§ 38. Коэффициент полезного действия простых механизмов. Золотое правило механики

Физика, 7 класс. Учебник: Кронгарт Б.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 9: Момент силы. Страницы 190–194.

Чему научишься

• Объяснять, почему полезная работа всегда меньше затраченной.
• Считать КПД рычага, блоков и наклонной плоскости.
• Понимать, почему КПД не бывает 100 % и тем более больше 100 %.
• Формулировать золотое правило механики: во сколько раз выиграли в силе, во столько проиграли в пути.

Ключевое слово: коэффициент полезного действия (КПД).

Разминка

• Что такое механическая работа и как её считать? Работа равна силе, умноженной на путь по направлению силы: $A = F \cdot s$. Единица — джоуль (Дж).
• Что даёт рычаг: выигрыш в силе или в чём-то другом? Выигрыш в силе. Длинное плечо — меньшая сила.
• Что такое сила трения и мешает она или помогает при подъёме груза? Трение возникает при движении тел и мешает: часть усилий уходит на его преодоление.
• Чему равна сила тяжести груза массой $m$? $F = mg$, где $g \approx 10,\text{Н/кг}$.

Разбираемся

Почему «полезного» всегда меньше

Ты поднимаешь ведро из колодца с помощью блока. Часть усилий уходит на то, чтобы поднять само ведро с водой. А другая часть — на трение верёвки о блок и на подъём самого блока. Вот эта «лишняя» работа никому не нужна, но избавиться от неё нельзя.

Поэтому физики различают две работы:

• полезная работа $A_{\text{п}}$ — та, ради которой всё затеяли (например, подъём груза);
• затраченная работа $A_{\text{з}}$ — вся работа, которую мы на самом деле совершили.

У любого реального механизма $A_{\text{п}} < A_{\text{з}}$.

КПД: сколько из затраченного пошло «в дело»

Чтобы сравнивать механизмы, придумали величину КПД (коэффициент полезного действия). Обозначают его греческой буквой $\eta$ («эта»). КПД показывает, какая часть затраченной работы стала полезной. Обычно его считают в процентах:

$\eta = \frac{A_{\text{п}}}{A_{\text{з}}} \cdot 100%$

📌 КПД любого реального механизма меньше 100 %. Энергия неизбежно теряется, поэтому «вечного» механизма без потерь построить нельзя.

⚠️ Частая ошибка. Считают КПД «наоборот»: делят затраченную работу на полезную и получают число больше 100 %. Проверь себя: ответ больше 100 % — значит, перепутаны числитель и знаменатель.

Здесь на подъём груза пошло 160 Дж, а человек затратил 240 Дж. Разница в 80 Дж — потери. КПД $=\frac{160}{240}\cdot100% \approx 67%$.

КПД разных механизмов

Во всех случаях полезная работа — это подъём груза: $A_{\text{п}} = mgh$. Меняется только то, как считать затраченную работу $A_{\text{з}} = F \cdot l$, где $l$ — путь, который прошла точка приложения силы.

💡 У подвижного блока в знаменателе стоит двойка: чтобы груз поднялся на 1 м, свободный конец верёвки надо вытянуть на 2 м. Мы выигрываем в силе (почти вдвое), но проигрываем в расстоянии.

⚠️ Частая ошибка. Сантиметры не переводят в метры, а массу в килограммы. Перед подстановкой всё в СИ: 80 см $= 0{,}8$ м.

👨‍👩‍👧 Родителю. Предложите ребёнку объяснить своими словами, почему в формуле подвижного блока стоит $2F$. Если он скажет «верёвку тянем вдвое дальше», тема усвоена.

Золотое правило механики

Допустим, механизм идеальный: трения нет, КПД равен 100 %. Тогда полезная и затраченная работы равны: $A_1 = A_2$, то есть $F_1 l_1 = F_2 l_2$. Отсюда:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{l_1}{l_2}$

Это и есть золотое правило механики, известное ещё древним учёным.

📌 Во сколько раз выигрываем в силе, во столько раз проигрываем в расстоянии. Выигрыша в работе не даёт ни один механизм.

Представь дорогу-серпантин в горах, например подъём к высокогорному катку Медеу. Дорога длинная и пологая: идти легко, но путь большой. Прямо вверх по склону путь короче, зато круто и тяжело. Работа по подъёму на ту же высоту одна и та же.

Сила падает, путь растёт, а работа всегда одна: 100 Дж. А с трением понадобится больше.

