Проверь себя! Раздел VI

Алгебра, 7 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2025). Раздел 6: Алгебраические дроби. Страницы 254–257.

Этот тест подводит итог раздела «Алгебраические дроби»: когда дробь имеет смысл, сокращение, общий знаменатель, сложение, умножение, деление, степень и тождественные преобразования. По каждому вопросу ниже ход решения и верная буква. Сначала реши сам, потом сверься.

Напомним главное.

⚠️ Частая ошибка. Путают $a-b$ и $b-a$: они отличаются знаком, $b-a=-(a-b)$. Из-за этого в тесте часто прячутся неверные варианты, у которых потерян минус.

Решаем упражнения

№ 1

При каких значениях $a$ имеет смысл дробь $\frac{a-1}{a^2+4}$: A. все числа, кроме 4; B. все числа, кроме 1; C. все числа, кроме 2 и $-2$; D. $a$ любое число.

Как думать. Дробь не имеет смысла только там, где знаменатель равен нулю.

Решение. $a^2\ge 0$, поэтому $a^2+4\ge 4$ и никогда не равно нулю. Значит, ограничений на $a$ нет. Числитель на смысл дроби не влияет.

Ответ: D.

№ 2

При каких значениях $x$ не имеет смысла дробь $\frac{x-3}{x+3}$: A. 9; B. 3; C. 0; D. $-3$.

Решение. Знаменатель равен нулю при $x+3=0$, то есть $x=-3$. При $x=3$ ноль в числителе, а это допустимо.

Ответ: D.

№ 3

Сократи дробь $\frac{8x^2-4xy}{y-2x}$: A. 4; B. $-4x$; C. $4x$; D. $-4$.

Решение. $8x^2-4xy=4x(2x-y)$, а $y-2x=-(2x-y)$. Тогда дробь равна $\frac{4x(2x-y)}{-(2x-y)}=-4x$.

Ответ: B.

№ 4

Найди дробь, равную дроби $\frac{3}{y-x}$: A. $\frac{6}{2x-y}$; B. $-\frac{6}{2x-2y}$; C. $\frac{3}{x+y}$; D. $-\frac{3}{y-x}$.

Решение. Вынесем минус из знаменателя: $\frac{3}{y-x}=-\frac{3}{x-y}$. Умножим числитель и знаменатель на 2: $-\frac{6}{2x-2y}$. Это вариант B. У A и C знаменатель другой, у D противоположный знак.

Ответ: B.

№ 5

Укажи верное тождество: A. $\frac{5a}{a^2-3}=\frac{5}{a-3}$; B. $\frac{x+y}{x-y}=\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2}$; C. $\frac{b}{b-3}=\frac{7b}{21-7b}$; D. $\frac{5}{11}=\frac{5}{11n}$.

Решение.

1. A: на $a$ нельзя сократить, потому что $a$ не множитель всего знаменателя $a^2-3$. Неверно.
2. B: $\frac{(x+y)^2}{(x-y)(x+y)}=\frac{x+y}{x-y}$. Верно.
3. C: $\frac{7b}{21-7b}=\frac{7b}{7(3-b)}=\frac{b}{3-b}$, а это $-\frac{b}{b-3}$. Неверно.
4. D: справа знаменатель в $n$ раз больше. Неверно.

Ответ: B.

№ 6

Приведи к общему знаменателю дроби $\frac{1}{3x^2}$, $\frac{5}{6xy^2}$, $\frac{3}{10xy^3}$: A. $30x^2y^3$; B. $60x^2y^3$; C. $30x^5y^5$; D. $180x^2y^3$.

Как думать. Берём наименьшее общее кратное чисел и наибольшую степень каждой буквы.

Решение. НОК чисел 3, 6 и 10 равно 30. Буква $x$ в наибольшей степени: $x^2$. Буква $y$: $y^3$. Общий знаменатель $30x^2y^3$. Варианты B и D тоже делятся на все три знаменателя, но они не наименьшие, а C даёт лишние степени.

Ответ: A.

№ 7

Чему равен общий знаменатель дробей $\frac{6}{3a-a^2}$; $\frac{a+1}{a^2-9}$; $\frac{4}{a^2}$: A. $a^2-9$; B. $a(a^2-9)$; C. $a(9-a^2)$; D. $a^2(9-a^2)$.

Решение.

1. $3a-a^2=a(3-a)$, $a^2-9=(a-3)(a+3)$, $a^2$. Множители $3-a$ и $a-3$ различаются знаком.
2. В общий знаменатель входят $a^2$ (самая высокая степень $a$), $(a-3)$ и $(a+3)$. Получается $a^2(a-3)(a+3)=a^2(a^2-9)$.
3. Среди вариантов такого нет, но есть $a^2(9-a^2)=-a^2(a^2-9)$, он отличается только знаком и тоже делится на все три знаменателя. Варианты A, B и C не содержат $a^2$ целиком.

