§ 9. Графическое представление различных видов механического движения

Физика, 7 класс. Учебник: Кронгарт Б.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 3: Механическое движение. Страницы 53–59.

Чему научишься

• Строить график зависимости координаты $x$ от времени $t$ для равномерного движения.
• Строить график скорости $v(t)$ и находить по нему путь.
• «Читать» график: где тело было в начале, как двигалось, когда стояло.
• Понимать, что значат точки пересечения графиков друг с другом и с осями.
• Решать задачи на движение (в том числе на встречу и на догоняние) и аналитически, и графически.

Разминка

• Как записать положение тела на прямой дороге одним числом? Выбрать начало отсчёта и направление оси. Число (координата $x$) покажет, на каком расстоянии от начала и по какую сторону тело находится.
• По какой формуле считают путь при равномерном движении? $s = v t$.
• Что нужно сделать с единицами в задаче? Перевести в СИ: километры в метры, часы и минуты в секунды.
• Что такое прямая линия в математике и сколько точек нужно, чтобы её провести? Прямая задаётся формулой вроде $y = 4 + 2x$. Чтобы провести её, хватит двух точек.

💡 График — это рисунок, на котором время «бежит» вправо, а всё остальное (где ты и как быстро) отложено вверх. Сейчас увидишь, как это работает.

Разбираемся

Закон движения: где тело в любой момент

Если тело едет прямо и с постоянной скоростью, его координату можно вычислить по формуле:

$x = x_0 + v t$

📌 Скорость $v$ в формуле имеет знак. Едет в положительную сторону оси — $v > 0$. Едет в обратную — $v < 0$.

Пример: тело стартовало с отметки $x_0 = 4,\text{м}$ и поехало вперёд со скоростью $2,\text{м/с}$. Его закон движения: $x = 4 + 2t$.

Строим график координаты

Время откладываем по горизонтали, координату по вертикали. Зависимость $x = 4 + 2t$ — это прямая линия, поэтому достаточно двух точек. Но мы возьмём побольше, чтобы было видно.

Что «читается» с графика:

• Линия начинается на высоте 4 м: в начале наблюдения тело было в точке $x_0 = 4,\text{м}$.
• Линия идёт вверх: тело едет в положительную сторону.
• Чем круче линия, тем больше скорость.

🌟 Через две точки можно провести ровно одну прямую. Поэтому чертёж графика равномерного движения занимает минуту, как бы долго ни ехал поезд Алматы — Астана.

График скорости и путь под ним

Если откладывать по вертикали не координату, а скорость, получится график $v(t)$. При равномерном движении скорость не меняется, поэтому график — горизонтальная линия.

Путь равен площади фигуры между графиком скорости и осью времени. Здесь это прямоугольник $2,\text{м/с}$ на $4,\text{с}$:

$s = v t = 2,\text{м/с}\cdot 4,\text{с} = 8,\text{м}.$

📌 Путь = площадь под графиком скорости. Это работает для любого движения, не только для равномерного.

⚠️ Частая ошибка. Путать два графика. На $x(t)$ линия вверх — тело едет вперёд. На $v(t)$ горизонтальная линия — скорость постоянна, а вовсе не «тело стоит». Тело стоит, когда на графике координаты линия горизонтальна, а на графике скорости линия лежит на нуле.

Читаем графики сразу нескольких тел

Три тела, три линии на одной сетке: каждая «рассказывает» своё.

• Тело 1 — горизонтальная линия на уровне 4 м. Координата не меняется: тело стоит.
• Тело 2 — линия начинается с $-4,\text{м}$ и идёт вверх. Тело едет в положительную сторону, примерно $1,\text{м/с}$. Через 4 с оно пройдёт начало координат.
• Тело 3 — линия круто идёт вниз. Тело едет в обратную сторону, причём быстрее всех.

