Упражнения для повторения курса алгебры 7 класса

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 6: Алгебраические дроби. Страницы 257–270.

Что повторяем

Это итоговый марафон за весь год. Сначала идут задания «с пером в руках», потом несколько графиков и картинок, а в конце тестовые вопросы с вариантами A–D, как на настоящем экзамене.

• вычисления со степенями и свойства степеней;
• упрощение выражений, формулы сокращённого умножения, доказательство тождеств;
• алгебраические дроби и действия с ними;
• уравнения, системы уравнений и неравенства;
• линейная функция, гипербола, чтение графиков;
• проценты, диаграммы, множества и задачи «в одно действие».

💡 Не решай всё за один вечер. Бери по блоку: вычисления, потом преобразования, потом уравнения. Самые «страшные» задания оставь на второй день, они сдадутся.

👨‍👩‍👧 Родителю. Это диагностика перед 8 классом. Пусть ребёнок выберет по 3–4 задания из каждого блока и проговорит решение вслух. Если «плывут» знаки при раскрытии скобок, формулы $(a\pm b)^2$ или действия с дробями, лучше вернуться к соответствующему параграфу, чем решать ещё десять похожих примеров.

Решаем упражнения

Вычисления

№ 1

Вычисли: 1) $0{,}7\cdot5^4-37{,}5$; 2) $-9^4\cdot2{,}1+13,700{,}1$; 3) $6{,}3-10^3\cdot0{,}0073$; 4) $192\cdot(-0{,}2)^3-0{,}112$; 5) $-240{,}02+7^4\cdot0{,}02$; 6) $10^4\cdot3{,}241+7590$.

Как думать. Сначала степень, потом умножение, в конце сложение или вычитание. Следи, где минус стоит перед степенью, а где внутри скобок.

Решение.

1. $5^4=625$, $0{,}7\cdot625=437{,}5$, $437{,}5-37{,}5=400$.
2. $9^4=6561$, $-6561\cdot2{,}1=-13,778{,}1$, затем $-13,778{,}1+13,700{,}1=-78$.
3. $10^3\cdot0{,}0073=7{,}3$, затем $6{,}3-7{,}3=-1$.
4. $(-0{,}2)^3=-0{,}008$, $192\cdot(-0{,}008)=-1{,}536$, затем $-1{,}536-0{,}112=-1{,}648$.
5. $7^4=2401$, $2401\cdot0{,}02=48{,}02$, затем $-240{,}02+48{,}02=-192$.
6. $10^4\cdot3{,}241=32,410$, затем $32,410+7590=40,000$.

Ответ: 1) $400$; 2) $-78$; 3) $-1$; 4) $-1{,}648$; 5) $-192$; 6) $40,000$.

№ 2

Вычисли дроби со степенями: 1) $\dfrac{4^8\cdot12^7\cdot9^3}{6^{12}\cdot16^4}$; 2) $\dfrac{21^8\cdot27^5\cdot49^6}{9^{11}\cdot343^7}$; 3) $\dfrac{25^{11}\cdot81^4}{625^4\cdot15^5\cdot9^6}$; 4) $\dfrac{32^9\cdot125^8}{8^{13}\cdot10^7\cdot25^8}$.

Как думать. Не считай огромные числа. Разложи все основания на простые множители (2, 3, 5, 7), сложи показатели в числителе и знаменателе и сократи.

Решение.

1. Числитель: $4^8=2^{16}$, $12^7=2^{14}\cdot3^7$, $9^3=3^6$, всего $2^{30}\cdot3^{13}$. Знаменатель: $6^{12}=2^{12}\cdot3^{12}$, $16^4=2^{16}$, всего $2^{28}\cdot3^{12}$. Частное $2^2\cdot3=12$.
2. Числитель: $3^8\cdot7^8\cdot3^{15}\cdot7^{12}=3^{23}\cdot7^{20}$. Знаменатель: $3^{22}\cdot7^{21}$. Частное $\frac{3}{7}$.
3. Числитель: $5^{22}\cdot3^{16}$. Знаменатель: $5^{16}\cdot3^5\cdot5^5\cdot3^{12}=5^{21}\cdot3^{17}$. Частное $\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$.
4. Числитель: $2^{45}\cdot5^{24}$. Знаменатель: $2^{39}\cdot2^7\cdot5^7\cdot5^{16}=2^{46}\cdot5^{23}$. Частное $\frac{5}{2}=2{,}5$.

Ответ: 1) $12$; 2) $\frac{3}{7}$; 3) $1\frac{2}{3}$; 4) $2{,}5$.

№ 3

Вычисли: 1) $10^4-9^4-951$; 2) $15^4+14^4-9041$; 3) $6^5+5^6+7719$; 4) $-7^4+8^4+305$.

Как думать. Здесь нужны сами значения степеней, хитрить нечем. Выпиши их в столбик и аккуратно сложи.

Решение.

1. $10,000-6561-951=2488$.
2. $15^4=50,625$, $14^4=38,416$; $50,625+38,416=89,041$; $89,041-9041=80,000$.
3. $6^5=7776$, $5^6=15,625$; $7776+15,625=23,401$; $23,401+7719=31,120$.
4. $-2401+4096+305=2000$.

Ответ: 1) $2488$; 2) $80,000$; 3) $31,120$; 4) $2000$.

№ 4

Вычисли: 1) $\dfrac{8^{13}\cdot(11^3)^5}{121^7\cdot4^{19}}$; 2) $\dfrac{81^{10}\cdot169^5}{(13^3)^3\cdot27^{13}}$; 3) $\dfrac{49^{25}\cdot625^{15}}{(5^{12})^5\cdot(7^{16})^3}$; 4) $\dfrac{216^8\cdot125^7}{625^5\cdot(6^5)^4}$; 5) $\dfrac{(\frac12)^2\cdot32^2\cdot1000\cdot5^3}{4^7\cdot0{,}001\cdot25^4}$; 6) $\dfrac{(\frac13)^4\cdot9^2+(\frac14)^3\cdot2^6}{(\frac1{11})^2\cdot363-(\frac1{12})^2\cdot3^2\cdot2^4}$.

Как думать. Приводи всё к простым основаниям и используй $(a^m)^n=a^{mn}$. В пунктах 5) и 6) отдельно упрости числитель и знаменатель.

Решение.

1. $8^{13}=2^{39}$, $(11^3)^5=11^{15}$, $121^7=11^{14}$, $4^{19}=2^{38}$. Получаем $2^{39-38}\cdot11^{15-14}=2\cdot11=22$.
2. $81^{10}=3^{40}$, $169^5=13^{10}$, $(13^3)^3=13^9$, $27^{13}=3^{39}$. Получаем $3\cdot13=39$.
3. $49^{25}=7^{50}$, $625^{15}=5^{60}$, $(5^{12})^5=5^{60}$, $(7^{16})^3=7^{48}$. Получаем $7^2=49$.
4. $216^8=6^{24}$, $125^7=5^{21}$, $625^5=5^{20}$, $(6^5)^4=6^{20}$. Получаем $6^4\cdot5=1296\cdot5=6480$.
5. Числитель: $2^{-2}\cdot2^{10}\cdot10^3\cdot5^3=2^8\cdot2^3\cdot5^3\cdot5^3=2^{11}\cdot5^6$. Знаменатель: $2^{14}\cdot10^{-3}\cdot5^8=2^{14}\cdot2^{-3}\cdot5^{-3}\cdot5^8=2^{11}\cdot5^5$. Частное равно $5$.
6. Числитель: $\frac{1}{81}\cdot81+\frac{1}{64}\cdot64=1+1=2$. Знаменатель: $\frac{363}{121}-\frac{9\cdot16}{144}=3-1=2$. Частное $1$.

Ответ: 1) $22$; 2) $39$; 3) $49$; 4) $6480$; 5) $5$; 6) $1$.

№ 5

Вычисли удобным способом: 1) $\dfrac{27^2-17^2}{16^2-6^2}$; 2) $\dfrac{48^2-18^2}{35^2-15^2}$; 3) $\dfrac{87^2-43^2}{31^2-16^2}$; 4) $\dfrac{98^2-58^2}{75^2-35^2}$; 5) $\dfrac{123^3+73^3}{196}-123\cdot73$; 6) $\dfrac{186^3-34^3}{152}+186\cdot34$.

Как думать. В первых четырёх пунктах работает разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. В двух последних видна сумма и разность кубов, и дальше всё «схлопывается» в квадрат.

Решение.

1. $\frac{(27-17)(27+17)}{(16-6)(16+6)}=\frac{10\cdot44}{10\cdot22}=2$.
2. $\frac{30\cdot66}{20\cdot50}=\frac{1980}{1000}=1{,}98=1\frac{49}{50}$.
3. $\frac{44\cdot130}{15\cdot47}=\frac{5720}{705}=\frac{1144}{141}=8\frac{16}{141}$.
4. $\frac{40\cdot156}{40\cdot110}=\frac{156}{110}=\frac{78}{55}=1\frac{23}{55}$.
5. $123+73=196$, поэтому $\frac{123^3+73^3}{196}=123^2-123\cdot73+73^2$. Вычитаем $123\cdot73$: $123^2-2\cdot123\cdot73+73^2=(123-73)^2=50^2=2500$.
6. $186-34=152$, поэтому $\frac{186^3-34^3}{152}=186^2+186\cdot34+34^2$. Прибавляем $186\cdot34$: $(186+34)^2=220^2=48,400$.

Ответ: 1) $2$; 2) $1\frac{49}{50}$; 3) $8\frac{16}{141}$; 4) $1\frac{23}{55}$; 5) $2500$; 6) $48,400$.

