7$.
4. $-5x \le -2\frac{8}{11}$, $x \ge \frac{6}{11}$. Наименьшее целое 1.

Ответ: 1) 6; 2) 12; 3) $-7$; 4) 1.

№ 1348

Найди наибольшее целое $x$: 1) $-0{,}12x - 4{,}8 \ge 0{,}38x + 6{,}7$; 2) $23x - 100 < 16x + 71{,}1$.

Решение.

1. $-0{,}5x \ge 11{,}5$, $x \le -23$. Наибольшее целое $-23$.
2. $7x < 171{,}1$, $x < 24\frac{31}{70}$ (примерно 24,44). Наибольшее целое 24.

Ответ: 1) $-23$; 2) 24.

№ 1349

Найди наименьшее целое $x$: 1) $3\frac{4}{5}x - \frac{13}{21} \le 8x + \frac{1}{3} + 3\frac{101}{105}$; 2) $7\frac{3}{8}x - 7{,}9 > 5{,}6 + 6\frac{5}{8}x$; 3) $0{,}05x + 12 \ge 32 - 2{,}95x$; 4) $10 - 0{,}07x < 0{,}6 + 0{,}43x$.

Как думать. В пункте 3 знак в книге пропечатан плохо; по смыслу и ответу это «больше» (

Решение.

1. Числа вправо: $\frac{1}{3} + \frac{13}{21} + 3\frac{101}{105} = \frac{35 + 65 + 416}{105} = \frac{516}{105} = \frac{172}{35}$. Иксы влево: $3{,}8x - 8x = -4{,}2x$. Получаем $-4{,}2x \le \frac{172}{35}$, $x \ge -\frac{172}{147} \approx -1{,}17$. Наименьшее целое $-1$.
2. $\frac{3}{4}x > 13{,}5$, $x > 18$. Наименьшее целое 19.
3. $3x \ge 20$, $x \ge 6\frac{2}{3}$. Наименьшее целое 7.
4. $-0{,}5x < -9{,}4$, $x > 18{,}8$. Наименьшее целое 19.

Ответ: 1) $-1$; 2) 19; 3) 7; 4) 19.

№ 1350

Что можно сказать об объёме куба с ребром $a$ см, если: 1) $a \le 3$; 2) $a \ge 4$; 3) $5 \le a \le 6$?

Как думать. $V = a^3$. У положительных чисел: чем больше ребро, тем больше куб. Значит, неравенство можно «возвести в куб».

Решение. 1) $V \le 27$ см³; 2) $V \ge 64$ см³; 3) $125 \le V \le 216$ см³.

Ответ: 1) $V \le 27$ см³; 2) $V \ge 64$ см³; 3) от 125 до 216 см³.

№ 1351

Что можно сказать об объёме параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$, $c$ см, если: 1) $a \ge 2$, $b \ge 3$, $c \ge 4$; 2) $a \le \frac{3}{4}$, $b \le 1\frac{1}{3}$, $c \le 0{,}15$; 3) $0{,}2 \le a \le 1{,}2$, $0{,}5 \le b \le 1{,}5$, $0{,}3 \le c \le 1{,}3$?

Как думать. Неравенства одного смысла с положительными частями можно перемножать. В пункте 2 знак у $c$ в книге не пропечатан; по аналогии с $a$ и $b$ это $\le$.

Решение.

1. $V = abc \ge 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ см³.
2. $V \le \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot 0{,}15 = 0{,}15$ см³.
3. $0{,}2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}03$ и $1{,}2 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}3 = 2{,}34$. Значит, $0{,}03 \le V \le 2{,}34$ см³.

Ответ: 1) $V \ge 24$ см³; 2) $V \le 0{,}15$ см³; 3) $0{,}03 \le V \le 2{,}34$ см³.

№ 1352

Как и когда называлась Астана? Реши: 1) $0{,}01x - 19{,}61 \le 0$ — до этого года Акмолинск; 2) $1930 \le y - 31 \le 1961$ — годы Целинограда; 3) $19{,}95 \le 0{,}01z + 0{,}03 \le 20$ — годы Акмолы.

Решение.

1. $0{,}01x \le 19{,}61$, $x \le 1961$.
2. Прибавим 31 ко всем частям: $1961 \le y \le 1992$.
3. Вычтем 0,03: $19{,}92 \le 0{,}01z \le 19{,}97$. Умножим на 100: $1992 \le z \le 1997$.

Ответ: 1) Акмолинск — до 1961 г.; 2) Целиноград — 1961–1992 гг.; 3) Акмола — 1992–1997 гг.

🌟 В 1997 году столицу перенесли из Алматы в Акмолу, а в 1998 году город получил имя Астана — «столица» по-казахски.