📌 Где графики пересекаются. Точка пересечения двух графиков координаты: тела в одно время оказались в одном месте, то есть встретились. Точка на вертикальной оси ($t=0$): начальная координата тела. Точка на горизонтальной оси ($x=0$): тело проходит начало отсчёта.

Пример 1. Самолёт летит над Казахстаном

Самолёт летит со скоростью $720,\text{км/ч}$. Какое расстояние он пролетит за $15,\text{мин}$?

Дано: $v = 720,\text{км/ч}$, $t = 15,\text{мин}$. СИ: $v = 200,\text{м/с}$, $t = 900,\text{с}$. Найти: $s$.

Решение. Переводим: $v = \dfrac{720\cdot 1000,\text{м}}{3600,\text{с}} = 200,\text{м/с}$, $t = 15\cdot 60,\text{с} = 900,\text{с}$. Движение равномерное, значит $s = vt$:

$s = 200,\text{м/с}\cdot 900,\text{с} = 180,000,\text{м} = 180,\text{км}.$

Ответ: $s = 180,\text{км}$.

💡 Быстрый перевод: чтобы из км/ч получить м/с, дели на 3,6. Обратно: умножай на 3,6.

Пример 2. Скорость относительно автомобиля

Скорость автомобиля $54,\text{км/ч}$, скорость ветра $4,\text{м/с}$. Какова скорость ветра в системе отсчёта, связанной с автомобилем, если ветер: а) встречный; б) попутный?

Дано: $v_1 = 54,\text{км/ч}$, $v_2 = 4,\text{м/с}$. СИ: $v_1 = 15,\text{м/с}$. Найти: $v_{\text{отн}}$.

Решение. Для водителя автомобиль неподвижен, а земля «едет» ему навстречу. Скорости складываются как векторы.

а) Встречный ветер: скорости складываются: $v_{\text{отн}} = 15 + 4 = 19,\text{м/с}$.

б) Попутный ветер: скорости вычитаются: $v_{\text{отн}} = 15 - 4 = 11,\text{м/с}$.

Ответ: а) $19,\text{м/с}$; б) $11,\text{м/с}$.

Пример 3. Автомобиль догоняет автобус

Автобус едет со скоростью $60,\text{км/ч}$, автомобиль по той же дороге в ту же сторону со скоростью $100,\text{км/ч}$. Сейчас между ними $20,\text{км}$ (автомобиль сзади). Через сколько времени он догонит автобус?

Дано: $v_1 = 60,\text{км/ч}$, $v_2 = 100,\text{км/ч}$, $s = 20,\text{км}$. Найти: $t$.

Решение. Свяжем систему отсчёта с автобусом. В ней автобус стоит, а автомобиль приближается со скоростью сближения $v_2 - v_1$. Расстояние до встречи $s = (v_2 - v_1)t$, отсюда

$t = \frac{s}{v_2 - v_1} = \frac{20}{100 - 60} = 0{,}5,\text{ч} = 30,\text{мин}.$

Здесь удобно считать не в СИ: километры и часы друг с другом согласованы.

Ответ: $t = 30,\text{мин}$.

⚠️ Частая ошибка. Складывать скорости, когда машины едут в одну сторону. При движении вдогонку скорости вычитаются, а при движении навстречу друг другу складываются.

Пример 4. Пассажир на перроне

Пассажир гуляет по перрону и замечает, что мимо 4 вагонов проходит за $80,\text{с}$. Длина вагона $20,\text{м}$. Какова его скорость и за какое время он пройдёт мимо всего поезда из 18 вагонов?

Дано: $s_0 = 20,\text{м}$, $n_1 = 4$, $t_1 = 80,\text{с}$, $n = 18$. Найти: $v$, $t$.

Решение. Длина четырёх вагонов $s_1 = s_0 n_1 = 80,\text{м}$. Скорость:

$v = \frac{s_0 n_1}{t_1} = \frac{20\cdot 4}{80} = 1,\text{м/с}.$

Весь поезд длиннее в $18/4$ раза, и пройти его вдоль надо за время

$t = \frac{s_0 n}{v} = \frac{20\cdot 18}{1} = 360,\text{с} = 6,\text{мин}.$

Ответ: $v = 1,\text{м/с}$, $t = 6,\text{мин}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка нарисовать график вашей прогулки до магазина: где вы были через минуту, где остановились, где вернулись. Читать график, составленный из реальной жизни, проще, чем учебный.

