Упражнения для повторения курса математики 5 и 6 классов

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 0: Введение и повторение. Страницы 8–22.

Что повторяем

Перед новой алгеброй полезно разогреться. Здесь шестьдесят заданий по всему, что ты уже знаешь:

• вычисления с дробями, модулем и процентами;
• упрощение выражений и подстановка чисел;
• уравнения, пропорции и системы уравнений;
• неравенства, числовые промежутки и модуль;
• координатная плоскость и симметрия;
• формулы, задачи на движение и работу;
• среднее, размах, медиана, диаграммы и множества.

💡 Не пугайся количества. Берись по разделам, а к трудным вернись на следующий день. Ответ каждого задания можно сверить, нажав кнопку.

👨‍👩‍👧 Родителю. Это диагностика. Не нужно решать всё за один вечер: пусть ребёнок выберет по 2–3 задания из каждого раздела. Если где-то «поплыл» (дроби, знаки, проценты), этому месту стоит уделить отдельное время до начала § 1.

Решаем упражнения

Вычисления

№ 1

Вычисли: 1) $7{,}8\cdot\frac{4}{13}-61{,}5:13\frac{2}{3}+198{,}8$; 2) $19{,}25\cdot\frac{5}{11}+5{,}76\cdot\frac{5}{12}-13{,}009$; 3) $4{,}625\cdot2\frac{2}{15}:2{,}96-2\frac{4}{7}$; 4) $30{,}25:4\frac{5}{7}:1{,}05-2\frac{1}{6}$.

Как думать. Порядок действий: сначала умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание. Десятичные дроби удобно переводить в обыкновенные, смешанные числа — в неправильные дроби.

Решение.

1. $7{,}8\cdot\frac{4}{13}=0{,}6\cdot4=2{,}4$. $61{,}5:13\frac{2}{3}=61{,}5\cdot\frac{3}{41}=4{,}5$. Итого $2{,}4-4{,}5+198{,}8=196{,}7$.
2. $19{,}25\cdot\frac{5}{11}=1{,}75\cdot5=8{,}75$. $5{,}76\cdot\frac{5}{12}=0{,}48\cdot5=2{,}4$. Итого $8{,}75+2{,}4-13{,}009=-1{,}859$.
3. $4{,}625=\frac{37}{8}$, $2\frac{2}{15}=\frac{32}{15}$, $2{,}96=\frac{74}{25}$. Тогда $\frac{37}{8}\cdot\frac{32}{15}:\frac{74}{25}=\frac{148}{15}\cdot\frac{25}{74}=\frac{10}{3}$. Далее $\frac{10}{3}-\frac{18}{7}=\frac{70-54}{21}=\frac{16}{21}$.
4. $30{,}25=\frac{121}{4}$, $4\frac{5}{7}=\frac{33}{7}$, $1{,}05=\frac{21}{20}$. Тогда $\frac{121}{4}\cdot\frac{7}{33}\cdot\frac{20}{21}=\frac{55}{9}$. Далее $\frac{55}{9}-\frac{13}{6}=\frac{110-39}{18}=\frac{71}{18}=3\frac{17}{18}$.

Ответ: 1) $196{,}7$; 2) $-1{,}859$; 3) $\frac{16}{21}$; 4) $3\frac{17}{18}$.

№ 2

Выполни действия: 1) $\left(5\frac{5}{6}+8\frac{2}{9}\right):25{,}3-3\frac{1}{9}+1{,}5:\frac{27}{28}$; 2) $117{,}5\cdot\frac{4}{47}-11\frac{2}{3}+\left(10\frac{2}{25}-8\frac{7}{15}\right):\frac{11}{45}$; 3) $\left(73{,}6-72\frac{5}{9}\right):6\frac{4}{15}+\frac{7}{13}\cdot\left(20\frac{2}{3}-19\frac{3}{7}\right)$; 4) $\left(81\frac{2}{15}-79{,}3\right)\cdot(24{,}04-22{,}68)\cdot\left(1\frac{2}{3}+1\frac{1}{9}\right)$; 5) $\left(52{,}25-49\frac{1}{7}\right)\cdot(40{,}01-36{,}81):\left(6\frac{1}{6}-2\frac{1}{42}\right)$; 6) $(28{,}24-29{,}1)\cdot\left(11{,}75+30\frac{5}{6}\right):\left(40{,}4-6\frac{1}{3}\right)$.

Как думать. Скобки первыми. В каждой скобке получится «красивое» число, которое дальше хорошо сокращается.

Решение.

1. $5\frac{5}{6}+8\frac{2}{9}=14\frac{1}{18}=\frac{253}{18}$. $\frac{253}{18}:25{,}3=\frac{5}{9}$. $3\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$. $1{,}5:\frac{27}{28}=\frac{3}{2}\cdot\frac{28}{27}=\frac{14}{9}$. Итого $\frac{5-28+14}{9}=-1$.
2. $117{,}5\cdot\frac{4}{47}=2{,}5\cdot4=10$. Скобка: $10\frac{2}{25}-8\frac{7}{15}=1\frac{46}{75}=\frac{121}{75}$; делим: $\frac{121}{75}\cdot\frac{45}{11}=\frac{33}{5}=6{,}6$. Итого $10-11\frac{2}{3}+6{,}6=4\frac{14}{15}$.
3. $73{,}6-72\frac{5}{9}=1\frac{2}{45}=\frac{47}{45}$; $\frac{47}{45}:\frac{94}{15}=\frac{1}{6}$. Вторая скобка: $20\frac{2}{3}-19\frac{3}{7}=1\frac{5}{21}=\frac{26}{21}$; $\frac{7}{13}\cdot\frac{26}{21}=\frac{2}{3}$. Итого $\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$.
4. $81\frac{2}{15}-79{,}3=\frac{11}{6}$; $24{,}04-22{,}68=1{,}36=\frac{34}{25}$; $1\frac{2}{3}+1\frac{1}{9}=\frac{25}{9}$. Произведение: $\frac{11}{6}\cdot\frac{34}{25}\cdot\frac{25}{9}=\frac{374}{54}=\frac{187}{27}=6\frac{25}{27}$.
5. $52{,}25-49\frac{1}{7}=\frac{87}{28}$; $40{,}01-36{,}81=3{,}2=\frac{16}{5}$; $6\frac{1}{6}-2\frac{1}{42}=\frac{29}{7}$. Тогда $\frac{87}{28}\cdot\frac{16}{5}=\frac{348}{35}$, и $\frac{348}{35}:\frac{29}{7}=\frac{12}{5}=2{,}4$.
6. $28{,}24-29{,}1=-0{,}86$; $11{,}75+30\frac{5}{6}=42\frac{7}{12}=\frac{511}{12}$; $40{,}4-6\frac{1}{3}=34\frac{1}{15}=\frac{511}{15}$. Числа $511$ сокращаются: $-0{,}86\cdot\frac{15}{12}=-1{,}075=-1\frac{3}{40}$.

Ответ: 1) $-1$; 2) $4\frac{14}{15}$; 3) $\frac{5}{6}$; 4) $6\frac{25}{27}$; 5) $2{,}4$; 6) $-1\frac{3}{40}$.

№ 3

Сравни значения выражений: 1) $0{,}5-\frac{4}{7}\cdot2{,}1$ и $\left(1-\frac{3}{18}\right)\cdot0{,}6$; 2) $26-\frac{5}{14}\cdot0{,}7$ и $(0{,}86+0{,}17)\cdot25$; 3) $(10{,}5-11{,}8)\cdot20$ и $\frac{40}{49}\cdot9{,}4-34$; 4) $7{,}4\cdot\frac{15}{37}+19$ и $(-2{,}97+3{,}07)\cdot20$.

Как думать. Считаем каждое выражение отдельно, потом сравниваем числа. Помни: из двух отрицательных больше то, что ближе к нулю.

Решение.

1. $0{,}5-1{,}2=-0{,}7$; $\frac{5}{6}\cdot0{,}6=0{,}5$. Значит, $-0{,}7<0{,}5$.
2. $26-0{,}25=25{,}75$; $1{,}03\cdot25=25{,}75$. Значения равны.
3. $-1{,}3\cdot20=-26$; $\frac{40\cdot9{,}4}{49}-34=\frac{376}{49}-34=7\frac{33}{49}-34=-26\frac{16}{49}$. Значит, $-26>-26\frac{16}{49}$.
4. $7{,}4\cdot\frac{15}{37}=0{,}2\cdot15=3$, поэтому $3+19=22$; $0{,}1\cdot20=2$. Значит, $22>2$.

Ответ: 1)

№ 4

Сравни значения выражений: 1) $|-30|\cdot2-|-15|\cdot|-4|$ и $0{,}15\cdot|-60|-8{,}9$; 2) $\left|-\frac{5}{18}\right|\cdot\left|-\frac{3}{10}\right|+\frac{7}{12}$ и $\left|-\frac{25}{26}\right|\cdot\left|-\frac{26}{75}\right|\cdot|-1|$; 3) $|-3{,}5|+\left|-\frac{7}{8}\right|\cdot1{,}6$ и $|-8{,}1+32|\cdot0{,}01$; 4) $|49{,}2-50|:|-0{,}4|$ и $|201-401|\cdot0{,}1$.

Как думать. Модуль — расстояние до нуля, поэтому знак «минус» под модулем пропадает. Считаем скобки внутри модуля, а потом снимаем знак.

Решение.

