§ 37. Условие равновесия рычага

Физика, 7 класс. Учебник: Кронгарт Б.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 9: Момент силы. Страницы 183–190.

Чему научишься

• Объяснять, что такое рычаг, плечо силы и момент силы.
• Формулировать правило равновесия рычага и записывать его формулой.
• Считать выигрыш в силе у рычага, блоков и наклонной плоскости.
• Объяснять, чем неподвижный блок отличается от подвижного.
• Решать задачи на равновесие рычага и блоков.

Разминка

• Чем проще открыть тугую крышку банки: пальцами или ложкой, подсунув её под край? Ложкой. Ложка работает как рычаг и усиливает нажим руки.
• Почему ручку двери ставят далеко от петель, а не рядом с ними? Чем дальше от оси, тем легче толкнуть дверь. Рядом с петлями пришлось бы давить изо всех сил.
• Как уравновесить на качелях взрослого и малыша? Посадить взрослого ближе к середине, а малыша дальше от неё.
• Что общего у лома, ножниц и гаечного ключа? Все они поворачиваются вокруг какой-то точки, то есть работают как рычаги.

💡 Рычаги вокруг нас везде: ножницы, дверь, весло, щипцы для сахара, качели. Сегодня узнаем, по какому правилу они все работают.

Разбираемся

Что такое рычаг

Рычаг — это твёрдое тело, которое может поворачиваться вокруг неподвижной точки опоры (оси). Рычагом может быть палка, доска или лом. Представь: ты подсунул лом под тяжёлый камень и надавил на длинный конец. Короткий конец приподнимает камень.

В этой картинке сразу две силы. Ты давишь на длинный конец с силой $F_1$, а камень давит на короткий конец с силой $F_2$. Они приложены по разные стороны от опоры.

📌 Линия действия силы — прямая, вдоль которой направлена сила.

Плечо силы: расстояние «до линии»

Чтобы понять, почему рычаг «усиливает», нужно ввести плечо силы. Это кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы. Измеряют его перпендикуляром, то есть «по прямой под прямым углом», а не по наклону.

Опыт на штативе (рис. 37.2): на перекладине, которая вращается вокруг оси $O$, справа висят 2 груза, слева 4. Если левые грузы повесить близко к оси, а правые далеко, перекладина замрёт ровно. Расстояние от оси до правой силы — $d_1$, до левой — $d_2$.

Момент силы

Каждая сила пытается повернуть рычаг. Насколько сильно, показывает момент силы:

$M = F\cdot d$

📌 Слово «момент» пришло из латыни и означает «толчок», «движущая сила». Чем больше сила и чем длиннее плечо, тем сильнее «толчок».

⚠️ Частая ошибка. Плечо — это не длина всего рычага и не расстояние до конца палки. Это расстояние от опоры до линии действия силы. И не забудь перевести сантиметры в метры: $20,\text{см}=0{,}2,\text{м}$.

Правило равновесия рычага

Один момент крутит рычаг по часовой стрелке, другой против. Опыт показывает: рычаг стоит неподвижно, когда эти моменты равны.

$M_1=M_2,\quad\text{то есть}\quad F_1d_1=F_2d_2.$

Это правило нашёл Архимед больше 2000 лет назад. Если разделить обе части, получится другая запись:

$\frac{F_2}{F_1}=\frac{d_1}{d_2}.$

📌 Рычаг в равновесии, если силы обратно пропорциональны своим плечам. Во сколько раз плечо больше, во столько раз сила меньше.

Отношение $\dfrac{F_2}{F_1}$ называют выигрышем в силе. Если плечо $d_1$ вдвое длиннее $d_2$, то выигрыш равен 2: ты давишь вдвое слабее, чем давит груз.

Посмотри на график. Пусть момент силы равен $12,\text{Н}\cdot\text{м}$. Тогда чем длиннее плечо, тем меньше нужна сила, и зависимость получается плавной «горкой вниз».

🌟 Выигрыш в силе не бесплатный. Если ты давишь вдвое слабее, то длинный конец проходит вдвое больший путь. Выиграл в силе, проиграл в расстоянии.

Два вида рычага

• Рычаг первого рода. Опора между линиями действия сил. Примеры: качели, ножницы, гвоздодёр.
• Рычаг второго рода. Опора с одного края, обе силы по одну сторону от неё. Примеры: тачка, щелкунчик, дверь.

Блоки

Блок — колесо с желобом, которое вращается вокруг оси. По желобу пропускают верёвку или трос. Блоки бывают двух видов.