Проверь себя

• Что означает выражение «изобразите движение тела графически»? Нужно построить график: по оси времени отложить время, по другой оси — координату или скорость, и провести линию, показывающую, как они меняются.
• Объясните выражение «прочитайте график движения тела». Это значит по графику сказать, где тело было в начале, стоит оно или едет, в какую сторону и с какой скоростью, где оно в нужный момент.
• Как построить график зависимости координаты тела от времени? Записать $x = x_0 + vt$, посчитать $x$ для двух-трёх моментов времени, нанести точки на сетку «$t$ — $x$» и провести через них линию.
• Как, используя график скорости, рассчитать путь, пройденный телом за определённое время? Найти площадь фигуры между графиком скорости и осью времени от нуля до нужного момента (при равномерном движении это $s = vt$).
• На рисунке с тремя графиками координат тел. Что означают точки пересечения этих графиков: а) друг с другом; б) с осями координат? а) Тела встретились: в этот момент у них одна координата. б) Пересечение с осью координаты ($t=0$): начальная координата тела. Пересечение с осью времени ($x=0$): тело находится в начале отсчёта.

Решаем упражнения

Решите

№ 1

«Решите», задача 1. На рисунке дан график скорости точки, движущейся по прямой: $-20,\text{м/с}$ от $0$ до $10,\text{с}$, затем $-10,\text{м/с}$ от $10$ до $30,\text{с}$, затем $+10,\text{м/с}$ от $30$ до $50,\text{с}$. Опишите движение и постройте график координаты от времени, если начальная координата равна $400,\text{м}$.

Как думать. Скорость на каждом участке постоянна, значит, на каждом участке движение равномерное. Знак минус: точка едет против оси. Считаем изменение координаты $\Delta x = v t$ для каждого участка и ставим точки подряд.

Решение.

1. От 0 до 10 с: едет против оси со скоростью $20,\text{м/с}$. $\Delta x = -20\cdot 10 = -200,\text{м}$, координата стала $400 - 200 = 200,\text{м}$.

2. От 10 до 30 с: едет против оси, скорость стала меньше, $10,\text{м/с}$. $\Delta x = -10\cdot 20 = -200,\text{м}$, координата $0,\text{м}$ (точка проходит начало отсчёта).

3. От 30 до 50 с: меняет направление и едет по оси со скоростью $10,\text{м/с}$. $\Delta x = 10\cdot 20 = 200,\text{м}$, координата $200,\text{м}$.

Ответ: точка сначала едет назад со скоростью 20 м/с, потом назад со скоростью 10 м/с, потом вперёд со скоростью 10 м/с; график — ломаная через точки $(0;,400)$, $(10;,200)$, $(30;,0)$, $(50;,200)$.

№ 2

«Решите», задача 2. Комбайн едет равномерно и прямолинейно со скоростью $24,\text{км/ч}$ в течение $10,\text{мин}$, потом стоит $5,\text{мин}$, потом едет назад со скоростью $36,\text{км/ч}$ в течение $8,\text{мин}$. Изобразите движение графиком $x = f(t)$.

Как думать. Удобно считать в километрах и минутах: переведём минуты в часы. Начало отсчёта — там, где комбайн стартовал, $x_0 = 0$.

Решение.

1. Вперёд: $s_1 = 24\cdot\dfrac{10}{60} = 4,\text{км}$. Точка $(10,\text{мин};,4,\text{км})$.

2. Стоит $5,\text{мин}$: координата та же, $4,\text{км}$. Точка $(15,\text{мин};,4,\text{км})$.