№ 6

Выполни действия: 1) $243\cdot\left(\frac23\right)^6-8{,}75\cdot\left(\frac45\right)^3\cdot0{,}25+0{,}12$; 2) $\left(\frac67\right)^2\cdot2{,}45-\left(34-3\frac{5}{14}\right)+0{,}05\cdot2^8$; 3) $6{,}25\cdot\left(\frac45\right)^5-0{,}024\cdot9^3+1{,}552$; 4) $\left(\frac8{11}\right)^2\cdot0{,}5\cdot\left(3\frac23\right)^3+\left(1\frac13\right)^4:85\frac13$.

Как думать. Степени дробей считай сразу, а десятичные числа переводи в обыкновенные дроби только там, где они сокращаются.

Решение.

1. $243\cdot\frac{64}{729}=\frac{64}{3}$. Далее $8{,}75\cdot\frac{64}{125}\cdot0{,}25=8{,}75\cdot0{,}512\cdot0{,}25=1{,}12$. Итого $\frac{64}{3}-1{,}12+0{,}12=\frac{64}{3}-1=\frac{61}{3}=20\frac13$.
2. $\frac{36}{49}\cdot2{,}45=1{,}8$; $34-3\frac{5}{14}=30\frac{9}{14}$; $0{,}05\cdot256=12{,}8$. Итого $1{,}8+12{,}8-30\frac{9}{14}=14\frac35-30\frac{9}{14}=-16\frac{3}{70}$.
3. $6{,}25\cdot\frac{1024}{3125}=2{,}048$; $0{,}024\cdot729=17{,}496$. Итого $2{,}048-17{,}496+1{,}552=-13{,}896$.
4. $\frac{64}{121}\cdot\frac12\cdot\frac{1331}{27}=\frac{32\cdot11}{27}=\frac{352}{27}$; $\left(\frac43\right)^4:\frac{256}{3}=\frac{256}{81}\cdot\frac{3}{256}=\frac{1}{27}$. Итого $\frac{353}{27}=13\frac{2}{27}$.

Ответ: 1) $20\frac13$; 2) $-16\frac{3}{70}$; 3) $-13{,}896$; 4) $13\frac{2}{27}$.

№ 7

Найди $a%$ от числа $b$, если: 1) $b=2^5\cdot5^2+200$ и $a=11$; 2) $b=(-3)^3\cdot4^4+6962$ и $a=5$; 3) $b=(0{,}5)^4\cdot2^8+18^4$ и $a=13{,}5$; 4) $b=0{,}2^8\cdot5^{10}+6^2$ и $a=50$.

Как думать. Сначала найди $b$, потом умножь его на $\frac{a}{100}$. Для $b$ удобно объединять степени с одинаковым показателем.

Решение.

1. $b=32\cdot25+200=1000$; $1000\cdot0{,}11=110$.
2. $b=-27\cdot256+6962=-6912+6962=50$; $50\cdot0{,}05=2{,}5$.
3. $(0{,}5)^4\cdot2^8=(0{,}5\cdot2)^4\cdot2^4=16$; $18^4=104,976$; $b=104,992$; $104,992\cdot0{,}135=14,173{,}92$.
4. $0{,}2^8\cdot5^{10}=(0{,}2\cdot5)^8\cdot5^2=25$; $b=25+36=61$; $61\cdot0{,}5=30{,}5$.

Ответ: 1) $110$; 2) $2{,}5$; 3) $14,173{,}92$; 4) $30{,}5$.

№ 8

Найди значение выражения: 1) $5a^4-7b^5+11c^3$ при $a=2$, $b=-1$, $c=-1$; 2) $1{,}2x^5+3{,}9y^4-6c^4$ при $x=-1$, $y=2$, $c=-2$; 3) $0{,}005n^3+0{,}023m^3$ при $n=-10$, $m=10$; 4) $64t^6-27s^3+125k^3$ при $t=-\frac12$, $s=\frac13$, $k=-\frac15$.

Как думать. Подставляй числа в скобках, особенно отрицательные: нечётная степень сохраняет минус, чётная убирает.

Решение.

1. $5\cdot16-7\cdot(-1)+11\cdot(-1)=80+7-11=76$.
2. $1{,}2\cdot(-1)+3{,}9\cdot16-6\cdot16=-1{,}2+62{,}4-96=-34{,}8$.
3. $0{,}005\cdot(-1000)+0{,}023\cdot1000=-5+23=18$.
4. $64\cdot\frac{1}{64}-27\cdot\frac{1}{27}+125\cdot\left(-\frac{1}{125}\right)=1-1-1=-1$.

Ответ: 1) $76$; 2) $-34{,}8$; 3) $18$; 4) $-1$.

№ 9

Сравни значения выражений: 1) $7^3\cdot(-2)^2$ и $10^3+7^3$; 2) $\left(-\frac29\right)^4\cdot0{,}729$ и $3^3-5^2\cdot1{,}01$; 3) $(-0{,}2)^3\cdot5^4$ и $6^4:(11^3-35)$; 4) $4^5:(2\cdot5^3)$ и $2^2\cdot(0{,}9^2+0{,}14)$.

Как думать. Найди оба значения и сравни числа. Не забудь про знак: чётная степень отрицательного числа положительна.

Решение.

1. Слева $343\cdot4=1372$, справа $1000+343=1343$. Значит, $1372>1343$.
2. Слева $\frac{16}{6561}\cdot0{,}729=\frac{2}{1125}\approx0{,}0018$, справа $27-25{,}25=1{,}75$. Значит, слева меньше.
3. Слева $-0{,}008\cdot625=-5$, справа $1296:(1331-35)=1296:1296=1$. Значит, $-5<1$.
4. Слева $1024:250=4{,}096$, справа $4\cdot(0{,}81+0{,}14)=3{,}8$. Значит, $4{,}096>3{,}8$.

Ответ: 1)

№ 10

Используя свойства степеней, сравни: 1) $40^{20}$ и $20^{40}$; 2) $25^5$ и $125^8$; 3) $16^5$ и $64^3$; 4) $72^{10}$ и $32\cdot12^{10}$.

Как думать. Приведи обе части к одному основанию или к одинаковому показателю. Вычислять сами числа не нужно.

Решение.

1. $20^{40}=(20^2)^{20}=400^{20}$, а у $40^{20}$ тот же показатель 20, но меньшее основание. Значит, $40^{20}<20^{40}$.
2. $25^5=5^{10}$, $125^8=5^{24}$. Так как $10<24$, получаем $25^5<125^8$.
3. $16^5=2^{20}$, $64^3=2^{18}$. Значит, $16^5>64^3$.
4. $72^{10}=(6\cdot12)^{10}=6^{10}\cdot12^{10}$. Сравниваем $6^{10}$ и $32=2^5$: $6^{10}$ гораздо больше. Значит, $72^{10}>32\cdot12^{10}$.

Ответ: 1)

Тождественные преобразования выражений

№ 11

Упрости выражения: 1) $(a-5)^2+(a+7)(5-a)+8a$; 2) $-73+(6+a)^2+(9-a)(a+4)$; 3) $(3a-4)(9a+8)-(2-27a)(16-a)$.

Как думать. Раскрой скобки по формулам и правилу «каждый с каждым», аккуратно ставь знаки, затем приведи подобные слагаемые.

Решение.

1. $(a-5)^2=a^2-10a+25$; $(a+7)(5-a)=5a-a^2+35-7a=-a^2-2a+35$. Сумма: $a^2-10a+25-a^2-2a+35+8a=60-4a$.
2. $(6+a)^2=36+12a+a^2$; $(9-a)(a+4)=9a+36-a^2-4a=-a^2+5a+36$. Сумма: $-73+36+12a+a^2-a^2+5a+36=17a-1$.
3. $(3a-4)(9a+8)=27a^2+24a-36a-32=27a^2-12a-32$; $(2-27a)(16-a)=32-2a-432a+27a^2=27a^2-434a+32$. Разность: $27a^2-12a-32-27a^2+434a-32=422a-64$.

Ответ: 1) $60-4a$; 2) $17a-1$; 3) $422a-64$.

№ 12

Упрости выражения: 1) $(a^2-5)(3+2a)-2a(a^2+4)$; 2) $(2-3a)^3-4(2-9a)+26a^3$; 3) $(4+a)^3-(a-4)^3-36(2a^2+3)$.

Как думать. Здесь появляются кубы: используй $(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3$. Многие слагаемые взаимно уничтожаются.

Решение.

1. $(a^2-5)(3+2a)=3a^2+2a^3-15-10a$; $2a(a^2+4)=2a^3+8a$. Разность: $3a^2-18a-15$.
2. Подробно разобрано выше: $-a^3+54a^2$.
3. $(4+a)^3=64+48a+12a^2+a^3$; $(a-4)^3=a^3-12a^2+48a-64$; их разность $128+24a^2$. Затем $-36(2a^2+3)=-72a^2-108$. Итого $20-48a^2$.

Ответ: 1) $3a^2-18a-15$; 2) $-a^3+54a^2$; 3) $20-48a^2$.

№ 13

При каком значении $x$ равенство будет тождеством: 1) $(4m+x)^2=16m^2+24mn+9n^2$; 2) $(2a-x)^2=4a^2-28ab+49b^2$; 3) $(x+9n)^2=36m^2+108mn+81n^2$; 4) $(x-6b)^2=64a^2-96ab+36b^2$?

Как думать. Правая часть должна быть полным квадратом. Сравни, чему равен квадрат второго слагаемого, и проверь удвоенное произведение.

Решение.

1. В правой части $9n^2=(3n)^2$, а $2\cdot4m\cdot3n=24mn$. Значит, $x=3n$.
2. $49b^2=(7b)^2$ и $2\cdot2a\cdot7b=28ab$. Значит, $x=7b$.
3. $36m^2=(6m)^2$ и $2\cdot6m\cdot9n=108mn$. Значит, $x=6m$.
4. $64a^2=(8a)^2$ и $2\cdot8a\cdot6b=96ab$. Значит, $x=8a$.

