§ 12. Плотность вещества и единицы измерения плотности. Расчет плотности

Физика, 7 класс. Учебник: Кронгарт Б.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 4: Плотность. Страницы 68–75.

Чему научишься

• Объяснять, что показывает плотность вещества и почему у разных веществ она разная.
• Считать плотность по формуле $\rho=\frac{m}{V}$ и находить массу и объём через неё.
• Переводить плотность из $\text{кг/м}^3$ в $\text{г/см}^3$ и обратно.
• Определять по плотности, из какого вещества сделано тело.
• Находить пустоты в детали и состав сплава.

Разминка

• Что тяжелее: килограмм ваты или килограмм железа? Одинаково, по одному килограмму. Но вата занимает гораздо больше места.
• Как узнать объём камня неправильной формы? Опустить его в мензурку с водой и посмотреть, насколько поднялся уровень воды.
• Почему масло плавает на воде, а гвоздь тонет? Масло «легче» воды при том же объёме, гвоздь — «тяжелее». Как это измерить, ты узнаешь сегодня.

💡 Тела одинакового объёма из разных веществ весят по-разному. Физики придумали одну величину, которая это объясняет, — плотность.

Разбираемся

Почему килограмм железа меньше килограмма пробки

Любое тело состоит из атомов и молекул. Чем больше частиц «втиснуто» в объём и чем тяжелее каждая частица, тем больше масса тела. В разных веществах частицы стоят на разных расстояниях друг от друга и упакованы по-разному.

Классический пример — алмаз и графит. Оба состоят только из атомов углерода, но в алмазе они упакованы плотнее. Поэтому одинаковая масса алмаза занимает примерно в 1,6 раза меньший объём, чем масса графита.

🌟 Алмаз в украшении и графит в карандаше — это один и тот же углерод. Разница только в том, как выстроены атомы. Вот что значит «упаковка» вещества!

Берём мензурку и считаем

Возьмём два железных тела разного размера. Мензурка показывает, что их объёмы 2 мл и 4 мл. Весы показывают, что второе тело в два раза тяжелее первого. Поделим массу каждого на его объём:

$\frac{m_1}{V_1}=\frac{m_2}{V_2}$

Результат одинаковый! Для кусочка железа любого размера это число одно и то же. Значит, оно описывает не тело, а само вещество. Его назвали плотностью.

📌 Плотность вещества показывает, какая масса приходится на единицу объёма. Формула: $\rho=\frac{m}{V}$. Плотность — скалярная величина (у неё нет направления).

Из формулы легко получить два помощника:

• масса: $m=\rho V$;
• объём: $V=\frac{m}{\rho}$.

Из кг/м³ в г/см³ — тут все ошибаются

Плотность железа $7800,\text{кг/м}^3$. Переведём в $\text{г/см}^3$. В килограмме 1000 г, а в кубическом метре миллион кубических сантиметров ($10^{6},\text{см}^3$):

$7800,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}=\frac{7800\cdot1000,\text{г}}{10^{6},\text{см}^3}=7{,}8,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

📌 $1,\text{г/см}^3=1000,\text{кг/м}^3$. Вода: $1000,\text{кг/м}^3$. Это число полезно помнить наизусть.

⚠️ Частая ошибка. Подставляют в формулу плотность в $\text{кг/м}^3$, а объём в литрах или $\text{см}^3$. Единицы должны быть согласованы: либо всё в СИ ($\text{кг}$, $\text{м}^3$), либо «лабораторный» набор ($\text{г}$, $\text{см}^3$). Перед счётом посмотри на единицы!

Сколько весит ведро воды

Ведро ёмкостью 10 л. Сначала переведём объём в СИ: $1,\text{л}=1,\text{дм}^3=0{,}001,\text{м}^3$, значит $10,\text{л}=0{,}01,\text{м}^3$. Плотность воды $1000,\text{кг/м}^3$. Тогда:

$m=\rho V=1000,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot0{,}01,\text{м}^3=10,\text{кг}$

Один литр воды — один килограмм. Удобно!

🌟 Для воды в быту хватает правила «1 л = 1 кг». А вот в каспийской воде, например, килограмм займёт чуть меньше литра: морская вода плотнее пресной.