3. Назад: $s_3 = 36\cdot\dfrac{8}{60} = 4{,}8,\text{км}$. Координата $x = 4 - 4{,}8 = -0{,}8,\text{км}$. Точка $(23,\text{мин};,-0{,}8,\text{км})$.

Ответ: ломаная через точки $(0;,0)$, $(10;,4)$, $(15;,4)$, $(23;,-0{,}8)$ (время в минутах, координата в километрах): подъём, горизонтальный участок и спуск ниже оси, комбайн оказался на $0{,}8,\text{км}$ «позади» старта.

№ 3

«Решите», задача 3. Шарик скатывается с наклонной плоскости длиной $1{,}2,\text{м}$ за $2,\text{с}$. Затем до полной остановки он проезжает по горизонтальной поверхности $3{,}6,\text{м}$ за $3,\text{с}$. Какова средняя скорость шарика на каждом участке и на всём пути?

Как думать. Средняя скорость = весь путь, делённый на всё время. Для всего пути складываем и путь, и время (а не скорости!).

Решение.

1. Склон: $v_1 = \dfrac{1{,}2}{2} = 0{,}6,\text{м/с}$.

2. Горизонталь: $v_2 = \dfrac{3{,}6}{3} = 1{,}2,\text{м/с}$.

3. Весь путь: $s = 1{,}2 + 3{,}6 = 4{,}8,\text{м}$, время $t = 2 + 3 = 5,\text{с}$. $v_{\text{ср}} = \dfrac{4{,}8}{5} = 0{,}96,\text{м/с}$.

⚠️ Частая ошибка. Считать среднюю скорость как среднее арифметическое $(0{,}6 + 1{,}2)/2 = 0{,}9$. Участки длились разное время, поэтому так нельзя: получится $0{,}9$ вместо верных $0{,}96$.

Ответ: $0{,}6,\text{м/с}$; $1{,}2,\text{м/с}$; $0{,}96,\text{м/с}$ (совпадает с ответом в учебнике).

№ 4

«Решите», задача 4. Как будет выглядеть график зависимости пути от времени для тела, которое 15 с двигалось со скоростью $4,\text{м/с}$, затем 20 с стояло, после чего проехало ещё 10 с со скоростью $10,\text{м/с}$ в том же направлении?

Как думать. Путь только растёт или стоит на месте, он не убывает. Считаем путь к концу каждого участка.

Решение.

1. Первые 15 с: $s = 4\cdot 15 = 60,\text{м}$. Точка $(15;,60)$.

2. Стоит 20 с (до момента $35,\text{с}$): путь не меняется, $60,\text{м}$. Точка $(35;,60)$.

3. Ещё 10 с: $s = 60 + 10\cdot 10 = 160,\text{м}$ в момент $45,\text{с}$. Точка $(45;,160)$.

Ответ: ломаная $(0;,0)$, $(15;,60)$, $(35;,60)$, $(45;,160)$: наклонный участок, горизонтальная «полка» и более крутой подъём (последняя скорость больше).

№ 5

«Решите», задача 5. На рисунке дан график координаты точки от времени: из $-8,\text{м}$ в момент $0$ в $8,\text{м}$ в момент $4,\text{с}$, затем горизонтальный участок до $6,\text{с}$, затем спуск до $-8,\text{м}$ в момент $8,\text{с}$. Найдите скорости на каждом интервале, опишите движение в первые 4 с, следующие 2 с и от 6 до 8 с, постройте график скорости.

Как думать. Скорость на участке: $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, то есть изменение координаты на время.

Решение.

1. $0$–$4,\text{с}$: $v = \dfrac{8-(-8)}{4} = 4,\text{м/с}$. Точка едет в положительную сторону, пройдя начало координат в момент $2,\text{с}$.

2. $4$–$6,\text{с}$: координата не меняется, $v = 0$. Точка стоит в $8,\text{м}$.

3. $6$–$8,\text{с}$: $v = \dfrac{-8-8}{2} = -8,\text{м/с}$. Точка едет назад, быстрее, чем раньше вперёд.

