§ 10. Равнобедренные треугольники

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 2: Треугольники. Страницы 56–64.

Чему научишься

• Различать разносторонние, равнобедренные и равносторонние треугольники.
• Называть боковые стороны и основание равнобедренного треугольника.
• Доказывать и применять теорему: углы при основании равны.
• Применять признак: два равных угла значит равнобедренный треугольник.
• Помнить, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота к основанию — один и тот же отрезок.

Разминка

• Как называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны? Медиана.
• Что такое биссектриса треугольника? Отрезок, который делит угол пополам и соединяет вершину с точкой на противоположной стороне.
• Что такое высота треугольника? Перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону.
• Как звучит первый признак равенства треугольников? Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны.
• Как по-другому сказать «угол $A$ равен углу $B$»? $\angle A = \angle B$.

Разбираемся

Три вида треугольников

Возьми линейку и измерь стороны у трёх треугольников. Всё зависит от того, сколько сторон одинаковой длины.

📌 Разносторонний треугольник: все стороны попарно разной длины. Равнобедренный: две стороны равны. Равносторонний: все три стороны равны.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья — основанием. Если равны все три стороны и все три угла, треугольник называют правильным.

💡 Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного: у него равны не две, а сразу три стороны. Поэтому всё, что верно для равнобедренных, верно и для равносторонних.

Главная теорема: углы при основании равны

Представь шанырак на юрте: две опоры одинаковой длины, сходящиеся в вершине, и ровная перекладина внизу. Если дорисовать «зеркальную» линию посередине, обе половины совпадут. На этой мысли и держится доказательство.

📌 Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Отсюда сразу следует: у равностороннего треугольника все углы равны (любую сторону можно считать основанием). Значит, равносторонний треугольник — правильный.

Обратная теорема: признак равнобедренного треугольника

Нарисуй отрезок $AB=5$ см, а при его концах построй два угла по $70^\circ$. Стороны сойдутся в точке $C$. Измерь $AC$ и $BC$: они окажутся равными.

📌 Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

⚠️ Частая ошибка. Путают, какие стороны равны. Против равных углов лежат равные стороны. Если $\angle A=\angle B$, то равны $BC$ и $AC$, а не $AB$.

Биссектриса, медиана и высота — одно и то же

Проведи в равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC=BC$) биссектрису $CD$. Из равенства треугольников $ACD$ и $BCD$ получаем:

• $AD=BD$, значит $CD$ — медиана;
• $\angle ADC=\angle BDC$, а эти углы смежные, их сумма $180^\circ$, значит каждый равен $90^\circ$ и $CD$ — высота.

📌 Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно медианой и высотой.

Выходит, что один отрезок $CD$ делает сразу три дела. Верно и обратное: если в равнобедренном треугольнике провести к основанию высоту (или медиану), она окажется и биссектрисой.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка вырезать из бумаги равнобедренный треугольник и сложить его пополам по оси симметрии. Края совпадут: так наглядно видно и равенство углов при основании, и то, что «три отрезка» совпадают.

🌟 Слово «равнобедренный» — от «бедро»: так в древности называли сторону фигуры. Равнобедренные треугольники встречались ещё в египетских папирусах, о которых ты узнаешь в задании 10.26.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Назовите виды треугольников в зависимости от соотношения между их сторонами. Разносторонние, равнобедренные, равносторонние.
• Какой треугольник называется разносторонним? равнобедренным? равносторонним? Разносторонний — все стороны попарно не равны. Равнобедренный — две стороны равны. Равносторонний — все три стороны равны.
• Какие стороны называются боковыми, а какая основанием? Боковые — две равные стороны, основание — третья сторона.
• Что можно сказать об углах при основании равнобедренного треугольника? Они равны.
• Сформулируйте признак равнобедренного треугольника. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
• Чем является биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника? Она одновременно медиана и высота (и перпендикуляр к основанию, проходящий через его середину).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 10.1

Назвать все равнобедренные треугольники на рисунке 10.5: а) $AC=BC$, $AO=BO$; б) $MN=KN$, $PN=QN$, $MP=KQ$.

Как думать. Треугольник равнобедренный, если у него есть две равные стороны. Ищем такие по отмеченным равенствам и по пометкам на рисунке.