1. $30\cdot2-15\cdot4=60-60=0$; $0{,}15\cdot60-8{,}9=9-8{,}9=0{,}1$. Значит, $0<0{,}1$.
2. $\frac{5}{18}\cdot\frac{3}{10}=\frac{1}{12}$, плюс $\frac{7}{12}$ даёт $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. Справа $\frac{25}{26}\cdot\frac{26}{75}=\frac{1}{3}$. Значит, $\frac{2}{3}>\frac{1}{3}$.
3. $3{,}5+\frac{7}{8}\cdot1{,}6=3{,}5+1{,}4=4{,}9$; $|23{,}9|\cdot0{,}01=0{,}239$. Значит, $4{,}9>0{,}239$.
4. $|-0{,}8|:0{,}4=0{,}8:0{,}4=2$; $200\cdot0{,}1=20$. Значит, $2<20$.

Ответ: 1)

№ 5

Найди $a%$ от числа $b$: 1) $b=7\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{23}-0{,}03$, $a=50$; 2) $b=\frac{4}{7}+10\frac{3}{7}:7\frac{3}{10}$, $a=110$; 3) $b=0{,}02\cdot300-6\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{19}$, $a=144$; 4) $b=40\frac{1}{2}:81+1{,}5$, $a=120$; 5) $b=505{,}2-9\frac{1}{5}:92$, $a=260$; 6) $b=341\frac{1}{3}:170\frac{2}{3}+75$, $a=2300$.

Как думать. Сначала находим $b$, потом берём $a$ сотых от него: $b\cdot\frac{a}{100}$.

Решение.

1. $7\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{23}=\frac{23}{3}\cdot\frac{9}{23}=3$, $b=2{,}97$. $50%$ — это половина: $1{,}485$.
2. $10\frac{3}{7}:7\frac{3}{10}=\frac{73}{7}\cdot\frac{10}{73}=\frac{10}{7}$, $b=\frac{4}{7}+\frac{10}{7}=2$. $110%$ от $2$ равно $2{,}2$.
3. $0{,}02\cdot300=6$; $6\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{19}=\frac{19}{3}\cdot\frac{2}{19}=\frac{2}{3}$; $b=5\frac{1}{3}$. $144%=1{,}44$: $\frac{16}{3}\cdot1{,}44=7{,}68$.
4. $40\frac{1}{2}:81=\frac{81}{2}:81=0{,}5$, $b=2$. $120%$ от $2$ — это $2{,}4$.
5. $9\frac{1}{5}:92=\frac{46}{5}\cdot\frac{1}{92}=0{,}1$; $b=505{,}1$. $2{,}6\cdot505{,}1=1313{,}26$.
6. $341\frac{1}{3}:170\frac{2}{3}=\frac{1024}{3}\cdot\frac{3}{512}=2$, $b=77$. $23\cdot77=1771$.

Ответ: 1) $1{,}485$; 2) $2{,}2$; 3) $7{,}68$; 4) $2{,}4$; 5) $1313{,}26$; 6) $1771$.

№ 6

Банк даёт 12% годовых по срочному вкладу. Вкладчик внёс 750 000 тенге и ничего не трогал. На сколько тенге вырастет счёт за год?

Как думать. Прирост — это 12% от суммы вклада.

Решение. $750,000\cdot0{,}12=90,000$ тг.

Ответ: на $90,000$ тенге.

№ 7

В аптеке 10-го числа скидка 20%. Самал купила лекарства на 10 100 тенге по скидке. Сколько бы она заплатила без скидки?

Как думать. После скидки Самал платит $100%-20%=80%$ от первоначальной цены. Значит, 10 100 тг — это 80%, а нужно найти 100%.

Решение. $10,100:0{,}8=12,625$ тг. Проверка: $12,625\cdot0{,}8=10,100$.

Ответ: $12,625$ тенге.

№ 8

Найди значение $2^{4}\cdot5^{3}\cdot29+2\cdot13^{2}$.

Как думать. Сначала степени, затем умножение, потом сложение. Заметь удобную пару: $2^4\cdot5^3=16\cdot125=2000$ (не $10^4$, но близко!).

Решение. $2^4\cdot5^3=16\cdot125=2000$. Тогда $2000\cdot29=58,000$. Дальше $13^2=169$, $2\cdot169=338$. Итого $58,000+338=58,338$.

Ответ: $58,338$ (км/ч — как сказано в задании).

№ 9

1) Мозг кашалота весит до 9 кг, это в 6 раз больше мозга человека, и составляет примерно 0,02% массы тела кита. Найди массу мозга человека и массу тела кита. 2) Хвост амурского тигра длиной 1,1 м — это примерно 25% длины его тела. Какова общая длина тела тигра?

Как думать. «В 6 раз больше» — делим. «Составляет столько-то процентов» — часть делим на долю.

Решение.

1. Мозг человека: $9:6=1{,}5$ кг. Масса кита: $9:0{,}0002=45,000$ кг $=45$ т.
2. $1{,}1:0{,}25=4{,}4$ м.

Ответ: 1) $1{,}5$ кг и $45$ т; 2) $4{,}4$ м.

№ 10

В Акмолинской области около 4000 озёр. Найди количество озёр по площади: 1) меньше 1 км² — 92,5%; 2) от 1,1 до 5 км² — 5,4%; 3) от 5,1 до 10 км² — 1%; 4) от 10,1 до 50 км² — 0,9%; 5) больше 50 км² — 0,2%.

Как думать. Находим процент от 4000: делим на 100 и умножаем на процент.

Решение. $4000\cdot0{,}925=3700$; $4000\cdot0{,}054=216$; $4000\cdot0{,}01=40$; $4000\cdot0{,}009=36$; $4000\cdot0{,}002=8$. Проверка: $3700+216+40+36+8=4000$.

Ответ: 1) $3700$; 2) $216$; 3) $40$; 4) $36$; 5) $8$.

№ 11

Найди площади озёр (в км²): 1) Коргалжын: $(1-0{,}67)\cdot10^{3}$; 2) Тенгиз: $0{,}46\cdot10^{3}+0{,}54\cdot10^{3}+5{,}9\cdot10^{2}$; 3) Кыпшак: $(299+12\cdot29):10$.

Как думать. $10^3=1000$ и $10^2=100$. Умножение на степень десяти сдвигает запятую.

Решение.

1. $0{,}33\cdot1000=330$.
2. $460+540+590=1590$.
3. $12\cdot29=348$, $299+348=647$, $647:10=64{,}7$.

Ответ: 1) $330$ км²; 2) $1590$ км²; 3) $64{,}7$ км².

№ 12

Белый медведь. Найди значения: 1) от $\left(1\frac{1}{5}+2{,}8\right)\cdot10^{2}$ кг до $(400\cdot50+5\cdot8000):10^{2}$ кг — средняя масса; 2) $3\cdot(2^{3}\cdot5^{2}+10^{2})$ кг — масса самого большого; 3) $\frac{1}{2}\cdot\left(2\frac{5}{7}+4\frac{2}{7}\right)$ м — длина самого большого; 4) от $3\cdot2^{3}:10$ м до $2^{2}\cdot5\cdot13\cdot0{,}01$ м — средняя длина; 5) $2^{4}\cdot3\cdot625$ км — территория обитания; 6) $0{,}001\cdot2^{5}\cdot3125$ км — сколько способен проплыть; 7) $2^{5}\cdot5^{3}\cdot17:1000$ кг — вместимость желудка.

Как думать. Это семь маленьких вычислений. Удобно собирать «двойки» и «пятёрки» в десятки.

Решение.

1. $\left(1{,}2+2{,}8\right)\cdot100=400$; $(20,000+40,000):100=600$.
2. $2^3\cdot5^2=8\cdot25=200$; $200+100=300$; $3\cdot300=900$.
3. $2\frac{5}{7}+4\frac{2}{7}=7$; $7:2=3{,}5$.
4. $3\cdot8:10=2{,}4$; $4\cdot5\cdot13\cdot0{,}01=260\cdot0{,}01=2{,}6$.
5. $16\cdot3\cdot625=48\cdot625=30,000$.
6. $32\cdot3125=100,000$, умножаем на $0{,}001$: $100$.
7. $32\cdot125=4000$; $4000\cdot17=68,000$; $:1000=68$.

Ответ: 1) от $400$ до $600$ кг; 2) $900$ кг; 3) $3{,}5$ м; 4) от $2{,}4$ до $2{,}6$ м; 5) $30,000$ км; 6) $100$ км; 7) $68$ кг.

Преобразования выражений

№ 13

Упрости: 1) $40{,}3a-51{,}2a+12{,}19a-a$; 2) $-81{,}4b+90b-7{,}15b+0{,}45b$; 3) $13\frac{2}{15}c-15\frac{1}{3}c+3{,}5c-\frac{4}{5}c$; 4) $59\frac{3}{16}t+4\frac{1}{8}t-64{,}25t+\frac{3}{4}t$.

Как думать. Это подобные слагаемые: складываем только коэффициенты (числа перед буквой). Помни, что $-a$ — это $-1\cdot a$.

Решение.

1. $40{,}3-51{,}2+12{,}19-1=0{,}29$.
2. $-81{,}4+90-7{,}15+0{,}45=1{,}9$.
3. $13\frac{2}{15}-15\frac{1}{3}=-2\frac{1}{5}$; $-2{,}2+3{,}5-0{,}8=0{,}5$.
4. $59\frac{3}{16}+4\frac{1}{8}=63\frac{5}{16}$; $63{,}3125-64{,}25+0{,}75=-0{,}1875=-\frac{3}{16}$.

Ответ: 1) $0{,}29a$; 2) $1{,}9b$; 3) $0{,}5c$; 4) $-\frac{3}{16}t$.

