§ 5. Точность измерений и вычислений. Запись больших и малых чисел

Физика, 7 класс. Учебник: Кронгарт Б.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 2: Физические величины и измерения. Страницы 26–32.

Чему научишься

• Объяснять, откуда берётся погрешность измерения и почему без неё не обойтись.
• Находить цену деления шкалы любого прибора.
• Считать абсолютную погрешность и записывать результат в виде $A = a \pm \Delta a$.
• Записывать очень большие и очень малые числа в стандартном виде со степенью десяти.
• Умножать и делить числа в стандартном виде.

Разминка

• Можно ли измерить длину парты абсолютно точно? Нет. Всегда найдётся более мелкая доля миллиметра, которую линейка не покажет.
• Чем отличаются обычная школьная линейка и портновская лента? Расстоянием между штрихами: у линейки штрихи частые (через 1 мм), у ленты редкие (через 5 мм).
• Сколько нулей у числа «миллион»? Шесть: $1,000,000 = 10^{6}$.
• Как записать $\frac{1}{100}$ в виде степени десяти? $10^{-2}$.

Разбираемся

Почему «идеально точно» не бывает

Врач меряет температуру с точностью до десятых долей градуса. Ветеринар взвешивает витаминную добавку для скота с точностью до миллиграммов. Но ни один из них не получит «настоящее» число без хвостика. Любое измерение чуть-чуть ошибается, и эту ошибку называют погрешностью измерения.

Главная причина погрешности: прибор. У каждого прибора есть шкала: штрихи с подписанными цифрами, вдоль которых бегает указатель (стрелка, столбик жидкости, световой зайчик). Расстояние между двумя ближайшими штрихами называют делением.

📕 В учебнике при рассказе о температуре тела напечатано «36,6 %», но правильно «36,6 °C»: температуру измеряют в градусах Цельсия, а не в процентах.

Цена деления: сколько «стоит» один штрих

Цена деления показывает, на сколько изменяется измеряемая величина при переходе от штриха к соседнему штриху. Как её найти:

1. Возьми две соседние подписанные цифры на шкале.
2. Вычти из большей меньшую.
3. Раздели разность на число делений между ними.

$C = \frac{a_2 - a_1}{n}$

📌 Чем меньше цена деления, тем точнее измерение. Прибор нужно выбирать под задачу: линейкой неудобно мерить длину стадиона, а рулеткой на 5 метров неудобно мерить толщину листа.

Абсолютная погрешность: половина цены деления

Принято считать, что ошибка при чтении шкалы равна половине цены деления. Её называют абсолютной погрешностью измерения $\Delta a$ (греческая «дельта»).

$\Delta a = \frac{C}{2}$

У линейки с $C = 1$ мм получится $\Delta a = 0{,}5$ мм $= 0{,}05$ см. У ленты с $C = 5$ мм получится $2{,}5$ мм $= 0{,}25$ см.

Результат измерения записывают с этой поправкой:

$A = a \pm \Delta a$

Пример с бруском. Линейкой получили длину $10{,}2$ см, лентой $10$ см. Записываем: линейка даёт $l = (10{,}2 \pm 0{,}05)$ см, лента даёт $l = (10 \pm 0{,}25)$ см. Лентой результат «размазан» сильнее: её промежуток возможных значений шире.

📌 Запись $l = (10{,}2 \pm 0{,}05)$ см читается так: настоящая длина где-то между $10{,}15$ и $10{,}25$ см.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка взять любой домашний прибор (кухонные весы, часы со стрелками, градусник) и вслух найти его цену деления по правилу «разность соседних цифр, делим на число штрихов». Если получилось быстро, тема усвоена.

Как не наделать лишних ошибок

Кроме «честной» погрешности прибора бывает грубая ошибка: засмотрелся, перепутал штрих, неудачно приложил линейку. Её видно по повторному измерению: оно резко отличается. Такой результат выбрасывают из расчётов.

Глаз при измерении должен смотреть строго перпендикулярно шкале, на уровень штриха. Если смотреть сбоку, отсчёт «уезжает». Это особенно заметно, когда читаешь уровень жидкости в пробирке или мензурке.

⚠️ Частая ошибка. Смотреть на шкалу под углом. Для мензурки взгляд должен быть на уровне поверхности воды, а не сверху.