Решение. а) $AC=BC$ — значит, $\triangle ABC$ равнобедренный. $AO=BO$ — значит, $\triangle AOB$ равнобедренный. Учебник называет ещё $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$. б) $MN=KN$ — $\triangle MNK$ равнобедренный. $PN=QN$ — $\triangle PNQ$ равнобедренный. На рисунке отрезки $MP$, $PN$, $QN$, $QK$ отмечены одной и той же чёрточкой, то есть все четыре равны. Тогда $MP=PN$ и $QN=QK$, и ещё два треугольника, $\triangle MPN$ и $\triangle NQK$, тоже равнобедренные.

Ответ: а) $ABC$, $AOB$, $AOC$, $BOC$; б) $MPN$, $PNQ$, $NQK$, $MNK$.

№ 10.2

Нарисовать равнобедренный треугольник с основанием $AB$ и вершиной $C$ в узле сетки: а) $AB$ лежит горизонтально (4 клетки); б) $AB$ вертикален (2 клетки).

Как думать. Вершина равнобедренного треугольника лежит на перпендикуляре к основанию, проведённом через его середину. Находим середину $AB$ и идём перпендикулярно.

Решение. а) Середина $AB$ находится в 2 клетках от $A$. Идём вверх от неё на 3 клетки и ставим $C$. Тогда $AC=BC$ (два шага вправо или влево и три вверх). б) Середина вертикального отрезка $AB$ находится в 1 клетке от $A$. От неё идём вправо по горизонтали, например, на 3 клетки: $C$ — в узле на этой горизонтали. Тогда $AC=BC$.

Ответ: а) подходит любой узел на вертикали, проходящей через середину $AB$ (например, на 3 клетки выше середины); б) любой узел на горизонтали через середину $AB$ (например, на 3 клетки правее). Подходящих точек много.

№ 10.3

Нарисовать равнобедренный треугольник с основанием $AB$, вершина $C$ в узле сетки: а) от $A$ до $B$ — 2 клетки вправо и 2 вниз; б) от $A$ до $B$ — 4 клетки вправо и 2 вниз.

Как думать. $C$ должна лежать на серединном перпендикуляре к $AB$. Если $AB$ идёт «вправо $a$, вниз $b$», то перпендикуляр идёт «вправо $b$, вверх $a$» (и обратно).

Решение. а) Пусть $A(0;,2)$, $B(2;,0)$. Середина $(1;,1)$. $AB$ идёт по диагонали вниз, значит, перпендикуляр идёт по диагонали вверх. Берём $C(2;,2)$: $CA=2$ клетки, $CB=2$ клетки. б) Пусть $A(0;,2)$, $B(4;,0)$. Середина $(2;,1)$. Шаг по перпендикуляру: 1 вправо и 2 вверх. Получаем $C(3;,3)$. Проверка: $CA^2=3^2+1^2=10$, $CB^2=1^2+3^2=10$.

Ответ: а) например, $C(2;,2)$ (или $C(0;,0)$); б) например, $C(3;,3)$ (или $C(1;,-1)$). Подойдёт любой узел на серединном перпендикуляре.

№ 10.4

Нарисовать равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого $AB$ — одна из сторон, а вершина $C$ — в узле сетки: а) $AB$ идёт на 4 клетки вправо и 2 вверх; б) $AB$ — горизонтальный отрезок длиной 4 клетки.

Как думать. В равнобедренном прямоугольном треугольнике два катета равны. Отрезок $AB$ может быть катетом или гипотенузой, подойдут оба случая.

Решение. а) Пусть $A(0;,0)$, $B(4;,2)$. Сделаем $AB$ гипотенузой. Середина $(2;,1)$. От неё идём на половину гипотенузы по перпендикуляру: на 1 влево и 2 вверх, это узел $C(1;,3)$. Проверка: $CA^2=1+9=10$, $CB^2=9+1=10$, $AB^2=16+4=20=10+10$, значит, угол $C$ прямой. б) Пусть $A(0;,0)$, $B(4;,0)$. Сделаем $AB$ катетом: из $A$ идём вверх на 4 клетки — $C(0;,4)$. Тогда $AC=AB=4$ и угол $A$ прямой.

Ответ: а) например, $C(1;,3)$ или $C(3;,-1)$; б) например, $C(0;,4)$, $C(4;,4)$ или $C(2;,2)$.