Ответ: 1) $x=3n$; 2) $x=7b$; 3) $x=6m$; 4) $x=8a$.

№ 14

При каком значении $y$ равенство будет тождеством: 1) $(5a-y)^2=25a^2-2ac+0{,}04c^2$; 2) $(0{,}5a+y)^2=0{,}25a^2+6ab+36b^2$; 3) $(y-5c)^2=0{,}64a^2-8ac+25c^2$; 4) $(1{,}4a+y)^2=1{,}96a^2+16{,}8ab+36b^2$?

Как думать. То же, что в № 13: найди второе слагаемое по квадрату и проверь удвоенное произведение.

Решение.

1. $0{,}04c^2=(0{,}2c)^2$, $2\cdot5a\cdot0{,}2c=2ac$. Значит, $y=0{,}2c$.
2. $36b^2=(6b)^2$, $2\cdot0{,}5a\cdot6b=6ab$. Значит, $y=6b$.
3. $0{,}64a^2=(0{,}8a)^2$, $2\cdot0{,}8a\cdot5c=8ac$. Значит, $y=0{,}8a$.
4. $36b^2=(6b)^2$, $2\cdot1{,}4a\cdot6b=16{,}8ab$. Значит, $y=6b$.

Ответ: 1) $y=0{,}2c$; 2) $y=6b$; 3) $y=0{,}8a$; 4) $y=6b$.

№ 15

Докажи, что значение выражения не зависит от переменных: 1) $(8ac-4)(ac+5)-4ac(2ac+9)$; 2) $(15mn-7)(12mn+8)-36mn(5mn+1)$; 3) $(10x^2-3)(9x^2-2)-3x^2(30x^2+17)+98x^2$; 4) $(4cd^3-7)^2+4cd^3(14-4cd^3)$.

Как думать. Раскрой скобки. Если выражение «не зависит», все слагаемые с переменными сократятся, останется число.

Решение.

1. $(8ac-4)(ac+5)=8a^2c^2+36ac-20$, а $4ac(2ac+9)=8a^2c^2+36ac$. Разность $-20$.
2. $(15mn-7)(12mn+8)=180m^2n^2+36mn-56$, а $36mn(5mn+1)=180m^2n^2+36mn$. Разность $-56$.
3. $(10x^2-3)(9x^2-2)=90x^4-47x^2+6$; $3x^2(30x^2+17)=90x^4+51x^2$. Разность $-98x^2+6$, плюс $98x^2$ даёт $6$.
4. $(4cd^3-7)^2=16c^2d^6-56cd^3+49$; $4cd^3(14-4cd^3)=56cd^3-16c^2d^6$. Сумма $49$.

Ответ: 1) $-20$; 2) $-56$; 3) $6$; 4) $49$. Переменные сокращаются, значит, значение от них не зависит.

№ 16

Докажи, что при любых значениях переменных значение выражения равно нулю: 1) $25x^2(x^2-y^2)-25x^2(x^2+y^2)+50x^2y^2$; 2) $(5ac-8)^2-(8ac-5)^2+39(a^2c^2-1)$.

Как думать. Раскрой скобки и приведи подобные: должен получиться ноль.

Решение.

1. $25x^4-25x^2y^2-25x^4-25x^2y^2+50x^2y^2=0$.
2. $(5ac-8)^2=25a^2c^2-80ac+64$; $(8ac-5)^2=64a^2c^2-80ac+25$. Разность $-39a^2c^2+39$. Прибавляем $39a^2c^2-39$: получаем $0$.

Ответ: в обоих случаях $0$.

№ 17

Верно ли равенство: 1) $(12a-5)^2-18a(8a-6)+12a=25$; 2) $17(a-3)^2-(4a+1)^2-22(7-5a)=a^2-2$; 3) $9\left(b+1\frac23\right)^2-21(2b+1)-(3b-2)^2-200=0$; 4) $15(5a+6)(6-5a)+13(6a-1)^2-31(17+3a^2)-26=-156a$?

Как думать. Упрости левую часть и сравни с правой. Если результат другой, равенство неверно.

Решение.

1. $144a^2-120a+25-144a^2+108a+12a=25$. Верно.
2. $17a^2-102a+153-16a^2-8a-1-154+110a=a^2-2$. Верно.
3. $9\left(b+\frac53\right)^2=9b^2+30b+25$; $-21(2b+1)=-42b-21$; $-(3b-2)^2=-9b^2+12b-4$. Без $-200$ всё сократилось бы до $0$, а с ним получаем $-200$, и равенство $-200=0$ не выполняется. Неверно.
4. $15(36-25a^2)=540-375a^2$; $13(36a^2-12a+1)=468a^2-156a+13$; $-31(17+3a^2)=-527-93a^2$. Складываем: $a^2$ сокращаются ($-375+468-93=0$), числа $540+13-527-26=0$, остаётся $-156a$. Верно.

Ответ: 1) верно; 2) верно; 3) неверно (левая часть равна $-200$); 4) верно.

№ 18

Упрости выражение: 1) $(8a-5)(9a+10)-(12a-7)(11+6a)+55a$; 2) $(14a-3)(15a+10)-(35a+2)(7+6a)+162a$; 3) $(a-3)^3-(a+7)^3+30a^2+120a$; 4) $(a+5)^3+(6-a)^3+33(20+a-a^2)$.

Как думать. Всё сводится к числу, потому что переменные должны сократиться (так задумали авторы).

Решение.

1. $(8a-5)(9a+10)=72a^2+35a-50$; $(12a-7)(11+6a)=72a^2+90a-77$. Разность $-55a+27$, плюс $55a$ даёт $27$.
2. $(14a-3)(15a+10)=210a^2+95a-30$; $(35a+2)(7+6a)=210a^2+257a+14$. Разность $-162a-44$, плюс $162a$ даёт $-44$.
3. $(a-3)^3-(a+7)^3=(a^3-9a^2+27a-27)-(a^3+21a^2+147a+343)=-30a^2-120a-370$. Плюс $30a^2+120a$ даёт $-370$.
4. $(a+5)^3+(6-a)^3=(a^3+15a^2+75a+125)+(216-108a+18a^2-a^3)=33a^2-33a+341$. Прибавляем $660+33a-33a^2$: получаем $1001$.

Ответ: 1) $27$; 2) $-44$; 3) $-370$; 4) $1001$.

№ 19

Докажи тождества: 1) $(a-m+7)(a+m-7)-a^2=(m-7)^2$; 2) $(3x+5-y)(3x+5+y)+y^2=(3x+5)^2$; 3) $(6x-8y+7)(6x+8y-7)+(8y-7)^2=36x^2$; 4) $(9k+11+2m+n)(9k-2m+11-n)-9k(9k+22)+4m(m+n)=121-n^2$.

Как думать. Ищи разность квадратов: заметь, что две скобки отличаются только знаками перед частью слагаемых. Вынеси эту часть в «большую» скобку.

Решение.

1. $(a-m+7)(a+m-7)=\bigl(a-(m-7)\bigr)\bigl(a+(m-7)\bigr)=a^2-(m-7)^2$. Значит, левая часть равна $-(m-7)^2$, а не $(m-7)^2$. Верное тождество получается, если поменять местами $a^2$ и произведение: $a^2-(a-m+7)(a+m-7)=(m-7)^2$. Докажем его: $a^2-\bigl(a^2-(m-7)^2\bigr)=(m-7)^2$.
2. $(3x+5-y)(3x+5+y)=(3x+5)^2-y^2$. Прибавив $y^2$, получаем $(3x+5)^2$.
3. $(6x-(8y-7))(6x+(8y-7))=36x^2-(8y-7)^2$. Прибавив $(8y-7)^2$, получаем $36x^2$.
4. Первая скобка $(9k+11)+(2m+n)$, вторая $(9k+11)-(2m+n)$. Их произведение $(9k+11)^2-(2m+n)^2=81k^2+198k+121-4m^2-4mn-n^2$. Вычитаем $9k(9k+22)=81k^2+198k$ и прибавляем $4m(m+n)=4m^2+4mn$. Остаётся $121-n^2$.

Ответ: тождества 2), 3), 4) доказаны. Пункт 1) доказан в исправленном виде.

📕 В учебнике напечатано «$(a-m+7)(a+m-7)-a^2=(m-7)^2$», но правильно «$a^2-(a-m+7)(a+m-7)=(m-7)^2$»: произведение скобок равно $a^2-(m-7)^2$, поэтому после вычитания $a^2$ получается $-(m-7)^2$, а не $(m-7)^2$.

№ 20

Докажи тождества: 1) $4+(a+b)^2-7a=a(2b-7)+(a^2+4+b^2)$; 2) $4t^2+(3-k)^2-(2t-7+k)=k^2+2t(2t-1)+k-8(k-2)$; 3) $9x^2-(3x-2y)^2=2y(6x-2y)$.

Как думать. Упрости обе части отдельно. Если получатся одинаковые многочлены, тождество доказано.

Решение.

1. Левая: $4+a^2+2ab+b^2-7a$. Правая: $2ab-7a+a^2+4+b^2$. Те же слагаемые.
2. Левая: $4t^2+9-6k+k^2-2t+7-k=4t^2+k^2-2t-7k+16$. Правая: $k^2+4t^2-2t+k-8k+16=4t^2+k^2-2t-7k+16$.
3. Левая: $9x^2-9x^2+12xy-4y^2=12xy-4y^2$. Правая: $12xy-4y^2$.

Ответ: все три тождества доказаны.

№ 21

Докажи, что тождественно равны выражения: 1) $\dfrac{x-2}{x^2+2x+4}-\dfrac{6x}{x^3-8}+\dfrac{1}{x-2}$ и $\dfrac{2x-4}{x^2+2x+4}$; 2) $\dfrac{2a^2+7a+3}{a^3-1}-\dfrac{1-2a}{a^2+a+1}-\dfrac{3}{a-1}$ и $\dfrac{1}{a-1}$.