Многие приборы теперь цифровые: число видно на экране, считать ничего не надо. Но и у них есть погрешность, поэтому результат всё равно записывают с учётом неё. Про точность прибора говорит его класс точности.

Очень большие и очень малые числа

Физика ворочает числами, которые трудно записать даже на целой строчке. Взгляни на год: $365$ суток $= 8760$ ч $= 525,600$ мин $= 31,536,000$ с. В днях удобнее, чем в секундах.

Чтобы не считать нули, число записывают со степенью десяти:

• $1000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{3}$, значит $3000 = 3 \cdot 10^{3}$;
• $0{,}00001 = \frac{1}{100,000} = \frac{1}{10^{5}} = 10^{-5}$.

Число 10 в нулевой степени равно единице: $10^{0} = 1$.

📌 Стандартный вид числа: $a \cdot 10^{n}$. Первый множитель $a$ обычно от 1 до 10, второй множитель, десять в степени $n$, говорит, на сколько знаков сдвинута запятая. Большое число даёт положительное $n$, малое даёт отрицательное.

🌟 Масса Земли примерно $6 \cdot 10^{24}$ кг. Без степени десяти пришлось бы писать шестёрку и 24 нуля. Масса комара $2$ мг $= 2 \cdot 10^{-6}$ кг. А экватор Земли длиной $40,000,000$ м коротко записывается как $4 \cdot 10^{7}$ м. Это 40 тысяч километров: больше тридцати поездок по железной дороге от Алматы до Астаны.

Считаем со степенями десяти

Пусть $x = a \cdot 10^{n}$ и $y = b \cdot 10^{m}$. Тогда:

$x \cdot y = ab \cdot 10^{,n+m}, \qquad \frac{x}{y} = \frac{a}{b} \cdot 10^{,n-m}$

Правило простое: числа считаем отдельно, показатели степени складываем при умножении и вычитаем при делении.

Пример 1. Деление

Найти значение $\dfrac{36 \cdot 10^{8}}{4 \cdot 10^{-6}}$.

Решение. Числа: $36 : 4 = 9$. Показатели: $8 - (-6) = 14$. Значит, ответ $9 \cdot 10^{14}$.

Пример 2. Умножение, где число получилось «не по стандарту»

Найти значение $5{,}2 \cdot 10^{4} \cdot 4 \cdot 10^{7}$.

Решение. $5{,}2 \cdot 4 = 20{,}8$, показатели: $4 + 7 = 11$. Выходит $20{,}8 \cdot 10^{11}$. Чтобы получить настоящий стандартный вид, сдвигаем запятую на один знак: $2{,}08 \cdot 10^{12}$.

⚠️ Частая ошибка. Забыть, что при делении показатели вычитают, а не делят. И ещё: при отрицательном показателе в знаменателе вычитаем «минус на минус»: $8 - (-6) = 14$, а не $2$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Опиши назначение и устройство измерительного прибора. Прибор нужен, чтобы получить число для физической величины. Главная его часть — шкала: штрихи с цифрами, вдоль которых движется указатель (стрелка, уровень жидкости, световой зайчик). Расстояние между соседними штрихами — деление.
• Что такое цена деления шкалы и как её найти? Это значение величины, соответствующее одному делению. Чтобы найти, берут две соседние подписанные цифры, вычитают меньшую из большей и делят на число делений между ними.
• Что такое погрешность измерения? Это неизбежная неточность результата. Она зависит от прибора и от того, как им пользуются.
• Какая погрешность называется абсолютной? Равная половине цены деления шкалы прибора. Для линейки с ценой деления 1 мм это $0{,}5$ мм.
• Объясни, как можно измерить величину наиболее точно. Взять прибор с наименьшей подходящей ценой деления, правильно смотреть на шкалу (глаз перпендикулярно штриху), повторить измерение и отбросить грубые ошибки.
• Почему запись больших и малых чисел удобна в стандартном виде? Не надо считать и переписывать десятки нулей, меньше шансов ошибиться, а умножать и делить намного проще: показатели степеней просто складывают или вычитают.
• Планета Земля имеет объём $1,083,000,000,000$ км³. Представь этот объём в стандартном виде. $1{,}083 \cdot 10^{12}$ км³. В числе 12 знаков после первой цифры, поэтому показатель равен 12.