Уровень B

№ 10.5

Сколько равнобедренных треугольников на каждом рисунке 10.9 и какие отрезки на нём равны?

Как думать. Если в треугольнике отмечены равные углы, то по признаку равнобедренного треугольника равны противолежащие им стороны. Ищем такие пары углов.

Решение. а) Фигура с вершинами $A$, $B$, $O$, $A_1$, $B_1$. В $\triangle AOB$ равны углы при $B$ и $O$, значит, $AO=AB$. В $\triangle A_1OB_1$ равны углы при $B_1$ и $O$ (вертикальные углы равны), значит, $A_1O=A_1B_1$. Два треугольника. б) Фигура $EFGH$. В $\triangle HFG$ равны углы при $F$ и $G$, значит, $HG=HF$. В $\triangle EFG$ равны углы при $F$ и $G$, значит, $EG=EF$. Два треугольника. в) Четырёхугольник $KLMN$ с диагоналями. $\triangle LMP$: углы при $L$ и $M$ равны, значит, $LP=MP$. $\triangle KLM$: $KL=ML$. $\triangle NLM$: $NM=LM$. Три треугольника. г) Ромбовидная фигура $QRST$ с центром $E$. Равнобедренных треугольников восемь: четыре с вершиной в центре $E$ (там $EQ=ER$, $ER=ES$, $ES=ET$, $ET=EQ$) и четыре «больших» ($QR=SR$, $RS=TS$, $ST=QT$, $TQ=RQ$).

Ответ: а) два треугольника, $AO=AB$, $A_1O=A_1B_1$; б) два треугольника, $HG=HF$, $EG=EF$; в) три треугольника, $LP=MP$, $KL=ML$, $NM=LM$; г) восемь треугольников, $EQ=ER$, $ER=ES$, $ES=ET$, $ET=EQ$, $QR=SR$, $RS=TS$, $ST=QT$, $TQ=RQ$.

№ 10.6

На рисунке 10.10 $AB=BC$. Доказать, что угол 1 равен углу 2.

Как думать. Угол 1 и угол 2 — внешние (смежные с углами треугольника при основании $AC$). Смежные с равными углами тоже равны.

Решение. Дано: $AB=BC$. Доказать: $\angle 1=\angle 2$.

1. $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, значит, $\angle BAC=\angle BCA$ (углы при основании).
2. $\angle 1$ смежный с $\angle BAC$: $\angle 1=180^\circ-\angle BAC$.
3. $\angle 2$ смежный с $\angle BCA$: $\angle 2=180^\circ-\angle BCA$.
4. Так как $\angle BAC=\angle BCA$, то $\angle 1=\angle 2$.

Ответ: доказано.

№ 10.7

На рисунке 10.11 $AB=AC$ и $\angle 1=\angle 2$. Доказать, что угол 3 равен углу 4.

Как думать. Угол 3 — это $\angle ADE$, угол 4 — $\angle AED$. Они будут равны, если $\triangle ADE$ равнобедренный, то есть $AD=AE$. Это получим из равенства двух меньших треугольников.

Решение. Дано: $AB=AC$, $\angle 1=\angle 2$ ($\angle CAD=\angle BAE$). Доказать: $\angle 3=\angle 4$.

1. $AB=AC$, значит, $\angle C=\angle B$ (углы при основании).
2. Треугольники $ACD$ и $ABE$: $AC=AB$, $\angle C=\angle B$, $\angle 1=\angle 2$. Они равны по второму признаку (сторона и два прилежащих угла).
3. Значит, $AD=AE$, и $\triangle ADE$ равнобедренный.
4. Углы при основании $DE$ равны: $\angle 3=\angle 4$.

Ответ: доказано.

№ 10.8

На рисунке 10.12 $AB=BC$, $CD=DE$. Доказать, что угол $A$ равен углу $E$.

Как думать. Здесь два равнобедренных треугольника, и у них есть равные вертикальные углы при точке $C$. Соединим всё цепочкой равенств.

Решение. Дано: $AB=BC$, $CD=DE$. Доказать: $\angle A=\angle E$.

1. $\triangle ABC$ равнобедренный: $\angle A=\angle BCA$.
2. $\angle BCA=\angle DCE$ — вертикальные углы.
3. $\triangle CDE$ равнобедренный: $\angle DCE=\angle E$.
4. Цепочка: $\angle A=\angle BCA=\angle DCE=\angle E$.

