§ 4. Скалярные и векторные величины

Физика, 7 класс. Учебник: Кронгарт Б.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 2: Физические величины и измерения. Страницы 22–26.

Чему научишься

• Объяснять, чем скалярная величина отличается от векторной.
• Называть примеры тех и других (масса, температура, путь, время и скорость, сила, перемещение).
• Понимать запись со стрелкой $\vec{v}$ и без неё $v$.
• Изображать вектор отрезком со стрелкой в заданном масштабе.
• Находить модуль суммы двух векторов на одной прямой.

Разминка

• Сколько времени идёт урок? 45 минут. Достаточно ли сказать «45» и ничего больше? Единица нужна. А вот направление у времени не бывает.
• Автобус проехал 50 км. Где он теперь? Неизвестно: нужно сказать, в какую сторону он ехал.
• Как ты объяснишь другу, где лежит клад? «Пройди 10 шагов на север». Нужно число шагов и направление.

💡 Некоторые величины полностью описывает одно число, другим нужна ещё и сторона. Это два разных «сорта» величин.

Разбираемся

Скалярные: достаточно числа

Масса мешка картошки 3 кг, температура воздуха $-10,°\text{C}$, длина стержня 1 м. Что ещё добавить? Ничего. Число с единицей уже говорит всё.

📌 Скалярная величина имеет только одну характеристику — числовое значение. Оно может быть положительным или отрицательным.

Скалярные: масса, температура, путь, время, объём, площадь, длина, размеры тела.

Векторные: число плюс направление

С другими величинами числа мало. Скорость 54 км/ч: куда едем? В Астану или в Шымкент? Для таких величин ввели векторы.

📌 Векторная величина имеет две характеристики: модуль (числовое значение) и направление в пространстве.

Над буквой векторной величины рисуют стрелку: скорость $\vec{v}$, перемещение $\vec{s}$, сила $\vec{F}$. Запись $\vec{v}$ говорит: у скорости есть направление. Запись $v$ без стрелки означает только модуль, то есть число.

Как нарисовать вектор

Вектор рисуют как отрезок со стрелкой. Длина отрезка в выбранном масштабе показывает модуль, а стрелка показывает направление. Начало отрезка называется началом вектора, а там, где стрелка, конец вектора.

Пример: скорость тела $v=6,\text{м/с}$. Выберем масштаб: один отрезок длиной в клеточку обозначает $2,\text{м/с}$. Тогда рисуем стрелку длиной три клетки: $6\div2=3$.

Два велосипедиста едут навстречу друг другу со скоростями $v_1=4,\text{км/ч}$ и $v_2=8,\text{км/ч}$. Векторы скоростей смотрят в противоположные стороны, а вектор $\vec{v}_2$ вдвое длиннее.

🌟 Слово «вектор» по-латыни значит «несущий». Стрелку «несёт» вдоль определённого направления.

Как складывать векторы

Векторы можно складывать, вычитать, умножать и делить, но по особым правилам. Мы пока разберём два простых случая, когда векторы лежат на одной прямой.

Случай 1. Векторы смотрят в одну сторону. Модуль суммы равен сумме модулей, а вектор суммы смотрит туда же.

Случай 2. Векторы смотрят в противоположные стороны. Модуль суммы равен разности модулей (из большего вычитаем меньший), а вектор суммы смотрит в сторону большего вектора.

У велосипедистов навстречу друг другу: скорость сближения по модулю $v_{\text{сбл}}=v_2-v_1=8-4=4,\text{км/ч}$ (так считают, когда складывают векторы скоростей, направленные в противоположные стороны), а направлена она туда же, куда $\vec{v}_2$.

Три примера, где путают

1. Путь и перемещение. Путь скалярный: просто число. Перемещение векторное: число и направление. «Машина проехала 50 км» не говорит, где она.
2. Масса и вес. Масса скалярная: сколько вещества в теле. Вес векторный: сила, с которой тело давит на опору или тянет подвес.
3. Объём, площадь, размеры скалярные. Перемещение, скорость, сила векторные.