№ 14

Найди значение выражения: 1) $6\frac{3}{7}a-8\frac{5}{8}b-\frac{2}{3}c$ при $a=\frac{14}{15}$, $b=2\frac{18}{23}$, $c=-6{,}75$; 2) $2\frac{4}{11}a-19{,}25b+\frac{4}{9}c$ при $a=13{,}2$, $b=2\frac{10}{11}$, $c=-10\frac{1}{8}$; 3) $36\frac{2}{3}a-4{,}84b+7\frac{5}{7}c$ при $a=0{,}9$, $b=3\frac{9}{22}$, $c=3{,}5$.

Как думать. Подставляем числа и считаем каждое слагаемое отдельно: часто дроби красиво сокращаются.

Решение.

1. $6\frac{3}{7}\cdot\frac{14}{15}=\frac{45}{7}\cdot\frac{14}{15}=6$; $8\frac{5}{8}\cdot2\frac{18}{23}=\frac{69}{8}\cdot\frac{64}{23}=24$; $\frac{2}{3}\cdot(-6{,}75)=-4{,}5$. Итого $6-24-(-4{,}5)=-13{,}5$.
2. $2\frac{4}{11}\cdot13{,}2=\frac{26}{11}\cdot13{,}2=31{,}2$; $19{,}25\cdot\frac{32}{11}=56$; $\frac{4}{9}\cdot\left(-\frac{81}{8}\right)=-4{,}5$. Итого $31{,}2-56-4{,}5=-29{,}3$.
3. $\frac{110}{3}\cdot0{,}9=33$; $4{,}84\cdot\frac{75}{22}=16{,}5$; $\frac{54}{7}\cdot3{,}5=27$. Итого $33-16{,}5+27=43{,}5$.

Ответ: 1) $-13{,}5$; 2) $-29{,}3$; 3) $43{,}5$.

№ 15

Найди значение выражения: 1) $7\frac{2}{3}a-1{,}5b-\frac{5}{6}c$ при $a=\frac{5}{46}$, $b=-\frac{4}{9}$, $c=\frac{14}{15}$; 2) $4\frac{2}{9}a+8\frac{1}{6}b+\frac{14}{81}c$ при $a=\frac{3}{19}$, $b=-3\frac{3}{7}$, $c=1\frac{13}{14}$; 3) $1{,}4a-\frac{51}{92}b+\frac{11}{25}c$ при $a=\frac{25}{42}$, $b=1\frac{6}{17}$, $c=-1\frac{17}{33}$.

Как думать. Тот же приём: подставляем, умножаем, сокращаем.

Решение.

1. $\frac{23}{3}\cdot\frac{5}{46}=\frac{5}{6}$; $-1{,}5\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)=\frac{2}{3}$; $-\frac{5}{6}\cdot\frac{14}{15}=-\frac{7}{9}$. Итого $\frac{15+12-14}{18}=\frac{13}{18}$.
2. $\frac{38}{9}\cdot\frac{3}{19}=\frac{2}{3}$; $\frac{49}{6}\cdot\left(-\frac{24}{7}\right)=-28$; $\frac{14}{81}\cdot\frac{27}{14}=\frac{1}{3}$. Итого $\frac{2}{3}-28+\frac{1}{3}=-27$.
3. $\frac{7}{5}\cdot\frac{25}{42}=\frac{5}{6}$; $-\frac{51}{92}\cdot\frac{23}{17}=-\frac{3}{4}$; $\frac{11}{25}\cdot\left(-\frac{50}{33}\right)=-\frac{2}{3}$. Итого $\frac{10-9-8}{12}=-\frac{7}{12}$.

Ответ: 1) $\frac{13}{18}$; 2) $-27$; 3) $-\frac{7}{12}$.

№ 16

Упрости выражение и найди его значение: 1) $81{,}5y-63\frac{4}{7}z-99{,}4y+64\frac{2}{3}z$ при $y=10$, $z=-1\frac{19}{23}$; 2) $-177\frac{5}{11}t+100{,}1k+176\frac{4}{9}t$ при $t=-19{,}8$, $k=50$; 3) $33{,}6n-76\frac{3}{8}m+78\frac{1}{9}m-35n$ при $m=\frac{24}{25}$, $n=10$; 4) $29\frac{4}{13}s+409\frac{1}{9}t-30{,}5s-407{,}2t$ при $s=-2{,}6$, $t=\frac{9}{43}$.

Как думать. Сначала приводим подобные, потом подставляем: так вычислений меньше.

Решение.

1. При $y$: $81{,}5-99{,}4=-17{,}9$. При $z$: $-63\frac{4}{7}+64\frac{2}{3}=1\frac{2}{21}=\frac{23}{21}$. Получаем $-17{,}9y+\frac{23}{21}z$. Подставляем: $-179+\frac{23}{21}\cdot\left(-\frac{42}{23}\right)=-179-2=-181$.
2. При $t$: $-177\frac{5}{11}+176\frac{4}{9}=-1-\frac{1}{99}=-\frac{100}{99}$. Получаем $-\frac{100}{99}t+100{,}1k$. Подставляем: $-\frac{100}{99}\cdot\left(-\frac{99}{5}\right)+5005=20+5005=5025$.
3. При $n$: $33{,}6-35=-1{,}4$. При $m$: $-76\frac{3}{8}+78\frac{1}{9}=\frac{125}{72}$. Получаем $-1{,}4n+\frac{125}{72}m$. Подставляем: $-14+\frac{125}{72}\cdot\frac{24}{25}=-14+\frac{5}{3}=-12\frac{1}{3}$.
4. При $s$: $29\frac{4}{13}-30{,}5=-\frac{31}{26}$. При $t$: $409\frac{1}{9}-407{,}2=\frac{86}{45}$. Подставляем: $-\frac{31}{26}\cdot\left(-\frac{13}{5}\right)+\frac{86}{45}\cdot\frac{9}{43}=3{,}1+0{,}4=3{,}5$.

Ответ: 1) $-181$; 2) $5025$; 3) $-12\frac{1}{3}$; 4) $3{,}5$.

№ 17

1) $a$ — это 20% от 500, $b$ — 50% от 840. Найди 11% от числа $(9a-2b)$. 2) 40% числа $a$ равно 200, 15% числа $b$ равно 150. Найди 150% от числа $(a+0{,}49b)$.

Как думать. Сначала находим $a$ и $b$. Если известна часть (проценты) — делим; если известно целое — умножаем.

Решение.

1. $a=500\cdot0{,}2=100$; $b=840\cdot0{,}5=420$. $9a-2b=900-840=60$. $11%$ от $60$: $60\cdot0{,}11=6{,}6$.
2. $a=200:0{,}4=500$; $b=150:0{,}15=1000$. $a+0{,}49b=500+490=990$. $150%$ от $990$: $990\cdot1{,}5=1485$.

Ответ: 1) $6{,}6$; 2) $1485$.

Уравнения и их системы

№ 18

Реши уравнение: 1) $3(2x-4)+15=16-5(2-x)$; 2) $4{,}5(6-z)-0{,}5z=1+0{,}5(z+3)$; 3) $\frac{23}{40}(8t+5)-t=2{,}6t-\left(3t-\frac{3}{4}\right)$; 4) $10\frac{2}{3}(9-k)+81=107-\frac{1}{3}(k-60)$.

Как думать. Раскрываем скобки, неизвестные слагаемые собираем слева, числа справа, делим на коэффициент.

Решение.

1. $6x-12+15=16-10+5x$; $6x+3=6+5x$; $x=3$.
2. $27-4{,}5z-0{,}5z=1+0{,}5z+1{,}5$; $27-5z=2{,}5+0{,}5z$; $24{,}5=5{,}5z$; $z=\frac{49}{11}=4\frac{5}{11}$.
3. Слева $\frac{23}{40}\cdot8t=4{,}6t$ и $\frac{23}{40}\cdot5=\frac{23}{8}$: $4{,}6t+\frac{23}{8}-t=3{,}6t+\frac{23}{8}$. Справа $2{,}6t-3t+\frac{3}{4}=-0{,}4t+\frac{3}{4}$. Тогда $4t=\frac{3}{4}-\frac{23}{8}=-\frac{17}{8}$, $t=-\frac{17}{32}$.
4. $10\frac{2}{3}\cdot9=96$: $96-\frac{32}{3}k+81=107-\frac{1}{3}k+20$. Слева $177-\frac{32}{3}k$, справа $127-\frac{1}{3}k$. Тогда $50=\frac{31}{3}k$, $k=\frac{150}{31}=4\frac{26}{31}$.

Ответ: 1) $3$; 2) $4\frac{5}{11}$; 3) $-\frac{17}{32}$; 4) $4\frac{26}{31}$.

№ 19

Найди неизвестное $y$ из пропорции: 1) $\frac{40-y}{30}=\frac{5}{6}$; 2) $\frac{4}{7}=\frac{21-y}{28}$; 3) $\frac{220}{y-49}=\frac{11}{13}$; 4) $\frac{21}{53}=\frac{210}{y+300}$; 5) $\frac{39}{30}=\frac{78}{3y-2}$; 6) $\frac{56}{4y+2}=\frac{14}{27}$.

Как думать. Основное свойство пропорции: произведение крайних равно произведению средних (перемножаем «крест-накрест»).

Решение.

1. $40-y=30\cdot\frac{5}{6}=25$, $y=15$.
2. $21-y=28\cdot\frac{4}{7}=16$, $y=5$.
3. $y-49=220\cdot\frac{13}{11}=260$, $y=309$.
4. $y+300=210\cdot\frac{53}{21}=530$, $y=230$.
5. $3y-2=78\cdot\frac{30}{39}=60$, $3y=62$, $y=\frac{62}{3}=20\frac{2}{3}$.
6. $4y+2=56\cdot\frac{27}{14}=108$, $4y=106$, $y=26{,}5$.