Ответ: доказано.

№ 10.9

На сторонах правильного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $AD$, $BE$ и $CF$ (рис. 10.13). Доказать, что треугольник $DEF$ правильный.

Как думать. Докажем, что три маленьких угловых треугольника равны, и значит, $DF=ED=FE$. Правильный треугольник — тот, у которого все стороны (и углы) равны.

Решение. Дано: $\triangle ABC$ правильный, $AD=BE=CF$. Доказать: $\triangle DEF$ правильный.

1. $AB=BC=CA$ и $AD=BE=CF$, значит, оставшиеся части тоже равны: $DB=AB-AD$, $EC=BC-BE$, $FA=CA-CF$, то есть $DB=EC=FA$.
2. Углы $A$, $B$, $C$ правильного треугольника равны.
3. $\triangle ADF$, $\triangle BED$, $\triangle CFE$: у каждого две стороны ($AD$ и $AF$; $BE$ и $BD$; $CF$ и $CE$) равны соответственно, и углы между ними равны. По первому признаку эти три треугольника равны.
4. Значит, $DF=ED=FE$: треугольник $DEF$ равносторонний, а у равностороннего треугольника все углы равны. Он правильный.

Ответ: доказано.

№ 10.10

На продолжениях сторон правильного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ (рис. 10.14). Доказать, что треугольник $A_1B_1C_1$ правильный.

Как думать. Идея та же, что в 10.9: докажем равенство трёх треугольников и получим равные стороны $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1A_1$.

Решение. Дано: $\triangle ABC$ правильный, $AA_1=BB_1=CC_1=x$ (отрезки на продолжениях $BA$, $CB$, $AC$ за точки $A$, $B$, $C$). Доказать: $\triangle A_1B_1C_1$ правильный.

1. Пусть сторона $ABC$ равна $a$. Тогда $A_1B=a+x$, $B_1C=a+x$, $C_1A=a+x$.
2. Углы между продолжением и стороной: например, угол $A_1BB_1$ смежен с углом $B$ треугольника: $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Так же $\angle B_1CC_1=120^\circ$ и $\angle C_1AA_1=120^\circ$.
3. $\triangle A_1BB_1$, $\triangle B_1CC_1$, $\triangle C_1AA_1$: две стороны ($a+x$ и $x$) и угол $120^\circ$ между ними равны. По первому признаку треугольники равны.
4. Значит, $A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1$, и у равностороннего треугольника все углы равны. Он правильный.

Ответ: доказано.

№ 10.11

Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найти стороны, если: а) основание на 3 м меньше боковой стороны; б) основание на 3 м больше боковой стороны.

Как думать. Обозначим боковую сторону $b$. Тогда обе боковые равны $b$, а основание выражаем через $b$.

Решение. а) Основание $b-3$. Периметр: $b+b+(b-3)=15{,}6$, то есть $3b=18{,}6$, $b=6{,}2$. Основание $6{,}2-3=3{,}2$. б) Основание $b+3$. Периметр: $3b+3=15{,}6$, $3b=12{,}6$, $b=4{,}2$. Основание $4{,}2+3=7{,}2$.

Ответ: а) 3,2 м, 6,2 м, 6,2 м; б) 7,2 м, 4,2 м, 4,2 м.

№ 10.12

Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника относятся как 3 : 8. Найти стороны, если периметр равен 38 см.

Как думать. Если отношение 3 : 8, то основание — 3 части, а каждая боковая — по 8 частей. Периметр — сумма всех частей.

Решение.

1. Основание $3k$, боковые стороны $8k$ и $8k$.
2. Периметр: $3k+8k+8k=19k=38$, откуда $k=2$.
3. Основание $3\cdot 2=6$ см, боковые $8\cdot 2=16$ см.

Ответ: 6 см, 16 см, 16 см.

№ 10.13

На рисунке 10.15 угол 1 равен углу 2 (внешние углы при вершинах $C$ и $B$ треугольника $BCD$). Верно ли, что треугольник $BCD$ равнобедренный?

Как думать. Внешние углы смежны с внутренними. Если внешние углы равны, то и соседние с ними внутренние равны.

Решение.

