§ 1. Степень с натуральным показателем

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 1: Степень с целым показателем. Страницы 22–28.

Чему научишься

• Записывать произведение одинаковых множителей в виде степени и наоборот.
• Называть основание и показатель степени и правильно читать запись $a^{n}$.
• Вычислять степени положительных, отрицательных и дробных чисел.
• Определять знак степени, не считая её.
• Считать выражения со степенями в правильном порядке и находить последнюю цифру большой степени.

Разминка

Здесь нет упражнений для разогрева, зато есть вопросы, которые стоит обдумать до начала.

• Для чего вообще нужна степень? Чтобы коротко записывать длинные произведения одинаковых чисел: вместо $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$ пишем $2^{6}$.
• Как записать $\frac{8}{9}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{8}{9}$ короче? Три одинаковых множителя, значит $\left(\frac{8}{9}\right)^{3}$.
• А $(-1{,}1)$, повторённое 21 раз? Это $(-1{,}1)^{21}$.

Разбираемся

Три, два, один: из чего состоит степень

Запись $a^{n}$ говорит: «возьми число $a$ и умножь его само на себя $n$ раз».

$a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ раз}}$

• $a$ называется основанием (что повторяем),
• $n$ называется показателем (сколько раз повторяем),
• $a^{n}$ целиком называется степенью.

Читают так: «$a$ в степени $n$». Сначала основание, потом показатель. А $a^{2}$ и $a^{3}$ имеют свои имена: квадрат и куб числа.

📌 Любое число в первой степени равно самому себе: $a^{1}=a$.

Какой знак у степени

Знак можно угадать, ничего не считая. Минус в произведении появляется от каждого отрицательного множителя, а два минуса «съедают» друг друга.

⚠️ Частая ошибка. Не путай $(-3)^{2}$ и $-3^{2}$. В первом случае в квадрат возводят минус вместе с тройкой: $9$. Во втором возводят только тройку, а минус остаётся: $-9$. Скобки решают всё.

⚠️ Частая ошибка. $2^{3}$ — это не $2\cdot3$. Это $2\cdot2\cdot2=8$, а не $6$. Показатель говорит, сколько раз повторять, а не на что умножать.

Что может быть основанием

Любое число: натуральное, нуль, дробь, положительное и отрицательное, а также буква. Дробь и отрицательное число в основании всегда берём в скобки: $\left(\frac{6}{7}\right)^{4}=\frac{6\cdot6\cdot6\cdot6}{7\cdot7\cdot7\cdot7}=\frac{1296}{2401}$.

Порядок действий: степень идёт первой

Возведение в степень называют действием третьей ступени. Оно сильнее умножения и сложения. В выражении без скобок сначала считаем степени, потом умножение и деление, и только в конце сложение и вычитание.

Например, $6:\frac{1}{8}-\frac{5}{9}\cdot(-3)^{4}+0{,}1\cdot10^{2}=6\cdot8-\frac{5}{9}\cdot81+0{,}1\cdot100=48-45+10=13$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите ребёнка: «Чему равно $-4^{2}$?» Правильный ответ $-16$. Если он говорит $16$, значит, пока путает скобки. Попросите объяснить, что именно возводится в квадрат.

Степени в жизни

В виде степени удобно записывать большие числа. Например, $82,345=8\cdot10^{4}+2\cdot10^{3}+3\cdot10^{2}+4\cdot10+5$. Или так: в Казахстане около 20 миллионов человек, то есть примерно $2\cdot10^{7}$.

🌟 Энергию, которую Земля получает от Солнца за год, записывают как $10^{25}$ джоулей. Попробуй написать это число без степени: единица и 25 нулей!