Неподвижный блок. Ось закреплена и не двигается. Это равноплечий рычаг, плечи равны радиусу колеса. Выигрыша в силе нет: $F_1=F_2$. Зато можно тянуть вниз, чтобы груз поехал вверх. Так поднимают флаг на флагштоке.

Подвижный блок. Ось поднимается вместе с грузом. Это рычаг с плечами $r$ и $2r$, потому что опорная точка — тот край колеса, где верёвка закреплена. Тогда $\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{2r}{r}=2$.

📌 Подвижный блок даёт выигрыш в силе в 2 раза, неподвижный не даёт выигрыша, а только меняет направление силы.

Наклонная плоскость

Чтобы поднять груз на высоту $h$, можно поднять его вертикально с силой $F_1$ или втащить по гладкой горке длиной $l$ с силой $F_2$ (трения нет). Работа в обоих случаях одна: $F_1h=F_2l$. Отсюда:

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{l}{h}.$

Во сколько раз горка длиннее своей высоты, во столько раз легче тянуть груз. К наклонным плоскостям относятся клин, винт, серпантин в горах, лестница и конвейер. Например, дорога серпантином к горным курортам Алматы нужна именно для этого: машине легче ехать по длинной пологой дороге, чем лезть вертикально.

Примеры решения задач

Пример 1. Будет ли рычаг в равновесии?

Левый груз массой $m$ висит на нити через неподвижный блок и тянет правый конец рычага вниз. Плечо этой силы равно $4d$. На другой стороне висят грузы общей массой $2m$ на плече $2d$.

Решение.

1. Неподвижный блок силу не меняет, поэтому сила нити $F_{\text{н}}=mg$.
2. Момент нити: $M_1=mg\cdot4d=4mgd$.
3. Момент двух грузов: $M_2=2mg\cdot2d=4mgd$.
4. Моменты равны, значит, равновесие есть.

Ответ: да, рычаг в равновесии.

Пример 2. Груз какой массы нужен

В точке $A$ надо повесить груз $m_x$. Подвижный блок несёт груз $m_1=200,\text{г}$. В точке $B$ висят 3 грузика по $m=100,\text{г}$. Массой блока и трением пренебрегаем. Размеры по рисунку: сила нити действует на плече $5d$, грузики на плече $2d$, неизвестный груз на плече $4d$.

Дано: $m=100,\text{г}$, $m_1=200,\text{г}$. Найти: $m_x$.

Пример 3. Груз в воде

К рычагу массой $200,\text{г}$ и длиной $3l$ подвешен груз $m_{\text{г}}$ на расстоянии $2l$ от опоры у стены. На конце рычага нить через блок держит стальной груз объёмом $50,\text{см}^3$ в воде. Плотность стали $7{,}8,\text{г/см}^3$, воды $1,\text{г/см}^3$. Какой нужна масса $m_{\text{г}}$?

Решение.

1. Нить держит стальной груз, но ему помогает сила Архимеда. Сила нити, выраженная через «граммы веса»: $(\rho_{\text{с}}-\rho_{\text{в}})V=(7{,}8-1)\cdot50=340,\text{г}$.
2. Сам рычаг можно считать грузом в его середине: плечо $1{,}5l$, масса $200,\text{г}$.
3. Равенство моментов относительно оси у стены: $200\cdot1{,}5l+m_{\text{г}}\cdot2l=340\cdot3l$.
4. $300+2m_{\text{г}}=1020$, откуда $m_{\text{г}}=\dfrac{720}{2}=360,\text{г}$.

Ответ: $360,\text{г}$.

⚠️ Частая ошибка. Забыть про силу Архимеда: в воде нить держит не весь вес стального груза, а меньше. Ещё один промах: ставить плечо не от оси, а от конца рычага.

👨‍👩‍👧 Родителю. Дома можно проверить правило на линейке. Положите её на карандаш, на концы поставьте монеты и двигайте карандаш, пока линейка не замрёт. Спросите, во сколько раз одно плечо длиннее другого и сколько монет лежит на каждом конце.