🌟 Ещё в Древней Греции знали: «выиграл в силе — проиграл в пути». Египтяне и строители пирамид затаскивали огромные блоки по длинным пологим наклонным плоскостям.

Проверь себя

• Что вы понимаете под коэффициентом полезного действия? Это величина, которая показывает, какая часть затраченной работы пошла на полезную работу.
• По какой формуле считают КПД механизмов? $\eta = \frac{A_{\text{п}}}{A_{\text{з}}} \cdot 100%$.
• Какая работа называется полезной, а какая — затраченной? Полезная — та, ради которой используют механизм (например, подъём груза). Затраченная — вся работа, совершённая в ходе процесса, включая потери на трение и подъём частей механизма.
• Можно ли построить механизм, КПД которого будет равен: а) 75 %; б) 120 %? а) Да, такие механизмы бывают: часть энергии теряется. б) Нет: полезная работа не может превышать затраченную, КПД всегда меньше 100 %.
• Как рассчитать КПД рычага? $\eta = \frac{mgh_1}{Fh_2} \cdot 100%$, где $h_1$ — высота подъёма груза, $h_2$ — путь конца длинного плеча.
• Как рассчитать КПД неподвижного блока? $\eta = \frac{mg}{F} \cdot 100%$, так как свободный конец верёвки проходит тот же путь, что и груз.
• Как рассчитать КПД подвижного блока? $\eta = \frac{mg}{2F} \cdot 100%$, так как свободный конец проходит путь вдвое длиннее.
• Как рассчитать КПД наклонной плоскости? $\eta = \frac{mgh}{Fl} \cdot 100%$, где $h$ — высота, $l$ — длина плоскости.
• Сформулируйте золотое правило механики. Во сколько раз выигрываем в силе, во столько раз проигрываем в расстоянии. Выигрыша в работе механизмы не дают.

Решаем упражнения

Во всех расчётах берём $g = 10,\text{Н/кг}$.

Объясните

№ 1

«Объясните», задача 1. Объясни работу подъёмного крана по рисунку. Какой должна быть минимальная масса противовеса, если стрела длиной 15 м, максимальный груз 3,5 т, а центр тяжести противовеса на расстоянии 1,2 м от оси крана?

Как думать. Кран — это рычаг. Он не должен опрокидываться: моменты сил груза и противовеса относительно оси должны уравновешиваться (правило рычага: $F_1 d_1 = F_2 d_2$). Силы пропорциональны массам, поэтому $g$ сократится.

Решение. Дано: $m_1 = 3{,}5,\text{т} = 3500,\text{кг}$; $d_1 = 15,\text{м}$; $d_2 = 1{,}2,\text{м}$. Найти: $m_2$.

1. Условие равновесия: $m_1 g d_1 = m_2 g d_2$.
2. $m_2 = \frac{m_1 d_1}{d_2} = \frac{3500 \cdot 15}{1{,}2} = 43,750,\text{кг} \approx 43{,}75,\text{т}$.
3. Минимальная масса — не меньше этого значения, округляем до 44 т.

Пример ответа на «объясните». Стрела с грузом тянет кран вперёд, а противовес на короткой стороне уравновешивает её. Так как плечо противовеса малое, он должен быть очень тяжёлым.

Ответ: примерно 44 т.

Познай себя

№ 2

«Познай себя», задание 1. Собери сложный механизм из неподвижного и подвижного блоков, штатива и прочной нити. С помощью динамометра и линейки подними груз, прикреплённый к подвижному блоку, на любую высоту. Найди: а) полезную работу; б) полную работу; в) КПД; г) выигрыш в силе; д) выигрыш в работе.

Как думать. Измеряем всё, что нужно для формул: массу груза (по весу на динамометре), высоту подъёма груза, силу на нити и путь, который прошёл конец нити.

Решение. Пример результатов (у тебя числа будут свои). Масса груза с блоком, которую поднимаем, $m = 0{,}2,\text{кг}$; высота подъёма $h = 0{,}10,\text{м}$; конец нити прошёл $l = 0{,}20,\text{м}$; динамометр показал $F = 1{,}25,\text{Н}$.