Последняя цифра большой степени

Как узнать, на какую цифру оканчивается $8^{25}$, не считая всё число? Последние цифры степеней повторяются по кругу, и надо найти длину круга.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как называются степени $a^{2}$ и $a^{3}$? Квадрат числа $a$ и куб числа $a$.
• Объясни равенства $\left(\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{1}{64}$, $(-0{,}6)^{2}=0{,}36$, $(-3)^{3}=-27$. Три множителя по $\frac{1}{4}$ дают $\frac{1\cdot1\cdot1}{4\cdot4\cdot4}=\frac{1}{64}$. Два множителя $-0{,}6$: минусы гасятся, $0{,}6\cdot0{,}6=0{,}36$. Три множителя $-3$: $9\cdot(-3)=-27$.
• Когда $a^{n}$ положительно, а когда отрицательно? Положительно, если $a>0$ (при любом $n$) или если $a<0$ и $n$ чётное. Отрицательно, если $a<0$ и $n$ нечётное.
• Какими числами может быть основание? Любыми: натуральными, нулём, дробями, положительными и отрицательными, а также переменной.
• Может ли степень с натуральным показателем быть отрицательным числом? Нулём? Отрицательным может, если основание отрицательное, а показатель нечётный. Нулём может, только если основание нуль: $0^{30}=0$.
• В каком порядке считать $81\cdot4-243:3^{5}+240$? 1) $3^{5}=243$; 2) умножение и деление слева направо: $81\cdot4=324$, $243:243=1$; 3) сложение и вычитание: $324-1+240=563$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1.1

Запишите произведение в виде степени: 1) $9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9$; 2) $(-1{,}2)\cdot(-1{,}2)\cdot(-1{,}2)\cdot(-1{,}2)\cdot(-1{,}2)$; 3) $\frac{2}{7}$ шесть раз подряд; 4) $b$ девять раз; 5) $(t+k)$ четыре раза; 6) $\frac{x}{y}$ девять раз.

Как думать. Считаем одинаковые множители. Это и будет показатель, а сам множитель станет основанием.

Решение.

1. Восемь девяток: $9^{8}$.
2. Пять множителей $-1{,}2$: $(-1{,}2)^{5}$.
3. Шесть дробей $\frac{2}{7}$: $\left(\frac{2}{7}\right)^{6}$.
4. Девять букв $b$: $b^{9}$.
5. Сумма в скобках повторяется 4 раза: $(t+k)^{4}$.
6. Девять дробей: $\left(\frac{x}{y}\right)^{9}$.

Ответ: 1) $9^{8}$; 2) $(-1{,}2)^{5}$; 3) $\left(\frac{2}{7}\right)^{6}$; 4) $b^{9}$; 5) $(t+k)^{4}$; 6) $\left(\frac{x}{y}\right)^{9}$.

№ 1.2

Упростите, записав одинаковые множители степенями: 1) $10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot c\cdot c\cdot c$; 2) $0{,}6\cdot0{,}6\cdot d\cdot d\cdot d\cdot d\cdot d$; 3) $k\cdot k\cdot k\cdot k\cdot s\cdot s\cdot s\cdot s\cdot s$; 4) $\frac{t}{m}\cdot\frac{t}{m}\cdot\frac{t}{m}\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n$; 5) $(2-b)$ четыре раза и $y$ шесть раз.

Как думать. Группируем одинаковые множители отдельно: числа с числами, буквы с буквами.

Решение.

1. Четыре десятки и три буквы $c$: $10^{4}\cdot c^{3}$.
2. Два множителя $0{,}6$ и пять $d$: $0{,}6^{2}\cdot d^{5}$.
3. Четыре $k$ и пять $s$: $k^{4}s^{5}$.
4. Три дроби и четыре $n$: $\left(\frac{t}{m}\right)^{3}n^{4}$.
5. $(2-b)^{4}\cdot y^{6}$.

Ответ: 1) $10^{4}c^{3}$; 2) $0{,}6^{2}d^{5}$; 3) $k^{4}s^{5}$; 4) $\left(\frac{t}{m}\right)^{3}n^{4}$; 5) $(2-b)^{4}y^{6}$.

