§ 33. Энергия. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия

Физика, 7 класс. Учебник: Кронгарт Б.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 8: Энергия. Страницы 169–175.

Чему научишься

• Объяснять, что такое энергия, и почему её меряют в джоулях, как и работу.
• Различать два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную.
• Считать кинетическую энергию по формуле $E_{\text{к}}=\frac{mv^2}{2}$.
• Считать потенциальную энергию поднятого тела $E_{\text{п}}=mgh$ и сжатой или растянутой пружины $E_{\text{п}}=\frac{kx^2}{2}$.
• Применять эти формулы в задачах и понимать, что работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии.

Разминка

• Что такое механическая работа и в чём она измеряется? Работа совершается, когда сила двигает тело. Её единица — джоуль (Дж): $A=Fs$.
• Как найти силу тяжести тела массой $m$? $F=mg$, где $g\approx 10,\text{Н/кг}$ (в задачах берём 10).
• Что говорит закон Гука? Сила упругости пропорциональна растяжению пружины: $F=kx$.
• Что нужно сделать, чтобы машина поехала? Заправить её: бензин в баке хранит запас, который двигатель превращает в движение.

Разбираемся

Энергия: запас, которым можно «заплатить» работой

Представь, что у тебя есть деньги: на них можно что-то купить. С телами так же. Если тело способно совершить работу, говорят, что у него есть энергия. Чем бо́льшую работу тело может сделать, тем больше его энергия.

Падающая вода крутит турбины электростанции. Ветер вращает лопасти ветряка. Бензин, сгорая, двигает автомобиль. Везде что-то «платит» работой за движение. Энергию обозначают буквой $E$ и измеряют в джоулях, так же как работу.

📌 Энергия — мера способности тела совершить работу. Единица в СИ — джоуль (Дж). Энергия — скалярная величина: у неё нет направления.

В механике энергию делят на два вида: ту, что есть у движущегося тела, и ту, что есть у поднятого или деформированного.

Кинетическая энергия: энергия движения

Кинетическая энергия есть у любого движущегося тела. Она зависит от двух вещей: от массы и от скорости. Чем тяжелее тело и чем быстрее оно летит, тем больше его кинетическая энергия.

📌 $E_{\text{к}}=\frac{mv^2}{2}$. Скорость стоит в квадрате: если скорость выросла вдвое, энергия выросла вчетверо.

Именно поэтому на трассе так опасна скорость. Автомобиль, едущий по трассе Алматы — Капшагай вдвое быстрее, при ударе «приносит» вчетверо больше энергии.

Есть и важная связь с работой. Если сила разгоняет или тормозит тело, то работа результирующей силы равна изменению кинетической энергии: $A=E_{\text{к2}}-E_{\text{к1}}$. Разгоняет — работа положительна, тормозит — отрицательна.

💡 Кинетическая энергия зависит от того, откуда смотреть. В вагоне поезда ты сидишь неподвижно ($E_{\text{к}}=0$), а для человека на перроне ты летишь вместе с вагоном. Скорость относительна, значит, и кинетическая энергия тоже.

🌟 Пуля весит как пара скрепок, но из-за огромной скорости её энергия вдвое больше, чем у бегущего спортсмена. Это работа «квадрата» скорости.

Потенциальная энергия: энергия положения

Теперь представь яблоко на ветке. Оно не движется, но стоит ему оторваться, и оно полетит вниз и может даже оставить вмятину. Значит, у поднятого тела тоже есть запас работы. Это потенциальная энергия. Она определяется взаимным расположением тел (или частей одного тела), которые взаимодействуют.

Поднятое над землёй тело. Когда тело падает с высоты $h$, сила тяжести $mg$ совершает работу $A=mgh$. Поэтому энергию тела на высоте $h$ считают так:

📌 $E_{\text{п}}=mgh$. Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии: $A=-(E_{\text{п2}}-E_{\text{п1}})=E_{\text{п1}}-E_{\text{п2}}$.

Потенциальная энергия зависит от того, где выбран нулевой уровень. Обычно за ноль принимают уровень моря или поверхность земли. Тело выше нуля имеет положительную энергию. Когда оно падает, потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая растёт, потому что растёт скорость.

💡 Работа силы тяжести зависит только от начальной и конечной высоты, а не от формы пути. Съехал ты по горке или упал вертикально с той же высоты, работа одна. А если вернуться в начальную точку (замкнутая траектория), работа равна нулю.

