§ 9. Второй признак равенства треугольников — Геометрия 7 класс, Смирнов: разбор и ответы
Ookul.kz · разбор уроков

Разберём любой номер вместе!

§ 9. Второй признак равенства треугольников

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 2: Треугольники. Страницы 51–56.

Чему научишься

  • Формулировать второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла.
  • Отличать «прилежащие» углы от остальных и не путать первый признак со вторым.
  • Доказывать равенство треугольников по второму признаку и делать выводы о сторонах и углах.
  • Применять признак в задачах с рисунками и на местности.

Разминка

  • Что говорит первый признак равенства треугольников? Две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, значит, треугольники равны.
  • Что значит «угол прилежит к стороне»? Сторона является одной из сторон этого угла. У стороны $AB$ прилежащие углы $A$ и $B$.
  • Равны ли вертикальные углы? Да.
  • Подготовка к теме (№ 8.19). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, равны ли треугольники? Не обязательно: у большого и маленького треугольника одной формы углы одинаковые.

Разбираемся

Чертим по стороне и двум углам

Начерти треугольник $ABC$: $AB = 5$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$. Отложи $5$ см, на одном конце транспортиром отложи $60^\circ$, на другом $45^\circ$. Лучи встретятся в точке $C$.

Одноклассник с теми же числами получит такой же треугольник. Именно это и утверждает признак.

Второй признак

📌 Теорема (второй признак). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то такие треугольники равны.

Коротко: угол, сторона, угол (УСУ).

Доказательство

⚠️ Частая ошибка. Нужны именно прилежащие углы: оба должны выходить из концов равной стороны. Для стороны $AB$ это углы $A$ и $B$, а не $C$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка в тетради обвести в треугольнике сторону и отметить дугами два угла у её концов. Если дуги стоят на двух концах одной стороны, это второй признак.

🌟 Этот признак использовали ещё в Древней Греции: философ Фалес по легенде определил расстояние до корабля в море, измерив только одну сторону на берегу и два угла. Так же работает и триангуляция в геодезии: по линии и двум углам находят расстояние до недоступной точки.

Два признака рядом

Что известно Признак
две стороны и угол между ними первый (СУС)
сторона и два прилежащих к ней угла второй (УСУ)

Проверь, как понял

Проверь себя

  • Сформулируй второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны.
  • Запиши равенства для $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ по второму признаку (задание «Самостоятельно»). Например, $AB = DE$, $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$.
  • Чем второй признак отличается от первого? В первом две стороны и угол между ними, во втором одна сторона и два угла у её концов.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 9.1

На рис. 9.2 угол 1 равен углу 3, угол 2 равен углу 4. Будут ли треугольники $CDA$ и $ABC$ равны?

Как думать. Общая сторона — диагональ $AC$. Проверь, что оба угла прилегают к ней.

Решение. $\angle 1$ (между $AB$ и $AC$) и $\angle 4$ (между $CB$ и $CA$) прилегают к стороне $AC$ в $\triangle ABC$. $\angle 3$ (между $CD$ и $CA$) и $\angle 2$ (между $AD$ и $AC$) прилегают к стороне $CA$ в $\triangle CDA$. Сравниваем: $\angle 1 = \angle 3$, $\angle 4 = \angle 2$ (дано), $AC = CA$ (общая). Второй признак: $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Ответ: да, равны.

№ 9.2

На рис. 9.3, а, б угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4. Укажи равные отрезки.

Как думать. Найди диагональ, общую для двух треугольников, и убедись, что оба угла прилежат к ней.

Решение. а) Общая сторона $AC$. В $\triangle ACD$ углы при $A$ — $\angle 1$, при $C$ — $\angle 4$; в $\triangle CAB$ углы при $C$ — $\angle 2$, при $A$ — $\angle 3$. Так как $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 4 = \angle 3$, то $\triangle ACD = \triangle CAB$ по второму признаку. Против равных углов лежат равные стороны: $AB = CD$, $BC = AD$. б) Общая сторона $AC$. В $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$: $\angle 2 = \angle 1$ (при $A$), $\angle 4 = \angle 3$ (при $C$). Равны по второму признаку, значит $AB = AD$, $CB = CD$.

Ответ: а) $AB = CD$, $BC = AD$; б) $AB = AD$, $CB = CD$.

№ 9.3

На рис. 9.4 отмечены равные отрезки и равные углы. Укажи равные треугольники.

Как думать. Для каждого рисунка найди отмеченные пары и посмотри, какой признак они образуют: стороны с углом между ними (первый) или сторона с двумя углами (второй).