а) $A_{\text{п}} = mgh = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 0{,}10 = 0{,}20,\text{Дж}$. б) $A_{\text{з}} = Fl = 1{,}25 \cdot 0{,}20 = 0{,}25,\text{Дж}$. в) $\eta = \frac{0{,}20}{0{,}25} \cdot 100% = 80%$. г) выигрыш в силе: $\frac{mg}{F} = \frac{2}{1{,}25} = 1{,}6$ раза (идеально было бы 2 раза). д) выигрыш в работе: его нет. Затраченная работа ($0{,}25$ Дж) даже больше полезной ($0{,}20$ Дж).

⚠️ Безопасность. Груз должен висеть невысоко и не над ногами. Штатив поставь устойчиво, на стол.

Ответ: КПД около 80 %, выигрыш в силе около 1,6 раза, выигрыша в работе нет.

№ 3

«Познай себя», задание 2. Укажи рычаги, которые есть в твоём организме.

Как думать. Рычаг — твёрдое тело, которое вращается вокруг точки опоры. В теле это кости, а мышцы создают силу.

Решение. Примеры.

• Предплечье: опора — локтевой сустав, силу создаёт бицепс. При сгибании руки с грузом выигрываем в скорости и пути, проигрываем в силе.
• Стопа, когда встаёшь на носочки: опора — пальцы стопы, сила — икроножная мышца через ахиллово сухожилие.
• Голова: опора — верхний позвонок, мышцы шеи удерживают её в равновесии.
• Нижняя челюсть: опора — суставы у ушей, жевательные мышцы создают силу.

Ответ: рычаги в организме — предплечье, стопа, голова, нижняя челюсть.

Исследуйте

№ 4

«Исследуйте», задание 1. Нарисуй схему подъёма груза неподвижным и подвижным блоками на высоту $h$. Покажи силы, действующие на груз. Докажи, что блоки не дают выигрыша в работе.

Как думать. Сравним работу, которую совершает человек, с работой по подъёму груза без блока ($mgh$).

Решение. Схема. Неподвижный блок крепим к штативу, а через него перекидываем нить. На груз вниз действует сила тяжести $mg$, вверх — сила натяжения нити. Подвижный блок висит на нити, и груз подвешен к нему. Нить с двух сторон тянет его вверх.

Неподвижный блок. Идеально $F = mg$. Конец нити проходит путь $l = h$. $A = Fl = mgh$. Подвижный блок. Идеально $F = \frac{mg}{2}$. Конец нити проходит $l = 2h$. $A = Fl = \frac{mg}{2} \cdot 2h = mgh$.

Работа с блоком равна работе без блока: $mgh$. Если учесть трение, $A$ будет даже больше. Значит, выигрыша в работе нет.

Ответ: блоки дают выигрыш в силе (подвижный) или меняют направление силы (неподвижный), но работа всегда $\ge mgh$, выигрыша в работе нет.

№ 5

«Исследуйте», задание 2. Динамометром определи силу тяжести бруска. Положи его на наклонную плоскость и измерь силу при равномерном движении бруска вверх. Измерь линейкой высоту $h$ и длину $L$ плоскости и вычисли КПД.

Как думать. Полезная работа: $mgh$, а затраченная: $F \cdot L$. Силу тяжести $mg$ динамометр покажет прямо.

Решение. Пример результатов. Вес бруска $mg = 2{,}0,\text{Н}$; $h = 0{,}20,\text{м}$; $L = 0{,}80,\text{м}$; при равномерном движении вверх динамометр показал $F = 0{,}7,\text{Н}$.

1. $A_{\text{п}} = mgh = 2{,}0 \cdot 0{,}20 = 0{,}40,\text{Дж}$.
2. $A_{\text{з}} = FL = 0{,}7 \cdot 0{,}80 = 0{,}56,\text{Дж}$.
3. $\eta = \frac{0{,}40}{0{,}56} \cdot 100% \approx 71%$.

Тяни брусок строго параллельно доске и равномерно, иначе динамометр соврёт.

Ответ: в примере $\eta \approx 71%$ (у тебя получится своё число, но меньше 100 %).

Решите

№ 6

«Решите», задача 1. Грузом массой 20 кг равномерно подняли с помощью рычага на высоту 80 см. Длинное плечо, к которому приложена сила 120 Н, опустилось на 2 м. Каков КПД рычага?

Как думать. Полезная работа — подъём груза, затраченная — работа силы на длинном плече.

Решение. Дано: $m = 20,\text{кг}$; $h_1 = 80,\text{см} = 0{,}8,\text{м}$; $F = 120,\text{Н}$; $h_2 = 2,\text{м}$. Найти: $\eta$.