Ответ: 1) $15$; 2) $5$; 3) $309$; 4) $230$; 5) $20\frac{2}{3}$; 6) $26{,}5$.

№ 20

Решив уравнение, узнай данные: 1) $2\cdot430\cdot50-0{,}1x=200^{2}$, где $x$ — до какой температуры (°C) разогревается воздух вокруг молнии; 2) $3(109y-200)=9(3y+100)$, где $y$ — во сколько раз эта температура больше температуры поверхности Солнца.

Как думать. В первом уравнении сначала считаем числа: $43,000-0{,}1x=40,000$.

Решение.

1. $2\cdot430\cdot50=43,000$; $200^2=40,000$. Тогда $0{,}1x=3000$, $x=30,000$.
2. $327y-600=27y+900$; $300y=1500$; $y=5$.

Ответ: 1) $30,000$ °C; 2) в $5$ раз.

№ 21

Оператор набирал рукопись четыре дня: в первый день 25%, во второй 32%, в третий 20%, а в четвёртый оставшиеся 23 страницы. Сколько страниц в рукописи?

Как думать. За три дня набрано $25+32+20=77%$, значит, на четвёртый день осталось $23%$. Эти $23%$ — как раз 23 страницы.

Решение. $100%-77%=23%$. Если $23%$ рукописи — 23 страницы, то $1%$ — это 1 страница, а вся рукопись — 100 страниц.

Ответ: $100$ страниц.

№ 22

Реши уравнения и узнай о Маркакольском заповеднике: 1) $x+0{,}24=20+0{,}99x$ — $x$ год создания; 2) $3y-2(169{,}9+y)=150-(y+339{,}8)$ — $y$ тысяч гектаров площадь; 3) $50z+(z+6{,}2)=200$ — $z$ тысяч гектаров занимает лес.

Как думать. Раскрываем скобки (внимание на знак перед скобкой!) и переносим слагаемые.

Решение.

1. $x-0{,}99x=20-0{,}24$; $0{,}01x=19{,}76$; $x=1976$.
2. $3y-339{,}8-2y=150-y-339{,}8$; $y-339{,}8=150-y-339{,}8$; $2y=150$; $y=75$.
3. $51z+6{,}2=200$; $51z=193{,}8$; $z=3{,}8$.

Ответ: 1) $1976$ год; 2) $75$ тыс. га; 3) $3{,}8$ тыс. га.

№ 23

Узнай температуру воздуха на высотах: 1) $3x+(x+2)=2(3x+12)$ — на высоте 4000 м; 2) $-3(2{,}5-y)=28{,}5+4{,}5y$ — на 6000 м; 3) $25{,}8z-4{,}3(6z+300)=25{,}8z$ — на 10 000 м.

Как думать. Те же шаги. В третьем уравнении $25{,}8z$ есть с обеих сторон и сразу сокращается.

Решение.

1. $4x+2=6x+24$; $-22=2x$; $x=-11$.
2. $-7{,}5+3y=28{,}5+4{,}5y$; $-36=1{,}5y$; $y=-24$.
3. $-4{,}3(6z+300)=0$, значит $6z+300=0$, $z=-50$.

Ответ: 1) $-11$ °C; 2) $-24$ °C; 3) $-50$ °C.

№ 24

Найди наибольшую продолжительность жизни: 1) $12{,}5-(16x-28{,}3)=-71{,}2$ — муравей, $x$ лет; 2) $31{,}8-\left(\frac{1}{7}+\frac{4}{7}y\right)=1\frac{2}{3}y+4{,}8$ — ящерица, $y$ лет; 3) $\frac{13}{15}z-\left(\frac{7}{9}+\frac{1}{3}z\right)=7\frac{2}{9}$ — белка, $z$ лет.

Как думать. Минус перед скобкой меняет все знаки внутри.

Решение.

1. $12{,}5-16x+28{,}3=-71{,}2$; $40{,}8-16x=-71{,}2$; $16x=112$; $x=7$.
2. $31{,}8-\frac{1}{7}-\frac{4}{7}y=\frac{5}{3}y+4{,}8$; $27-\frac{1}{7}=\left(\frac{5}{3}+\frac{4}{7}\right)y$; $\frac{188}{7}=\frac{47}{21}y$; $y=\frac{188}{7}\cdot\frac{21}{47}=12$.
3. $\frac{13}{15}z-\frac{1}{3}z=\frac{8}{15}z$. Тогда $\frac{8}{15}z=7\frac{2}{9}+\frac{7}{9}=8$, $z=15$.

Ответ: 1) $7$ лет; 2) $12$ лет; 3) $15$ лет.

№ 25

Найди корни уравнения: 1) $|x|+5|x|-40=4|x|$; 2) $100-|x|=-49|x|+124$; 3) $6|x|-2|x|=35-16|x|$; 4) $29|x|-|x|-13=-22|x|$.

Как думать. Считаем $|x|$ как одну неизвестную: решаем как обычное уравнение, а потом вспоминаем, что у $|x|=a$ при $a>0$ два корня: $a$ и $-a$.

Решение.

1. $2|x|=40$; $|x|=20$; $x=\pm20$.
2. $48|x|=24$; $|x|=0{,}5$; $x=\pm0{,}5$.
3. $20|x|=35$; $|x|=1{,}75$; $x=\pm1{,}75$.
4. $50|x|=13$; $|x|=0{,}26$; $x=\pm0{,}26$.

Ответ: 1) $\pm20$; 2) $\pm0{,}5$; 3) $\pm1{,}75$; 4) $\pm0{,}26$.

№ 26

При каких значениях переменной верно равенство: 1) $|x+1|=x+1$; 2) $|2-x|=2-x$?

Как думать. Равенство $|t|=t$ верно, когда $t\ge0$ (модуль неотрицательного числа — оно само).

Решение.

1. Нужно $x+1\ge0$, то есть $x\ge-1$.
2. Нужно $2-x\ge0$, то есть $x\le2$.

Ответ: 1) при $x\ge-1$; 2) при $x\le2$.

№ 27

При каких значениях $a$ уравнение $|10-x|=a$: 1) имеет решения; 2) не имеет решений; 3) имеет решение, равное нулю; 4) имеет корнем число 10?

Как думать. Модуль не бывает отрицательным. Для 3) и 4) подставляем в уравнение $x=0$ и $x=10$.

Решение.

1. Решения есть, когда $a\ge0$ (при $a>0$ два корня $10\pm a$, при $a=0$ один корень $10$).
2. Решений нет при $a<0$.
3. Подставим $x=0$: $|10-0|=10$, значит, $a=10$. (Корни тогда $0$ и $20$.)
4. Подставим $x=10$: $|10-10|=0$, значит, $a=0$.

Ответ: 1) $a\ge0$; 2) $a<0$; 3) $a=10$; 4) $a=0$.

№ 28

Реши систему: 1) $\begin{cases}8x+15y=-56\4x-7y=30\end{cases}$; 2) $\begin{cases}6x-9y=88{,}5\5x+3y=47{,}5\end{cases}$; 3) $\begin{cases}11x+10y=73{,}5\6x-5y=-54\end{cases}$; 4) $\begin{cases}2x+13y=-69\14x+11y=-3\end{cases}$.

Как думать. Способ сложения: умножаем уравнения так, чтобы при одной из переменных коэффициенты стали противоположными, и складываем.

Решение.

1. Второе уравнение умножим на $-2$: $-8x+14y=-60$. Сложим с первым: $29y=-116$, $y=-4$. Тогда $4x=30+7y=2$, $x=0{,}5$.
2. Второе умножим на $3$: $15x+9y=142{,}5$. Сложим с первым: $21x=231$, $x=11$. Тогда $3y=47{,}5-55=-7{,}5$, $y=-2{,}5$.
3. Второе умножим на $2$: $12x-10y=-108$. Сложим с первым: $23x=-34{,}5$, $x=-1{,}5$. Тогда $10y=73{,}5+16{,}5=90$, $y=9$.
4. Первое умножим на $-7$: $-14x-91y=483$. Сложим со вторым: $-80y=480$, $y=-6$. Тогда $2x=-69+78=9$, $x=4{,}5$.

Ответ: 1) $(0{,}5;,-4)$; 2) $(11;,-2{,}5)$; 3) $(-1{,}5;,9)$; 4) $(4{,}5;,-6)$.

№ 29

Реши систему: 1) $\begin{cases}3(x-2)-2(y+1)=-1\5(x+3)-8(y-2)=38\end{cases}$; 2) $\begin{cases}-6(4-x)+(y+5)=2\11(1+x)-9(7-y)=-36\end{cases}$; 3) $\begin{cases}\frac{4x-3}{2}+\frac{5y+1}{3}=12{,}5\1{,}5x-0{,}7y=-3{,}4\end{cases}$; 4) $\begin{cases}2{,}3x-1{,}9y=0{,}8\\frac{4-3y}{4}+\frac{-5x-2}{3}=-4{,}5\end{cases}$.

Как думать. Сначала упрощаем каждое уравнение (раскрываем скобки, убираем дроби), а затем решаем способом сложения или подстановки.

Решение.