Растянутая или сжатая пружина. Когда пружину растягивают, в ней возникает сила упругости $F=kx$. Если отпустить, пружина толкнёт шарик, то есть совершит работу. Значит, деформированное тело тоже обладает энергией.

Работа упругой силы равна площади фигуры под графиком $F(x)$. Это площадь треугольника: $\frac{Fx}{2}=\frac{kx\cdot x}{2}$. Отсюда:

📌 $E_{\text{п}}=\frac{kx^2}{2}$, где $k$ — жёсткость пружины в Н/м, $x$ — удлинение (сжатие) в метрах.

Площадь треугольника: $\frac12\cdot 20,\text{Н}\cdot 0{,}1,\text{м}=1,\text{Дж}$. По формуле: $\frac{200\cdot0{,}1^2}{2}=1,\text{Дж}$. Совпало!

⚠️ Частая ошибка. Забыть перевести единицы: граммы в килограммы, сантиметры в метры, км/ч в м/с. А ещё путают $\frac{mv^2}{2}$ с $\frac{(mv)^2}{2}$ и забывают поделить на 2.

Три примера, чтобы почувствовать формулы

Пример 1. Кинетическая энергия

Мяч массой 0,4 кг летит со скоростью 15 м/с. Какова его кинетическая энергия?

Дано: $m=0{,}4,\text{кг}$, $v=15,\text{м/с}$. Найти: $E_{\text{к}}$. СИ: уже в СИ. Решение: $E_{\text{к}}=\frac{mv^2}{2}=\frac{0{,}4\cdot 15^2}{2}=\frac{0{,}4\cdot 225}{2}=45,\text{Дж}$. Ответ: 45 Дж.

Пример 2. Потенциальная энергия

Чемодан массой 20 кг поднимают на полку на высоту 1,5 м. Какова его потенциальная энергия относительно пола?

Дано: $m=20,\text{кг}$, $h=1{,}5,\text{м}$, $g=10,\text{Н/кг}$. Найти: $E_{\text{п}}$. Решение: $E_{\text{п}}=mgh=20\cdot 10\cdot 1{,}5=300,\text{Дж}$. Ответ: 300 Дж.

Пример 3. Энергия пружины

Пружину жёсткостью 100 Н/м растянули на 20 см. Какова её энергия?

Дано: $k=100,\text{Н/м}$, $x=20,\text{см}$. СИ: $x=0{,}2,\text{м}$. Найти: $E_{\text{п}}$. Решение: $E_{\text{п}}=\frac{kx^2}{2}=\frac{100\cdot0{,}2^2}{2}=\frac{100\cdot 0{,}04}{2}=2,\text{Дж}$. Ответ: 2 Дж.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка на примере качелей или мяча показать, где у тела «энергия положения», а где «энергия движения». Если назовёт оба вида в одном предмете (мяч, подброшенный вверх), значит, идея усвоена.

🌟 Бухтарминская ГЭС в Казахстане использует кинетическую энергию воды реки Иртыш: падающая вода раскручивает турбины, а они вырабатывают электричество.

Проверь себя

• О каких телах говорят, что они обладают энергией? О тех, которые способны совершить работу: движущихся, поднятых над землёй, деформированных (например, сжатая пружина).
• Единица измерения энергии в СИ. Почему единица энергии и работы одна и та же? Джоуль. Энергия показывает, какую работу тело может совершить, поэтому измеряется в тех же единицах, что и работа.
• Какие бывают виды механической энергии? Кинетическая (энергия движения) и потенциальная (энергия взаимного расположения тел или частей тела).
• Приведи примеры тел с потенциальной и кинетической энергией. Потенциальной: книга на полке, сжатая пружина, вода за плотиной. Кинетической: бегущий человек, летящий мяч, ветер.
• Зависит ли значение энергии от выбора системы отсчёта? Приведи примеры. Да. Кинетическая энергия зависит от скорости, а скорость в разных системах разная: пассажир в поезде для вагона неподвижен, а для перрона движется. Потенциальная зависит от выбора нулевого уровня.
• Как подтвердить зависимость кинетической энергии от массы? Скатим по горке с одной высоты лёгкий и тяжёлый шарики в одинаковые бруски. Тяжёлый (при той же скорости) сдвинет брусок дальше, то есть совершит большую работу.
• Как подтвердить зависимость кинетической энергии от скорости? Один и тот же шарик скатим с малой и большой высоты. Чем быстрее он катится, тем дальше сдвинет брусок.
• Какие примеры доказывают, что поднятое над землёй тело обладает энергией? Падающий молот забивает сваю, падающая вода крутит турбину, упавший с ветки плод оставляет вмятину в земле.