1. $A_{\text{п}} = mgh_1 = 20 \cdot 10 \cdot 0{,}8 = 160,\text{Дж}$.
2. $A_{\text{з}} = Fh_2 = 120 \cdot 2 = 240,\text{Дж}$.
3. $\eta = \frac{160}{240} \cdot 100% \approx 67%$.

Ответ: 67 %.

№ 7

«Решите», задача 2. Какая сила нужна для равномерного подъёма груза массой 200 кг по наклонной плоскости с КПД 65 %? Высота плоскости 1,2 м, длина 16 м.

Как думать. Знаем КПД и хотим силу: выразим $F$ из формулы КПД. Не забудь перевести проценты в доли: $65% = 0{,}65$.

Решение. Дано: $m = 200,\text{кг}$; $\eta = 65% = 0{,}65$; $h = 1{,}2,\text{м}$; $l = 16,\text{м}$. Найти: $F$.

1. $A_{\text{п}} = mgh = 200 \cdot 10 \cdot 1{,}2 = 2400,\text{Дж}$.
2. $A_{\text{з}} = \frac{A_{\text{п}}}{\eta} = \frac{2400}{0{,}65} \approx 3692,\text{Дж}$.
3. $F = \frac{A_{\text{з}}}{l} = \frac{3692}{16} \approx 231,\text{Н}$.

Ответ: примерно 231 Н.

№ 8

«Решите», задача 3. ⭐ задача повышенной сложности. С помощью подвижного блока с КПД 50 % груз массой 45 кг подняли на высоту 12 м. Какая сила приложена к концу троса?

Как думать. Это задача повышенной сложности, но за попытку уже хвалю. Для подвижного блока $\eta = \frac{mg}{2F}$. Высота 12 м нам не понадобится, она сокращается.

Решение. Дано: $m = 45,\text{кг}$; $\eta = 50% = 0{,}5$; $h = 12,\text{м}$. Найти: $F$.

1. $mg = 45 \cdot 10 = 450,\text{Н}$.
2. $F = \frac{mg}{2\eta} = \frac{450}{2 \cdot 0{,}5} = \frac{450}{1} = 450,\text{Н}$.

Интересно: сила получилась равной весу груза. Блок с КПД 50 % никакого выигрыша в силе не даёт.

Ответ: 450 Н.

№ 9

«Решите», задача 4. ⭐ задача повышенной сложности. Каков КПД подвижного блока, с помощью которого равномерно поднимают груз массой 70 кг, действуя на верёвку силой 400 Н?

Как думать. Подставляем в формулу подвижного блока.

Решение. Дано: $m = 70,\text{кг}$; $F = 400,\text{Н}$. Найти: $\eta$.

1. $mg = 70 \cdot 10 = 700,\text{Н}$.
2. $\eta = \frac{700}{2 \cdot 400} \cdot 100% = \frac{700}{800} \cdot 100% = 87{,}5%$.

Ответ: 87,5 %.

№ 10

«Решите», задача 5. ⭐ задача повышенной сложности. С помощью рычага подняли груз массой 12 кг на высоту 30 см. Длинное плечо в 8 раз больше короткого. Какую силу надо приложить к большому плечу при КПД рычага 80 %? На сколько опустится конец длинного плеча?

Как думать. Плечи в отношении 8 : 1, поэтому концы рычага проходят пути в том же отношении. Дальше считаем работы.

Решение. Дано: $m = 12,\text{кг}$; $h_1 = 30,\text{см} = 0{,}3,\text{м}$; $d_2 = 8d_1$; $\eta = 80% = 0{,}8$. Найти: $F$, $h_2$.

1. $h_2 = 8h_1 = 2{,}4,\text{м}$.
2. $A_{\text{п}} = 12 \cdot 10 \cdot 0{,}3 = 36,\text{Дж}$.
3. $A_{\text{з}} = \frac{36}{0{,}8} = 45,\text{Дж}$.
4. $F = \frac{45}{2{,}4} = 18{,}75,\text{Н}$.

Ответ: сила 18,75 Н; конец длинного плеча опустится на 2,4 м.

Шпаргалка

• Полезная работа всегда меньше затраченной, КПД меньше 100 %.
• Выигрыша в работе не даёт ни один механизм.
• Перед расчётом переведи всё в СИ, проценты — в доли.
• Если известен КПД, затраченная работа $A_{\text{з}} = A_{\text{п}} / \eta$.

Мини-тест