⚠️ Частая ошибка. Считают, что температура $-10,°\text{C}$ имеет направление «вниз», раз число отрицательное. Нет: минус показывает, что температура ниже нуля, это просто знак числа. Направления в пространстве у температуры нет, она скалярная.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите ребёнка: «Если я скажу, что ехал со скоростью 80 км/ч, ты поймёшь, куда?» Пусть сам заметит, что без «куда» картина неполная. Тогда слово «вектор» перестанет быть пугающим.

Проверь себя

• Какие физические величины называют скалярными? Приведи примеры. Те, что имеют только числовое значение (модуль). Например, масса, температура, путь, время, объём, длина.
• Какие физические величины называют векторными? Те, что имеют модуль и направление в пространстве: скорость, перемещение, сила.
• Чем скалярная величина отличается от векторной? У скалярной только число, у векторной число и направление.
• Как обозначается векторная физическая величина? Над буквой ставят стрелку: $\vec{v}$, $\vec{s}$, $\vec{F}$. Буква без стрелки — это только модуль.
• Как на рисунке изображается направление вектора? Направленным отрезком (стрелкой). Длина отрезка в выбранном масштабе показывает модуль.
• Какая величина векторная: путь или перемещение? Как ты это определил? Перемещение. У него есть не только значение, но и направление, а путь описывается одним числом.
• Почему температуру и массу нельзя считать векторными? Им нельзя приписать направление в пространстве: достаточно числа с единицей.
• Длина или объём тела — векторные величины? Нет, обе скалярные: это только числа с единицами.
• Мотоцикл и мопед едут от автостанции по улицам города со скоростью 15 м/с. Достаточно ли этих данных, чтобы узнать их положение через 10 с? Нет. Модуль скорости известен, а направление нет. Через 10 с каждый проедет по $15\cdot10=150,\text{м}$, но в какую сторону от автостанции, мы не знаем. Улицы разные, и положения могут быть разными.
• Какая величина векторная: объём или сила? Как ты это определил? Сила. Она действует в определённом направлении, у неё есть и числовое значение, и направление. Объём описывается одним числом.

Решаем упражнения

Решите

№ 1

«Решите», задача 1. ⭐ задача повышенной сложности. Определи модуль суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на рис. 4.3, а, если $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=3$.

💡 Это задача повышенной сложности. Любая попытка уже победа, давай разберём шаг за шагом!

Как думать. Смотрим на рисунок 4.3, а: оба вектора направлены в одну сторону (вправо). Значит, модули складываем.

Решение. $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|=5+3=8$.

Ответ: $8$. Вектор суммы направлен в ту же сторону, что и $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

№ 2

«Решите», задача 2. ⭐ задача повышенной сложности. Определи модуль суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на рис. 4.3, б, если $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=3$.

Как думать. На рисунке 4.3, б векторы направлены в противоположные стороны. Тогда из большего модуля вычитаем меньший.

Решение. $|\vec{a}+\vec{b}|=|,5-3,|=2$.

Ответ: $2$. Вектор суммы направлен в сторону большего вектора.

Анализируйте

№ 3

«Анализируйте». Может ли модуль суммы двух векторов быть равен 0?

Как думать. Вспомни правило для противоположных направлений: модуль суммы равен разности модулей. Когда разность равна нулю?

Пример ответа. Да, может. Нужно, чтобы два вектора были направлены в противоположные стороны и имели одинаковые модули: $|\vec{a}|=|\vec{b}|$. Тогда $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|=0$. Например, два борца тянут верёвку с силой по 300 Н в разные стороны: общее действие равно нулю, и верёвка стоит на месте.

Ответ: да, если векторы одинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны.

Шпаргалка

• Путь скалярный, перемещение векторное.
• Масса скалярная, вес (сила) векторный.
• Масштаб: сколько единиц величины в одной клетке, во столько и считаем длину стрелки.
• Равные векторы, направленные в противоположные стороны, в сумме дают ноль.

Мини-тест