Как думать. Разложи знаменатели: $x^3-8$ и $a^3-1$ делятся на разности. Это общий знаменатель всех дробей.

Решение.

1. Подробно разобрано выше.
2. $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$. Числитель общей дроби: $(2a^2+7a+3)-(1-2a)(a-1)-3(a^2+a+1)$. Здесь $(1-2a)(a-1)=-2a^2+3a-1$. Получаем $2a^2+7a+3+2a^2-3a+1-3a^2-3a-3=a^2+a+1$. Сокращаем: $\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{1}{a-1}$.

Ответ: оба тождества доказаны (при $x\ne2$ и $a\ne1$).

№ 22

Выполни действия над дробями: 1) $\dfrac{18c^4}{7d}:(-9c^2d)$; 2) $\dfrac{14}{9x^3}:\dfrac{7x}{2y^2}$; 3) $\dfrac{3x}{10a^3}:\dfrac{1}{5a^2}$; 4) $27a^3\cdot\dfrac{a^2}{b}:\dfrac{18a^4}{7b^2}$.

Как думать. Деление заменяем умножением на перевёрнутую дробь, затем сокращаем.

Решение.

1. $\frac{18c^4}{7d}\cdot\frac{1}{-9c^2d}=-\frac{2c^2}{7d^2}$.
2. $\frac{14}{9x^3}\cdot\frac{2y^2}{7x}=\frac{28y^2}{63x^4}=\frac{4y^2}{9x^4}$.
3. $\frac{3x}{10a^3}\cdot5a^2=\frac{15xa^2}{10a^3}=\frac{3x}{2a}$.
4. $\frac{27a^5}{b}\cdot\frac{7b^2}{18a^4}=\frac{189a^5b^2}{18a^4b}=\frac{21ab}{2}$.

Ответ: 1) $-\frac{2c^2}{7d^2}$; 2) $\frac{4y^2}{9x^4}$; 3) $\frac{3x}{2a}$; 4) $\frac{21ab}{2}$.

№ 23

Докажи тождество: $\dfrac{5a^2-10}{a^4+2a^3-a^2-4a-2}=\dfrac{6}{(a+1)^2}-\dfrac{1}{(a+1)^2}$.

Как думать. Попробуй разложить знаменатель слева на множители. Правая часть складывается сразу.

Решение. Правая часть: $\frac{6-1}{(a+1)^2}=\frac{5}{(a+1)^2}$. Теперь знаменатель слева. Проверим разложение: $(a^2-2)(a+1)^2=(a^2-2)(a^2+2a+1)=a^4+2a^3+a^2-2a^2-4a-2=a^4+2a^3-a^2-4a-2$. Числитель $5a^2-10=5(a^2-2)$. Тогда $\frac{5(a^2-2)}{(a^2-2)(a+1)^2}=\frac{5}{(a+1)^2}$.

Ответ: обе части равны $\frac{5}{(a+1)^2}$, тождество доказано.

№ 24

Упрости выражение: 1) $\dfrac{3x^2}{5y^3}:\dfrac{27x^5}{2y^4}\cdot\dfrac{5y}{3(x-1)}$; 2) $\dfrac{25a(b-1)}{3^2d}:\dfrac{5cd^2}{9ab}:\dfrac{a^3(b-1)}{c^3d}$; 3) $\dfrac{28p^4}{15q^3}\cdot\dfrac{5q^2(p+1)}{14p^2}:\dfrac{3p^2}{4q^4}$; 4) $\dfrac{8x^3y^4}{13ab^2}:\dfrac{4xy^2}{13a^2b}:\dfrac{2x^2(y+2)}{ab}$.

Как думать. Все действия идут слева направо. Сначала перевернём делители, потом всё превращается в одну большую дробь.

Решение.

1. $\frac{3x^2}{5y^3}\cdot\frac{2y^4}{27x^5}\cdot\frac{5y}{3(x-1)}=\frac{30x^2y^5}{405x^5y^3(x-1)}=\frac{2y^2}{27x^3(x-1)}$.
2. $\frac{25a(b-1)}{9d}\cdot\frac{9ab}{5cd^2}\cdot\frac{c^3d}{a^3(b-1)}=\frac{225a^2b(b-1)c^3d}{45a^3(b-1)cd^3}=\frac{5bc^2}{ad^2}$.
3. $\frac{28p^4}{15q^3}\cdot\frac{5q^2(p+1)}{14p^2}=\frac{2p^2(p+1)}{3q}$; затем $\cdot\frac{4q^4}{3p^2}=\frac{8q^3(p+1)}{9}$.
4. $\frac{8x^3y^4}{13ab^2}\cdot\frac{13a^2b}{4xy^2}\cdot\frac{ab}{2x^2(y+2)}=\frac{104a^3b^2x^3y^4}{104ab^2x^3y^2(y+2)}=\frac{a^2y^2}{y+2}$.

Ответ: 1) $\frac{2y^2}{27x^3(x-1)}$; 2) $\frac{5bc^2}{ad^2}$; 3) $\frac{8q^3(p+1)}{9}$; 4) $\frac{a^2y^2}{y+2}$.

№ 25

Если $x=\dfrac{2n}{n-2}$, найди значение выражения: 1) $\dfrac{x-3}{2x+n}$; 2) $\dfrac{2x-4n}{x+2n}+\dfrac{1}{2x}$; 3) $\dfrac{3x-3}{(2-n)x+n}-\dfrac{x-3}{2x-3n}$.

Как думать. Подставь $x$ и приведи каждую часть к общему знаменателю $(n-2)$. Ответ будет выражением с $n$.

Решение.

1. $x-3=\frac{2n-3n+6}{n-2}=\frac{6-n}{n-2}$; $2x+n=\frac{4n+n^2-2n}{n-2}=\frac{n(n+2)}{n-2}$. Частное $\frac{6-n}{n(n+2)}=\frac{6-n}{n^2+2n}$.
2. $2x-4n=\frac{4n(3-n)}{n-2}$; $x+2n=\frac{2n(n-1)}{n-2}$. Их частное $\frac{2(3-n)}{n-1}$. Прибавляем $\frac{1}{2x}=\frac{n-2}{4n}$: $\frac{8n(3-n)+(n-2)(n-1)}{4n(n-1)}=\frac{-7n^2+21n+2}{4n(n-1)}$.
3. $3x-3=\frac{3(n+2)}{n-2}$; $(2-n)x+n=-2n+n=-n$. Первая дробь $-\frac{3(n+2)}{n(n-2)}$. Далее $x-3=\frac{6-n}{n-2}$, $2x-3n=\frac{n(10-3n)}{n-2}$, вторая дробь $\frac{6-n}{n(10-3n)}$. Разность: $-\frac{3(n+2)}{n(n-2)}-\frac{6-n}{n(10-3n)}=\frac{-3(n+2)(3n-10)+(6-n)(n-2)}{n(n-2)(3n-10)}=\frac{-2(5n^2-10n-24)}{n(n-2)(3n-10)}$.

Ответ: 1) $\frac{6-n}{n^2+2n}$; 2) $\frac{-7n^2+21n+2}{4n(n-1)}$; 3) $-\frac{2(5n^2-10n-24)}{n(n-2)(3n-10)}$.

№ 26

Найди значение выражения $\left(\frac xy+1\right)^2+\left(\frac xy-1\right)^2-2$ при $x=0{,}5$, $y=4$.

Как думать. Сначала упрости: сумма квадратов с $\pm1$ сильно сокращается.

Решение. Пусть $t=\frac xy$. Тогда $(t+1)^2+(t-1)^2-2=t^2+2t+1+t^2-2t+1-2=2t^2$. Здесь $t=\frac{0{,}5}{4}=\frac18$, значит, $2t^2=2\cdot\frac{1}{64}=\frac{1}{32}$.

Ответ: $\frac{1}{32}$.

№ 27

Докажи, что при допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от неё: 1) $\left(\dfrac{4a}{a^2-1}+\dfrac{a-1}{a+1}\right)\cdot\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a}{a-1}$; 2) $\left(\dfrac{8a}{a^2-4}+\dfrac{a-2}{a+2}\right)\cdot\dfrac{a}{a+2}-\dfrac{a}{a-2}$.

Как думать. Сложи дроби в скобках с общим знаменателем $a^2-1$ (или $a^2-4$). Числитель окажется полным квадратом.

Решение.

1. $\frac{4a+(a-1)^2}{a^2-1}=\frac{a^2+2a+1}{(a-1)(a+1)}=\frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}=\frac{a+1}{a-1}$. Умножаем на $\frac{a}{a+1}$: получаем $\frac{a}{a-1}$. Вычитаем $\frac{a}{a-1}$: $0$.
2. $\frac{8a+(a-2)^2}{a^2-4}=\frac{a^2+4a+4}{(a-2)(a+2)}=\frac{a+2}{a-2}$. Умножаем на $\frac{a}{a+2}$: $\frac{a}{a-2}$. Вычитаем: $0$.

Ответ: в обоих случаях значение равно $0$ и от $a$ не зависит.

№ 28

Докажи, что при допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от неё: 1) $\left(\dfrac{20a}{25-a^2}+\dfrac{5-a}{a+5}\right):\dfrac{a+5}{5}-\dfrac{5}{5-a}$; 2) $\left(\dfrac{28c}{c^2-49}+\dfrac{c-7}{c+7}\right)\cdot\dfrac{c}{c+7}-\dfrac{c}{c-7}$.

Как думать. Тот же приём, что в № 27: общий знаменатель в скобках, свёртка в полный квадрат.

Решение.