№ 1.3

Запишите степень в виде произведения одинаковых множителей: 1) $2{,}3^{5}$; 2) $(-0{,}1)^{6}$; 3) $(3c)^{4}$; 4) $(8s+1)^{3}$.

Как думать. Показатель говорит, сколько раз выписать основание.

Решение.

1. $2{,}3\cdot2{,}3\cdot2{,}3\cdot2{,}3\cdot2{,}3$.
2. $(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)$ — шесть раз.
3. $3c\cdot3c\cdot3c\cdot3c$.
4. $(8s+1)\cdot(8s+1)\cdot(8s+1)$.

Ответ: пять, шесть, четыре и три одинаковых множителя соответственно (см. запись выше).

№ 1.4

Вычислите: 1) $6^{3}$; 2) $1{,}4^{3}$; 3) $(-8)^{4}$; 4) $(-0{,}2)^{5}$.

Как думать. Возводим по шагам: сначала в квадрат, потом достраиваем. Знак определяем заранее.

Решение.

1. $6^{3}=6\cdot6\cdot6=36\cdot6=216$.
2. $1{,}4^{2}=1{,}96$; $1{,}96\cdot1{,}4=2{,}744$.
3. Показатель чётный, результат положительный: $(-8)^{2}=64$, $64\cdot64=4096$.
4. Показатель нечётный, результат отрицательный. $0{,}2^{5}=0{,}00032$ (двойка и пять знаков после запятой), значит $-0{,}00032$.

Ответ: 1) $216$; 2) $2{,}744$; 3) $4096$; 4) $-0{,}00032$.

№ 1.5

Вычислите: 1) $\left(\frac{2}{4}\right)^{4}$; 2) $\left(-\frac{3}{4}\right)^{4}$; 3) $\left(-2\frac{1}{4}\right)^{5}$; 4) $\left(1\frac{4}{5}\right)^{4}$.

Как думать. В степень возводим и числитель, и знаменатель. Смешанное число сначала превращаем в неправильную дробь.

Решение.

1. $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, поэтому $\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}$.
2. Показатель чётный: $\frac{3^{4}}{4^{4}}=\frac{81}{256}$.
3. $-2\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$. Показатель нечётный, минус остаётся: $-\frac{9^{5}}{4^{5}}=-\frac{59049}{1024}=-57\frac{681}{1024}$.
4. $1\frac{4}{5}=\frac{9}{5}$: $\frac{9^{4}}{5^{4}}=\frac{6561}{625}=10\frac{311}{625}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{16}$; 2) $\frac{81}{256}$; 3) $-57\frac{681}{1024}$; 4) $10\frac{311}{625}$.

№ 1.6

Сопоставьте выражения $2^{5}$, $3^{4}$, $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$, $(-0{,}2)^{3}$ с их значениями: $-0{,}008$; $32$; $0{,}125$; $81$.

Как думать. Считаем каждую степень и ищем в списке.

Решение.

1. $2^{5}=32$.
2. $3^{4}=81$.
3. $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}=0{,}125$.
4. $(-0{,}2)^{3}=-0{,}008$ (минус, потому что показатель нечётный).

Ответ: $2^{5}\to32$; $3^{4}\to81$; $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\to0{,}125$; $(-0{,}2)^{3}\to-0{,}008$.

Уровень B

№ 1.7

Выполните действия: 1) $5^{2}-200$; 2) $13-3^{3}$; 3) $20+2^{6}$; 4) $2^{4}-3^{2}$.

Как думать. Степень считаем первой, потом сложение или вычитание.

Решение.

1. $25-200=-175$.
2. $13-27=-14$.
3. $20+64=84$.
4. $16-9=7$.

Ответ: 1) $-175$; 2) $-14$; 3) $84$; 4) $7$.

№ 1.8

Выполните действия: 1) $(-3)^{2}+2^{3}$; 2) $(0{,}7-1{,}3)^{2}$; 3) $-5+0{,}2^{2}$; 4) $0{,}7-1{,}3^{3}$.