Решаем упражнения

Решите

№ 1

«Решите», задача 1. ⭐ Задача повышенной сложности. Запиши в виде степени десяти (в стандартном виде) числа из таблицы 1: $300$; $10,000$; $\frac{1}{100}$; $0{,}00000012$; $7000$; $5,000,000$; $0{,}0004$; $0{,}0000000008$.

Как думать. Если число большое, считаем, на сколько знаков сдвинули запятую влево, и это положительная степень. Если число малое, сдвигаем запятую вправо, и это отрицательная степень. Это задача повышенной сложности: даже если запутаешься в нулях, попытка уже засчитывается.

Решение.

1. $300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^{2}$.
2. $10,000 = 10^{4}$.
3. $\frac{1}{100} = 10^{-2}$.
4. $0{,}00000012$: запятую двигаем на 7 знаков вправо, получаем $1{,}2$. Значит, $1{,}2 \cdot 10^{-7}$.
5. $7000 = 7 \cdot 10^{3}$.
6. $5,000,000 = 5 \cdot 10^{6}$.
7. $0{,}0004 = 4 \cdot 10^{-4}$.
8. $0{,}0000000008$: запятую двигаем на 10 знаков вправо, получаем $8$. Значит, $8 \cdot 10^{-10}$.

Ответ: 1) $3 \cdot 10^{2}$; 2) $10^{4}$; 3) $10^{-2}$; 4) $1{,}2 \cdot 10^{-7}$; 5) $7 \cdot 10^{3}$; 6) $5 \cdot 10^{6}$; 7) $4 \cdot 10^{-4}$; 8) $8 \cdot 10^{-10}$.

Анализируйте

№ 2

«Анализируйте», задача 1. Найди цену деления шкалы своей ученической линейки и измерь с её помощью длину ручки.

Как думать. Возьми две соседние подписанные цифры на линейке (например, 1 и 2 см), вычти и раздели на число штрихов между ними. Затем приложи ручку к нулю линейки.

Решение.

1. Между 1 и 2 см нанесено 10 делений: $C = \frac{2-1}{10} = 0{,}1$ см $= 1$ мм.
2. Погрешность $\Delta l = \frac{C}{2} = 0{,}5$ мм $= 0{,}05$ см.
3. Допустим, ручка заканчивается на отметке $14{,}6$ см. Запись: $l = (14{,}60 \pm 0{,}05)$ см. У твоей ручки длина будет своей.

Ответ: цена деления $1$ мм; длина ручки, например, $l = (14{,}60 \pm 0{,}05)$ см (у каждого свой результат).

№ 3

«Анализируйте», задача 2. Определи цену деления измерительной ленты. Измерь ею длину и ширину стола и вычисли погрешность измерения.

Как думать. Найди две цифры на ленте, посчитай деления между ними. Потом абсолютная погрешность — половина цены деления.

Решение.

1. На ленте из учебника между соседними цифрами 2 деления, поэтому $C = \frac{2-1}{2} = 0{,}5$ см. (Если у твоей ленты штрихи чаще, посчитай по её шкале.)
2. $\Delta l = \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25$ см.
3. Допустим, длина стола получилась $120{,}0$ см, ширина $60{,}5$ см. Запись: $l = (120{,}00 \pm 0{,}25)$ см, $b = (60{,}50 \pm 0{,}25)$ см.

Ответ: цена деления $0{,}5$ см, погрешность $0{,}25$ см; пример результата: $l = (120 \pm 0{,}25)$ см, $b = (60{,}5 \pm 0{,}25)$ см.

№ 4

«Анализируйте», задача 3. Определи и запиши пределы измерения и цену деления мензурки (рис. 5.5). Определи объём воды в мензурке и объём тела, погружённого в воду. Вычисли погрешность измерений.

Как думать. Смотрим на подписи 8, 10, 12 мл у мензурок. Между соседними подписями (через 2 мл) стоит один штрих, значит, штрихи идут через 1 мл. Объём тела — это разница между уровнем воды с телом и без тела.

Решение.