1. $3x-6-2y-2=-1$ даёт $3x-2y=7$. $5x+15-8y+16=38$ даёт $5x-8y=7$. Первое умножим на $-4$: $-12x+8y=-28$, сложим со вторым: $-7x=-21$, $x=3$. Тогда $2y=9-7=2$, $y=1$.
2. $-24+6x+y+5=2$ даёт $6x+y=21$. $11+11x-63+9y=-36$ даёт $11x+9y=16$. Из первого $y=21-6x$; подставим: $11x+189-54x=16$, $-43x=-173$, $x=\frac{173}{43}=4\frac{1}{43}$, $y=21-\frac{1038}{43}=-\frac{135}{43}=-3\frac{6}{43}$.
3. Первое умножим на $6$: $3(4x-3)+2(5y+1)=75$, то есть $12x+10y=82$, или $6x+5y=41$. Второе умножим на $10$: $15x-7y=-34$. Из $6x+5y=41$ и $15x-7y=-34$: первое на $7$, второе на $5$: $42x+35y=287$ и $75x-35y=-170$; сложим: $117x=117$, $x=1$. Тогда $5y=35$, $y=7$.
4. Второе умножим на $12$: $3(4-3y)+4(-5x-2)=-54$, то есть $12-9y-20x-8=-54$, откуда $-20x-9y=-58$, или $20x+9y=58$. Первое умножим на $10$: $23x-19y=8$. Из $20x+9y=58$ и $23x-19y=8$: на $19$ и на $9$: $380x+171y=1102$ и $207x-171y=72$; сложим: $587x=1174$, $x=2$. Тогда $9y=58-40=18$, $y=2$.

Ответ: 1) $(3;,1)$; 2) $\left(4\frac{1}{43};,-3\frac{6}{43}\right)$; 3) $(1;,7)$; 4) $(2;,2)$.

№ 30

Реши систему и узнай о бегемоте: $\begin{cases}x+y=300\\frac{1}{2}x-0{,}5y=30\end{cases}$; $x$ — угол (градусов), на который может раскрыться пасть, $y$ — расстояние между челюстями (см).

Как думать. Второе уравнение умножим на 2, чтобы убрать дроби: $x-y=60$. Тогда складываем два уравнения.

Решение. $x+y=300$ и $x-y=60$. Сложим: $2x=360$, $x=180$. Тогда $y=300-180=120$.

Ответ: $x=180$ (угол $180^\circ$), $y=120$ см.

№ 31

Реши систему и узнай о Наурызымском заповеднике: 1) $\begin{cases}x+y=3897\x-y=35\end{cases}$ ($x$ — год реорганизации, $y$ — год организации); 2) $\begin{cases}x+10y=1197\20y-x=1434\end{cases}$ ($x$ — первоначальная площадь, $y$ — площадь после реорганизации, тыс. га); 3) $\begin{cases}0{,}1x+0{,}01y=32\2x+y=1200\end{cases}$ ($x$ — видов птиц, $y$ — видов растений); 4) $\begin{cases}1{,}5x+2{,}5y=75\\frac{1}{20}x+\frac{1}{6}y=3\end{cases}$ ($x$ — видов млекопитающих, $y$ — видов рыб).

Как думать. Каждая система — на сложение. В 3) и 4) сначала уберём дроби и десятичные запятые.

Решение.

1. Сложим: $2x=3932$, $x=1966$. Тогда $y=3897-1966=1931$.
2. Сложим уравнения: $30y=2631$, $y=87{,}7$. Тогда $x=1197-877=320$.
3. Первое умножим на $100$: $10x+y=3200$. Вычтем из него второе: $8x=2000$, $x=250$. Тогда $y=1200-500=700$.
4. Первое умножим на $2$: $3x+5y=150$. Второе умножим на $60$: $3x+10y=180$. Вычтем: $5y=30$, $y=6$. Тогда $3x=150-30=120$, $x=40$.

Ответ: 1) $(1966;,1931)$; 2) $(320;,87{,}7)$; 3) $(250;,700)$; 4) $(40;,6)$.

№ 32

1) Если к целому числу прибавить 40% этого числа, получится больше 47, а если вычесть 65% этого числа, получится меньше 12. Найди число. 2) Если от целого числа вычесть 11% его, получится больше 88, а если прибавить 121% его, получится меньше 221. Найди число.

Как думать. Каждое условие — неравенство для числа $n$. Решаем оба и ищем целое число, которое подходит сразу к обоим.

Решение.

1. $n+0{,}4n=1{,}4n>47$, значит, $n>33{,}57\ldots$. И $n-0{,}65n=0{,}35n<12$, значит, $n<34{,}28\ldots$. Целое число между $33{,}57$ и $34{,}28$ одно: $34$.
2. $n-0{,}11n=0{,}89n>88$, значит, $n>98{,}88\ldots$. И $n+1{,}21n=2{,}21n<221$, значит, $n<100$. Целое число между $98{,}88$ и $100$ одно: $99$.

Ответ: 1) $34$; 2) $99$.

Неравенства и их системы

№ 33

Найди наибольшее (наименьшее) целое число, принадлежащее пересечению промежутков: 1) $[3{,}5;,7{,}1]$ и $(1;,4{,}9)$; 2) $\left(-\infty;,\frac{3}{7}\right]$ и $\left[-\frac{8}{9};,+\infty\right)$; 3) $(-\infty;+\infty)$ и $\left[-7\frac{1}{3};,8\frac{1}{3}\right]$; 4) $(-5{,}1;,9{,}1)$ и $(-\infty;+\infty)$.

Как думать. Пересечение — общая часть двух промежутков. Нарисуем её на числовой прямой и посмотрим, какие целые числа в неё попали.

Решение.

1. Общая часть: $[3{,}5;,4{,}9)$. Целое число одно — $4$.
2. Общая часть: $\left[-\frac{8}{9};,\frac{3}{7}\right]$, то есть примерно от $-0{,}89$ до $0{,}43$. Целое число одно — $0$.
3. Общая часть: $\left[-7\frac{1}{3};,8\frac{1}{3}\right]$. Наименьшее целое $-7$, наибольшее $8$.
4. Общая часть: $(-5{,}1;,9{,}1)$. Наименьшее целое $-5$, наибольшее $9$.

Ответ: 1) $4$ (оно и наибольшее, и наименьшее); 2) $0$; 3) наибольшее $8$, наименьшее $-7$; 4) наибольшее $9$, наименьшее $-5$.

№ 34

Найди наименьшее натуральное число, которое является решением неравенства: 1) $10+7x>24$; 2) $19-6x<-5$; 3) $-43x+2\le45$; 4) $60+17x>-19$.

Как думать. Решаем неравенство, затем берём первое натуральное число из решения. Если делим на отрицательное число, знак неравенства меняется!

Решение.

1. $7x>14$, $x>2$. Наименьшее натуральное $3$.
2. $-6x<-24$, $x>4$. Наименьшее натуральное $5$.
3. $-43x\le43$, $x\ge-1$. Натуральные числа начинаются с $1$: наименьшее $1$.
4. $17x>-79$, $x>-4\frac{11}{17}$. Наименьшее натуральное $1$.

Ответ: 1) $3$; 2) $5$; 3) $1$; 4) $1$.

№ 35

Реши неравенство: 1) $3{,}3x-0{,}4(4-3x)\le9{,}3+5(0{,}7-x)$; 2) $9(0{,}5y+1)-3{,}1(1-y)>5{,}9+7{,}2y$; 3) $0{,}6(a-2)-0{,}2\ge0{,}8(a+2)+3{,}5$; 4) $-1{,}4+0{,}5(11b-2)<-5{,}5b+1{,}6$.

Как думать. Как уравнение: раскрыли скобки, собрали слагаемые. Только при делении на отрицательное число знак переворачиваем.

Решение.

1. $4{,}5x-1{,}6\le12{,}8-5x$; $9{,}5x\le14{,}4$; $x\le\frac{144}{95}=1\frac{49}{95}$.
2. $7{,}6y+5{,}9>5{,}9+7{,}2y$; $0{,}4y>0$; $y>0$.
3. $0{,}6a-1{,}4\ge0{,}8a+5{,}1$; $-0{,}2a\ge6{,}5$; $a\le-32{,}5$.
4. $5{,}5b-2{,}4<-5{,}5b+1{,}6$; $11b<4$; $b<\frac{4}{11}$.

Ответ: 1) $x\le1\frac{49}{95}$; 2) $y>0$; 3) $a\le-32{,}5$; 4) $b<\frac{4}{11}$.

№ 36

Реши неравенство: 1) $5\frac{2}{3}+\frac{7}{3}(14x-3)>\frac{4}{9}(18x-2)$; 2) $\frac{5}{6}(7+9y)\le7\frac{1}{2}-\frac{7}{8}(5y-8)$; 3) $30-\frac{4}{5}(2-15z)\ge\frac{2}{3}(15z+1)$; 4) $\frac{3}{4}(8t+1)<\frac{5}{6}(16t-3)-12\frac{1}{2}$.

Как думать. Раскрываем скобки с дробями, потом собираем $x$ в одну сторону.

Решение.

1. Слева $\frac{98}{3}x-\frac{4}{3}$, справа $8x-\frac{8}{9}$. Тогда $\frac{74}{3}x>\frac{4}{9}$, $x>\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{74}=\frac{2}{111}$.
2. Слева $\frac{35}{6}+\frac{15}{2}y$, справа $14\frac{1}{2}-\frac{35}{8}y$. Тогда $\frac{95}{8}y\le\frac{26}{3}$, $y\le\frac{208}{285}$.
3. Слева $28\frac{2}{5}+12z$, справа $10z+\frac{2}{3}$. Тогда $2z\ge\frac{2}{3}-28\frac{2}{5}=-\frac{416}{15}$, $z\ge-\frac{208}{15}=-13\frac{13}{15}$.
4. Слева $6t+\frac{3}{4}$, справа $\frac{40}{3}t-15$. Тогда $-\frac{22}{3}t<-15\frac{3}{4}$, и после деления на отрицательное число: $t>\frac{63}{4}\cdot\frac{3}{22}=\frac{189}{88}=2\frac{13}{88}$.