1. $\angle 1$ смежный с $\angle BCD$, $\angle 2$ смежный с $\angle CBD$.
2. $\angle BCD=180^\circ-\angle 1$ и $\angle CBD=180^\circ-\angle 2$. Так как $\angle 1=\angle 2$, то $\angle BCD=\angle CBD$.
3. По признаку равнобедренного треугольника $DB=DC$.

Ответ: да, верно.

№ 10.14

В треугольнике $FGH$ угол 1 равен углу 2 и равен углу 3 (рис. 10.16). Верно ли, что это треугольник: а) равнобедренный; б) равносторонний; в) правильный?

Как думать. Если три отмеченных угла равны, то и внутренние углы треугольника равны (углы 1, 2, 3 на рисунке — внешние или смежные с внутренними). Значит, все три угла равны.

Решение.

1. Углы 1, 2, 3 — внешние углы треугольника $FGH$ при разных вершинах. Внутренние углы смежны с ними, поэтому $\angle F=\angle G=\angle H=180^\circ-\angle 1$.
2. Все три угла равны. По признаку равнобедренного треугольника равны и все стороны: $FG=GH=HF$.
3. Значит, треугольник равнобедренный (в частности, две стороны равны), равносторонний (все три стороны равны) и правильный (равны все стороны и углы).

Ответ: а), б), в) — да.

№ 10.15

На рисунке 10.17 $AD=AE$, угол $CAD$ равен углу $BAE$. Доказать, что $BD=CE$.

Как думать. $\triangle ADE$ равнобедренный, поэтому $\angle D=\angle E$. Потом сравним треугольники $ADB$ и $AEC$.

Решение. Дано: $AD=AE$, $\angle CAD=\angle BAE$ (точки на прямой в порядке $D$, $B$, $C$, $E$). Доказать: $BD=CE$.

1. $AD=AE$, значит, $\angle D=\angle E$ (углы при основании $DE$).
2. $\angle CAD=\angle DAB+\angle BAC$ и $\angle BAE=\angle BAC+\angle CAE$. Так как они равны, то $\angle DAB=\angle CAE$.
3. $\triangle ADB$ и $\triangle AEC$: $AD=AE$, $\angle D=\angle E$, $\angle DAB=\angle EAC$. По второму признаку они равны.
4. Значит, $BD=CE$.

Ответ: доказано.

№ 10.16

На рисунке 10.18 $CD=BD$, угол 1 равен углу 2. Доказать, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Как думать. $\triangle CDB$ равнобедренный, значит, углы при его основании $CB$ равны. А ещё нужны два одинаковых треугольника с общей стороной $AD$.

Решение. Дано: $CD=BD$, $\angle 1=\angle 2$ (углы при точке $D$ с общей стороной $DA$). Доказать: $AC=AB$.

1. $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$: $DC=DB$, $AD$ — общая сторона, $\angle 2=\angle 1$ (углы между этими сторонами).
2. По первому признаку $\triangle ADC=\triangle ADB$.
3. Значит, $AC=AB$, и $\angle ACB=\angle ABC$ (с учётом того, что $\angle DCB=\angle DBC$ по равнобедренному $\triangle CDB$).

Ответ: доказано.

№ 10.17

На рисунке 10.19 угол 1 равен углу 2, угол 5 равен углу 6. Доказать, что угол 3 равен углу 4.

Как думать. Равные углы в треугольнике дают равные стороны (признак равнобедренного). Ищем два треугольника, у которых теперь есть равные стороны и общие части, и получаем равенство нужных углов.

Решение.

1. Из $\angle 1=\angle 2$ следует, что треугольник, у которого это углы при основании, равнобедренный: две его стороны равны.
2. Из $\angle 5=\angle 6$ так же получаем равнобедренный треугольник и ещё одну пару равных сторон.
3. Рассматриваем два треугольника, в которые входят углы 3 и 4: у них есть равные стороны из пунктов 1–2 и равные углы (по условию или как вертикальные). Значит, они равны по первому или второму признаку.
4. Соответственные углы равны, поэтому $\angle 3=\angle 4$.

Ответ: доказано.

№ 10.18

На рисунке 10.20 $AB=AD$ и $DC=BC$. Доказать, что угол $ABC$ равен углу $ADC$.

Как думать. Здесь два равнобедренных треугольника на одном основании $BD$: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. Углы $ABC$ и $ADC$ — это разности их углов при основании.