Ответ: D.

№ 8

Упрости выражение $\frac{3x-26}{18x^2}-\frac{x-4}{3x^2}-\frac{5}{9x}$: A. $\frac{13x-26}{18x^2}$; B. $\frac{19x-22}{18x^2}$; C. $-\frac{13x+2}{18x^2}$; D. $\frac{13x-26}{18x^2}$.

Решение. Общий знаменатель $18x^2$. Вторую дробь домножаем на 6, третью на $2x$: $\frac{3x-26-6(x-4)-10x}{18x^2}=\frac{3x-26-6x+24-10x}{18x^2}=\frac{-13x-2}{18x^2}=-\frac{13x+2}{18x^2}.$

Ответ: C.

№ 9

При каких значениях $x$ выполняется равенство $\frac{2}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}+\frac{3}{x+3}$: A. 1; B. 0; C. 2; D. $-1$.

Решение. Правая часть: $\frac{(x+3)+3(x-3)}{x^2-9}=\frac{4x-6}{x^2-9}$. Приравняем числители: $2=4x-6$, $x=2$. Проверка: $x^2-9=-5\ne 0$, значит, всё допустимо.

Ответ: C.

№ 10

Упрости выражение $\frac{2y+3}{x}\cdot\frac{3y^2}{4y^2-9}:\frac{y}{10xy-15x}$: A. 15; B. $15y$; C. $\frac{1}{15y}$; D. $\frac{x}{15y}$.

Решение. $4y^2-9=(2y-3)(2y+3)$ и $10xy-15x=5x(2y-3)$. Переходим к умножению: $\frac{2y+3}{x}\cdot\frac{3y^2}{(2y-3)(2y+3)}\cdot\frac{5x(2y-3)}{y}=\frac{15xy^2}{xy}=15y.$

Ответ: B.

№ 11

Упрости выражение $\left(1-\frac{3}{a}\right)\cdot\frac{a}{a^2-9}$: A. $\frac{1}{a+3}$; B. $a+3$; C. $\frac{a^2}{a+3}$; D. 1.

Решение. $1-\frac{3}{a}=\frac{a-3}{a}$. Умножаем: $\frac{a-3}{a}\cdot\frac{a}{(a-3)(a+3)}=\frac{1}{a+3}$.

Ответ: A.

№ 12

Упрости выражение $\frac{8-a^3}{16-a^2}\cdot\frac{a+4}{a^2+2a+4}$ и найди его значение при $a=-2$: A. 0; B. $\frac{2}{3}$; C. 1; D. $-1$.

Решение. $8-a^3=(2-a)(4+2a+a^2)$ и $16-a^2=(4-a)(4+a)$. Сокращаем $a^2+2a+4$ и $a+4$: $\frac{(2-a)}{(4-a)}.$ При $a=-2$: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Ответ: B.

№ 13

Сократи дробь $\frac{9x^2+24xy+16y^2}{9x^2-16y^2}$: A. $\frac{4y+3x}{4y-3x}$; B. $\frac{3x-4y}{4y+3x}$; C. $\frac{4y+3x}{3x-4y}$; D. $\frac{1}{3x+4y}$.

Решение. Числитель: $(3x+4y)^2$. Знаменатель: $(3x-4y)(3x+4y)$. После сокращения $\frac{3x+4y}{3x-4y}=\frac{4y+3x}{3x-4y}$.

Ответ: C.

№ 14

Если $\frac{2a-b}{3a+2}=5$, найди значение дроби $\frac{4b-8a}{15a+10}$: A. 4; B. 100; C. $-4$; D. $-100$.

Как думать. Новую дробь постараемся выразить через ту, что нам дана.

Решение. $4b-8a=-4(2a-b)$ и $15a+10=5(3a+2)$. Тогда $\frac{4b-8a}{15a+10}=-\frac{4}{5}\cdot\frac{2a-b}{3a+2}=-\frac{4}{5}\cdot 5=-4.$

Ответ: C.

№ 15

Упрости выражение $\left(\frac{6a}{5b}\right)^2\cdot\left(\frac{5b^3}{6a}\right)^4\cdot(6a)^2$: A. $25b^{10}$; B. $\frac{b^{10}}{5}$; C. $30a^4b^{12}$; D. 1.

Решение. Возводим в степень: $\frac{36a^2}{25b^2}\cdot\frac{625b^{12}}{1296a^4}\cdot 36a^2$. Числа: $\frac{36\cdot 625\cdot 36}{25\cdot 1296}=25$. Буквы: $a^{2-4+2}=a^0=1$, $b^{12-2}=b^{10}$. Итого $25b^{10}$.

Ответ: A.

№ 16

Из пропорции $\frac{a^3-25a}{2a+10}=\frac{3a^2-15a}{x}$ найди $x$: A. $\frac{1}{6}$; B. 1; C. 6; D. $-6$.

