В чём заключается закон сохранения механической энергии?

В замкнутой системе, где действуют только консервативные силы (тяжести, упругости), сумма кинетической и потенциальной энергий тел остаётся постоянной.

Какая связь между изменениями кинетической и потенциальной энергии одного и того же тела?

Они равны по величине и противоположны по знаку: сколько потенциальной энергии тело потеряло, столько кинетической приобрело (при отсутствии трения).

Что называется механической энергией тела?

Сумма его кинетической и потенциальной энергии: E=Eк+Eп.

при подъёме Eк, Eп; при падении наоборот; сумма не меняется.

надо измерить максимальную высоту подъёма h (или время полёта t); тогда v0=2gh (или v0=gt/2). Например, при h=2 м скорость примерно 6 м/с.

A=-3,7\,Дж (по модулю 3,7 Дж, как в книге).

Aтр=E2-E1 (по данным видео); в примере с санками -640\,Дж.

§ 34. Закон сохранения и превращения механической энергии

Физика, 7 класс. Учебник: Кронгарт Б.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 8: Энергия. Страницы 175–178.

Чему научишься

Объяснять, что такое полная механическая энергия тела.
Формулировать закон сохранения и превращения механической энергии и приводить примеры.
Понимать, когда этот закон работает, а когда нет (что мешает трение).
Решать задачи через равенство $E_{\text{к1}}+E_{\text{п1}}=E_{\text{к2}}+E_{\text{п2}}$.

Разминка

По какой формуле считают кинетическую энергию? $E_{\text{к}}=\frac{mv^2}{2}$.
А потенциальную энергию тела, поднятого на высоту $h$? $E_{\text{п}}=mgh$.
Чему равна работа силы тяжести, если тело опустилось с $h_1$ до $h_2$? $A=mg(h_1-h_2)$: она равна убыли потенциальной энергии.
Что происходит со скоростью падающего тела? Растёт: тело разгоняется, значит, его кинетическая энергия растёт.

Разбираемся

Качели: энергия «переливается»

Раскачайся на качелях. В самой высокой точке ты на миг замираешь: скорость нулевая, зато высота наибольшая. Потом летишь вниз и в самой нижней точке мчишься быстрее всего, но высота минимальная. Потом снова вверх.

Что происходит? Потенциальная энергия переходит в кинетическую, затем кинетическая в потенциальную. То же самое делает маятник: в нижней точке потенциальная энергия полностью превращается в кинетическую, а в верхней точке кинетическая снова превращается в потенциальную.

Полная механическая энергия

Сумму кинетической и потенциальной энергии тела называют полной механической энергией:

📌 $E=E_{\text{к}}+E_{\text{п}}$.

Величина	Обозначение	Единица СИ
Полная механическая энергия	$E$	Дж
Кинетическая энергия	$E_{\text{к}}=\frac{mv^2}{2}$	Дж
Потенциальная энергия	$E_{\text{п}}=mgh$	Дж

Закон сохранения механической энергии

📌 Закон. В замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, сумма кинетической и потенциальной энергии остаётся постоянной: $E_{\text{к1}}+E_{\text{п1}}=E_{\text{к2}}+E_{\text{п2}}$, то есть $E=\text{const}$.

Слово «консервативные» звучит страшно, но всё просто. Консервативные силы — те, работа которых не зависит от формы пути. К ним относятся сила тяжести и сила упругости. По замкнутому пути их работа равна нулю. А вот сила трения не консервативная: чем длиннее путь, тем больше работа трения.

⚠️ Частая ошибка. Применять закон, когда есть трение или сопротивление воздуха. Тогда часть механической энергии уходит на нагрев, и сумма $E_{\text{к}}+E_{\text{п}}$ уменьшается. Закон работает «в отсутствие сил трения».

Откуда берётся закон

Падающее тело: на него действует только сила тяжести. Её работа с одной стороны равна убыли потенциальной энергии, $mgh_1-mgh_2$, а с другой — приросту кинетической, $\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}$. Приравниваем:

$mgh_1+\frac{mv_1^2}{2}=mgh_2+\frac{mv_2^2}{2}$

Слева полная энергия в начале, справа в конце. Они равны. Энергия сохранилась.

Первая линия — потенциальная энергия на высоте $h$ (чем выше, тем больше). Вторая — кинетическая (чем ниже, тем больше). Третья — их сумма, прямая горизонтальная линия: энергия не меняется.