Ответ: $4,\text{м/с}$; $0$; $-8,\text{м/с}$. График скорости: горизонтальные отрезки на уровнях $4$, $0$ и $-8,\text{м/с}$.

№ 6

«Решите», задача 6. По графику пути тел определите их скорости. На рисунке тело 1 проходит $60,\text{м}$ за $2,\text{с}$, тело 2 проходит $40,\text{м}$ за те же $2,\text{с}$.

Как думать. Для равномерного движения $v = \dfrac{s}{t}$. Берём любую точку на линии.

Решение. $v_1 = \dfrac{60}{2} = 30,\text{м/с}$, $v_2 = \dfrac{40}{2} = 20,\text{м/с}$. Линия 1 круче, значит, тело 1 быстрее.

Ответ: $v_1 = 30,\text{м/с}$; $v_2 = 20,\text{м/с}$ (совпадает с ответом в учебнике).

№ 7

«Решите», задача 7. ⭐ задача повышенной сложности. Попробовать уже здорово, даже если с первого раза не выйдет. Расстояние между городами $A$ и $B$ равно $250,\text{км}$. Одновременно навстречу друг другу выезжают два автомобиля: из $A$ со скоростью $60,\text{км/ч}$, из $B$ со скоростью $40,\text{км/ч}$. Постройте графики, найдите место и время встречи. Решите аналитически и сравните с графиком.

Как думать. Расстояние от города $A$: для первого автомобиля $x_1 = 60t$, для второго $x_2 = 250 - 40t$ (он едет к $A$). Встреча там, где $x_1 = x_2$.

Решение.

Аналитически: $60t = 250 - 40t$, $100t = 250$, $t = 2{,}5,\text{ч}$. Место: $x = 60\cdot 2{,}5 = 150,\text{км}$ от $A$.

Проверка: второй проехал $40\cdot 2{,}5 = 100,\text{км}$, и $150 + 100 = 250,\text{км}$. Всё сходится.

Графически: две прямые на одной сетке; их пересечение даёт то же время и ту же координату.

Ответ: встретятся через $2{,}5,\text{ч}$ на расстоянии $150,\text{км}$ от города $A$ (совпадает с ответом в учебнике).

№ 8

«Решите», задача 8. ⭐ задача повышенной сложности. Попробовать уже здорово. Вдоль оси $Ox$ движутся два тела: первое по закону $x_1 = -10 + 2t$, второе по закону $x_2 = 4 - 5t$. В какой момент и в какой точке они встретятся? Решить аналитически и графически.

Как думать. Тела встретились, когда их координаты равны: $x_1 = x_2$.

Решение. $-10 + 2t = 4 - 5t$, $7t = 14$, $t = 2,\text{с}$. Координата: $x = -10 + 2\cdot 2 = -6,\text{м}$. Проверка по второму закону: $x_2 = 4 - 5\cdot 2 = -6,\text{м}$. Верно.

Графически: первое тело стартует из $-10,\text{м}$ и едет вперёд со скоростью $2,\text{м/с}$. Второе стартует из $4,\text{м}$ и едет назад со скоростью $5,\text{м/с}$ (скорость $-5,\text{м/с}$). Пересекаются в точке $(2;,-6)$.

📕 В учебнике ответ напечатан «$t = 2,\text{ч}$», но правильно «$t = 2,\text{с}$»: в законах движения скорости $2$ и $5$ даны в метрах в секунду (координата в метрах), поэтому время получается в секундах.

Ответ: $t = 2,\text{с}$, $x = -6,\text{м}$ (числа совпадают с учебником).

Шпаргалка

• Время откладываем по горизонтальной оси, координату или скорость по вертикальной.
• Чем круче линия $x(t)$, тем больше скорость.
• Для прямой достаточно двух точек.
• Площадь под $v(t)$ даёт путь.
• Средняя скорость = весь путь : всё время.

Мини-тест