Решение. Упростим левую дробь: $\frac{a(a-5)(a+5)}{2(a+5)}=\frac{a(a-5)}{2}$. Правая часть: $\frac{3a(a-5)}{x}$. Приравниваем: $\frac{a(a-5)}{2}=\frac{3a(a-5)}{x}$, откуда $x=6$ (при $a\ne 0$, $a\ne 5$).

Ответ: C.

№ 17

Вырази $a$ из равенства $\frac{1}{x}=\frac{b}{a}-b$: A. $\frac{4+xb}{xb}$; B. $\frac{xb}{1+xb}$; C. $\frac{1-xb}{xb}$; D. $\frac{xb}{1-xb}$.

Решение. Переносим $b$: $\frac{1}{x}+b=\frac{b}{a}$. Слева общий знаменатель: $\frac{1+xb}{x}=\frac{b}{a}$. Тогда $a=\frac{bx}{1+xb}$.

Ответ: B.

№ 18

Известно, что $\frac{1}{x}+x=m$. Найди выражение $\frac{1}{x^2}+x^2$: A. $m^2$; B. $2+m^2$; C. $m^2-2$; D. $2-m^2$.

Решение. Возводим равенство в квадрат: $\left(\frac{1}{x}+x\right)^2=\frac{1}{x^2}+2+x^2=m^2$. Значит, $\frac{1}{x^2}+x^2=m^2-2$.

Ответ: C.

№ 19

Если значение выражения $\left(\frac{x-10}{x}+1\right)\cdot x^2$ при $x=10$ составляет 25% значения $a$, то чему равно $a$: A. 500; B. 600; C. 700; D. 400.

Решение. При $x=10$: $\frac{0}{10}+1=1$, значит, значение выражения $1\cdot 100=100$. Это 25% от $a$: $a=100:0{,}25=400$.

Ответ: D.

№ 20

В таблице 1 даны $A=\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\cdot 2^6:108$ и $B=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x+y}\right)$ при $x=1$, $y=1$. Какие утверждения верны: 1) $A+2B=0$; 2) $A\cdot B=-1$; 3) $0{,}5A\le|B|$; 4) $|A+B|>1$. Варианты: A. 3); 4); B. 1); 3); C. 2); 3); D. 1); 4).

Решение.

1. $A$: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\frac{27}{8}$, умножаем на $64$: $216$, делим на $108$: $A=2$.
2. $B$: $\left(1+1\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$.
3. Утверждение 1: $2+2\cdot(-1)=0$. Верно.
4. Утверждение 2: $2\cdot(-1)=-2\ne -1$. Неверно.
5. Утверждение 3: $0{,}5\cdot 2=1$ и $|B|=1$, значит, $1\le 1$. Верно.
6. Утверждение 4: $|2-1|=1$, а $1>1$ неверно.

Верны 1) и 3).

Ответ: B.

№ 21

Значение выражения $\frac{x+1}{1+y}\cdot\frac{y^2-1}{x+1}+y$ при $y=13$ во сколько раз меньше, чем 100: A. в 2 раза; B. в 3 раза; C. в 4 раза; D. в 5 раз.

Решение. $\frac{x+1}{1+y}\cdot\frac{(y-1)(y+1)}{x+1}=y-1$. Прибавляем $y$: $2y-1$. При $y=13$: $25$. Тогда $100:25=4$.

Ответ: C.

№ 22

Дана числовая последовательность 20; 32; 18; 42; $A$; $B$; 30; 18, где $A=\frac{3x}{3+x}\cdot\frac{x^2-9}{x}$ при $x=7$, а $B=\frac{y-5}{y-4}\cdot\frac{16-y^2}{y^2-25}+28{,}9$ при $y=5$. Найди наименьшее значение и медиану ряда: A. наименьшее 18, медиана 24; B. наименьшее 12, медиана 24; C. наименьшее 12, медиана 22; D. наименьшее 16, медиана 22.

Решение. Смотри шаги выше. Всего 8 чисел, значит, медиана это среднее двух средних: четвёртого (20) и пятого (28). Получаем 24.

⚠️ Нюанс. Строго говоря, при $y=5$ исходное выражение не имеет смысла: знаменатель $y^2-25$ равен нулю. Задача подразумевает значение сокращённой дроби (число $28$). Но запомни: сокращать и подставлять нельзя, если подставляемое значение запрещено в исходном выражении.

Ответ: B.

Ключ ответов

Шпаргалка

• Чтобы быстро отбросить неверные ответы, подставь простое число (например, 2) в условие и в каждый вариант.
• Всегда ищи формулы сокращённого умножения: разность квадратов, квадрат суммы, сумма и разность кубов.
• Если значение выражения надо найти при конкретных числах, сначала упрости выражение.