§ 55. Решение задач с помощью составления систем уравнений

Математика, 6 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2018). Глава 10: Линейные уравнения с двумя переменными и их системы. Страницы 161–165.

Чему научишься

• Видеть в задаче две неизвестные величины и обозначать их буквами $x$ и $y$.
• Переводить каждое условие задачи в отдельное уравнение.
• Решать полученную систему способом сложения или подстановки.
• Проверять ответ по условию задачи, а не только по уравнениям.

Разминка

Это задания № 1291–1293 из прошлого урока. Реши на черновике, потом открой ответ.

• Прямоугольник 2,8 дм на ширину в 4 раза меньше. Какова сторона квадрата с такой же площадью? Ширина $2{,}8 : 4 = 0{,}7$ дм, площадь $2{,}8 \cdot 0{,}7 = 1{,}96$ дм². Сторона квадрата 1,4 дм, ведь $1{,}4 \cdot 1{,}4 = 1{,}96$.
• Помидоры по 215 тг/кг ($x$ кг) и огурцы по 190 тг/кг ($y$ кг). Какая сдача с 2000 тг? $C = 2000 - (215x + 190y)$. При $x = 1{,}5$, $y = 0{,}5$ сдача 1582,5 тг.
• Сколько решений у системы $6x + y = 7$, $-4x + y = 2$? Вычтем: $10x = 5$, $x = 0{,}5$, $y = 4$. Решение одно.
• А у системы $y + x = 5$, $y = -x + 5$? Это одно и то же уравнение, записанное по-разному. Решений бесконечно много.

💡 Последний вопрос подсказывает: чтобы ответ был единственным, два условия задачи должны говорить разное.

Разбираемся

Загадка про два числа

Сумма двух чисел 95, а разность 19. Что это за числа? Подбирать долго. Но если обозначить числа буквами, задача сама скажет ответ.

Пусть первое число $x$, второе $y$. Сумма 95: $x + y = 95$. Разность 19: $x - y = 19$. Получилась система двух уравнений. Сложим их: $2x = 114$, $x = 57$. Тогда $y = 95 - 57 = 38$.

📌 План решения задачи системой. 1) Обозначь две неизвестные буквами $x$ и $y$. 2) Каждое условие запиши уравнением. 3) Реши систему. 4) Проверь ответ по условию и запиши его словами.

Посмотрим на картинке

Возьмём числа поменьше: сумма 12, разность 6. Уравнение $x + y = 12$ — это прямая, $x - y = 6$ — другая прямая. Ответ задачи — точка, где они пересекаются. Найди её.

Точка $(9; 3)$: $9 + 3 = 12$ и $9 - 3 = 6$. Числа 9 и 3.

Задача из магазина

Три карандаша и пять тетрадей стоят 375 тг. Семь карандашей и четыре тетради — 530 тг. Сколько стоят пять карандашей и девять тетрадей?

Пусть карандаш стоит $x$ тг, тетрадь — $y$ тг. Тогда $3x + 5y = 375$ и $7x + 4y = 530$.

⚠️ Частая ошибка. Нашли $x$ и $y$ — и записали их в ответ. А спрашивали совсем другое: стоимость пяти карандашей и девяти тетрадей. Перед ответом перечитай вопрос задачи!

👨‍👩‍👧 Родителю. Самый трудный шаг — не решение системы, а запись условий уравнениями. Попросите ребёнка вслух сказать, что означает каждая буква и откуда взялось каждое уравнение.

Где пригодится

Системой удобно решать задачи на движение по реке (скорость лодки и скорость течения), на покупки (цена двух товаров), на «на сколько больше и во сколько раз».

🌟 В задаче про реку всегда работают две формулы: по течению $v + c$, против течения $v - c$. Это готовая система!