Ответ: 1) $x>\frac{2}{111}$; 2) $y\le\frac{208}{285}$; 3) $z\ge-13\frac{13}{15}$; 4) $t>2\frac{13}{88}$.

№ 37

Найди наибольшее целое число, являющееся решением неравенства: 1) $\frac{3x-4}{2}<\frac{6-2x}{3}$; 2) $\frac{10-x}{6}\ge\frac{x+7}{5}$; 3) $\frac{3+2x}{12}\ge\frac{3x-2}{15}$.

Как думать. Избавляемся от знаменателей: умножаем обе части на общее кратное (оно положительное, знак не меняется).

Решение.

1. Умножим на $6$: $3(3x-4)<2(6-2x)$; $9x-12<12-4x$; $13x<24$; $x<1\frac{11}{13}$. Наибольшее целое $1$.
2. Умножим на $30$: $5(10-x)\ge6(x+7)$; $50-5x\ge6x+42$; $8\ge11x$; $x\le\frac{8}{11}$. Наибольшее целое $0$.
3. Умножим на $60$: $5(3+2x)\ge4(3x-2)$; $15+10x\ge12x-8$; $23\ge2x$; $x\le11{,}5$. Наибольшее целое $11$.

Ответ: 1) $1$; 2) $0$; 3) $11$.

№ 38

Реши систему неравенств: 1) $\begin{cases}3x+5(x-2)\le3-2x\4(5x-1)-21x\ge1-3x\end{cases}$; 2) $\begin{cases}7-11x<9x-2(5x+7)\6-x\ge2(1-4x)-3(1-3x)\end{cases}$; 3) $\begin{cases}5(6x-5)<3(4x+3)+2\2(6x-1)-12+9x>5(8x+1)\end{cases}$; 4) $\begin{cases}3(2x+13)-2(x+2)>10x-4\3(4x+9)-2(x-1)<16x+2\end{cases}$.

Как думать. Решаем каждое неравенство отдельно, потом ищем общую часть (пересечение) на числовой прямой.

Решение.

1. Первое: $8x-10\le3-2x$, $10x\le13$, $x\le1{,}3$. Второе: $-x-4\ge1-3x$, $2x\ge5$, $x\ge2{,}5$. Общих значений нет.
2. Первое: $7-11x<-x-14$, $21<10x$, $x>2{,}1$. Второе: $6-x\ge x-1$, $7\ge2x$, $x\le3{,}5$. Решение: $(2{,}1;,3{,}5]$.
3. Первое: $30x-25<12x+11$, $18x<36$, $x<2$. Второе: $21x-14>40x+5$, $-19x>19$, $x<-1$. Общая часть: $x<-1$.
4. Первое: $4x+35>10x-4$, $39>6x$, $x<6{,}5$. Второе: $10x+29<16x+2$, $27<6x$, $x>4{,}5$. Решение: $(4{,}5;,6{,}5)$.

Ответ: 1) решений нет; 2) $(2{,}1;,3{,}5]$; 3) $(-\infty;,-1)$; 4) $(4{,}5;,6{,}5)$.

№ 39

Найди все натуральные числа, являющиеся решениями системы: 1) $\begin{cases}\frac{7{,}4x+23}{21}\le1+0{,}4x\3x-5\le\frac{20x-31}{7}\end{cases}$; 2) $\begin{cases}1-2x\le\frac{28-53x}{27}\0{,}1x+3<\frac{13-0{,}7x}{3}\end{cases}$.

Как думать. Умножаем на знаменатели, находим промежуток для $x$, потом выписываем натуральные числа из него.

Решение.

1. Первое: $7{,}4x+23\le21+8{,}4x$, $2\le x$. Второе: $21x-35\le20x-31$, $x\le4$. Значит, $2\le x\le4$.
2. Первое: $27-54x\le28-53x$, $-1\le x$. Второе: $0{,}3x+9<13-0{,}7x$, $x<4$. Значит, $-1\le x<4$.

Ответ: 1) $2;,3;,4$; 2) $1;,2;,3$.

№ 40

Реши систему неравенств и узнай скорость ветра: 1) $\begin{cases}\frac{1}{5}y\ge4\\frac{1}{7}y\le4\end{cases}$ — умеренный ветер; 2) $\begin{cases}10y-390\ge0\-0{,}1y\ge-4{,}9\end{cases}$ — сильный ветер; 3) $\begin{cases}15(5-z)\le-14z\29(z-3)\le28z\end{cases}$ — шторм; 4) $\begin{cases}50-0{,}5z\le-9\9-\frac{1}{3}z\le-1\end{cases}$ — ураган.

Как думать. Скорость ветра попадает в промежуток; ищем границы.

Решение.

1. $y\ge20$ и $y\le28$.
2. $10y\ge390$, $y\ge39$; $-0{,}1y\ge-4{,}9$, значит $y\le49$.
3. $75-15z\le-14z$, $75\le z$; $29z-87\le28z$, $z\le87$.
4. $-0{,}5z\le-59$, $z\ge118$; $-\frac{1}{3}z\le-10$, $z\ge30$. Общая часть: $z\ge118$.

Ответ: 1) от $20$ до $28$ км/ч; 2) от $39$ до $49$ км/ч; 3) от $75$ до $87$ км/ч; 4) не менее $118$ км/ч.

№ 41

Реши неравенство: 1) $|1+2x|<9$; 2) $|3+2x|\le5$; 3) $|1-2x|\ge7$; 4) $|2-5x|>22$.

Как думать. $|t|<a$ значит $-a<t<a$ («между»). $|t|>a$ значит $t<-a$ или $t>a$ («снаружи»).

Решение.

1. $-9<1+2x<9$; $-10<2x<8$; $-5<x<4$.
2. $-5\le3+2x\le5$; $-8\le2x\le2$; $-4\le x\le1$.
3. $1-2x\ge7$ или $1-2x\le-7$. Первое: $x\le-3$. Второе: $x\ge4$.
4. $2-5x>22$ или $2-5x<-22$. Первое: $x<-4$. Второе: $x>4{,}8$.

Ответ: 1) $(-5;,4)$; 2) $[-4;,1]$; 3) $(-\infty;,-3]\cup[4;,+\infty)$; 4) $(-\infty;,-4)\cup(4{,}8;,+\infty)$.

№ 42

Реши систему неравенств и найди сумму всех целых чисел, являющихся решением: 1) $\begin{cases}|x|<4\|x|\ge1\x>-3\end{cases}$; 2) $\begin{cases}|x|\le10\x>-7\x\le2\end{cases}$; 3) $\begin{cases}|x|>3\x\le4\|x|\le5\end{cases}$.

Как думать. Переводим модули в двойные неравенства и пересекаем все условия. Затем перечисляем целые числа.

Решение.

1. $-4<x<4$; $x\le-1$ или $x\ge1$; $x>-3$. Остаётся $-3<x\le-1$ и $1\le x<4$. Целые: $-2,,-1,,1,,2,,3$. Сумма $-2-1+1+2+3=3$.
2. $-10\le x\le10$; $-7<x\le2$. Целые: $-6,,-5,,-4,,-3,,-2,,-1,,0,,1,,2$. Пары $-2$ и $2$, $-1$ и $1$ взаимно уничтожаются; остаётся $-6-5-4-3=-18$.
3. $x<-3$ или $x>3$; $x\le4$; $-5\le x\le5$. Остаётся $-5\le x<-3$ и $3<x\le4$. Целые: $-5,,-4,,4$. Сумма $-5$.

Ответ: 1) $3$; 2) $-18$; 3) $-5$.

Координатная плоскость

№ 43

1) Назови целые числа между: а) $-4$ и $3$; б) $-3{,}5$ и $0$; в) $-7{,}3$ и $-2$; г) $-0{,}99$ и $2{,}1$. 2) Между какими соседними целыми числами лежит: а) $4{,}7$; б) $-3{,}2$; в) $0{,}6$; г) $-9{,}99$?

Как думать. Представь числовую прямую. «Между» — сами концы не считаем (в а) и б) они целые, но в список не входят).

Решение.

1. а) $-3,,-2,,-1,,0,,1,,2$; б) $-3,,-2,,-1$; в) $-7,,-6,,-5,,-4,,-3$; г) $0,,1,,2$.
2. а) $4{,}7$ между $4$ и $5$; б) $-3{,}2$ между $-4$ и $-3$ (минус влево от $-3$); в) $0{,}6$ между $0$ и $1$; г) $-9{,}99$ между $-10$ и $-9$.

Ответ: см. решение: 1) а) $-3\ldots2$; б) $-3,-2,-1$; в) $-7\ldots-3$; г) $0,1,2$. 2) а) $4$ и $5$; б) $-4$ и $-3$; в) $0$ и $1$; г) $-10$ и $-9$.

№ 44

Не строя чертежа, запиши координаты точек $M$, $H$, $K$, симметричных точкам $A(5;,6)$, $B(-3;,0)$, $C(0;,8)$ соответственно относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат.

Как думать. Симметрия относительно оси $Ox$ меняет знак у $y$. Относительно оси $Oy$ — меняет знак у $x$. Относительно начала координат — у обеих координат.

Решение.

1. Знак у $y$: $M(5;,-6)$, $H(-3;,0)$, $K(0;,-8)$. (Ноль не меняется: точка $B$ лежит на оси $Ox$, поэтому остаётся на месте.)
2. Знак у $x$: $M(-5;,6)$, $H(3;,0)$, $K(0;,8)$. (Точка $C$ на оси $Oy$ остаётся на месте.)
3. Знаки у обеих: $M(-5;,-6)$, $H(3;,0)$, $K(0;,-8)$.