Проверь себя

• Что называется рычагом? Твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной точки опоры или оси.
• Что называется линией действия силы? Прямая линия, вдоль которой действует сила.
• Дай определение плечу силы. Это кратчайшее расстояние от точки опоры до линии, вдоль которой действует сила.
• Что называется моментом силы? Физическая величина, равная произведению силы на её плечо: $M=F\cdot d$. Единица — $\text{Н}\cdot\text{м}$.
• Что называется выигрышем в силе и как его находят? Выигрыш показывает, во сколько раз сила, которую мы прикладываем, меньше силы, которую уравновешиваем. Его находят как отношение сил $\dfrac{F_2}{F_1}$, а оно равно отношению плеч $\dfrac{d_1}{d_2}$.
• Когда рычаг будет находиться в равновесии? Когда момент силы, вращающий его по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающему его против часовой стрелки: $F_1d_1=F_2d_2$.
• Посмотри видео по QR-коду и сделай выводы. Видео в этом разборе недоступно. Вывод по теме такой: рычаг уравновешен, когда моменты сил равны, а длинное плечо позволяет уравновесить большой груз малой силой.

Решаем упражнения

Экспериментируйте

№ 1

«Экспериментируйте». Возьми ножницы, гаечный ключ и кусачки (по видео из QR-кода или сам, с взрослым). Линейкой с миллиметровыми делениями измерь длины плеч каждого рычага и найди выигрыш в силе.

Как думать. У ножниц ось — винтик. Одно плечо — от винтика до того места, где лежит ручка (куда давит палец), другое — от винтика до того места, где лезвие режет бумагу. Выигрыш — это отношение длинного плеча к короткому.

Решение.

1. Измерь расстояние от оси до точки нажатия пальцев: $d_1$.
2. Измерь расстояние от оси до точки, где режет лезвие или зажимает губка: $d_2$.
3. Посчитай $\dfrac{d_1}{d_2}$.

Пример измерений: ножницы $d_1=9,\text{см}$, $d_2=4{,}5,\text{см}$, выигрыш $\dfrac{9}{4{,}5}=2$. Гаечный ключ: $d_1=20,\text{см}$, $d_2=1,\text{см}$ (от центра гайки до края ключа), выигрыш 20. Кусачки: $d_1=15,\text{см}$, $d_2=3,\text{см}$, выигрыш 5.

Ответ: у ножниц примерно 2, у кусачек около 5, у гаечного ключа до 20 (зависит от инструмента); у всех выигрыш больше 1, потому что плечо руки длиннее рабочего плеча.

⚠️ Ножницы и кусачки острые. Работай аккуратно, не направляй их на себя и не трогай лезвия. Для измерений лучше, чтобы рядом был взрослый.

Решите

№ 2

«Решите», задача 1. На рычаг длиной $80,\text{см}$ действует сила $5,\text{Н}$. Найди момент этой силы, если плечо силы равно $20,\text{см}$.

Как думать. Длина всего рычага (80 см) здесь лишняя. Нам нужно только плечо силы.

Решение.

Дано: $F=5,\text{Н}$, $d=20,\text{см}=0{,}2,\text{м}$.

$M=F\cdot d=5,\text{Н}\cdot0{,}2,\text{м}=1,\text{Н}\cdot\text{м}$.

Ответ: $1,\text{Н}\cdot\text{м}$.

№ 3

«Решите», задача 2. К концам невесомого стержня длиной $90,\text{см}$ подвешены грузы массой $400,\text{г}$ и $800,\text{г}$. Где надо поставить опору, чтобы стержень был в равновесии?

Как думать. Тяжёлый груз должен иметь короткое плечо, лёгкий — длинное. Силы относятся как массы: $800:400=2$, значит, плечи относятся как $1:2$.

Решение.

Дано: $m_1=400,\text{г}$, $m_2=800,\text{г}$, $d_1+d_2=90,\text{см}$.

1. Условие равновесия: $m_1g,d_1=m_2g,d_2$, откуда $400,d_1=800,d_2$, то есть $d_1=2d_2$.
2. $d_1+d_2=3d_2=90,\text{см}$, значит, $d_2=30,\text{см}$, а $d_1=60,\text{см}$.

Ответ: опору ставят на расстоянии $30,\text{см}$ от конца с грузом $800,\text{г}$ (и $60,\text{см}$ от груза $400,\text{г}$).

№ 4

«Решите», задача 3. ⭐ задача повышенной сложности. Каким должен быть вес груза $P$, подвешенного к нити, перекинутой через блоки (рис. 37.10), чтобы невесомый рычаг оставался в равновесии, если сила натяжения нити равна $F$?

Не страшно, если не получится с первого раза: попытка с блоками уже хороший тренинг.

Как думать. Сила нити, как и вес груза, действует на блоки. Надо посчитать, сколько участков нити удерживают груз: каждый участок тянет вверх с силой $F$.