№ 1353

Реши системы неравенств: 1) $3x - 8 \ge x - 1$, $x + 9 \le 2x$; 2) $78x + 3 > 79x + 9{,}5$, $3{,}1x - 0{,}2 \le 2{,}5x - 0{,}8$; 3) $\frac{1}{3}x - 7 \le \frac{1}{2}x + 5$, $\frac{4}{9}x + 1 \ge \frac{1}{9}x - 3$; 4) $\frac{5}{6} + x > \frac{1}{6} - 2x$, $\frac{3}{7} + 3x < -\frac{3}{7} - x$.

Как думать. Решаем каждое неравенство отдельно, рисуем оба на прямой и берём общую часть.

Решение.

1. $2x \ge 7$, $x \ge 3{,}5$; $9 \le x$. Общая часть: $x \ge 9$.
2. $-x > 6{,}5$, $x < -6{,}5$; $0{,}6x \le -0{,}6$, $x \le -1$. Общая часть: $x < -6{,}5$.
3. $-\frac{1}{6}x \le 12$, $x \ge -72$; $\frac{3}{9}x \ge -4$, $x \ge -12$. Общая часть: $x \ge -12$.
4. $3x > -\frac{4}{6}$, $x > -\frac{2}{9}$; $4x < -\frac{6}{7}$, $x < -\frac{3}{14}$. Сравним: $-\frac{2}{9} = -\frac{28}{126}$, $-\frac{3}{14} = -\frac{27}{126}$, первое меньше. Общая часть: $-\frac{2}{9} < x < -\frac{3}{14}$.

Ответ: 1) $[9; +\infty)$; 2) $(-\infty; -6{,}5)$; 3) $[-12; +\infty)$; 4) $\left(-\frac{2}{9}; -\frac{3}{14}\right)$.

№ 1354

Реши системы: 1) $20x - 7 \le 22x - 9$, $8{,}2x + 1 \le 7{,}9x + 3{,}1$; 2) $13 - 3{,}1x \ge 10 - 3{,}6x$, $16x + 7{,}8 \ge 0{,}8 + 23x$; 3) $\frac{2}{3}(x - 27) + \frac{1}{3}x < 4x - 1$, $\frac{5}{11}(22 + x) - 5 > -\frac{7}{11}x + 3$; 4) $2(x + 4) - 5(x - 7) \ge 4(x + 3) - 12$, $-3(x - 1) + 7(1 + x) \le 8(2 - x) + 11$; 5) $\frac{2}{9}(9 - 2x) \le \frac{5}{9}(x + 18) - 6$, $\frac{4}{15}(30 + x) - 2 > \frac{11}{15}(15 - x) + 3$; 6) $\frac{5}{24}x - 3(x + 1) \ge 10 - \frac{19}{24}x$, $\frac{6}{7}x + 13 < \frac{1}{7}(14 - x) - 2$.

Решение.

1. $-2x \le -2$, $x \ge 1$; $0{,}3x \le 2{,}1$, $x \le 7$. Ответ $[1; 7]$.
2. $0{,}5x \ge -3$, $x \ge -6$; $7 \ge 7x$, $x \le 1$. Ответ $[-6; 1]$.
3. $x - 18 < 4x - 1$, $-3x < 17$, $x > -5\frac{2}{3}$; $10 + \frac{5}{11}x - 5 > -\frac{7}{11}x + 3$, $\frac{12}{11}x > -2$, $x > -1\frac{5}{6}$. Ответ $(-1\frac{5}{6}; +\infty)$.
4. $-3x + 43 \ge 4x$, $x \le 6\frac{1}{7}$; $4x + 10 \le 27 - 8x$, $12x \le 17$, $x \le 1\frac{5}{12}$. Ответ $(-\infty; 1\frac{5}{12}]$.
5. $2 - \frac{4}{9}x \le \frac{5}{9}x + 4$, $-x \le 2$, $x \ge -2$; $8 + \frac{4}{15}x - 2 > 11 - \frac{11}{15}x + 3$, $x > 8$. Ответ $(8; +\infty)$.
6. $\frac{5}{24}x + \frac{19}{24}x - 3x \ge 13$, $-2x \ge 13$, $x \le -6{,}5$; $\frac{6}{7}x + 13 < 2 - \frac{1}{7}x - 2$, $x < -13$. Ответ $(-\infty; -13)$.

Ответ: 1) $[1; 7]$; 2) $[-6; 1]$; 3) $(-1\frac{5}{6}; +\infty)$; 4) $(-\infty; 1\frac{5}{12}]$; 5) $(8; +\infty)$; 6) $(-\infty; -13)$.

№ 1355

Найди все целые решения систем: 1) $1{,}3x + 2 > 10 - 2{,}7x$, $16x - 29 > 17x - 34$; 2) $78x + 3 \le 79x + 9$, $3{,}1x - 0{,}2 \le 2{,}5x - 0{,}8$.

Решение.