Решаем упражнения

Везде считаем $g=10,\text{Н/кг}$. Ответы сверены с напечатанными под задачами.

Объясните

№ 1

«Объясните», задача 1. ⭐ задача повышенной сложности: попытка уже победа. Бочка полна воды. Девочка вычерпала ведром половину воды, остальное вычерпал мальчик. Одинаковую ли работу они совершили?

Как думать. Работа по подъёму воды — это $mgh$, где $h$ — высота подъёма. Посмотри, откуда каждый поднимал воду.

Решение. Девочка черпала верхнюю половину воды, а мальчик — нижнюю. Масса воды одинакова, а вот поднимать воду из нижней части приходится на большую высоту (до края бочки). Значит, высота подъёма у мальчика больше.

Пример ответа. Нет, не одинаковую: мальчик совершил большую работу, потому что поднимал ту же массу воды на большую высоту.

Ответ: работа мальчика больше.

Анализируйте

№ 2

«Анализируйте», задача. ⭐ задача повышенной сложности. Тело массой 3 кг: в первом случае соскальзывает с вершины наклонной плоскости высотой 2 м и длиной 4 м, во втором падает вертикально с её вершины. В каком случае работа силы тяжести больше, и чему она равна в обоих случаях?

Как думать. Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты, а не от формы пути. Длина наклонной плоскости — ловушка.

Решение. Дано: $m=3,\text{кг}$, $h=2,\text{м}$. В обоих случаях тело опускается на 2 м: $A=mgh=3\cdot 10\cdot 2=60,\text{Дж}$.

Ответ: в обоих случаях работа одинакова и равна 60 Дж.

Решите

№ 3

«Решите», задача 1. Сосулька массой 500 г сорвалась с крыши дома высотой 7 м. Какую работу совершила сила тяжести?

Как думать. Работа силы тяжести: $A=mgh$. Граммы — в килограммы.

Решение. Дано: $m=500,\text{г}=0{,}5,\text{кг}$, $h=7,\text{м}$. $A=mgh=0{,}5\cdot 10\cdot 7=35,\text{Дж}$.

Ответ: 35 Дж.

№ 4

«Решите», задача 2. Высота классной комнаты 4 м, высота столов 70 см. Книгу массой 300 г, лежащую на столе, передвигают по столу на 120 см. Чему равна работа силы тяжести?

Как думать. Книга двигается вдоль стола, высота не меняется. А работа силы тяжести зависит от изменения высоты.

Решение. Движение горизонтальное: сила тяжести направлена вниз, перемещение — вбок, угол 90°. Высота та же, $h_1-h_2=0$, значит $A=mg\cdot 0=0$. Числа 4 м, 70 см, 300 г и 120 см — лишние.

Ответ: 0 Дж.

№ 5

«Решите», задача 3. По рисунку 33.8 определить, при подъёме какого тела совершается самая большая работа. На рисунке три тела массой 1, 2 и 3 кг; их поднимают на разную высоту: первое на $3h$, второе на $2h$, третье на $h$ (высота измеряется от пола, каждый «этаж» — $h$).

Как думать. Для каждого тела считаем $A=mg\cdot H$ и сравниваем.

Решение.

1. 1 кг на $3h$: $A_1=1\cdot g\cdot 3h=3gh$.
2. 2 кг на $2h$: $A_2=2\cdot g\cdot 2h=4gh$.
3. 3 кг на $h$: $A_3=3\cdot g\cdot h=3gh$. Самая большая — $4gh$ у второго тела.

Ответ: при подъёме второго тела.

№ 6

«Решите», задача 4. Автомобиль массой 1,2 т, двигаясь со скоростью 90 км/ч, затормозил и снизил скорость до 36 км/ч. Какую работу совершила сила трения?

Как думать. Работа результирующей силы равна изменению кинетической энергии: $A=E_{\text{к2}}-E_{\text{к1}}$.