Одно вещество, три состояния — три плотности

Плотность зависит от состояния вещества. Лёд — $900,\text{кг/м}^3$, вода — $1000,\text{кг/м}^3$, а водяной пар — всего около $0{,}6,\text{кг/м}^3$ (у пара в десятки раз сильнее «разрежены» молекулы). Поэтому лёд на Медеу плавает на воде, а пар поднимается над чайником.

💡 Лёд легче воды на 10 процентов. Именно поэтому озеро замерзает сверху, и рыба под льдом спокойно зимует. Если бы лёд был тяжелее, водоёмы промерзали бы до дна.

Тяжёлый атом ещё не значит плотное вещество

Плотность определяют две вещи: масса отдельных атомов и расстояние между ними.

• Ртуть плотнее алюминия примерно в 5 раз ($13{,}6$ и $2{,}8,\text{г/см}^3$). Атомы расположены почти так же близко (0,3 нм и 0,28 нм), но атом ртути в 5 раз тяжелее.
• Осмий ($22{,}6,\text{г/см}^3$) плотнее висмута ($9{,}79,\text{г/см}^3$) в 2,3 раза, хотя атом осмия легче. Дело в расстоянии: у осмия атомы стоят гораздо теснее.

Вывод: плотность отражает внутреннее строение вещества.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка угадать, что тяжелее при одинаковом объёме: стакан воды, стакан сахара или стакан гречки. Потом взвесьте на кухонных весах. Так ощущение «плотнее» превращается в измерение.

Пример 1. Полая деталь или сплошная?

Свинцовая деталь объёмом $250,\text{см}^3$ имеет массу $2{,}26,\text{кг}$. Сплошная она или в ней есть пустота? Если есть, найди объём полости.

Дано: $V=250,\text{см}^3$ $m=2{,}26,\text{кг}=2260,\text{г}$ $\rho=11{,}3,\text{г/см}^3$ (свинец, по таблице)

Найти: $V_{\text{п}}$

СИ: здесь удобнее остаться в $\text{г}$ и $\text{см}^3$: тогда масса $2260,\text{г}$, плотность $11{,}3,\text{г/см}^3$.

Решение. Если деталь сплошная, свинец занимал бы весь объём. Посчитаем, сколько места нужно самому свинцу:

$V_{\text{св}}=\frac{m}{\rho}=\frac{2260,\text{г}}{11{,}3,\text{г/см}^3}=200,\text{см}^3$

Деталь занимает $250,\text{см}^3$, свинец — только $200,\text{см}^3$. Значит, остальное — пустота:

$V_{\text{п}}=V-V_{\text{св}}=250,\text{см}^3-200,\text{см}^3=50,\text{см}^3$

Ответ: полость есть, её объём $50,\text{см}^3$.

Пример 2. Какой это металл?

Пробирка, полностью залитая водой, весит $50,\text{г}$. В неё опустили кусок металла массой $12,\text{г}$. Теперь пробирка с водой и металлом весит $60{,}47,\text{г}$. Что это за металл?

Дано: $m_1=50,\text{г}$ (пробирка с водой) $m_0=12,\text{г}$ (металл) $m_2=60{,}47,\text{г}$ $\rho=1,\text{г/см}^3$ (вода)

Найти: $\rho_0$ — плотность металла.

Решение. Если сложить $50+12=62,\text{г}$, а весы показали $60{,}47,\text{г}$, значит, часть воды вылилась. Вылившаяся масса:

$\Delta m=m_1+m_0-m_2=50+12-60{,}47=1{,}53,\text{г}$

Металл полностью утонул, значит, вылилась вода объёмом с кусок металла:

$V_0=\frac{\Delta m}{\rho}=\frac{1{,}53,\text{г}}{1,\text{г/см}^3}=1{,}53,\text{см}^3$

Плотность металла:

$\rho_0=\frac{m_0}{V_0}=\frac{12,\text{г}}{1{,}53,\text{см}^3}\approx7{,}84,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

По таблице плотностей это железо ($7{,}8,\text{г/см}^3$).

Ответ: железо.

Пример 3. Сколько олова и свинца в сплаве?