1. $\frac{20a+(5-a)^2}{25-a^2}=\frac{a^2+10a+25}{(5-a)(5+a)}=\frac{a+5}{5-a}$. Делим на $\frac{a+5}{5}$: $\frac{5}{5-a}$. Вычитаем $\frac{5}{5-a}$: $0$.
2. $\frac{28c+(c-7)^2}{c^2-49}=\frac{c^2+14c+49}{(c-7)(c+7)}=\frac{c+7}{c-7}$. Умножаем на $\frac{c}{c+7}$: $\frac{c}{c-7}$. Вычитаем: $0$.

Ответ: в обоих случаях значение равно $0$.

Уравнения и их системы

№ 29

Реши уравнения: 1) $(x+2)^2-(x^2+2^2)-2^3=0$; 2) $(3+x)^2-(x^2+3^2)-3^2=0$; 3) $0{,}5(0{,}5+2x)+x^2-10-(x^2+0{,}25)=0$; 4) $x\left(x+1\frac13\right)+\frac49-\frac34-\left(\frac49+x^2\right)=0$.

Как думать. Раскрой скобки, сократи $x^2$: линейное уравнение останется.

Решение.

1. $x^2+4x+4-x^2-4-8=4x-8=0$, $x=2$.
2. $9+6x+x^2-x^2-9-9=6x-9=0$, $x=1{,}5$.
3. $0{,}25+x+x^2-10-x^2-0{,}25=x-10=0$, $x=10$.
4. $x^2+\frac43x+\frac49-\frac34-\frac49-x^2=\frac43x-\frac34=0$, $x=\frac34\cdot\frac34=\frac{9}{16}$.

Ответ: 1) $2$; 2) $1{,}5$; 3) $10$; 4) $\frac{9}{16}$.

№ 30

Реши уравнения: 1) $\left(x-\frac12\right)^2=7\frac14+x^2$; 2) $2-\left(\frac1{64}+x^2\right)=-\left(x-\frac18\right)^2$; 3) $27+25x^2+2{,}7^2=7{,}29+5x(5x-5{,}4)$; 4) $\frac1{49}x^2-7\left(-x-\frac27\right)=-61+\left(-\frac17x\right)^2$.

Как думать. Квадраты $x^2$ слева и справа одинаковые и уйдут. Остаётся линейное уравнение.

Решение.

1. $x^2-x+\frac14=7\frac14+x^2$, значит, $-x=7$, $x=-7$.
2. $2-\frac{1}{64}-x^2=-x^2+\frac x4-\frac{1}{64}$, значит, $2=\frac x4$, $x=8$.
3. $2{,}7^2=7{,}29$. Слева $27+25x^2+7{,}29$, справа $7{,}29+25x^2-27x$. Тогда $27=-27x$, $x=-1$.
4. $\frac{x^2}{49}+7x+2=-61+\frac{x^2}{49}$, значит, $7x=-63$, $x=-9$.

Ответ: 1) $-7$; 2) $8$; 3) $-1$; 4) $-9$.

№ 31

Реши уравнения: 1) $x^2-(x-7)(x+7)=5-2(-2-x)$; 2) $121-(11-x)(x+11)=187+x(x+11)$; 3) $x^2-0{,}3\cdot\frac3{10}-x=(x+0{,}3)(x-0{,}3)$; 4) $\left(x-\frac34\right)(x+0{,}75)+\frac34(0{,}75-x)=x^2+1{,}5$.

Как думать. Формулы $(x-a)(x+a)=x^2-a^2$ делают из уравнений линейные.

Решение.

1. $x^2-(x^2-49)=5+4+2x$, значит, $49=9+2x$, $x=20$.
2. $121-(121-x^2)=187+x^2+11x$, то есть $x^2=187+x^2+11x$, $x=-17$.
3. $0{,}3\cdot\frac{3}{10}=0{,}09$. Тогда $x^2-0{,}09-x=x^2-0{,}09$, значит, $-x=0$, $x=0$.
4. $\left(x-\frac34\right)\left(x+\frac34\right)=x^2-\frac{9}{16}$ и $\frac34\cdot\left(\frac34-x\right)=\frac{9}{16}-\frac34x$. Сумма $x^2-\frac34x=x^2+1{,}5$, значит, $-\frac34x=1{,}5$, $x=-2$.

Ответ: 1) $20$; 2) $-17$; 3) $0$; 4) $-2$.

№ 32

Реши систему уравнений графическим способом: 1) $\begin{cases}2{,}25x+2y=3,\2x+y=5;\end{cases}$ 2) $\begin{cases}3x-y=5,\2x+y=10.\end{cases}$

Как думать. Каждое уравнение с двумя переменными задаёт прямую. Находим по две точки, проводим прямые, и точка пересечения даёт решение.

Решение.

1. Первая прямая: $y=\frac{3-2{,}25x}{2}$, точки $(0;1{,}5)$ и $(4;-3)$. Вторая: $y=5-2x$, точки $(0;5)$ и $(4;-3)$. Общая точка $(4;-3)$. Проверка: $2{,}25\cdot4+2\cdot(-3)=9-6=3$ и $2\cdot4-3=5$. Верно.
2. Первая прямая: $y=3x-5$, точки $(1;-2)$ и $(3;4)$. Вторая: $y=10-2x$, точки $(1;8)$ и $(3;4)$. Общая точка $(3;4)$. Проверка: $9-4=5$ и $6+4=10$. Верно.

Ответ: 1) $(4;-3)$; 2) $(3;4)$.

№ 33

Найди два числа, если: 1) значение суммы первого числа, увеличенного в три раза, и второго числа, увеличенного в два раза, равно $62$, а значение разности первого числа, умноженного на $5$, и второго числа, умноженного на $6$, равно $-18$; 2) значение разности двух чисел равно $3$, а значение их суммы равно $-7$.

Как думать. Обозначим числа $x$ и $y$ и запишем условия как систему.

Решение.

1. $\begin{cases}3x+2y=62,\5x-6y=-18.\end{cases}$ Умножим первое уравнение на 3: $9x+6y=186$. Сложим со вторым: $14x=168$, $x=12$. Тогда $2y=62-36=26$, $y=13$.
2. $\begin{cases}x-y=3,\x+y=-7.\end{cases}$ Складываем: $2x=-4$, $x=-2$, затем $y=-5$.

Ответ: 1) $12$ и $13$; 2) $-2$ и $-5$.

№ 34

1) Найди скорости двух автомобилей, если скорость сближения равна $173$ км/ч, а скорость удаления $17$ км/ч. 2) Найди скорость течения реки и собственную скорость теплохода, если его скорость по течению равна $47$ км/ч, а против течения $39$ км/ч.

Как думать. В обеих задачах известны сумма и разность двух скоростей. Полусумма даёт большую скорость, полуразность меньшую.

Решение.

1. Сближение: $v_1+v_2=173$. Удаление (одна машина догоняет другую): $v_1-v_2=17$. Складываем: $2v_1=190$, $v_1=95$, затем $v_2=78$.
2. По течению $v+u=47$, против $v-u=39$. Складываем: $2v=86$, $v=43$ км/ч. Вычитаем: $2u=8$, $u=4$ км/ч.

Ответ: 1) $95$ км/ч и $78$ км/ч; 2) $43$ км/ч (собственная скорость) и $4$ км/ч (течение).

№ 35

Реши систему с параметром $p$: 1) $\begin{cases}-2x+5y-7=0,\px+3y-1=0;\end{cases}$ 2) $\begin{cases}8x-9y+4=0,\4x-py+2=0.\end{cases}$

Как думать. Выбери способ сложения. Параметр может «обнулить» множитель, и тогда нужно отдельно рассмотреть этот случай.

Решение.

1. Запишем $-2x+5y=7$ и $px+3y=1$. Умножим первое на 3, второе на 5: $-6x+15y=21$ и $5px+15y=5$. Вычитаем: $(-6-5p)x=16$.
   • Если $5p+6\ne0$, то $x=-\frac{16}{5p+6}$, а $y=\frac{7+2x}{5}=\frac{7p+2}{5p+6}$.
   • Если $p=-\frac65$, то получаем $0\cdot x=16$, решений нет.
2. Запишем $8x-9y=-4$ и $4x-py=-2$. Умножим второе на 2: $8x-2py=-4$. Вычитаем из первого: $(2p-9)y=0$.
   • Если $p\ne\frac92$, то $y=0$, $x=-\frac12$.
   • Если $p=\frac92$, уравнения совпадают, решений бесконечно много: $\left(\frac{9y-4}{8};,y\right)$ при любом $y$.

Ответ: 1) при $p\ne-\frac65$: $x=-\frac{16}{5p+6}$, $y=\frac{7p+2}{5p+6}$; при $p=-\frac65$ решений нет. 2) при $p\ne\frac92$: $(-\frac12;,0)$; при $p=\frac92$: бесконечно много решений.

№ 36

При каких значениях $x$ принимает неотрицательное значение выражение: 1) $5x-16$; 2) $47-97x$; 3) $x^2-11-x(x-2)$; 4) $x(3+x)-x^2-33$; 5) $(x+5)^2-x^2-12x$; 6) $20x+x^2-(4-x)^2$?

Как думать. «Неотрицательное» значит $\ge0$. Упрости выражение и реши линейное неравенство.

Решение.

1. $5x-16\ge0$, $x\ge3{,}2$.
2. $47-97x\ge0$, $x\le\frac{47}{97}$.
3. $x^2-11-x^2+2x=2x-11\ge0$, $x\ge5{,}5$.
4. $3x+x^2-x^2-33=3x-33\ge0$, $x\ge11$.
5. $x^2+10x+25-x^2-12x=25-2x\ge0$, $x\le12{,}5$.
6. $20x+x^2-16+8x-x^2=28x-16\ge0$, $x\ge\frac47$.