Проверь, как понял

Проверь себя

• Когда задачу удобно решать системой двух уравнений? Когда в ней две неизвестные величины и есть два независимых условия, которые их связывают.
• Можно ли задачу про числа 95 и 19 решить одним уравнением с одной переменной? Можно. Пусть одно число $x$, тогда второе $x - 19$. Уравнение $x + (x - 19) = 95$ даёт $2x = 114$, $x = 57$, второе число 38. Но с системой проще: не нужно сразу выражать одно число через другое.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1294

Найди два числа по их сумме и разности: 1) 12 и 6; 2) 55 и 25; 3) $-13$ и 1; 4) 3 и $-13$; 5) 10 и 5,84; 6) $\frac{5}{56}$ и $\frac{1}{168}$.

Как думать. Из $x + y = s$ и $x - y = d$ после сложения $2x = s + d$, после вычитания $2y = s - d$. Значит, большее число — полусумма, меньшее — полуразность.

Решение.

В пункте 6 приведи $\frac{5}{56}$ к знаменателю 168: $\frac{5}{56} = \frac{15}{168}$.

Ответ: 1) 9 и 3; 2) 40 и 15; 3) $-6$ и $-7$; 4) $-5$ и 8; 5) 7,92 и 2,08; 6) $\frac{1}{21}$ и $\frac{1}{24}$.

№ 1295

Найди два числа: 1) сумма 5, частное 4; 2) разность 2, частное 1,2.

Как думать. «Частное равно 4» значит: первое число в 4 раза больше второго, $x = 4y$.

Решение.

1. $x = 4y$, $x + y = 5$. Тогда $5y = 5$, $y = 1$, $x = 4$.
2. $x = 1{,}2y$, $x - y = 2$. Тогда $0{,}2y = 2$, $y = 10$, $x = 12$.

Ответ: 1) 4 и 1; 2) 12 и 10.

№ 1296

Найди два числа: 1) разность 2, одно больше другого в 7 раз; 2) сумма $16\frac{2}{3}$, одно больше другого в 9 раз.

Решение.

1. $x = 7y$, $x - y = 2$. Значит, $6y = 2$, $y = \frac{1}{3}$, $x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.
2. $x = 9y$, $x + y = 16\frac{2}{3} = \frac{50}{3}$. Значит, $10y = \frac{50}{3}$, $y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$, $x = 15$.

Ответ: 1) $2\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{3}$; 2) 15 и $1\frac{2}{3}$.

№ 1297

2 пачки чая и 3 пачки печенья стоят 510 тг, 3 пачки чая и 5 пачек печенья — 790 тг. Найди цену чая и цену печенья.

Как думать. Пусть чай $x$ тг, печенье $y$ тг. Уравняем коэффициенты при $x$.

Решение.

1. $2x + 3y = 510$ умножим на 3: $6x + 9y = 1530$.
2. $3x + 5y = 790$ умножим на 2: $6x + 10y = 1580$.
3. Вычтем: $y = 50$.
4. $2x + 150 = 510$, $2x = 360$, $x = 180$.

Проверка: $3 \cdot 180 + 5 \cdot 50 = 540 + 250 = 790$ ✓.

Ответ: чай 180 тг, печенье 50 тг.

№ 1298

Мотоциклист и велосипедист едут навстречу из пунктов в 78 км друг от друга и встречаются через 1,5 ч. Скорость велосипедиста — 30% скорости мотоциклиста. Найди скорость велосипедиста.

Как думать. Пусть скорость мотоциклиста $x$, велосипедиста $y$. Вместе за 1,5 ч они проезжают 78 км.

Решение.

1. $1{,}5(x + y) = 78$, то есть $x + y = 52$.
2. $y = 0{,}3x$.
3. Подставим: $x + 0{,}3x = 52$, $1{,}3x = 52$, $x = 40$.
4. $y = 0{,}3 \cdot 40 = 12$.

Ответ: 12 км/ч.

№ 1299

Скорость обычной лодки на 9 км/ч меньше скорости моторной и составляет от неё 40%. Найди скорость моторной лодки.