Сплав олова и свинца имеет массу $420,\text{г}$ и плотность $9{,}6,\text{г/см}^3$. Сколько в нём олова и сколько свинца?

Дано: $m=420,\text{г}$ $\rho_{\text{о}}=7{,}3,\text{г/см}^3$ (олово) $\rho_{\text{св}}=11{,}3,\text{г/см}^3$ (свинец) $\rho=9{,}6,\text{г/см}^3$ (сплав)

Найти: $m_{\text{о}}$, $m_{\text{св}}$

Решение. Объём сплава равен сумме объёмов двух металлов, а масса сплава — сумме их масс:

$V=V_{\text{о}}+V_{\text{св}},\qquad m=m_{\text{о}}+m_{\text{св}}$

Объёмы выразим через плотность: $V=\frac{m}{\rho}$. Получим уравнение с одним неизвестным $m_{\text{св}}$:

$\frac{m}{\rho}=\frac{m-m_{\text{св}}}{\rho_{\text{о}}}+\frac{m_{\text{св}}}{\rho_{\text{св}}}$

Решаем его и находим:

$m_{\text{св}}=m\cdot\frac{\rho_{\text{св}}(\rho-\rho_{\text{о}})}{\rho(\rho_{\text{св}}-\rho_{\text{о}})}=420\cdot\frac{11{,}3\cdot2{,}3}{9{,}6\cdot4}\approx284,\text{г}$

$m_{\text{о}}=420,\text{г}-284,\text{г}=136,\text{г}$

Проверка по объёму: $\frac{420}{9{,}6}\approx43{,}8,\text{см}^3$ и $\frac{136}{7{,}3}+\frac{284}{11{,}3}\approx18{,}6+25{,}1=43{,}7,\text{см}^3$. Сходится.

Ответ: свинца $284,\text{г}$, олова $136,\text{г}$.

💡 Все три задачи построены на одной мысли: объёмы и массы складываются, а плотность через них связывает всё в одно уравнение.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Почему свинцовый и деревянный шарики одинакового объёма имеют разные массы? Плотность свинца намного больше, чем у дерева: в том же объёме у свинца больше вещества, чем у дерева.
• Какая величина называется плотностью тела? Плотностью называют величину, равную массе единицы объёма вещества: $\rho=\frac{m}{V}$. Строго говоря, это характеристика вещества, из которого сделано тело.
• Можно ли определить массу тела, не имея весов? Что для этого надо знать? Можно. Нужно знать объём тела и плотность вещества, из которого оно сделано, а потом посчитать $m=\rho V$.
• Как определить массу тела, зная плотность его вещества? Найти объём тела и умножить его на плотность: $m=\rho V$.
• Как определить массу свинцового шарика, имея в распоряжении мензурку и воду? Налить воду в мензурку, опустить шарик, найти его объём как разницу уровней, потом умножить на плотность свинца ($11{,}3,\text{г/см}^3$).
• Почему масло плавает на поверхности воды? Плотность масла меньше плотности воды ($900$ против $1000,\text{кг/м}^3$), поэтому оно «легче» воды при том же объёме и остаётся сверху.
• Как вы объясните то, что тёплый воздух поднимается вверх? При нагревании воздух расширяется, его плотность уменьшается, и он становится легче холодного воздуха вокруг, поэтому тёплый воздух поднимается.

Решаем упражнения

Таблица плотностей (с. 214–215 учебника): свинец $11{,}3,\text{г/см}^3$, железо и сталь $7{,}8$, олово $7{,}3$, цинк $7{,}1$, алюминий $2{,}7$, сосна сухая $0{,}4$, вода $1$, ртуть $13{,}6$.

📕 В таблице приложения плотность морской воды записана «0,03 г/см³», но правильно «1,03 г/см³»: $1030,\text{кг/м}^3$ в $\text{г/см}^3$ — это $1{,}03$, а не $0{,}03$ (это было бы в 30 раз легче воздуха!).

Анализируйте

№ 1

«Анализируйте», задание 1. Возьми небольшой деревянный кубик. Измерь линейкой ребро, найди объём, по таблице возьми плотность дерева и определи массу кубика.

Как думать. Объём куба — ребро в третьей степени. Плотность дерева берём из таблицы, масса — это $\rho V$.