Как думать. Смотри, что стоит в скобках и что именно возводится в степень. В п. 2 сначала скобка, в п. 4 сначала степень.

Решение.

1. $9+8=17$.
2. $0{,}7-1{,}3=-0{,}6$; $(-0{,}6)^{2}=0{,}36$.
3. $0{,}2^{2}=0{,}04$; $-5+0{,}04=-4{,}96$.
4. $1{,}3^{3}=1{,}69\cdot1{,}3=2{,}197$; $0{,}7-2{,}197=-1{,}497$.

Ответ: 1) $17$; 2) $0{,}36$; 3) $-4{,}96$; 4) $-1{,}497$.

№ 1.9

Выполните действия: 1) $\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+\frac{29}{32}$; 2) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}+\frac{22}{27}$; 3) $\left(\frac{2}{5}\right)^{2}+\frac{11}{25}$; 4) $1{,}2^{2}+2{,}06$; 5) $0{,}4^{4}-1$; 6) $20-1{,}4^{2}$.

Как думать. Степень считаем отдельно, потом приводим к общему знаменателю или считаем десятичные числа.

Решение.

1. $\frac{1}{32}+\frac{29}{32}=\frac{30}{32}=\frac{15}{16}$.
2. $-\frac{1}{27}+\frac{22}{27}=\frac{21}{27}=\frac{7}{9}$.
3. $\frac{4}{25}+\frac{11}{25}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$.
4. $1{,}44+2{,}06=3{,}5$.
5. $0{,}0256-1=-0{,}9744$.
6. $1{,}4^{2}=1{,}96$; $20-1{,}96=18{,}04$.

Ответ: 1) $\frac{15}{16}$; 2) $\frac{7}{9}$; 3) $\frac{3}{5}$; 4) $3{,}5$; 5) $-0{,}9744$; 6) $18{,}04$.

№ 1.10

За семь дней предприятие сделало 72, 83, 76, 80, 84, 88 и 77 деталей. Найдите: 1) квадрат среднего арифметического; 2) четвёртую степень числа, которое составляет 25% от размаха данных.

Как думать. Среднее арифметическое: сумма, делённая на количество. Размах: наибольшее минус наименьшее.

Решение.

1. Сумма: $72+83+76+80+84+88+77=560$. Среднее $560:7=80$. Квадрат: $80^{2}=6400$.
2. Размах: $88-72=16$. Четверть от $16$ равна $4$. Четвёртая степень: $4^{4}=256$.

Ответ: 1) $6400$; 2) $256$.

№ 1.11

Вычислите: 1) $3^{5}-2^{6}:40$; 2) $4^{4}:1000-0{,}3$; 3) $7^{2}\cdot2^{3}+608$; 4) $8^{2}\cdot3^{3}-728$.

Как думать. Сначала все степени, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание.

Решение.

1. $243-64:40=243-1{,}6=241{,}4$.
2. $256:1000=0{,}256$; $0{,}256-0{,}3=-0{,}044$.
3. $49\cdot8=392$; $392+608=1000$.
4. $64\cdot27=1728$; $1728-728=1000$.

Ответ: 1) $241{,}4$; 2) $-0{,}044$; 3) $1000$; 4) $1000$.

№ 1.12

Какой цифрой оканчивается значение выражения: 1) $5^{8}$; 2) $2^{11}$?

Как думать. Степень пятёрки всегда оканчивается на 5. У двойки цифры идут по кругу: $2,\ 4,\ 8,\ 6$.

Решение.

1. $5^{8}$ оканчивается на $5$.
2. $11=4\cdot2+3$, остаток $3$, значит, как $2^{3}=8$. Проверка: $2^{11}=2048$.

Ответ: 1) $5$; 2) $8$.

Уровень C

Здесь задания посложнее. Не бойся ошибиться: сама попытка уже растит математическое мышление.