Решение.

1. По рисунку груз висит на подвижной части, которую держат 4 участка одной нити, и в каждом участке натяжение $F$.
2. Равновесие: вес груза равен сумме сил нити, то есть $P=4F$.
3. Это работает как два подвижных блока: каждый даёт выигрыш в 2 раза, вместе в 4 раза.

Ответ: $P=4F$; в учебнике ответ $P=4,\text{Н}$ (то есть при $F=1,\text{Н}$).

№ 5

«Решите», задача 4. ⭐ задача повышенной сложности. Механизмом (рис. 37.11) поднимают груз весом $420,\text{Н}$. Какова масса балки? При подъёме балка остаётся горизонтальной.

Как думать. Балка закреплена шарниром у стены. Выбери эту точку за ось. Тогда момент силы нити (на конце балки) уравновешивает моменты двух грузов и веса самой балки. Вес балки приложен в её середине.

Решение.

Принимаем $g=10,\text{м/с}^2$. Длина балки $l$. Грузы: $18,\text{кг}$ на расстоянии $\dfrac{l}{3}$ от стены и $12,\text{кг}$ на $\dfrac{2l}{3}$. Сила нити равна весу груза: $F=420,\text{Н}$, плечо $l$.

1. $420\cdot l=18\cdot10\cdot\dfrac{l}{3}+12\cdot10\cdot\dfrac{2l}{3}+m\cdot10\cdot\dfrac{l}{2}$.
2. Сократим $l$: $420=60+80+5m$.
3. $5m=280$, $m=56,\text{кг}$.

Ответ: $m=56,\text{кг}$ (в учебнике напечатано $28,\text{кг}$).

№ 6

«Решите», задача 5. ⭐ задача повышенной сложности. Труба длиной $9,\text{м}$ и массой $140,\text{кг}$ лежит на двух горизонтальных опорах. Одна опора на конце трубы, а другая на расстоянии $1,\text{м}$ от другого конца. Найди силы реакции опор.

Как думать. Труба однородная, её вес приложен посередине, на $4{,}5,\text{м}$ от конца. Опора $A$ стоит на левом конце, опора $B$ на расстоянии $9-1=8,\text{м}$ от него. Нужны два уравнения: моментов и сил.

Решение.

Дано: $l=9,\text{м}$, $m=140,\text{кг}$, $AB=8,\text{м}$, $g=10,\text{м/с}^2$. Вес: $mg=1400,\text{Н}$.

1. Моменты вокруг точки $A$: $N_B\cdot8=1400\cdot4{,}5$, откуда $N_B=\dfrac{6300}{8}=787{,}5,\text{Н}$.
2. Сумма сил равна нулю: $N_A+N_B=1400,\text{Н}$, откуда $N_A=1400-787{,}5=612{,}5,\text{Н}$.

Ответ: $N_A=612{,}5,\text{Н}\approx600,\text{Н}$, $N_B=787{,}5,\text{Н}\approx800,\text{Н}$.

📕 В учебнике напечатано $N_A=600,\text{Н}$ и $N_B=800,\text{Н}$, но точнее $612{,}5,\text{Н}$ и $787{,}5,\text{Н}$: напечатанный ответ округлён до сотен. Сумма сил та же, $1400,\text{Н}$.

№ 7

«Решите», задача 6. ⭐ задача повышенной сложности. Чтобы удержать на ледяной горе санки с ведром весом $480,\text{Н}$, нужна сила $120,\text{Н}$. Наклон горки по всей её длине постоянный. Чему равна длина горы, если высота $4,\text{м}$?

Как думать. Горка — наклонная плоскость. Выигрыш в силе равен $\dfrac{480}{120}=4$. Во столько же раз длина больше высоты.

Решение.

Дано: $P=480,\text{Н}$, $F=120,\text{Н}$, $h=4,\text{м}$.

1. $\dfrac{P}{F}=\dfrac{l}{h}$, поэтому $l=h\cdot\dfrac{P}{F}$.
2. $l=4,\text{м}\cdot\dfrac{480,\text{Н}}{120,\text{Н}}=4,\text{м}\cdot4=16,\text{м}$.

Ответ: $16,\text{м}$.

Шпаргалка

• Плечо силы — перпендикуляр от оси до линии действия силы.
• Рычаг в равновесии, когда моменты сил равны.
• Выигрыш в силе всегда оплачивается путём: больше сила, меньше путь.
• Все длины перед расчётом переводи в метры, массы в килограммы.

Мини-тест