🌟 Закон сохранения механической энергии — частный случай главного закона природы: энергия никогда не исчезает и не появляется из ничего, она лишь превращается из одного вида в другой. Именно поэтому нельзя построить вечный двигатель.

Решаем задачи: схема в три шага

Пример 1. Падение с высоты

Тело падает без начальной скорости с высоты 20 м. Какова его скорость на высоте 5 м?

Дано: $h_1=20,\text{м}$, $h_2=5,\text{м}$, $v_1=0$, $g=10,\text{м/с}^2$. Найти: $v_2$. Решение: $mgh_1=mgh_2+\frac{mv_2^2}{2}$. Сокращаем $m$: $v_2^2=2g(h_1-h_2)=2\cdot10\cdot15=300$, $v_2=\sqrt{300}\approx17{,}3,\text{м/с}$. Ответ: около 17 м/с.

Пример 2. Свободное падение с высоты $h$

С какой скоростью тело, упавшее с высоты 80 м, достигнет земли?

Дано: $h=80,\text{м}$. Решение: $mgh=\frac{mv^2}{2}$, $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot80}=\sqrt{1600}=40,\text{м/с}$. Ответ: 40 м/с (это 144 км/ч).

👨‍👩‍👧 Родителю. Закон сохранения энергии удобен тем, что не надо знать время падения и ускорение на каждом участке пути. Спросите: «Какая энергия была в начале и какая в конце?» Если ребёнок сможет записать их равенство, задача почти решена.

Проверь себя

В чём заключается закон сохранения механической энергии? В замкнутой системе, где действуют только консервативные силы (тяжести, упругости), сумма кинетической и потенциальной энергий тел остаётся постоянной.
Какая связь между изменениями кинетической и потенциальной энергии одного и того же тела? Они равны по величине и противоположны по знаку: сколько потенциальной энергии тело потеряло, столько кинетической приобрело (при отсутствии трения).
Что называется механической энергией тела? Сумма его кинетической и потенциальной энергии: $E=E_{\text{к}}+E_{\text{п}}$.

Решаем упражнения

Везде считаем $g=10,\text{м/с}^2$ и пренебрегаем сопротивлением воздуха, если не сказано иначе.

Объясните

№ 1

«Объясните», задача 1. Всегда ли выполняется закон сохранения механической энергии?

Как думать. Вспомни условия: замкнутая система и только консервативные силы.

Решение. Закон верен только если нет сил трения и сопротивления (или они пренебрежимо малы). Тогда механическая энергия постоянна. Если же есть трение, часть механической энергии превращается во внутреннюю (тела нагреваются).

Пример ответа. Нет, не всегда. Он выполняется в замкнутой системе при действии только консервативных сил. При трении механическая энергия уменьшается, хотя полная энергия (с учётом тепла) сохраняется.

Ответ: нет, только при отсутствии трения.

№ 2

«Объясните», задача 2. Объясни, как изменяются потенциальная и кинетическая энергии мяча, брошенного вертикально вверх, в процессе полёта.

Как думать. Следи за скоростью и высотой мяча на каждом участке.

Решение.

Вверх: скорость уменьшается, значит, $E_{\text{к}}$ убывает; высота растёт, значит, $E_{\text{п}}$ растёт.
В верхней точке: $v=0$, $E_{\text{к}}=0$, $E_{\text{п}}$ наибольшая.
Вниз: $E_{\text{п}}$ убывает, $E_{\text{к}}$ растёт. У земли $E_{\text{п}}=0$, а $E_{\text{к}}$ наибольшая. Сумма $E_{\text{к}}+E_{\text{п}}$ всё время одна и та же (без сопротивления воздуха).

Пример ответа. При подъёме кинетическая энергия превращается в потенциальную, при падении — наоборот; их сумма постоянна.

Ответ: при подъёме $E_{\text{к}}\downarrow$, $E_{\text{п}}\uparrow$; при падении наоборот; сумма не меняется.

Познай себя

№ 3

«Познай себя», задача. Подбрось теннисный шарик вертикально вверх. Определи скорость, которую ты ему сообщил. Что для этого надо измерить и как ты это сделаешь?

Как думать. Вспомни закон сохранения: $\frac{mv_0^2}{2}=mgh$. Значит, достаточно узнать, на какую высоту шарик поднялся.