Ответ: 1) $M(5;-6)$, $H(-3;0)$, $K(0;-8)$; 2) $M(-5;6)$, $H(3;0)$, $K(0;8)$; 3) $M(-5;-6)$, $H(3;0)$, $K(0;-8)$.

№ 45

Построй точки $A(0;,1{,}5)$ и $B(2;,6)$. 1) Проведи отрезки $AB$ и $BO$ и измерь их длины с точностью до 1 мм. 2) Найди координаты точки $F$, симметричной $B$ относительно оси ординат, и точек $E$, $D$, $C$, симметричных $F$, $A$, $B$ относительно оси абсцисс. 3) Проведи ломаную $ABOCDEFA$ и найди её длину с точностью до 1 мм.

Как думать. Единичный отрезок берём равным 1 см (две клетки тетради). Длину наклонного отрезка можно и вычислить: сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора, но в 7 классе проще измерить линейкой.

Решение.

1. $AB$ примерно $4{,}9$ см, $BO$ примерно $6{,}3$ см.
2. $F(-2;,6)$. Симметрия относительно оси абсцисс меняет знак у $y$: $E(-2;,-6)$, $D(0;,-1{,}5)$, $C(2;,-6)$.
3. Ломаная идёт $A(0;1{,}5)\to B(2;6)\to O\to C(2;-6)\to D(0;-1{,}5)\to E(-2;-6)\to F(-2;6)\to A$. Звенья: $AB\approx4{,}9$, $BO\approx6{,}3$, $OC\approx6{,}3$, $CD\approx4{,}9$, $DE\approx4{,}9$, $EF=12$, $FA\approx4{,}9$. Сумма $\approx44{,}3$ см.

Ответ: 1) $AB\approx4{,}9$ см, $BO\approx6{,}3$ см; 2) $F(-2;6)$, $E(-2;-6)$, $D(0;-1{,}5)$, $C(2;-6)$; 3) около $44{,}3$ см.

№ 46

По рисунку 1 запиши координаты точек $A$, $B$, $C$, $E$, $D$, $M$, $H$, $K$, $F$, $T$, $P$. 1) Запиши координаты точек $A_1$, $B_1$, $C_1$, $E_1$, $D_1$, $M_1$, $H_1$, $K_1$, $F_1$, $T_1$, $P_1$, симметричных им относительно оси ординат. 2) Построй их и проведи отрезки $AC_1$, $BC_1$, $C_1E_1$, $D_1M_1$, $D_1H_1$, $P_1K_1$, $P_1F_1$, $D_1T_1$.

Как думать. По рисунку считаем клетки от начала координат: вправо — это $x$, вверх — $y$. При симметрии относительно оси $Oy$ знак у $x$ меняется, а $y$ остаётся.

Решение.

1. Читаем по рисунку: $A(0;4)$, $B(0;3)$, $C(1;3)$, $E(1;0)$, $D(3;5)$, $M(2;3)$, $H(4;3)$, $K(2;1)$, $F(4;1)$, $T(3;0)$, $P(3;3)$.
2. Меняем знак у $x$: $A_1(0;4)$, $B_1(0;3)$, $C_1(-1;3)$, $E_1(-1;0)$, $D_1(-3;5)$, $M_1(-2;3)$, $H_1(-4;3)$, $K_1(-2;1)$, $F_1(-4;1)$, $T_1(-3;0)$, $P_1(-3;3)$. Точки $A$ и $B$ лежат на оси, поэтому остаются на месте.
3. Соединяем указанные пары точек: получается зеркальное отражение рисунка 1, как на графике выше.

Ответ: $A(0;4)$, $B(0;3)$, $C(1;3)$, $E(1;0)$, $D(3;5)$, $M(2;3)$, $H(4;3)$, $K(2;1)$, $F(4;1)$, $T(3;0)$, $P(3;3)$; симметричные: $A_1(0;4)$, $B_1(0;3)$, $C_1(-1;3)$, $E_1(-1;0)$, $D_1(-3;5)$, $M_1(-2;3)$, $H_1(-4;3)$, $K_1(-2;1)$, $F_1(-4;1)$, $T_1(-3;0)$, $P_1(-3;3)$.

№ 47

Построй точку $A(3;,4)$ и точку $B$ с той же абсциссой, ордината которой составляет 50% ординаты точки $A$. Точка $C$ имеет ту же ординату, что $B$, а абсциссу в 2 раза больше абсциссы $B$. Точка $T$: ордината $0$, абсцисса как у $C$. Построй точки $D$, $M$, $K$, $F$, симметричные относительно оси ординат точкам $A$, $B$, $C$, $T$. Найди периметр и площадь фигуры $ABCTFKMDA$, если единичный отрезок равен 5 мм.

📕 В условии напечатано «ордината составляет 50% от ординаты точки $B$», но правильно «от ординаты точки $A$»: иначе точка $B$ определялась бы через саму себя.

Как думать. Находим точки по очереди и соединяем в порядке букв. Потом считаем в «клетках» и переводим в миллиметры: одна клетка — 5 мм.

Решение.

1. $B$: абсцисса $3$, ордината $4\cdot0{,}5=2$, значит, $B(3;2)$.
2. $C$: ордината $2$, абсцисса $3\cdot2=6$, значит, $C(6;2)$. $T(6;0)$.
3. Симметричные точки (знак у $x$ меняется): $D(-3;4)$, $M(-3;2)$, $K(-6;2)$, $F(-6;0)$.
4. Стороны (в клетках): $AB=2$, $BC=3$, $CT=2$, $TF=12$, $FK=2$, $KM=3$, $MD=2$, $DA=6$. Сумма $32$ клетки, то есть $32\cdot5=160$ мм $=16$ см.
5. Площадь: нижняя часть $12\cdot2=24$ клетки, верхняя $6\cdot2=12$ клеток, всего $36$ клеток. Одна клетка — квадрат $5\times5$ мм, то есть $0{,}25$ см². Значит, $36\cdot0{,}25=9$ см².

Ответ: $P=16$ см, $S=9$ см².

Формулы

№ 48

К концу рабочего дня в магазине остались $a$ кг яблок и ещё завезли 5 коробок по $b$ кг. Сколько килограммов яблок стало? Составь формулу и найди ответ при $a=5{,}75$, $b=4{,}25$.

Как думать. Привезли 5 коробок по $b$ кг — это $5b$ кг. К остатку $a$ добавляем привезённое.

Решение. Формула: $S=a+5b$. При $a=5{,}75$, $b=4{,}25$: $S=5{,}75+5\cdot4{,}25=5{,}75+21{,}25=27$.

Ответ: $S=a+5b$; $27$ кг.

№ 49

Узнай год рождения по формуле $y=x+37^{2}$, если: 1) $x=25^{2}-101$ — Магжан Жумабаев; 2) $x=24^{2}-10^{2}$ — Абай Кунанбаев; 3) $x=22^{2}-2\cdot3^{2}$ — Шокан Уалиханов; 4) $x=21^{2}+2^{2}\cdot3^{2}$ — Жамбыл Жабаев.

Как думать. Сначала считаем степени, потом $x$, потом $y=x+37^2$. И запомни: $37^2=1369$.

Решение.

1. $25^2=625$, $x=524$; $y=524+1369=1893$.
2. $24^2=576$, $10^2=100$, $x=476$; $y=476+1369=1845$.
3. $22^2=484$, $2\cdot9=18$, $x=466$; $y=466+1369=1835$.
4. $21^2=441$, $4\cdot9=36$, $x=477$; $y=477+1369=1846$.

Ответ: 1) $1893$ г.; 2) $1845$ г.; 3) $1835$ г.; 4) $1846$ г.

№ 50

Заполни таблицу: собственная скорость катера, скорость течения, скорость по течению, скорость против течения (км/ч).

Как думать. Скорость по течению $=v+u$, против течения $=v-u$ ($v$ — собственная скорость катера, $u$ — скорость течения). Значит, $v=\frac{\text{по}+\text{против}}{2}$, $u=\frac{\text{по}-\text{против}}{2}$.

Решение.

Ответ: по столбцам (собственная, течение, по течению, против): 1) $30;3;33;27$; 2) $31;2;33;29$; 3) $35;4;39;31$; 4) $40;2;42;38$; 5) $42;3;45;39$; 6) $38;4;42;34$.

№ 51

Одна мастерская выполняет работу за 6 ч, другая — за 4 ч. За сколько часов они сделают её вместе? Составь обратные задачи и реши их.

Как думать. Вся работа — «единица». Производительность первой $\frac{1}{6}$ в час, второй $\frac{1}{4}$ в час. Вместе они складываются.

Решение. $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$ работы в час. Время $1:\frac{5}{12}=\frac{12}{5}=2{,}4$ ч.

Обратные задачи:

1. Первая мастерская делает работу за 6 ч, вместе с другой они справляются за $2{,}4$ ч. За сколько часов сделает работу вторая одна? $\frac{1}{2{,}4}-\frac{1}{6}=\frac{5}{12}-\frac{2}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$, то есть за $4$ ч.
2. Вторая мастерская делает работу за 4 ч, вместе они справляются за $2{,}4$ ч. За сколько часов сделает работу первая одна? $\frac{5}{12}-\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$, то есть за $6$ ч.

Ответ: $2{,}4$ ч; обратные задачи: $4$ ч и $6$ ч.