Решение. а) $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$: $AC$ общая, $\angle BAC = \angle DAC$, $\angle BCA = \angle DCA$ (второй признак). б) $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$: $BD$ общая, $\angle ABD = \angle CDB$, $\angle ADB = \angle CBD$ (второй признак). в) $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$: $DB = BE$, $\angle D = \angle E$, $\angle ABD = \angle CBE$ как вертикальные (второй признак). г) $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$: $AO = BO$, $\angle DAO = \angle CBO$, $\angle AOD = \angle BOC$ (вертикальные), второй признак. Отсюда $AD = BC$ и $OD = OC$. Тогда $\triangle ACD$ и $\triangle BDC$: $AC = AO + OC = BO + OD = BD$, $AD = BC$, $\angle DAC = \angle CBD$ — первый признак. д) $\triangle ACD$ и $\triangle BCE$: $CD = CE$, $CA = CE + EA = CD + DB = CB$ (отмеченные отрезки), общий $\angle C$ — первый признак. Затем $\triangle AOE$ и $\triangle BOD$: $AE = BD$, $\angle AEO = \angle BDO$ (отмечены), $\angle EAO = \angle DBO$ (из первой пары) — второй признак. Ещё $\triangle ABE$ и $\triangle BAD$ равны по трём сторонам: $AE = BD$, $BE = AD$, $AB$ общая (это третий признак из § 11). е) $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$: $DO = CO$, $\angle D = \angle C$, $\angle AOD = \angle BOC$ (второй признак). Отсюда $AD = BC$ и $AO = BO$. Тогда $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$: $AD = BC$, $\angle D = \angle C$, $DB = DO + OB = CO + OA = CA$ — первый признак.

Ответ: а) $ABC$ и $ADC$; б) $ABD$ и $CDB$; в) $ABD$ и $CBE$; г) $AOD$ и $BOC$, $ACD$ и $BDC$; д) $ACD$ и $BCE$, $ABE$ и $BAD$, $AOE$ и $BOD$; е) $AOD$ и $BOC$, $ABD$ и $BAC$.

Уровень B

№ 9.4

На рис. 9.5 $BC = CD$, угол $B$ равен углу $D$. Докажи, что $AC = CE$.

Как думать. $AC$ и $CE$ — стороны треугольников $ABC$ и $EDC$. Вертикальные углы при $C$ равны.

Решение. Дано: $BC = CD$, $\angle B = \angle D$. Доказать: $AC = CE$. В $\triangle ABC$ и $\triangle EDC$:

  1. $BC = DC$ (дано);
  2. $\angle ABC = \angle EDC$ (дано);
  3. $\angle ACB = \angle ECD$ как вертикальные. Сторона $BC$ равна $DC$, и углы при её концах равны. Второй признак: $\triangle ABC = \triangle EDC$, откуда $AC = EC$.

Ответ: доказано.

№ 9.5

На рис. 9.6 угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4. Докажи, что $AB = AD$.

Как думать. Общая сторона — $AC$. Углы 1 и 2 при $A$, углы 3 и 4 при $C$.

Решение. Дано: $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$. Доказать: $AB = AD$. В $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$: $AC$ общая, $\angle BAC = \angle DAC$ ($\angle 1 = \angle 2$), $\angle BCA = \angle DCA$ ($\angle 3 = \angle 4$). Второй признак: $\triangle ABC = \triangle ADC$, поэтому $AB = AD$.

Ответ: доказано.

№ 9.6

На рис. 9.7 угол $DBC$ равен углу $DAC$, $BO = AO$. Докажи, что угол $C$ равен углу $D$ и $AC = BD$.

Как думать. $O$ — точка пересечения $AD$ и $BC$. Углы при $O$ вертикальные, при $A$ и $B$ равны. Сторона $AO = BO$ — между ними.

Решение. Дано: $\angle DBC = \angle DAC$, $BO = AO$. Доказать: $\angle C = \angle D$, $AC = BD$. В $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$:

  1. $AO = BO$ (дано);
  2. $\angle CAO = \angle DBO$: ведь $\angle CAO = \angle DAC$, $\angle DBO = \angle DBC$, а они равны (дано);
  3. $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикальные). Второй признак: $\triangle AOC = \triangle BOD$. Поэтому $\angle C = \angle D$ и $AC = BD$.

Ответ: доказано.

№ 9.7

На рис. 9.8 $AD = CF$, угол $BAC$ равен углу $EDF$, угол 1 равен углу 2. Докажи, что $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Как думать. Углы 1 и 2 «внешние», а нужны углы самих треугольников. Дополни их до развёрнутых. Сторону $AC$ получим из $AD$, $DC$ и $CF$.

Решение. Дано: $AD = CF$, $\angle BAC = \angle EDF$, $\angle 1 = \angle 2$ ($\angle 1$ — угол $BCF$, $\angle 2$ — угол $EFD$). Доказать: $\triangle ABC = \triangle DEF$.