Решение. Пусть моторная лодка идёт $x$ км/ч, обычная $y$ км/ч. Тогда $x - y = 9$ и $y = 0{,}4x$. Подставим: $x - 0{,}4x = 9$, $0{,}6x = 9$, $x = 15$. Обычная лодка: $0{,}4 \cdot 15 = 6$ км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

Уровень B

№ 1300

1) Самая маленькая сова на 57 см короче филина; $\frac{1}{7}$ длины маленькой совы и 0,1 длины филина вместе дают 9,1 см. Найди обе длины. 2) Маленькая сова весит 5% массы филина; 100 маленьких сов и 3 филина вместе весят 17 кг. Найди массы.

Как думать. В обоих пунктах одно условие говорит «на сколько» или «какую часть», а второе — про сумму. Удобно выразить одну букву через другую и подставить.

Решение.

1. См. шаги выше: $y = 71$, $x = 14$. Проверка: $14 : 7 + 7{,}1 = 2 + 7{,}1 = 9{,}1$ ✓.
2. Пусть филин весит $y$ кг, маленькая сова $x$ кг. $x = 0{,}05y$ и $100x + 3y = 17$. Тогда $5y + 3y = 17$, $8y = 17$, $y = 2{,}125$ кг. $x = 0{,}05 \cdot 2{,}125 = 0{,}10625$ кг — примерно 106 г.

Ответ: 1) филин 71 см, маленькая сова 14 см; 2) филин 2,125 кг, маленькая сова 0,10625 кг (около 106 г).

🌟 Самая маленькая сова — сыч-эльф. Она живёт в кактусах в пустынях Америки и легко помещается на ладони.

№ 1301

1) Самый большой олень в $6\frac{3}{19}$ раза выше южного пуду; $\frac{1}{117}$ высоты большого оленя и $\frac{1}{19}$ высоты пуду вместе дают 4. Найди высоту пуду в сантиметрах и высоту оленя в метрах. 2) Пуду весит 1% массы большого оленя; $\frac{1}{8}$ массы оленя минус масса пуду равно 92 кг. Найди массы.

Как думать. $6\frac{3}{19} = \frac{117}{19}$. Значит, $\frac{1}{117}$ высоты оленя — это ровно $\frac{1}{19}$ высоты пуду. Две одинаковые доли вместе дают 4.

Решение.

1. Пусть пуду $x$, олень $y$. $y = \frac{117}{19}x$, поэтому $\frac{y}{117} = \frac{x}{19}$. Из второго условия $\frac{x}{19} + \frac{x}{19} = 4$, $\frac{2x}{19} = 4$, $x = 38$. Тогда $y = \frac{117}{19} \cdot 38 = 234$. Высота 38 метров у пуду быть не может: это олень размером с кошку. Значит, «4» здесь — сантиметры: пуду 38 см, большой олень 234 см = 2,34 м.
2. Пусть олень весит $y$ кг, пуду $x$ кг. $x = 0{,}01y$, $\frac{y}{8} - x = 92$. Тогда $0{,}125y - 0{,}01y = 92$, $0{,}115y = 92$, $y = 800$. $x = 8$.

Ответ: 1) пуду 38 см, самый большой олень (лось) 2,34 м; 2) 800 кг и 8 кг.

💡 Получился странный ответ — повод перечитать условие. Математика честно посчитала, а здравый смысл подсказал, где ошибка в единицах.

№ 1302

В 2008 г. площадь под картофелем в Атырауской области была $\frac{1}{17}$ площади в Южно-Казахстанской. Вместе — 10 800 га. Найди обе площади.

Решение. Пусть Атырауская $x$ га, Южно-Казахстанская $y$ га. $x = \frac{y}{17}$, $x + y = 10,800$. Тогда $\frac{y}{17} + y = \frac{18y}{17} = 10,800$, $y = 10,200$, $x = 600$.

Ответ: Атырауская 600 га, Южно-Казахстанская 10 200 га.