1. $4x > 8$, $x > 2$; $-x > -5$, $x < 5$. Целые: 3, 4.
2. $-x \le 6$, $x \ge -6$; $0{,}6x \le -0{,}6$, $x \le -1$. Целые: $-6$, $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$.

Ответ: 1) 3; 4; 2) $-6$; $-5$; $-4$; $-3$; $-2$; $-1$.

№ 1356

Найди все целые решения систем: 1) $5(x - 3) + 23 > 3x$, $7(2 - x) + 6x > 12$; 2) $11(4 - x) < 46 - 9x$, $20{,}7x - 2 \le 19{,}7x$.

Решение.

1. $5x + 8 > 3x$, $2x > -8$, $x > -4$; $14 - x > 12$, $x < 2$. Целые: $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1.
2. $44 - 11x < 46 - 9x$, $-2x < 2$, $x > -1$; $x \le 2$. Целые: 0, 1, 2.

Ответ: 1) $-3$; $-2$; $-1$; 0; 1; 2) 0; 1; 2.

№ 1357

Найди сумму всех целых решений систем: 1) $9 + x < 2x + 4$, $17 + 8x < x + 59$; 2) $103 - 14x \ge 40 - 23x$, $509 - 51x \ge 259 - x$.

Как думать. Сумма целых чисел от $-7$ до 5: числа от $-5$ до 5 взаимно уничтожаются, остаются $-7$ и $-6$.

Решение.

1. $x > 5$; $7x < 42$, $x < 6$. Между 5 и 6 (не включая концы) целых чисел нет. Складывать нечего.
2. $9x \ge -63$, $x \ge -7$; $250 \ge 50x$, $x \le 5$. Целые от $-7$ до 5. Сумма: $-7 + (-6) + 0 = -13$.

Ответ: 1) целых решений нет; 2) $-13$.

7. Статистика

№ 1358

Найди среднее, размах и моду урожайности овощей (ц/га): 1) 1990–1999: 154; 121; 114; 106; 104; 101; 96; 101; 114; 134; 2) 1999–2008: 134; 153; 166; 172; 177; 186; 196; 201; 211; 204.

Как думать. Среднее — сумма, делённая на количество. Размах — наибольшее минус наименьшее. Мода — значение, которое встречается чаще других (их может быть несколько или не быть вовсе).

Решение.

1. Сумма 1145, чисел 10, среднее $114{,}5$. Размах $154 - 96 = 58$. Дважды встречаются и 101, и 114 — две моды.
2. Сумма 1800, среднее 180. Размах $211 - 134 = 77$. Все числа разные — моды нет.

Ответ: 1) среднее 114,5; размах 58; моды 101 и 114; 2) среднее 180; размах 77; моды нет.

💡 Сравни два ряда: урожайность выросла со 114,5 до 180 ц/га — в среднем больше чем в полтора раза.

№ 1359

Найди среднее, размах, медиану и моду урожайности подсолнечника (ц/га): 1) 9,2; 4,9; 3,3; 3,2; 3,4; 2,9; 1,9; 2,8; 4,2; 4,9; 2) 6,0; 5,9; 6,8; 5,9; 6,3; 5,9; 5,9; 4,1.

Как думать. Для медианы числа сначала выстраиваем по порядку. Если их чётное количество — берём среднее двух средних чисел.

Решение.

1. По порядку: 1,9; 2,8; 2,9; 3,2; 3,3; 3,4; 4,2; 4,9; 4,9; 9,2. Сумма 40,7, среднее 4,07. Размах $9{,}2 - 1{,}9 = 7{,}3$. Медиана $(3{,}3 + 3{,}4) : 2 = 3{,}35$. Мода 4,9.
2. По порядку: 4,1; 5,9; 5,9; 5,9; 5,9; 6,0; 6,3; 6,8. Сумма 46,8, среднее 5,85. Размах $6{,}8 - 4{,}1 = 2{,}7$. Медиана 5,9. Мода 5,9.

Ответ: 1) среднее 4,07; размах 7,3; медиана 3,35; мода 4,9; 2) среднее 5,85; размах 2,7; медиана 5,9; мода 5,9.

№ 1360

Производство шерсти в 2003–2008 гг. (тыс. т): 26,8; 28,5; 30,4; 32,4; 34,2; 35,2. Найди медиану.

Решение. Числа уже стоят по возрастанию. Чисел 6, средние — 30,4 и 32,4. Медиана $(30{,}4 + 32{,}4) : 2 = 31{,}4$.

Ответ: 31,4 тыс. т.

Шпаргалка

• Длинный пример решай по шагам: сначала знак, потом модули чисел.
• В уравнении: раскрыть скобки → иксы влево, числа вправо → разделить.
• Дроби в уравнении или системе убираем умножением на общий знаменатель.
• «Наибольшее целое при $x < -7{,}3$» — это $-8$, а не $-7$.
• Странный ответ (отрицательный год, длина) — повод перечитать условие.

Мини-тест