Решение. Что делать дома (безопасно, подальше от окон и ламп; лучше с помощником):

Поставь рядом стену с отметками, например клеенчатую ленту-сантиметр или полоски по 50 см.
Подбрось шарик вверх и пусть помощник посмотрит или снимет на телефон, до какой отметки он долетел. Например, шарик поднялся на $h=2,\text{м}$.
Считаем: $v_0=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot2}=\sqrt{40}\approx6{,}3,\text{м/с}$. Второй способ: включить секундомер и замерить время всего полёта $t$ (вверх и вниз), тогда $v_0=g\cdot\frac{t}{2}$. Если $t=1{,}2,\text{с}$, то $v_0=10\cdot0{,}6=6,\text{м/с}$.

Ответ: надо измерить максимальную высоту подъёма $h$ (или время полёта $t$); тогда $v_0=\sqrt{2gh}$ (или $v_0=gt/2$). Например, при $h=2$ м скорость примерно 6 м/с.

Анализируйте

№ 4

«Анализируйте», задача. Тело массой $m$ скатывается без трения по поверхности (рис. 34.2) из точки $A$, расположенной на высоте $h_1$. Чему равна его кинетическая энергия в точке 1 (на уровне земли)?

Как думать. Трения нет, значит, механическая энергия сохраняется. В точке $A$ тело покоится, в точке 1 высота равна нулю.

Решение. В точке $A$: $E_{\text{к}}=0$, $E_{\text{п}}=mgh_1$. В точке 1: $E_{\text{п}}=0$, $E_{\text{к}}=?$ $E_{\text{к1}}=mgh_1$.

Ответ: $E_{\text{к}}=mgh_1$.

Решите

№ 5

«Решите», задача 1. Спортсмен-экстремал, прыгающий с парашютом с высоких гор, пролетел в свободном падении 45 м. Какую скорость он приобрёл?

Как думать. Потенциальная энергия переходит в кинетическую: $mgh=\frac{mv^2}{2}$.

Решение. Дано: $h=45,\text{м}$, $v_0=0$. $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot45}=\sqrt{900}=30,\text{м/с}$.

Ответ: 30 м/с.

№ 6

«Решите», задача 2. Мяч брошен вертикально вверх со скоростью $v_0=10,\text{м/с}$. На какой высоте скорость мяча будет вдвое меньше $v_0$?

Как думать. Скорость вдвое меньше: $v=5,\text{м/с}$. Составим закон сохранения для земли и для искомой высоты.

Решение. Дано: $v_0=10,\text{м/с}$, $v=\frac{v_0}{2}=5,\text{м/с}$. $\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+mgh$. $h=\frac{v_0^2-v^2}{2g}=\frac{100-25}{20}=3{,}75,\text{м}$.

Ответ: 3,75 м.

№ 7

«Решите», задача 3. Камень массой 50 г брошен с крыши дома высотой 20 м со скоростью 18 м/с. Найди работу силы сопротивления воздуха, если к моменту удара о землю камень имел скорость 24 м/с.

Как думать. Если есть сопротивление, механическая энергия уменьшается. Работа силы сопротивления равна изменению полной механической энергии: $A=E_2-E_1$.

Решение. Дано: $m=50,\text{г}=0{,}05,\text{кг}$, $h=20,\text{м}$, $v_1=18,\text{м/с}$, $v_2=24,\text{м/с}$.

Вначале: $E_1=\frac{mv_1^2}{2}+mgh=\frac{0{,}05\cdot324}{2}+0{,}05\cdot10\cdot20=8{,}1+10=18{,}1,\text{Дж}$.
В конце (на земле): $E_2=\frac{mv_2^2}{2}=\frac{0{,}05\cdot576}{2}=14{,}4,\text{Дж}$.
$A=E_2-E_1=14{,}4-18{,}1=-3{,}7,\text{Дж}$. Знак «минус» — сила сопротивления забрала энергию. По модулю 3,7 Дж.

Ответ: $A=-3{,}7,\text{Дж}$ (по модулю 3,7 Дж, как в книге).

№ 8

«Решите», задача 4. Посмотри видео по QR-коду и определи работу силы трения.

Как думать. Содержание видео из книги недоступно, поэтому дам общий способ. Работа силы трения равна изменению механической энергии: $A_{\text{тр}}=E_2-E_1$, где $E=\frac{mv^2}{2}+mgh$.