Решение. Пусть ребро получилось $4,\text{см}$ (у тебя будет своё число).

1. $V=a^3=4^3=64,\text{см}^3$.
2. Для сухой сосны $\rho=0{,}4,\text{г/см}^3$.
3. $m=\rho V=0{,}4,\text{г/см}^3\cdot64,\text{см}^3=25{,}6,\text{г}$.

Если есть кухонные весы, проверь: результат должен получиться близким.

Ответ: для куба с ребром $4,\text{см}$ масса примерно $25{,}6,\text{г}$.

№ 2

«Анализируйте», задание 2. Возьми брусок массой 150–200 г. Измерь высоту, длину, ширину, а массу — на весах. Найди объём и плотность и определи, из какого вещества брусок.

Как думать. Объём бруска — произведение трёх размеров, плотность — масса, делённая на объём. Потом ищем такое число в таблице.

Решение. Пусть брусок $6,\text{см}\times5,\text{см}\times2,\text{см}$ и масса $162,\text{г}$.

1. $V=6\cdot5\cdot2=60,\text{см}^3$.
2. $\rho=\frac{m}{V}=\frac{162,\text{г}}{60,\text{см}^3}=2{,}7,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}$.
3. В таблице $2{,}7,\text{г/см}^3$ у алюминия (и у мрамора; отличить их можно по виду: алюминий блестит как металл).

Ответ: $\rho=2{,}7,\text{г/см}^3$, брусок из алюминия (в примере).

№ 3

«Анализируйте», задание 3. Определи массу воды и массу молока в доверху заполненном мерном стакане. Объём стакана $200,\text{см}^3$.

Как думать. Стакан полный, значит, объём жидкости $200,\text{см}^3$. Плотность жидкостей берём из таблицы или справочника.

Решение.

• Вода: $\rho=1,\text{г/см}^3$, $m=1\cdot200=200,\text{г}$.
• Молоко: плотность примерно $1{,}03,\text{г/см}^3$ (в таблице учебника молока нет, проверь по справочнику): $m=1{,}03\cdot200=206,\text{г}$.

Ответ: вода $200,\text{г}$, молоко около $206,\text{г}$.

Объясните

№ 4

«Объясните», вопрос 1. Плотность поваренной соли в больших кусках $2160,\text{кг/м}^3$, а у соли, раздробленной в порошок, — всего $800,\text{кг/м}^3$. Почему так?

Как думать. Подумай, что лежит в объёме порошка кроме самой соли.

Пример ответа. Когда соль сыплют в порошок, между крупинками остаются зазоры, заполненные воздухом. В объёме порошка учитываются и крупинки, и воздух между ними, а масса — только соли. Массу делим на больший объём, поэтому «плотность порошка» получается меньше. Сама соль плотнее не стала, просто мы считаем вместе с пустотами.

Ответ: в порошке много воздушных промежутков между крупинками, объём больше, а масса прежняя, значит плотность меньше.

№ 5

«Объясните», вопрос 2. Объясни, как определить массу свинцового шарика, имея мензурку и воду.

Как думать. Массу найдём как $\rho V$, а объём измерим мензуркой.

Пример ответа.

1. Налей в мензурку воды и запиши объём $V_1$.
2. Опусти шарик на нитке, запиши новый объём $V_2$.
3. Объём шарика $V=V_2-V_1$.
4. Плотность свинца возьми из таблицы: $11{,}3,\text{г/см}^3$. Масса $m=\rho V$.

Например, если уровень поднялся с $40$ до $45,\text{мл}$, то $V=5,\text{см}^3$, $m=11{,}3\cdot5=56{,}5,\text{г}$.

Ответ: найти объём вытеснением воды, умножить на плотность свинца.

Познай себя

№ 6

«Познай себя». Определи плотность собственного тела двумя способами. Масса — по весам. Способ 1: в ванне отметь уровень воды до и после погружения, найди объём тела. Способ 2: измерь рост до плеч, ширину по плечам и толщину и посчитай приблизительный объём. Какой способ точнее? Что изменится, если выдохнуть или сделать глубокий вдох?

⚠️ Опыт в ванне делай только при взрослом, аккуратно (скользко), не ныряй с головой. Достаточно сесть в воду.