1. Цена деления: $C = \frac{10 - 8}{2} = 1$ мл (между подписями 8 и 10 два деления).
2. Погрешность: $\Delta V = \frac{C}{2} = 0{,}5$ мл.
3. Вода без тела (рис. а): уровень на подписи 8, $V_1 = (8 \pm 0{,}5)$ мл.
4. Тело на рис. б): вода поднялась до 10 мл, $V_2 = 10$ мл. Объём тела $V = 10 - 8 = 2$ мл.
5. Тело на рис. в): вода поднялась до 12 мл. Объём тела $V = 12 - 8 = 4$ мл.
6. Пределы измерения — от нижнего штриха до верхней подписанной цифры шкалы. На рисунке часть шкалы не видна, поэтому верхний предел смотри на настоящей мензурке.

Ответ: $C = 1$ мл, $\Delta V = 0{,}5$ мл; вода $8$ мл; тело на б) примерно $2$ мл, на в) примерно $4$ мл.

№ 5

«Анализируйте», задача 4. Рассмотри медицинский термометр (рис. 5.6). Определи и запиши цену деления шкалы и верхний и нижний пределы шкалы.

Как думать. Подписаны целые градусы: 34, 35, 36 и так далее. Между двумя соседними подписями десять мелких штрихов.

Решение.

1. $C = \frac{37 - 36}{10} = 0{,}1,°\text{C}$.
2. Шкала начинается с $34,°\text{C}$ и заканчивается на $42,°\text{C}$. Это нижний и верхний пределы.
3. Столбик на рисунке дошёл до отметки $36{,}6,°\text{C}$ — нормальная температура тела. Погрешность $\Delta t = 0{,}05,°\text{C}$.

Ответ: цена деления $0{,}1,°\text{C}$; нижний предел $34,°\text{C}$, верхний $42,°\text{C}$.

№ 6

«Анализируйте», задача 5. Определи цену деления мерного цилиндра и объём воды в нём (рис. 5.7).

Как думать. Берём две подписанные цифры (например, 80 и 100) и считаем штрихи между ними.

Решение.

1. Подписаны $20, 40, 60, 80, 100$ мл. Между 80 и 100 четыре деления: $C = \frac{100 - 80}{4} = 5$ мл.
2. Уровень воды расположен между подписями 60 и 80, ближе к 70. Объём примерно $70$ мл.
3. Погрешность $\Delta V = 2{,}5$ мл. Запись: $V = (70 \pm 2{,}5)$ мл.

Ответ: $C = 5$ мл, $V \approx 70$ мл.

№ 7

«Анализируйте», задача 6. Определи цену деления линейки и высоту бруска (рис. 5.8).

Как думать. Сначала цена деления линейки: между цифрами 1 и 2 см снова много мелких штрихов. Потом смотрим, у какого штриха заканчивается брусок.

Решение.

1. Между соседними цифрами 10 мелких делений, поэтому $C = \frac{2-1}{10} = 0{,}1$ см $= 1$ мм.
2. Брусок идёт от нулевого штриха до отметки 5 см.
3. Погрешность $0{,}05$ см. Высота $h = (5{,}0 \pm 0{,}05)$ см.

Ответ: $C = 1$ мм, $h = (5{,}0 \pm 0{,}05)$ см.

№ 8

«Анализируйте», задача 7. Определи диаметр нити (рис. 5.9).

Как думать. Диаметр одной нити слишком мал для линейки. Поэтому мерим длину $l$ всей намотки и делим на число витков $n$: $d = \frac{l}{n}$. Это тот самый способ рядов из лабораторной работы.

Решение.

1. Цена деления линейки $1$ мм.
2. Намотка на рисунке начинается примерно у отметки 2,0 см и заканчивается около 3,8 см. Длина $l \approx 1{,}8$ см $= 18$ мм.
3. Считаем витки на рисунке: примерно $n = 12$.
4. $d = \frac{18,\text{мм}}{12} = 1{,}5$ мм.
5. Погрешность $\Delta d = \frac{0{,}5,\text{мм}}{12} \approx 0{,}04$ мм: она в 12 раз меньше погрешности самой линейки.

Ответ: $d \approx 1{,}5$ мм.

Шпаргалка

• Глаз всегда смотрит перпендикулярно штриху шкалы.
• Грубую ошибку находят повторным измерением и убирают из расчётов.
• Большое число даёт положительный показатель, малое даёт отрицательный.
• $365$ суток $\approx 3{,}15 \cdot 10^{7}$ с, масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг.

Мини-тест