№ 1303

В 2008 г. лесной фонд Павлодарской области составлял 50% от Актюбинской. $\frac{3}{5}$ Павлодарского и $\frac{1}{8}$ Актюбинского вместе — 425 тыс. га. Найди площади.

Решение. Пусть Актюбинская $y$ тыс. га, Павлодарская $x = 0{,}5y$. Условие: $0{,}6x + 0{,}125y = 425$. Подставим: $0{,}3y + 0{,}125y = 0{,}425y = 425$, $y = 1000$, $x = 500$.

Ответ: Павлодарская 500 тыс. га, Актюбинская 1000 тыс. га (1 млн га).

№ 1304

В 2006 г. сахара произвели на 392 014 т меньше, чем в 2007 г. За два года — 392 508 т. Сколько в каждом году?

Решение. Пусть 2007 г. — $x$ т, 2006 г. — $y$ т. $x - y = 392,014$, $x + y = 392,508$. Сложим: $2x = 784,522$, $x = 392,261$. $y = 392,508 - 392,261 = 247$.

Ответ: 2006 г. — 247 т, 2007 г. — 392 261 т.

№ 1305

В 2008 г. с 1 га в Карагандинской и с 1 га в Костанайской области собрали вместе 467 ц овощей. С 1 га в Карагандинской собрали на 548 ц меньше, чем с 4 га в Костанайской. Найди урожай с 1 га в каждой области.

Решение. Пусть Карагандинская $x$ ц/га, Костанайская $y$ ц/га. $x + y = 467$ и $4y - x = 548$. Сложим: $5y = 1015$, $y = 203$. $x = 467 - 203 = 264$. Проверка: $4 \cdot 203 - 264 = 812 - 264 = 548$ ✓.

Ответ: Карагандинская 264 ц, Костанайская 203 ц.

Уровень C

№ 1306

В году $a$ продукции растениеводства и животноводства произвели на $b$ млрд тг, причём растениеводства на $c$ млрд тг больше. Найди каждую часть: 1) $a = 2003$, $b = 615{,}4$, $c = 97$; 2) $a = 2004$, $b = 698{,}4$, $c = 83{,}6$.

Как думать. Это задача «сумма и разность»: $x + y = b$, $x - y = c$. Значит, $x = \frac{b + c}{2}$, $y = \frac{b - c}{2}$. Год $a$ в расчёт не входит.

Решение.

1. $x = (615{,}4 + 97) : 2 = 356{,}2$; $y = (615{,}4 - 97) : 2 = 259{,}2$.
2. $x = (698{,}4 + 83{,}6) : 2 = 391$; $y = (698{,}4 - 83{,}6) : 2 = 307{,}4$.

Ответ: 1) растениеводство 356,2 млрд тг, животноводство 259,2 млрд тг; 2) 391 и 307,4 млрд тг.

№ 1307

В году $a$ собрали $b$ тыс. т картофеля, а овощей и зерна вместе — $c$ тыс. т. Зерна на $d$ тыс. т больше, чем картофеля и овощей вместе. Найди зерно и овощи: 1) $b = 2354{,}4$, $c = 16,715{,}7$, $d = 10,530{,}8$ (2003 г.); 2) $b = 2414{,}8$, $c = 14,433{,}5$, $d = 8054{,}2$ (2004 г.).

Как думать. Пусть зерно $x$, овощи $y$. Тогда $x + y = c$ и $x - (b + y) = d$, то есть $x - y = b + d$. Опять сумма и разность!

Решение.

1. $x - y = 2354{,}4 + 10,530{,}8 = 12,885{,}2$. $x = (16,715{,}7 + 12,885{,}2) : 2 = 14,800{,}45$; $y = (16,715{,}7 - 12,885{,}2) : 2 = 1915{,}25$.
2. $x - y = 2414{,}8 + 8054{,}2 = 10,469$. $x = (14,433{,}5 + 10,469) : 2 = 12,451{,}25$; $y = (14,433{,}5 - 10,469) : 2 = 1982{,}25$.