Как думать. Плотность тела — это $\frac{m}{V}$. Массу даёт весы, а объём надо найти.

Решение. Пример для ребёнка массой $45,\text{кг}$.

1. Способ 1: площадь «зеркала» воды в ванне $1{,}5,\text{м}\times0{,}6,\text{м}=0{,}9,\text{м}^2$. Если при погружении вода поднялась на $5,\text{см}=0{,}05,\text{м}$, то $V=0{,}9\cdot0{,}05=0{,}045,\text{м}^3$.
2. Плотность: $\rho=\frac{45}{0{,}045}=1000,\text{кг/м}^3$.
3. Способ 2 даёт неточный результат: тело не коробка. Грубая «коробка» $0{,}5\times0{,}3\times0{,}25$ с лишними углами завышает объём.
4. Способ 1 точнее, потому что вытесненная вода повторяет форму тела.
5. Вдох увеличивает объём тела (масса почти та же), плотность уменьшается. Выдох — наоборот.

Ответ: плотность тела человека примерно равна плотности воды (около $1000,\text{кг/м}^3$); точнее способ с ванной; при вдохе плотность тела меньше, при выдохе больше (поэтому с воздухом в лёгких легче держаться на воде).

Наблюдайте

№ 7

«Наблюдайте», вопрос 1. Металлическую деталь нагревают на плите. Как при этом меняются масса, плотность и объём детали?

Как думать. Вспомни: при нагревании тела расширяются. Масса зависит от количества вещества.

Решение. Масса не меняется: вещества не прибавилось и не убавилось. Объём немного растёт (металл расширяется). Плотность равна $\frac{m}{V}$: масса та же, объём больше, значит плотность чуть уменьшается.

Ответ: масса не меняется, объём увеличивается, плотность уменьшается.

№ 8

«Наблюдайте», вопрос 2. Посмотри видео по QR-коду и выясни, как можно определить плотность тела.

Как думать. Видео недоступно, поэтому вспомним общий способ из урока и лабораторной работы.

Решение.

1. Взвесить тело: найти массу $m$.
2. Найти объём: у тела правильной формы — по размерам линейкой, у неправильной — вытеснением воды в мензурке ($V=V_2-V_1$).
3. Разделить: $\rho=\frac{m}{V}$.

Ответ: измерить массу и объём тела и поделить массу на объём.

Решите

№ 9

«Решите», задача 1. Определи объём стального бруска массой $312,\text{г}$.

Как думать. Известны масса и вещество, значит, найдём объём через плотность.

Решение. Дано: $m=312,\text{г}$, $\rho=7{,}8,\text{г/см}^3$ (сталь). $V=\frac{m}{\rho}=\frac{312,\text{г}}{7{,}8,\text{г/см}^3}=40,\text{см}^3$.

Ответ: $40,\text{см}^3$. (Совпадает с напечатанным.)

№ 10

«Решите», задача 2. Какова масса свинцового цилиндра объёмом $40,\text{см}^3$?

Как думать. Известны вещество и объём — ищем массу как $\rho V$.

Решение. Дано: $V=40,\text{см}^3$, $\rho=11{,}3,\text{г/см}^3$. $m=\rho V=11{,}3,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}\cdot40,\text{см}^3=452,\text{г}$.

Ответ: $452,\text{г}$.

№ 11

«Решите», задача 3. $125,\text{л}$ неизвестной жидкости имеют массу $100,\text{кг}$. Какая это жидкость?

Как думать. Найдём плотность и сравним с таблицей жидкостей. Объём переводим в СИ.

Решение. Дано: $V=125,\text{л}=0{,}125,\text{м}^3$, $m=100,\text{кг}$. $\rho=\frac{m}{V}=\frac{100,\text{кг}}{0{,}125,\text{м}^3}=800,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$. В таблице жидкостей $800,\text{кг/м}^3$ у спирта, керосина и нефти.

Ответ: это может быть спирт, нефть или керосин.

№ 12

«Решите», задача 4. Сосуд, заполненный ртутью, имеет массу $34,\text{кг}$. Каков объём сосуда?

Как думать. Сосуд полный, значит, объём сосуда равен объёму ртути.