Решение. Дано: $m=1{,}2,\text{т}=1200,\text{кг}$; $v_1=90,\text{км/ч}=25,\text{м/с}$; $v_2=36,\text{км/ч}=10,\text{м/с}$. $A=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}=\frac{1200\cdot100}{2}-\frac{1200\cdot625}{2}=60000-375000=-315000,\text{Дж}$. Знак «минус»: трение тормозит. Модуль работы равен 315 кДж.

Ответ: $A=-315,\text{кДж}$ (по модулю 315 кДж, как и напечатано).

№ 7

«Решите», задача 5. ⭐ задача повышенной сложности. Мальчик стреляет из пружинного пистолета вертикально вверх. Снаряд массой 5 г поднимается на 40 м. Какова деформация пружины до выстрела, если жёсткость 200 Н/м?

Как думать. Энергия сжатой пружины превращается в потенциальную энергию снаряда в верхней точке: $\frac{kx^2}{2}=mgh$.

Решение. Дано: $m=5,\text{г}=0{,}005,\text{кг}$, $h=40,\text{м}$, $k=200,\text{Н/м}$. $mgh=0{,}005\cdot 10\cdot 40=2,\text{Дж}$. $x^2=\frac{2\cdot 2}{200}=0{,}02,\text{м}^2$, $x=\sqrt{0{,}02}\approx0{,}14,\text{м}=14,\text{см}$.

Ответ: примерно 14 см.

№ 8

«Решите», задача 6. ⭐ задача повышенной сложности. Пуля массой 9 г, пробив доску толщиной 5 см, снизила скорость с 600 м/с до 200 м/с. Найти силу сопротивления движению, считая её постоянной.

Как думать. Пуля теряет кинетическую энергию на работу против силы сопротивления: $F\cdot s=E_{\text{к1}}-E_{\text{к2}}$.

Решение. Дано: $m=9,\text{г}=0{,}009,\text{кг}$; $v_1=600,\text{м/с}$; $v_2=200,\text{м/с}$; $s=5,\text{см}=0{,}05,\text{м}$. $E_{\text{к1}}=\frac{0{,}009\cdot 360000}{2}=1620,\text{Дж}$. $E_{\text{к2}}=\frac{0{,}009\cdot 40000}{2}=180,\text{Дж}$. Потеряно: $1620-180=1440,\text{Дж}$. $F=\frac{1440}{0{,}05}=28800,\text{Н}$.

Ответ: 28 800 Н.

№ 9

«Решите», задача 7. Груз массой $m$ был на горке на высоте $3h$, затем съехал на уступ высотой $h$ и остановился (рис. 33.9). Какую работу совершила сила тяжести?

Как думать. Начальная высота $3h$, конечная $h$. Работа зависит только от разности высот.

Решение. $A=mg(h_1-h_2)=mg(3h-h)=2mgh$.

Ответ: $A=2mgh$.

№ 10

«Решите», задача 8. Тело свободно падает с высоты 10 м. Какова скорость тела на высоте 6 м от земли?

Как думать. Тело пролетело $10-6=4$ м. Работа силы тяжести идёт на разгон: $mg\cdot 4=\frac{mv^2}{2}$. Масса сокращается.

Решение. Дано: $h_1=10,\text{м}$, $h_2=6,\text{м}$, $v_0=0$. $g(h_1-h_2)=\frac{v^2}{2}$, $v=\sqrt{2\cdot 10\cdot 4}=\sqrt{80}\approx 8{,}9,\text{м/с}$.

Ответ: примерно 9 м/с.

№ 11

«Решите», задача 9. Сатурн сделал один оборот вокруг Солнца. Какая работа при этом совершена, если на него действовала сила притяжения к Солнцу $38\cdot10^{20},\text{Н}$, а длина орбиты $9\cdot10^{9},\text{км}$?

Как думать. Тут ловушка: числа огромные, но они не нужны. Сила тяжести (притяжения) — консервативная сила, а по замкнутой траектории её работа равна нулю.

Решение. Сатурн вернулся в начальную точку: высота (расстояние до Солнца) такая же. $E_{\text{п1}}=E_{\text{п2}}$, значит $A=-(E_{\text{п2}}-E_{\text{п1}})=0$. Умножать $F\cdot s$ нельзя: сила всё время меняет направление относительно движения.

Ответ: 0 Дж.

Шпаргалка

• Скорость в формуле стоит в квадрате: вдвое быстрее — вчетверо больше энергии.
• Единицы переводим в СИ: кг, м, м/с.
• Потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня.
• Работа силы тяжести зависит только от начальной и конечной высоты.

Мини-тест