Ответ: 1) зерно 14 800,45 тыс. т, овощи 1915,25 тыс. т; 2) зерно 12 451,25 тыс. т, овощи 1982,25 тыс. т.

№ 1308

В году $a$ картофеля посеяли на $b$ тыс. га больше, чем овощей; овощи и зерновые вместе — $c$ тыс. га; зерновых на $d$ тыс. га больше, чем картофеля. Найди все три площади: 1) $b = 56{,}7$, $c = 13,982{,}8$, $d = 13,705{,}7$ (2003 г.); 2) $b = 56{,}9$, $c = 14,389{,}3$, $d = 14,109{,}8$ (2004 г.).

Как думать. Три неизвестные, но все выражаются через одну. Главное — аккуратно записать, кто кого больше.

Решение.

1. Овощи 110,2; картофель $110{,}2 + 56{,}7 = 166{,}9$; зерновые $166{,}9 + 13,705{,}7 = 13,872{,}6$. Проверка: $110{,}2 + 13,872{,}6 = 13,982{,}8$ ✓.
2. $y = (14,389{,}3 - 56{,}9 - 14,109{,}8) : 2 = 222{,}6 : 2 = 111{,}3$. Картофель $111{,}3 + 56{,}9 = 168{,}2$; зерновые $168{,}2 + 14,109{,}8 = 14,278$. Проверка: $111{,}3 + 14,278 = 14,389{,}3$ ✓.

Ответ: 1) овощи 110,2, картофель 166,9, зерновые 13 872,6 тыс. га; 2) овощи 111,3, картофель 168,2, зерновые 14 278 тыс. га.

№ 1309

Три авторучки и пять карандашей стоят 220 тг. Авторучка на 20 тг дороже карандаша. Найди цены.

Решение. Пусть ручка $x$ тг, карандаш $y$ тг. $3x + 5y = 220$, $x = y + 20$. Подставим: $3y + 60 + 5y = 220$, $8y = 160$, $y = 20$, $x = 40$.

Ответ: авторучка 40 тг, карандаш 20 тг.

№ 1310

Лодка по течению идёт со скоростью 7,6 км/ч, против течения — 4,8 км/ч. Найди скорость течения.

Решение. $v + c = 7{,}6$, $v - c = 4{,}8$. Вычтем: $2c = 2{,}8$, $c = 1{,}4$. Собственная скорость лодки $v = 6{,}2$ км/ч.

Ответ: 1,4 км/ч.

№ 1311

По течению лодка проходит путь в 3 раза быстрее, чем против течения. Во сколько раз собственная скорость лодки больше скорости течения?

Как думать. Путь одинаковый. Если время в 3 раза меньше, то скорость в 3 раза больше: $v + c = 3(v - c)$.

Решение. $v + c = 3v - 3c$, $4c = 2v$, $v = 2c$.

Ответ: в 2 раза.

№ 1312

Пловец по течению проплыл 150 м, а против течения за то же время его снесло на 50 м назад. Во сколько раз течение быстрее пловца?

Как думать. Задача повышенной трудности. Раз пловца сносит, течение сильнее его: против течения он движется назад со скоростью $c - v$.

Решение.

1. По течению: $(v + c)t = 150$.
2. Против течения: $(c - v)t = 50$.
3. Разделим: $\frac{v + c}{c - v} = 3$, значит, $v + c = 3c - 3v$, $4v = 2c$, $c = 2v$.

Ответ: в 2 раза.

Шпаргалка

• Обозначь две неизвестные буквами и напиши, что они значат.
• Каждое условие — отдельное уравнение.
• Реши систему сложением или подстановкой.
• Проверь ответ по условию задачи и ответь именно на вопрос.
• Странный ответ (отрицательная длина, олень 38 м) — повод перечитать условие.

Мини-тест