№ 52

Найди площадь квадрата с таким же периметром, как у шестиугольника, все стороны которого равны: 1) 36 см; 2) 2 см; 3) 0,2 см; 4) 0,5 см; 5) $\frac{1}{6}$ см; 6) $\frac{2}{3}$ см.

Как думать. Периметр шестиугольника $6a$. Сторона квадрата в четыре раза меньше: $\frac{6a}{4}=1{,}5a$. Площадь $(1{,}5a)^2=2{,}25a^2$.

Решение.

1. $P=216$, сторона квадрата $54$, площадь $2916$ см².
2. $P=12$, сторона $3$, площадь $9$ см².
3. $P=1{,}2$, сторона $0{,}3$, площадь $0{,}09$ см².
4. $P=3$, сторона $0{,}75$, площадь $0{,}5625$ см².
5. $P=1$, сторона $\frac{1}{4}$, площадь $\frac{1}{16}$ см².
6. $P=4$, сторона $1$, площадь $1$ см².

Ответ: 1) $2916$ см²; 2) $9$ см²; 3) $0{,}09$ см²; 4) $0{,}5625$ см²; 5) $\frac{1}{16}$ см²; 6) $1$ см².

№ 53

Найди сторону куба, объём которого равен объёму прямоугольного параллелепипеда с измерениями: 1) 4, 6 и 9 см; 2) 4, 10 и 25 см; 3) 5, 8 и 25 см; 4) 27, 8 и 125 см; 5) 6,4, 2,7 и 34,3 см; 6) 0,7, 4,9 и 0,8 см.

Как думать. Объём параллелепипеда $abc$, а объём куба $x^3$. Нужно найти число, куб которого равен произведению.

Решение.

1. $4\cdot6\cdot9=216=6^3$, $x=6$.
2. $4\cdot10\cdot25=1000=10^3$, $x=10$.
3. $5\cdot8\cdot25=1000$, $x=10$.
4. $27\cdot8\cdot125=3^3\cdot2^3\cdot5^3=(3\cdot2\cdot5)^3=30^3$, $x=30$.
5. $6{,}4\cdot2{,}7\cdot34{,}3=592{,}704=8{,}4^3$, $x=8{,}4$. (Разложим: $6{,}4=0{,}4\cdot16$, $2{,}7=0{,}3\cdot9$, $34{,}3=0{,}7\cdot49$; видно кубы $2^3\cdot3^3\cdot7^3\cdot0{,}2^3$.)
6. $0{,}7\cdot4{,}9\cdot0{,}8=2{,}744=1{,}4^3$, $x=1{,}4$.

Ответ: 1) $6$ см; 2) $10$ см; 3) $10$ см; 4) $30$ см; 5) $8{,}4$ см; 6) $1{,}4$ см.

№ 54

Вниз по течению вышла лодка с собственной скоростью 14 км/ч. Через 1 ч из того же пункта в том же направлении вышел катер с собственной скоростью 31 км/ч. Через сколько часов после выхода катер догонит лодку, если скорость течения 3 км/ч?

Как думать. Течение несёт обоих в одну сторону, поэтому к обеим скоростям прибавляем по 3 км/ч. Дальше обычная задача «догонялки».

Решение. Скорость лодки $14+3=17$ км/ч, катера $31+3=34$ км/ч. За 1 ч лодка уйдёт на $17$ км. Катер догоняет со скоростью $34-17=17$ км/ч. Время $17:17=1$ ч.

Ответ: через $1$ ч.

№ 55

Вниз по течению вышла лодка с собственной скоростью 15 км/ч. Через 1 ч из того же пункта в противоположном направлении вышел катер с собственной скоростью 33 км/ч. Через сколько часов после начала движения катера между ними будет 114 км, если скорость течения 3 км/ч?

Как думать. Лодка и катер плывут в разные стороны. Расстояние между ними — сумма пройденных путей (лодка шла на час дольше).

Решение. Скорость лодки $15+3=18$ км/ч, катера $33-3=30$ км/ч. Если катер плыл $t$ ч, то лодка $t+1$ ч: $18(t+1)+30t=114$, $48t=96$, $t=2$. Проверка: лодка $18\cdot3=54$ км, катер $30\cdot2=60$ км, $54+60=114$.

Ответ: через $2$ ч.

Статистика, диаграммы, множества

№ 56

В таблице 2 количество деталей, сделанных четырьмя рабочими за день: 21, 18, 20, 17. Найди: 1) среднее арифметическое; 2) размах; 3) медиану.

Как думать. Среднее — сумма, делённая на количество. Размах — наибольшее минус наименьшее. Медиана — число посередине упорядоченного ряда (при чётном количестве чисел берут среднее двух средних).

Решение.

1. $(21+18+20+17):4=76:4=19$.
2. Наибольшее $21$, наименьшее $17$: $21-17=4$.
3. Упорядочим: $17,,18,,20,,21$. Два средних числа $18$ и $20$: $(18+20):2=19$.

Ответ: 1) $19$; 2) $4$; 3) $19$.

№ 57

На круговой диаграмме (рис. 2) сорта товара: высший 20%, первый $x%$, второй 30%, третий 15%. Первого сорта 350 товаров. Укажи верные утверждения: 1) на диаграмме сведения о 900 товарах; 2) высшего и первого сортов на 300 больше, чем третьего; 3) третьего сорта в два раза меньше, чем второго; 4) высшего и второго сортов на 50 больше, чем первого и третьего.

Как думать. Весь круг — 100%. Сначала найдём $x$, потом число товаров в 1%.

Решение. $x=100-20-30-15=35$. Первый сорт — $35%$ — это $350$ товаров, значит, $1%$ — это $10$ товаров, а всего $1000$ товаров. Высший: $200$, первый: $350$, второй: $300$, третий: $150$.

1. Всего $1000$, а не $900$ — неверно.
2. $200+350=550$; $550-150=400$, не $300$ — неверно.
3. $150\cdot2=300$ — верно.
4. $200+300=500$, $350+150=500$; разница $0$, не $50$ — неверно.

Ответ: верно только утверждение 3).

№ 58

1) 18 учеников ходят в спортивную секцию, 10 — в шахматный кружок, 4 — и туда, и туда. Сколько учеников в классе? 2) В классе 28 учеников, 22 ходят в секцию, а 7 — и в секцию, и в кружок. Сколько ходят в шахматный кружок?

Как думать. Те, кто ходит в обе секции, посчитаны дважды. Нарисуй два пересекающихся круга (круги Эйлера): общая часть — «и туда, и туда».

Решение.

1. Только в секцию: $18-4=14$. Только в кружок: $10-4=6$. Всего $14+6+4=24$.
2. В кружок ходят те, кто не ходит в секцию, и те, кто ходит в оба. Не ходят в секцию: $28-22=6$. Значит, в кружок $6+7=13$ (если каждый ученик ходит хотя бы в одно из двух мест).

Ответ: 1) $24$ ученика; 2) $13$ учеников.

№ 59

Цены игр (тг): A 430, B 500, C 630, D 520, E 320, F 610, G 440, H 710, K 360, L 736. 1) Сколько типов игр стоят не более 500 тг? 2) Отец покупает дочери две разные игры не более чем на 1000 тг. Сколько вариантов? 3) При покупке сразу трёх игр скидка 15%. Какие три разные игры можно купить на сумму не более 1000 тг?

Как думать. Перебираем систематически, начиная с самых дешёвых игр, чтобы не пропустить пары.

Решение.

1. Не больше $500$: A $(430)$, B $(500)$, E $(320)$, G $(440)$, K $(360)$. Их $5$.
2. Перебираем пары с суммой $\le1000$: A+B, A+D, A+E, A+G, A+K; B+E, B+G, B+K; C+E, C+K; D+E, D+G, D+K; E+F, E+G, E+K; F+K; G+K. Всего $5+3+2+3+3+1+1=18$ вариантов.
3. Со скидкой $0{,}85$ нужно, чтобы сумма без скидки была $\le1000:0{,}85\approx1176$ тг. Подходят: A+E+K $=430+320+360=1110$, со скидкой $943{,}5$ тг; E+G+K $=320+440+360=1120$, со скидкой $952$ тг. Другие тройки, например B+E+K $=1180$, дают $1003$ тг — слишком много.

Ответ: 1) $5$ типов; 2) $18$ вариантов; 3) A, E, K (943,5 тг) или E, G, K (952 тг).

№ 60

1) Коллекция одежды (рис. 3): синий 10%, жёлтый 20%, зелёный 40%, красный — неизвестно. Сколько красных моделей, если всего их 80? 2) Прибыль предприятия по кварталам (рис. 4): 1-й квартал 18%, 2-й 24%, 4-й 27%, 3-й — неизвестно. Какая прибыль в 3-м квартале, если за год она 2 400 000 тг?

Как думать. Весь круг — 100%. Неизвестную долю находим вычитанием из ста.

Решение.

1. Красный: $100-10-20-40=30%$. $80\cdot0{,}3=24$ модели.
2. Третий квартал: $100-18-24-27=31%$. $2,400,000\cdot0{,}31=744,000$ тг.

Ответ: 1) $24$ модели; 2) $744,000$ тг.

Шпаргалка

• Дроби: переводи смешанные числа в неправильные и сокращай до умножения.
• Уравнение: раскрой скобки, собери $x$ слева, числа справа, раздели на коэффициент.
• Система: способ сложения (уравняй коэффициенты) или подстановки.
• Двойное неравенство и система: решай каждое отдельно, затем пересекай промежутки.
• Круговая диаграмма: целый круг — это 100%.

⚠️ Частая ошибка. В неравенстве $-6x<-24$ ответ $x>4$, а не $x<4$: при делении на $-6$ знак переворачивается.

Мини-тест