№ 1.13

Выполните действия: 1) $10^{3}-5^{2}:8+\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\cdot81$; 2) $2{,}43\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+6^{2}\cdot(2^{5}-28)$; 3) $9^{3}-15^{2}:16+\left(\frac{3}{4}\right)^{3}:\frac{27}{32}$; 4) $(7^{2}-51)^{3}\cdot\frac{5}{9}+3{,}6:9^{2}$.

Как думать. Выражения длинные, но правило одно: скобки, степени, умножение и деление, сложение и вычитание.

Решение.

1. $1000-25:8+\frac{32}{243}\cdot81=1000-3\frac{1}{8}+\frac{32}{3}=996\frac{7}{8}+10\frac{2}{3}=1007\frac{13}{24}$.
2. $2{,}43\cdot\frac{1}{27}=0{,}09$; $2^{5}-28=4$; $36\cdot4=144$; итого $144{,}09$.
3. $729-225:16+\frac{27}{64}\cdot\frac{32}{27}=729-14\frac{1}{16}+\frac{1}{2}=715\frac{7}{16}$.
4. $(49-51)^{3}=(-2)^{3}=-8$; $-8\cdot\frac{5}{9}=-\frac{40}{9}$; $3{,}6:81=\frac{2}{45}$; $-\frac{200}{45}+\frac{2}{45}=-\frac{198}{45}=-4{,}4$.

Ответ: 1) $1007\frac{13}{24}$; 2) $144{,}09$; 3) $715\frac{7}{16}$; 4) $-4{,}4$.

№ 1.14

Найдите 25% от числа $x$, если: 1) $x=\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\cdot4^{3}\cdot3^{4}$; 2) $x=3^{3}\cdot2^{4}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$; 3) $x=\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\cdot24\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$; 4) $x=\left(\frac{2}{3}\right)^{4}\cdot27\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$.

Как думать. Сначала находим $x$, потом берём четверть (25% — это $\frac{1}{4}$).

Решение.

1. $x=\frac{1}{16}\cdot64\cdot81=4\cdot81=324$; $324:4=81$.
2. $x=27\cdot16\cdot\frac{1}{36}=\frac{432}{36}=12$; $12:4=3$.
3. $x=\frac{25}{36}\cdot24\cdot\frac{16}{25}=\frac{24\cdot16}{36}=\frac{32}{3}$; $\frac{32}{3}:4=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$.
4. $x=\frac{16}{81}\cdot27\cdot\frac{9}{16}=\frac{27\cdot9}{81}=3$; $3:4=0{,}75$.

Ответ: 1) $81$; 2) $3$; 3) $2\frac{2}{3}$; 4) $0{,}75$.

№ 1.15

Сравните значения: 1) $8^{3}-600$ и $17^{2}-4^{4}$; 2) $-10^{4}+9^{4}$ и $(-15)^{3}$; 3) $0{,}4^{3}+1{,}6\cdot1{,}1$ и $1{,}5^{3}-11\cdot0{,}5^{3}$; 4) $(-2{,}2)^{3}+0{,}603\cdot2^{4}$ и $368-2^{3}\cdot6^{4}$.

Как думать. Считаем обе части и сравниваем на числовой прямой. Отрицательные числа: чем больше модуль, тем число меньше.

Решение.

1. $512-600=-88$ и $289-256=33$. $-88<33$.
2. $-10000+6561=-3439$ и $-3375$. $-3439<-3375$.
3. $0{,}064+1{,}76=1{,}824$ и $3{,}375-1{,}375=2$. $1{,}824<2$.
4. $-10{,}648+9{,}648=-1$ и $368-8\cdot1296=368-10368=-10000$. $-1>-10000$.

Ответ: 1)

№ 1.16

Какой цифрой оканчивается значение выражения: 1) $8^{31}+3\cdot7^{29}$; 2) $6\cdot2^{23}-3^{51}$?