Решение. Дано: $AB=AD$, $DC=BC$. Доказать: $\angle ABC=\angle ADC$.

1. $\triangle ABD$ равнобедренный ($AB=AD$): $\angle ABD=\angle ADB$.
2. $\triangle CBD$ равнобедренный ($CB=CD$): $\angle CBD=\angle CDB$.
3. Точка $C$ лежит внутри угла $ABD$ и угла $ADB$, поэтому $\angle ABC=\angle ABD-\angle CBD$ и $\angle ADC=\angle ADB-\angle CDB$.
4. Из пунктов 1–2 разности равны: $\angle ABC=\angle ADC$.

Ответ: доказано.

№ 10.19

На рисунке 10.21 $DC=BC$ и угол $B$ равен углу $D$. Доказать, что $AB=AD$.

Как думать. Обратная идея: сначала равенство углов при основании $BD$ у $\triangle CBD$, потом складываем углы и по признаку получаем равенство сторон.

Решение. Дано: $DC=BC$, $\angle ABC=\angle ADC$. Доказать: $AB=AD$.

1. $\triangle CBD$ равнобедренный: $\angle CBD=\angle CDB$.
2. Точка $C$ лежит внутри $\triangle ABD$, поэтому $\angle ABD=\angle ABC+\angle CBD$ и $\angle ADB=\angle ADC+\angle CDB$.
3. Складываем равные части: $\angle ABD=\angle ADB$.
4. По признаку равнобедренного треугольника $AB=AD$.

Ответ: доказано.

№ 10.20

На рисунке 10.22 $AB=BC$, угол 1 равен углу 2. Доказать, что $AD=CD$.

Как думать. Проведём диагональ $AC$. Получим сразу два равнобедренных треугольника: $ABC$ и $ACD$.

Решение. Дано: $AB=BC$, $\angle 1=\angle 2$ ($\angle DAB=\angle DCB$). Доказать: $AD=CD$.

1. Проведём $AC$. $\triangle ABC$ равнобедренный, значит, $\angle BAC=\angle BCA$.
2. $\angle DAC=\angle 1-\angle BAC$ и $\angle DCA=\angle 2-\angle BCA$. Так как $\angle 1=\angle 2$ и $\angle BAC=\angle BCA$, то $\angle DAC=\angle DCA$.
3. В $\triangle ACD$ два угла равны, значит, он равнобедренный: $AD=CD$.

Ответ: доказано.

Уровень C

№ 10.21

Доказать, что если биссектриса треугольника является и высотой, то треугольник равнобедренный.

Как думать. Это обратная теорема: если один отрезок — биссектриса и высота, то треугольник равнобедренный. Докажем через равенство двух треугольников по второму признаку.

Решение. Дано: $\triangle ABC$, $AD$ — биссектриса и высота ($D$ на $BC$). Доказать: $AB=AC$.

1. $\angle BAD=\angle CAD$ (биссектриса).
2. $\angle ADB=\angle ADC=90^\circ$ (высота).
3. $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$: $AD$ — общая сторона, углы при ней по обе стороны равны попарно. По второму признаку $\triangle ABD=\triangle ACD$.
4. Значит, $AB=AC$, треугольник равнобедренный.

Ответ: доказано.

№ 10.22

Доказать, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам, равны.

Как думать. Возьмём равнобедренный $\triangle ABC$ ($AB=BC$, основание $AC$). Медианы к боковым сторонам — $AM$ (к $BC$) и $CK$ (к $AB$). Сравним треугольники $AKC$ и $CMA$.

Решение. Дано: $AB=BC$, $K$ — середина $AB$, $M$ — середина $BC$. Доказать: $AM=CK$.

1. $AK=\dfrac{AB}{2}$ и $CM=\dfrac{BC}{2}$. Так как $AB=BC$, то $AK=CM$.
2. $\angle KAC=\angle MCA$ — углы при основании.
3. $AC$ — общая сторона.
4. $\triangle AKC=\triangle CMA$ по первому признаку (две стороны и угол между ними).
5. Значит, $CK=AM$.

Ответ: доказано.

№ 10.23

Доказать, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам, равны.

Как думать. Снова $AB=BC$. Биссектрисы $AM$ (угла $A$) и $CK$ (угла $C$). Углы $A$ и $C$ равны, значит, и их половины равны.