Решение. Дано: $m=34,\text{кг}$, $\rho=13600,\text{кг/м}^3$. $V=\frac{m}{\rho}=\frac{34,\text{кг}}{13600,\text{кг/м}^3}=0{,}0025,\text{м}^3=2{,}5,\text{л}$.

Ответ: $2{,}5,\text{л}$.

№ 13

«Решите», задача 5. Лист кровельной стали имеет размеры $1{,}5,\text{м}\times0{,}54,\text{м}\times0{,}75,\text{м}$. Какова его масса?

Как думать. Находим объём как произведение трёх размеров и умножаем на плотность стали.

Решение. Дано: $a=1{,}5,\text{м}$, $b=0{,}54,\text{м}$, $c=0{,}75,\text{м}$, $\rho=7800,\text{кг/м}^3$.

1. $V=abc=1{,}5\cdot0{,}54\cdot0{,}75=0{,}6075,\text{м}^3$.
2. $m=\rho V=7800\cdot0{,}6075\approx4739,\text{кг}\approx4{,}74,\text{т}$.

💡 Размеры взяты как в задаче. Настоящий кровельный лист тоньше миллиметра, но задача условная: считаем по данным.

Ответ: $\approx4{,}74,\text{т}$.

№ 14

«Решите», задача 6. ⭐ задача повышенной сложности. При оцинковке вёдер их поверхность покрывают слоем цинка толщиной $100,\text{мкм}$ снаружи и внутри. Площадь поверхности ведра составляет $600,\text{см}^2$. Сколько вёдер оцинковано, если израсходовано $1278,\text{г}$ цинка?

Молодец, что взялся за повышенную задачу: даже попытка тренирует мышление!

Как думать. Слой цинка — это очень тонкая «коробка»: объём равен площади, умноженной на толщину. Сначала считаем на одно ведро, потом делим общую массу.

Решение. Дано: $h=100,\text{мкм}=0{,}01,\text{см}$, $S=600,\text{см}^2$ (покрыта с двух сторон), $m=1278,\text{г}$, $\rho=7{,}1,\text{г/см}^3$.

1. Площадь покрытия $2S=1200,\text{см}^2$.
2. $V_1=2S\cdot h=1200\cdot0{,}01=12,\text{см}^3$.
3. $m_1=\rho V_1=7{,}1\cdot12=85{,}2,\text{г}$.
4. $N=\frac{1278}{85{,}2}=15$.

Ответ: $15$ вёдер.

№ 15

«Решите», задача 7. ⭐ задача повышенной сложности. В куске кварца есть небольшой самородок золота. Масса куска $100,\text{г}$, средняя плотность $8,\text{г/см}^3$. Какая масса золота в куске, если плотность кварца $2{,}65,\text{г/см}^3$?

Это тоже повышенная задача, и это та же идея, что в примере со сплавом. Пробуй!

Как думать. Это как сплав: куски золота и кварца вместе дают общую массу и общий объём. Две величины — два уравнения.

Решение. Дано: $m=100,\text{г}$, $\rho=8,\text{г/см}^3$, $\rho_{\text{к}}=2{,}65,\text{г/см}^3$, $\rho_{\text{з}}=19{,}3,\text{г/см}^3$ (золото). Или по готовой формуле: $m_{\text{з}}=m\cdot\frac{\rho_{\text{з}}(\rho-\rho_{\text{к}})}{\rho(\rho_{\text{з}}-\rho_{\text{к}})}=100\cdot\frac{19{,}3\cdot5{,}35}{8\cdot16{,}65}\approx77{,}5,\text{г}$.

Ответ: $\approx77{,}5,\text{г}$.

Шпаргалка

• Плотность — свойство вещества, а не тела: у куска железа любого размера она одна.
• Перед счётом проверь единицы: СИ ($\text{кг}$, $\text{м}^3$) или «лабораторные» ($\text{г}$, $\text{см}^3$).
• $1,\text{л}=1,\text{дм}^3=0{,}001,\text{м}^3$; $1,\text{мл}=1,\text{см}^3$.
• Тело плотнее воды тонет, легче воды плавает.
• Сплав или полость: объёмы складываются, плотность связывает массу и объём.

Мини-тест