Ответ: 1) $[3{,}2;+\infty)$; 2) $\left(-\infty;\frac{47}{97}\right]$; 3) $[5{,}5;+\infty)$; 4) $[11;+\infty)$; 5) $(-\infty;12{,}5]$; 6) $\left[\frac47;+\infty\right)$.

№ 37

При каких значениях $y$ меньше нуля разность двух выражений: 1) $y^2-16$ и $8y+y^2$; 2) $5y^3+10y$ и $17+5y^3$; 3) $(1-y)^2+13$ и $y^2-6$; 4) $87+y^2$ и $(y-3)^2-5$?

Как думать. Составь разность «первое минус второе», упрости и реши неравенство

Решение.

1. $(y^2-16)-(8y+y^2)=-8y-16<0$, значит, $y>-2$.
2. $(5y^3+10y)-(17+5y^3)=10y-17<0$, $y<1{,}7$.
3. $(1-y)^2+13-(y^2-6)=1-2y+y^2+13-y^2+6=20-2y<0$, $y>10$.
4. $87+y^2-\bigl((y-3)^2-5\bigr)=87+y^2-y^2+6y-9+5=6y+83<0$, $y<-\frac{83}{6}=-13\frac56$.

Ответ: 1) $(-2;+\infty)$; 2) $(-\infty;1{,}7)$; 3) $(10;+\infty)$; 4) $\left(-\infty;-13\frac56\right)$.

Функция

№ 38

Построй график уравнения: 1) $x+y-3=0$; 2) $x-y-3=0$; 3) $y-x+3=0$; 4) $y-x-3=0$; 5) $y+2x^3=0$; 6) $y-\frac3x=0$; 7) $y+\frac{0{,}3}{x}=0$.

Как думать. Переведи каждое уравнение к виду «$y=\dots$». Прямые строим по двум точкам, кубическую параболу и гиперболу по таблице значений.

Решение.

1. $y=3-x$: точки $(0;3)$ и $(3;0)$.
2. $y=x-3$: точки $(0;-3)$ и $(3;0)$.
3. $y=x-3$. Это та же прямая, что в пункте 2).
4. $y=x+3$: точки $(0;3)$ и $(-3;0)$. Она параллельна прямой из пунктов 2), 3).
5. $y=-2x^3$. Таблица: $x=-1\to2$; $x=-0{,}5\to0{,}25$; $x=0\to0$; $x=0{,}5\to-0{,}25$; $x=1\to-2$; $x=1{,}5\to-6{,}75$. Кривая идёт из второй четверти в четвёртую через начало координат.
6. $y=\frac3x$. Таблица: $x=0{,}5\to6$; $1\to3$; $2\to1{,}5$; $3\to1$; $6\to0{,}5$ и симметрично для отрицательных $x$. Ветви в I и III четвертях.
7. $y=-\frac{0{,}3}{x}$. Таблица: $x=0{,}1\to-3$; $0{,}5\to-0{,}6$; $1\to-0{,}3$; $3\to-0{,}1$ и симметрично для отрицательных. Ветви в IV и II четвертях, очень близко к осям.

Ответ: графики построены. Пункты 2) и 3) совпадают. Гиперболы 6) и 7) состоят из двух ветвей.

№ 39

Запиши формулу линейной функции, график которой проходит через точки: 1) $A(-3;2)$ и $B(1;-1)$; 2) $M(-4;-2)$ и $K(2;4)$; 3) $F(-1;6)$ и $E(1;-6)$; 4) $T(5;3)$ и $P(-5;-3)$.

Как думать. Формула $y=kx+b$. Угловой коэффициент $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, потом $b$ находим подстановкой одной точки.

Решение.

1. $k=\frac{-1-2}{1+3}=-\frac34$. Из точки $B$: $-1=-\frac34+b$, $b=-\frac14$.
2. $k=\frac{4+2}{2+4}=1$. Из $K$: $4=2+b$, $b=2$.
3. $k=\frac{-6-6}{1+1}=-6$. Из $E$: $-6=-6+b$, $b=0$.
4. $k=\frac{-3-3}{-5-5}=0{,}6$. Из $T$: $3=3+b$, $b=0$.

Ответ: 1) $y=-\frac34x-\frac14$; 2) $y=x+2$; 3) $y=-6x$; 4) $y=0{,}6x$.

№ 40

Для каких значений $x$ график уравнения расположен ниже оси абсцисс: 1) $2{,}3x-7y-4{,}6=0$; 2) $5x+4y-9=0$; 3) $x^2+y=0$; 4) $y=2x^2$; 5) $y-\frac3x=0$; 6) $y+\frac2x=0$?

Как думать. «Ниже оси $Ox$» значит $y<0$. Выразим $y$ и решим неравенство.

Решение.

1. $y=\frac{2{,}3x-4{,}6}{7}<0$, значит, $x<2$.
2. $y=\frac{9-5x}{4}<0$, значит, $x>1{,}8$.
3. $y=-x^2<0$ при $x\ne0$.
4. $y=2x^2\ge0$ при любых $x$. Ниже оси график не опускается.
5. $y=\frac3x<0$ при $x<0$.
6. $y=-\frac2x<0$ при $x>0$.

Ответ: 1) $x<2$; 2) $x>1{,}8$; 3) $x\ne0$; 4) таких $x$ нет; 5) $x<0$; 6) $x>0$.

№ 41

По графику функции на рисунке 1 (ломаная $ABCD$) найди: 1) область определения; 2) значения $x$, где функция возрастает; 3) значения $x$, где убывает; 4) координаты точек $A$, $B$, $C$, $D$; 5) точки пересечения графика с осями; 6) уравнения прямых $AB$, $BC$, $CD$.

Как думать. Считай клетки от начала координат. Прямые по двум точкам: $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Решение. 4) По клеткам: $A(-10;-4)$, $B(-2;-2)$, $C(2;2)$, $D(7;-7)$.

1. График идёт от $x=-10$ до $x=7$. Область определения $[-10;7]$.
2. От $A$ до $C$ график поднимается: функция возрастает на $[-10;2]$.
3. От $C$ до $D$ график опускается: функция убывает на $[2;7]$.
4. Ось $Ox$: прямая $BC$ проходит через начало координат, это точка $(0;0)$. Отрезок $CD$ пересекает ось при $y=0$: $x=\frac{28}{9}\approx3{,}1$, то есть $\left(\frac{28}{9};0\right)$. Ось $Oy$: только точка $(0;0)$.
5. $AB$: $k=\frac{-2+4}{-2+10}=\frac14$, $-2=\frac14\cdot(-2)+b$, $b=-1{,}5$, значит, $y=\frac x4-1{,}5$. $BC$: $k=\frac{2+2}{2+2}=1$, $b=0$, значит, $y=x$. $CD$: $k=\frac{-7-2}{7-2}=-1{,}8$, $2=-3{,}6+b$, $b=5{,}6$, значит, $y=-1{,}8x+5{,}6$.

Ответ: 1) $[-10;7]$; 2) $[-10;2]$; 3) $[2;7]$; 4) $A(-10;-4)$, $B(-2;-2)$, $C(2;2)$, $D(7;-7)$; 5) $(0;0)$ и $\left(\frac{28}{9};0\right)$; 6) $y=\frac x4-\frac32$, $y=x$, $y=-\frac95x+\frac{28}{5}$.

№ 42

Графики каких из линейных функций $y=4x+8$; $y=-5x+11$; $y=4x$; $y=5x$; $y=7x-0{,}5$; $y=-6x-0{,}5$; $y=1{,}5x+2$; $y=-9+1{,}5x$; $y=x-4$; $y=8+6x$: 1) пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают?

Как думать. Всё решает угловой коэффициент $k$. Разные $k$ дают пересечение. Одинаковые $k$ и разные $b$ дают параллельность. Одинаковые $k$ и $b$ дают совпадение.

Решение. Выпишем $k$ и $b$: $(4;8)$, $(-5;11)$, $(4;0)$, $(5;0)$, $(7;-0{,}5)$, $(-6;-0{,}5)$, $(1{,}5;2)$, $(1{,}5;-9)$, $(1;-4)$, $(6;8)$.

• Одинаковое $k=4$ у $y=4x+8$ и $y=4x$, а $b$ разные, значит, эти прямые параллельны.
• Одинаковое $k=1{,}5$ у $y=1{,}5x+2$ и $y=-9+1{,}5x$, а $b$ разные, значит, и они параллельны.
• Других одинаковых $k$ нет, поэтому все остальные пары прямых пересекаются. Например, $y=7x-0{,}5$ и $y=-6x-0{,}5$ пересекаются в точке $(0;-0{,}5)$ на оси ординат, а $y=4x+8$ и $y=8+6x$ в точке $(0;8)$.
• Совпадающих прямых нет, так как нет пары с одинаковыми $k$ и $b$.

Ответ: 1) пересекаются любые две функции, кроме двух пар; 2) параллельны: $y=4x+8$ и $y=4x$; $y=1{,}5x+2$ и $y=-9+1{,}5x$; 3) совпадающих нет.

№ 43

Для каких значений $x$ положительны значения функции: 1) $y=-0{,}125x+7$; 2) $y=0{,}3-0{,}015x$; 3) $y=32x-2^7$; 4) $y=1000x-80$; 5) $y=0{,}5x^2$; 6) $y=-3x^3$; 7) $y=\frac{0{,}3}{x}$; 8) $y=-\frac3x$?

Как думать. Реши неравенство $y>0$. Не забудь, что при делении на отрицательное число знак меняется.

Решение.

1. $-0{,}125x+7>0$, $x<56$.
2. $0{,}3-0{,}015x>0$, $x<20$.
3. $2^7=128$; $32x>128$, $x>4$.
4. $1000x>80$, $x>0{,}08$.
5. $0{,}5x^2>0$ при всех $x\ne0$.
6. $-3x^3>0$, значит, $x^3<0$, $x<0$.
7. $\frac{0{,}3}{x}>0$ при $x>0$.
8. $-\frac3x>0$ при $x<0$.