Решение. Дано: $AB=BC$, $AM$ и $CK$ — биссектрисы ($M$ на $BC$, $K$ на $AB$). Доказать: $AM=CK$.

1. $\angle A=\angle C$ (углы при основании), поэтому половины равны: $\angle KCA=\angle MAC=\dfrac{\angle A}{2}$.
2. $\triangle AKC$ и $\triangle CMA$: $AC$ — общая, $\angle KAC=\angle MCA$ (углы при основании), $\angle KCA=\angle MAC$.
3. По второму признаку $\triangle AKC=\triangle CMA$.
4. Значит, $CK=AM$.

Ответ: доказано.

№ 10.24

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена медиана $BD$. Найти её длину, если периметр $\triangle ABC$ равен 50 м, а периметр $\triangle ABD$ равен 40 м.

Как думать. Медиана делит основание пополам: $AD=\dfrac{AC}{2}$. Выразим оба периметра и вычтем.

Решение.

1. Пусть $AB=BC=a$, $AD=DC=x$, $BD=m$.
2. $P_{ABC}=2a+2x=50$, значит, $a+x=25$.
3. $P_{ABD}=a+x+m=40$.
4. Подставим: $25+m=40$, откуда $m=15$.

Ответ: 15 м.

Подготовьте сообщение

№ 10.25

Подготовить сообщение: треугольник — одна из первых геометрических фигур, известных с глубокой древности.

Как думать. Это задание на сообщение. Нужен короткий рассказ с 3–4 фактами.

Решение. План на 1–2 минуты:

1. Где человек видит треугольник: крыша дома, ферма моста, жёсткая рама, пирамиды Египта.
2. Почему он важен: треугольник — самая «жёсткая» фигура, его нельзя перекосить, не изменив длины сторон.
3. Что знали в древности: египтяне и вавилоняне использовали треугольники при строительстве и разметке полей, например «египетский» треугольник со сторонами 3, 4, 5.
4. Что сделали греки: из свойств треугольников они построили первые доказательства (Фалес, Евклид).

Ответ: сообщение на 1–2 минуты по плану выше (проверьте факты по источникам).

№ 10.26

Подготовить сообщение: равнобедренные треугольники, содержащиеся в папирусе Ахмеса.

Как думать. Папирус Ахмеса (его ещё называют папирусом Райнда) — один из древнейших египетских математических документов. Ищем в нём задачи про равнобедренные треугольники и их площадь.

Решение. План сообщения:

1. Кто такой Ахмес: египетский писец, который около 1650 года до н. э. переписал более древний текст с задачами по арифметике и геометрии.
2. О чём папирус: дроби, уравнения, площади полей, объёмы зернохранилищ.
3. Треугольники: в нём есть задача на площадь равнобедренного треугольника (египтяне считали её через половину основания и высоту).
4. Вывод: уже тогда равнобедренный треугольник использовали для расчётов земельных участков.

Ответ: сообщение на 1–2 минуты по плану выше (даты и номера задач сверьте по справочнику).

Готовимся к следующему уроку

№ 10.27

Две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого. Будут ли такие треугольники равны? Привести пример.

Как думать. Для равенства нужны ещё условия: либо угол между сторонами (первый признак), либо третья сторона. Попробуем показать, что без них можно «перекосить» треугольник.

Решение.

1. Возьмём две стороны 3 см и 4 см.
2. Если угол между ними $90^\circ$, третья сторона равна 5 см.
3. Если угол между ними $60^\circ$, третья сторона меньше (около 3,6 см).
4. Две стороны одинаковые, а треугольники разные: третья сторона и углы различаются.

Ответ: нет, не обязательно. Пример: стороны 3 см и 4 см с углом $90^\circ$ и $60^\circ$ между ними.

Шпаргалка

Определения и теоремы

• Разносторонний треугольник: все стороны попарно не равны.
• Равнобедренный треугольник: две стороны равны (боковые), третья — основание.
• Равносторонний (правильный) треугольник: все стороны равны, все углы равны.
• Теорема: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Признак: если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
• Теорема: биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой.
• Приём: чтобы найти равенство углов или сторон, ищи равнобедренный треугольник и используй равенство углов при основании.

Мини-тест