Как думать. Находим круг последних цифр у каждой степени, потом действуем с последними цифрами.

Решение.

1. $8^{31}$: круг $8,4,2,6$; $31=4\cdot7+3$, значит, как $8^{3}$, то есть $2$. $7^{29}$: круг $7,9,3,1$; $29=4\cdot7+1$, как $7^{1}$, то есть $7$; $3\cdot7=21$, цифра $1$. Складываем: $2+1=3$.
2. $2^{23}$: $23=4\cdot5+3$, как $2^{3}$, то есть $8$; $6\cdot8=48$, цифра $8$. $3^{51}$: круг $3,9,7,1$; $51=4\cdot12+3$, как $3^{3}$, то есть $7$. Вычитаем: $8-7=1$.

В п. 2 есть тонкость. Само число отрицательное, потому что $3^{51}$ намного больше, чем $6\cdot2^{23}$. По последним цифрам получается «1» (остаток от деления на 10 равен 1), а в записи модуля числа последняя цифра 9.

Ответ: 1) $3$; 2) $1$ (по правилу последних цифр; число отрицательное).

Готовимся к следующей теме

Следующий параграф про умножение степеней. Эти задания подводят к главному правилу.

№ 1.17

Вычислите и запишите результат степенью: 1) $2^{3}\cdot2^{4}$; 2) $3^{2}\cdot3^{3}$; 3) $\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$; 4) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$.

Как думать. Выпиши все множители подряд и посчитай, сколько их всего.

Решение.

1. $(2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot2)$: семь двоек, $2^{7}=128$.
2. $3^{2+3}=3^{5}=243$ (пять троек).
3. Шесть множителей $\frac{1}{2}$: $\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=\frac{1}{64}$.
4. Пять множителей $-\frac{1}{3}$: $\left(-\frac{1}{3}\right)^{5}=-\frac{1}{243}$.

Заметь: показатели просто сложились.

Ответ: 1) $2^{7}$; 2) $3^{5}$; 3) $\left(\frac{1}{2}\right)^{6}$; 4) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{5}$.

№ 1.18

Сравните значения: 1) $5^{3}\cdot5$ и $5^{5}$; 2) $6^{2}\cdot6^{2}$ и $6^{4}$; 3) $(-3)^{2}\cdot(-3)^{4}$ и $(-3)^{5}$; 4) $4^{4}\cdot4$ и $4^{5}$.

Как думать. Складываем количество одинаковых множителей слева и сравниваем с правой частью.

Решение.

1. Слева $5^{4}=625$, справа $5^{5}=3125$. $625<3125$.
2. Слева $6^{4}$, справа $6^{4}$. Равны.
3. Слева $(-3)^{6}=729$, справа $(-3)^{5}=-243$. $729>-243$.
4. Слева $4^{5}$, справа $4^{5}$. Равны.

Ответ: 1)

№ 1.19

Найдите верные равенства: 1) $7^{2}\cdot7^{6}=7^{8}$; 2) $(-6)^{7}\cdot(-6)^{2}=(-6)^{14}$; 3) $(0{,}5)^{5}\cdot(0{,}5)^{2}=(0{,}5)^{7}$; 4) $(-1{,}25)^{3}\cdot(-1{,}25)^{2}=(-1{,}25)^{6}$.

Как думать. Если складывать показатели, как их сумма сравнится с правой частью?

Решение.

1. $2+6=8$: верно.
2. $7+2=9$, а не $14$: неверно (14 — это произведение $7\cdot2$, ловушка!).
3. $5+2=7$: верно.
4. $3+2=5$, а не $6$: неверно.

Ответ: верны равенства 1) и 3).

Шпаргалка

• Степень сокращает запись произведения одинаковых множителей.
• Квадрат — вторая степень, куб — третья.
• Дроби и отрицательные числа в основании берём в скобки.
• Степень считаем раньше умножения.
• Последнюю цифру степени ищем по кругу из цифр.

Мини-тест