Ответ: 1) $x<56$; 2) $x<20$; 3) $x>4$; 4) $x>0{,}08$; 5) $x\ne0$; 6) $x<0$; 7) $x>0$; 8) $x<0$.

№ 44

Принадлежит ли графику функции $y=-\frac38x-4$ точка: 1) $A(0;-4)$; 2) $B(8;-7)$; 3) $C(-8;-1)$; 4) $M(16;2)$; 5) $K(-16;-2)$; 6) $F(-4;-2{,}5)$?

Как думать. Подставь $x$ точки в формулу. Если получилось $y$ точки, она лежит на графике.

Решение.

1. $x=0$: $y=-4$. Да.
2. $x=8$: $-3-4=-7$. Да.
3. $x=-8$: $3-4=-1$. Да.
4. $x=16$: $-6-4=-10\ne2$. Нет.
5. $x=-16$: $6-4=2\ne-2$. Нет.
6. $x=-4$: $1{,}5-4=-2{,}5$. Да.

Ответ: принадлежат $A$, $B$, $C$, $F$; не принадлежат $M$ и $K$.

№ 45

Запиши формулы четырёх линейных функций и построй их графики в одной системе координат, если график одной проходит через точки $F(3;0)$ и $K(0;-3)$, другой через $M(-6;0)$ и $T(0;-6)$, а графики третьей и четвёртой пересекают ось ординат в точке с ординатой $6$ и параллельны графикам первой и второй соответственно.

Как думать. Параллельные прямые имеют одинаковый $k$. Третья и четвёртая получаются с $b=6$.

Решение. Первая: $k=\frac{-3-0}{0-3}=1$, $b=-3$, значит, $y=x-3$. Вторая: $k=\frac{-6-0}{0+6}=-1$, $b=-6$, значит, $y=-x-6$. Третья параллельна первой ($k=1$) и $b=6$: $y=x+6$. Четвёртая параллельна второй ($k=-1$) и $b=6$: $y=-x+6$.

Ответ: $y=x-3$; $y=-x-6$; $y=x+6$; $y=-x+6$.

№ 46

Задай формулой линейную функцию, график которой проходит через точку $M(-5;4)$ и параллелен графику функции $y=1\frac13x+7$, и построй её график. Найди значения аргумента, для которых значения функции: 1) положительные; 2) отрицательные.

Как думать. Параллельная прямая имеет то же $k=\frac43$. Свободный член найдём подстановкой точки $M$.

Решение. $y=\frac43x+b$. Подставляем $M$: $4=\frac43\cdot(-5)+b$, $b=4+\frac{20}{3}=\frac{32}{3}=10\frac23$. График строим по точкам: $(-8;0)$ и $(-5;4)$ (ещё $(-2;8)$ и $(1;12)$).

1. $\frac43x+\frac{32}{3}>0$, $x>-8$.
2. $\frac43x+\frac{32}{3}<0$, $x<-8$.

Ответ: $y=1\frac13x+10\frac23$; 1) $x>-8$; 2) $x<-8$.

№ 47

Мальчик спустился к реке, отдохнул возле неё и вернулся обратно. На рисунке 2 дан график его движения ($t$ в минутах, $s$ в километрах). Определи: 1) сколько минут мальчик отдыхал у реки; 2) его скорость на подъёме (в км/ч); 3) сколько минут заняла ходьба.

Как думать. Горизонтальный участок графика означает остановку. Скорость равна пути, делённому на время.

Решение.

1. Горизонтальная часть идёт от $t=40$ до $t=120$ мин: отдых $120-40=80$ мин.
2. Подъём (возвращение) идёт от $t=120$ до $t=180$ мин, то есть $60$ мин $=1$ ч, и за это время мальчик проходит $3$ км. Скорость $3:1=3$ км/ч.
3. Ходьба: $40$ мин вниз и $60$ мин вверх, всего $40+60=100$ мин.

Ответ: 1) $80$ мин; 2) $3$ км/ч; 3) $100$ мин.

№ 48

Пчела летает от улья к цветку и обратно, на цветке собирает пыльцу. Расстояние от улья до цветка $5$ м. На рисунке 3 дан график зависимости расстояния между пчелой и ульем от времени. Определи, какое расстояние пролетела пчела за первые $40$ с.

Как думать. Горизонтальный участок: пчела сидит на цветке и не летит, это расстояние не считаем. Считаем только наклонные участки.

Решение. С 0 до 10 с пчела летит к цветку: $5$ м. С 10 до 20 с собирает пыльцу (стоит). С 20 с до примерно 37 с летит обратно к улью: ещё $5$ м. Итого $5+5=10$ м. После этого пчела уже вылетает снова, но за оставшиеся доли секунды до 40 с она пролетает меньше метра.

Ответ: $10$ м.

№ 49

На графике (рисунок 4) жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в городе $N$ с 15 по 28 марта 2016 г. Определи разность между наибольшей и наименьшей среднесуточными температурами за этот период (в градусах Цельсия).

Как думать. Найди самую высокую точку и самую низкую. Их разность и есть ответ.

Решение. Самая высокая температура была 27 марта: $6,^\circ$C. Самая низкая 18 и 22 марта: $1,^\circ$C. Разность $6-1=5$.

Ответ: $5,^\circ$C.

№ 50

В ходе химической реакции количество исходного вещества, ещё не вступившего в реакцию, со временем убывает. На рисунке 5 график зависимости массы $m$ (г) оставшегося реагента от времени $t$ (мин). Найди, сколько граммов реагента вступило в реакцию за $4$ мин.

Как думать. Нужны две точки на графике, между которыми прошло $4$ минуты. На оси подписаны $t=1$ и $t=5$, как раз $4$ мин. Масса, которая «ушла» в реакцию, равна разности значений $m$.

Решение. При $t=1$ мин на графике $m=2$ г, а при $t=5$ мин $m=1$ г. За эти $4$ мин в реакцию вступило $2-1=1$ г реагента.

Ответ: $1$ г.

№ 51

Дан график функции $y=-\frac2x$ (рисунок 6). Найди множество значений $x$, при которых функция: 1) принимает неотрицательные значения; 2) убывает; 3) принимает значения, не меньшие $2$; 4) принимает значения, меньшие $-1$.

Как думать. Левая ветвь гиперболы $y=-\frac2x$ лежит выше оси $Ox$ (во II четверти), правая ниже (в IV четверти). Подставим границы в формулу и посмотрим на направление графика.

Решение.

1. $y=-\frac2x\ge0$ при $x<0$ (левая ветвь).
2. Обе ветви идут снизу вверх: левая растёт от $0$ к $+\infty$, правая от $-\infty$ к $0$. Убывающих участков нет.
3. $-\frac2x\ge2$ при $x<0$. Умножим на $x<0$ и перевернём знак: $-2\le2x$, откуда $x\ge-1$. С учётом $x<0$: $[-1;0)$.
4. $-\frac2x<-1$ при $x>0$ (правая ветвь). Умножим на $x>0$: $-2<-x$, откуда $x<2$. Итог $(0;2)$.

Ответ: 1) $(-\infty;0)$; 2) убывания нет (функция возрастает на каждой из двух ветвей); 3) $[-1;0)$; 4) $(0;2)$.

№ 52

Графики двух функций пересекаются в точках $A$ и $B$ (рисунок 7). Найди координаты точек $A$ и $B$.

Как думать. Читай координаты точек пересечения по клеткам. Затем проверь подстановкой: график — это прямая $y=x-2$ и гипербола $y=\frac{1}{x-2}$.

Решение. Точка $A$ лежит на 3 клетки правее оси $Oy$ и на 1 клетку выше оси $Ox$, значит, $A(3;1)$. Точка $B$ на 1 клетку правее оси и на 1 клетку ниже, значит, $B(1;-1)$. Проверка по формулам: $x-2=\frac{1}{x-2}$, то есть $(x-2)^2=1$, откуда $x=3$ или $x=1$. Тогда $y=1$ и $y=-1$.

Ответ: $A(3;1)$, $B(1;-1)$.

№ 53

Дан график функции $y=\frac5x$ (рисунок 8). Проходит ли график через точку: 1) $A(1;7)$; 2) $B(-5;-1)$; 3) $C(2;1)$; 4) $M(-2;-2{,}5)$?

Как думать. Подставь $x$ точки в формулу и посмотри, получится ли её $y$. Или проверь, равно ли произведение $xy$ числу $5$.

Решение.

1. $x=1$: $y=5\ne7$. Нет.
2. $x=-5$: $y=-1$. Да, и $xy=5$.
3. $x=2$: $y=2{,}5\ne1$. Нет.
4. $x=-2$: $y=-2{,}5$. Да.

Ответ: проходит через $B$ и $M$; через $A$ и $C$ не проходит.

Тестовые задания и задачи

№ 54

Сколько метров составляет $20%$ от $2$ км? A) $200$ м; B) $250$ м; C) $400$ м; D) $500$ м.

Как думать. Сначала переведи километры в метры.

Решение. $2$ км $=2000$ м. $20%$ от $2000$: $2000\cdot0{,}2=400$ м.

Ответ: C) $400$ м.

№ 55

На сколько однозначных чисел меньше, чем двузначных? A) на $83$; B) на $82$; C) на $92$; D) на $81$.

Как думать. Посчитай количество чисел каждого вида.

Решение. Однозначных натуральных чисел $9$ (от 1 до 9). Двузначных $99-9=90$ (от 10 до 99). Разница $90-9=81$.

Ответ: D) на $81$.

№ 56

Число $x$ составляет $30%$ от $1000$, а число $y$ составляет $10%$ от $500$. Какое равенство верное? A) $x+2y=450$; B) $2x-y=500$; C) $y-3x=800$; D) $0{,}1xy=1500$.

Как думать. Найди $x$ и $y$, потом подставь в каждый вариант.

Решение. $x=1000\cdot0{,}3=300$, $y=500\cdot0{,}1=50$. A) $300+100=400\ne450$. B) $600-50=550\ne500$. C) $50-900=-850\ne800$. D) $0{,}1\cdot300\cdot50=1500$. Верно.

Ответ: D).

№ 57

Периметр прямоугольника $52$ см, а ширина $8$ см. Площадь квадрата равна площади прямоугольника. Найди сторону квадрата. A) $13$ см; B) $14$ см; C) $15$ см; D) $12$ см.

Как думать. Сначала найди вторую сторону прямоугольника, потом площадь.

Решение. Полупериметр $52:2=26$ см, длина $26-8=18$ см. Площадь $18\cdot8=144$ см$^2$. Сторона квадрата $\sqrt{144}=12$ см.

Ответ: D) $12$ см.

№ 58

Количество учащихся 7-х классов показано на рисунке 9: 7А — $26$, 7Б — $33$, 7В — $x$, 7Г — $34$, 7Д — $27$. 1) Сколько всего учащихся в 7В классе, если это в $5$ раз меньше, чем число всех учащихся 7-х классов? A) $31$; B) $32$; C) $29$; D) $30$. 2) Укажи верное утверждение. A) Всех учащихся 7 классов $160$. B) Вместе 7А и 7Г в два раза больше, чем учащихся 7В.

Как думать. Пусть в 7В $x$ человек. Всего в параллели $26+33+x+34+27=120+x$. По условию это в 5 раз больше, чем $x$.

Решение.

1. $120+x=5x$, $4x=120$, $x=30$.
2. Всего $120+30=150$, а не $160$, значит, A) неверно. 7А и 7Г: $26+34=60=2\cdot30$, значит, B) верно.

Ответ: 1) D) $30$; 2) B).

📕 В вопросе напечатано «в 7Б классе», но правильно «в 7В классе»: на рисунке неизвестное число $x$ стоит над столбцом 7В, а у 7Б уже написано $33$, и ни один вариант не равен $33$.

№ 59

На сколько меньше количество натуральных чисел из промежутка от $-10$ до $10$, чем целых чисел из этого промежутка? A) на $12$; B) на $13$; C) на $11$; D) на $10$.

Как думать. Целые числа промежутка включают ещё нуль и все отрицательные. Разница равна количеству «лишних» чисел.

Решение. Целые числа от $-10$ до $10$: $21$ число. Натуральные: $1, 2, \dots, 10$, то есть $10$ чисел. Разница $21-10=11$ (это нуль и десять отрицательных чисел).

Ответ: C) на $11$.

№ 60

В таблице результаты забега учащихся на $500$ м: $60$–$75$ с — $8$ человек, $76$–$90$ с — $9$, $91$–$106$ с — $11$, $107$–$120$ с — $12$. 1) Сколько учащихся участвовало? A) $50$; B) $40$; C) $48$; D) $52$. 2) Сколько процентов составляют учащиеся с результатом $60$–$75$ с? A) $26%$; B) $35%$; C) $40%$; D) $25%$. 3) Какую часть составляют учащиеся с результатом $107$–$120$ с? A) $\frac1{10}$; B) $\frac3{10}$; C) $\frac25$; D) $\frac38$.

Как думать. Сложи все числа второй строки, получишь общее число участников. Доля равна «часть : целое».

Решение.

1. $8+9+11+12=40$.
2. $\frac{8}{40}=0{,}2=20%$.
3. $\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$.

Ответ: 1) B) $40$; 2) $20%$ (в вариантах такого нет); 3) B) $\frac3{10}$.

📕 В вариантах учебника напечатано «$26%$; $35%$; $40%$; $25%$», но правильно «$20%$»: $8:40=0{,}2$, то есть $20%$, а ни один из вариантов этому числу не равен.

№ 61

На рисунке 10 показаны шары для украшения праздника по цветам: зелёных $x$, красных $120$, жёлтых $100$, белых $60$, синих $140$. 1) Найди $x$, если зелёных шаров $16%$ от всех. A) $70$; B) $90$; C) $80$; D) $85$. 2) Сколько всего шаров куплено? A) $500$; B) $400$; C) $450$; D) $480$. 3) Какую часть составляют жёлтые шары? A) $0{,}25$; B) $0{,}4$; C) $0{,}5$; D) $0{,}2$.

Как думать. Все шары вместе: $x+120+100+60+140=x+420$. Зелёных $16%$ от этого числа.

Решение.

1. $x=0{,}16(x+420)$, $0{,}84x=67{,}2$, $x=80$.
2. Всего $80+420=500$.
3. Жёлтых $\frac{100}{500}=0{,}2$.

Ответ: 1) C) $80$; 2) A) $500$; 3) D) $0{,}2$.

№ 62

Для строительных работ куплено четыре вида красок (рисунок 11): I вид — $20%$, II вид — $\frac14$ часть, III вид — $40$ штук, IV вид — $15%$. 1) Сколько процентов составляют краски III вида? A) $50%$; B) $45%$; C) $40%$; D) $35%$. 2) Сколько штук красок всего? A) $95$; B) $90$; C) $110$; D) $100$.

Как думать. Весь круг это $100%$. $\frac14$ часть это $25%$. Вычти известные доли, получишь долю III вида.

Решение.

1. $100-20-25-15=40%$.
2. $40$ штук это $40%$. Тогда всего $40:0{,}4=100$ штук.

Ответ: 1) C) $40%$; 2) D) $100$ штук.

№ 63

Если $a,&,c=a^2\cdot c^{-1}$, найди значение выражения $(3,&,1{,}8),&,0{,}5$. A) $50$; B) $60$; C) $72$; D) $56$.

Как думать. Знак

Решение. $3,&,1{,}8=\frac{3^2}{1{,}8}=\frac{9}{1{,}8}=5$. Затем $5,&,0{,}5=\frac{25}{0{,}5}=50$.

Ответ: A) $50$.

№ 64

Прямоугольник на рисунке 12 разделён на равные клетки: $12$ клеток в ряду, $5$ рядов, закрашено $20$ клеток. 1) Какую часть прямоугольника составляет закрашенная часть? A) $\frac13$; B) $\frac23$; C) $\frac14$; D) $\frac34$. 2) Какой процент составляет незакрашенная часть? A) $66\frac23%$; B) $66\frac13%$; C) $66%$; D) $67%$. 3) Если сторона клетки $2$ см, на сколько квадратных сантиметров площадь незакрашенной части больше площади закрашенной? A) $70$; B) $90$; C) $80$; D) $85$.

Как думать. Сначала посчитай все клетки и закрашенные. Потом доля, процент, площадь одной клетки.

Решение. Всего клеток $12\cdot5=60$. Закрашено по рядам (сверху вниз): $2+5+3+6+4=20$. Не закрашено $60-20=40$.

1. $\frac{20}{60}=\frac13$.
2. $\frac{40}{60}=\frac23=66\frac23%$.
3. Площадь одной клетки $2\cdot2=4$ см$^2$. Незакрашенных больше на $40-20=20$ клеток, то есть на $20\cdot4=80$ см$^2$.

Ответ: 1) A) $\frac13$; 2) A) $66\frac23%$; 3) C) $80$ см$^2$.

№ 65

На конференции работала группа переводчиков. Из них $12$ знали английский, $10$ — французский, $8$ — турецкий, $5$ — английский и французский, $2$ — английский и турецкий, $3$ — французский и турецкий, $2$ — все три языка. Сколько переводчиков работало? A) $18$; B) $19$; C) $22$; D) $20$.

Как думать. Это задача на объединение трёх множеств. Складываем всех, вычитаем пары, прибавляем тройное пересечение.

Решение. $12+10+8-5-2-3+2=30-10+2=22$.

Ответ: C) $22$.

№ 66

Куб с ребром $1$ м распилили на кубики с ребром $1$ см. Какой длины получится ряд, если выложить кубики в одну линию?

Как думать. Сначала сосчитай, сколько маленьких кубиков помещается в большом. Потом умножь на длину одного кубика.

Решение. В $1$ м $100$ см, поэтому вдоль каждого ребра помещается $100$ кубиков. Всего $100^3=10^6$ кубиков. Ряд из них имеет длину $10^6\cdot1$ см $=10^6$ см $=10,000$ м $=10$ км. Это длина хорошего пешего перехода за город.

Ответ: $10$ км.

№ 67

После каждой стирки кусок мыла уменьшается на $20%$. После скольких стирок кусок мыла уменьшится не менее чем на две трети? Найди наименьшее такое число.

Как думать. Уменьшиться «не менее чем на две трети» значит остаться не более чем $\frac13$ от начального куска. После каждой стирки остаётся $0{,}8$ предыдущего.

Решение. После $n$ стирок остаётся $0{,}8^n$. Нужно $0{,}8^n\le\frac13\approx0{,}3333$. По таблице выше: $n=4$ даёт $0{,}4096$ (мало), $n=5$ даёт $0{,}32768$ (достаточно).

Ответ: $5$ стирок.

Шпаргалка

• Тождество доказывай так: упрости обе части и покажи, что получились одинаковые выражения.
• Неравенство: при умножении или делении на отрицательное число знак меняется.
• Тест A–D: если не получается решить, подставь варианты в условие.
• Проценты: $p%$ от числа $b$ это $b\cdot\frac{p}{100}$. Часть от целого: $\frac{\text{часть}}{\text{целое}}$.
• Три множества: $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$.

⚠️ Частая ошибка. $-3^2=-9$, а $(-3)^2=9$. Минус не входит в основание, если он стоит перед степенью без скобок.

⚠️ Частая ошибка. $(a+b)^2\ne a^2+b^2$. Не забывай удвоенное произведение $2ab$.

Мини-тест