  1. $\angle ACB = 180^\circ - \angle 1$ и $\angle DFE = 180^\circ - \angle 2$ (смежные). Так как $\angle 1 = \angle 2$, то $\angle ACB = \angle DFE$.
  2. $AC = AD + DC$, $DF = DC + CF$, а $AD = CF$, поэтому $AC = DF$.
  3. В $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$: $AC = DF$, $\angle BAC = \angle EDF$, $\angle ACB = \angle DFE$. Второй признак.

Ответ: доказано.

№ 9.8

На рис. 9.9 отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, $OB = OC$ и угол $B$ равен углу $C$. Докажи равенство треугольников $AOC$ и $DOB$.

Как думать. Равная сторона $OC = OB$, при её концах углы $C$ и $B$ и вертикальные углы при $O$.

Решение. Дано: $OB = OC$, $\angle B = \angle C$. Доказать: $\triangle AOC = \triangle DOB$. В $\triangle AOC$ и $\triangle DOB$:

  1. $OC = OB$ (дано);
  2. $\angle ACO = \angle DBO$ (это углы $C$ и $B$ из условия, так как $O$ лежит на $CD$ и на $AB$);
  3. $\angle AOC = \angle DOB$ (вертикальные). Второй признак: $\triangle AOC = \triangle DOB$.

Ответ: доказано.

№ 9.9

На рис. 9.10 отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AO = OC$ и угол $A$ равен углу $C$. Докажи равенство треугольников $AOB$ и $COD$.

Как думать. Всё как в № 9.8: сторона, два угла (один вертикальный).

Решение. Дано: $AO = OC$, $\angle A = \angle C$. Доказать: $\triangle AOB = \triangle COD$.

  1. $AO = CO$ (дано);
  2. $\angle BAO = \angle DCO$ (дано);
  3. $\angle AOB = \angle COD$ (вертикальные). Второй признак.

Ответ: доказано.

№ 9.10

На рис. 9.11 лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$, угол 1 равен углу 2, $OC = OD$. Докажи, что угол $A$ равен углу $B$.

Как думать. Нужно выделить два треугольника с углами $A$ и $B$: $AOC$ и $BOD$. Углы 1 и 2 внешние, дополним их до смежных.

Решение. Дано: $\angle 1 = \angle 2$, $OC = OD$. Доказать: $\angle A = \angle B$.

  1. $\angle ACO = 180^\circ - \angle 1$, $\angle BDO = 180^\circ - \angle 2$ (смежные). Значит, $\angle ACO = \angle BDO$.
  2. В $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$: $OC = OD$ (дано), $\angle ACO = \angle BDO$ (п. 1), $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикальные). Второй признак: $\triangle AOC = \triangle BOD$.
  3. Против равных сторон лежат равные углы, поэтому $\angle A = \angle B$.

Ответ: доказано.

№ 9.11

На рис. 9.12 $BH \perp AC$, $DP \perp AC$, $AH = CP$ и угол $BAC$ равен углу $ACD$. Найди равные треугольники.

Как думать. Начни с пары прямоугольных треугольников $AHB$ и $CPD$, дальше цепочкой.

Решение.

  1. $\triangle AHB$ и $\triangle CPD$: $AH = CP$, $\angle H = \angle P = 90^\circ$, $\angle BAH = 180^\circ - \angle BAC$ и $\angle DCP = 180^\circ - \angle ACD$ (смежные), поэтому $\angle BAH = \angle DCP$. Второй признак. Значит, $AB = CD$ и $BH = DP$.
  2. $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$: $AB = CD$ (п. 1), $AC$ общая, $\angle BAC = \angle ACD$ (дано). Первый признак.
  3. $\triangle BHC$ и $\triangle DPA$: $BH = DP$ (п. 1), $HC = HA + AC$ и $PA = PC + CA$, а $HA = PC$, поэтому $HC = PA$, $\angle H = \angle P = 90^\circ$. Первый признак.

Ответ: $AHB$ и $CPD$, $ABC$ и $CDA$, $BHC$ и $DPA$.

№ 9.12

На рис. 9.13 угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4. Докажи, что $\triangle ABC = \triangle CDA$. Найди $AB$ и $BC$, если $AD = 19$ см, $CD = 11$ см.

Как думать. Общая сторона $AC$. Углы 1 и 2 — накрест лежащие при $C$ и $A$, углы 3 и 4 тоже.

Решение. Дано: $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$, $AD = 19$ см, $CD = 11$ см. В $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$: $AC$ общая, $\angle BCA = \angle 1 = \angle 2 = \angle CAD$, $\angle BAC = \angle 4 = \angle 3 = \angle ACD$. Второй признак. Соответствие вершин: $A \to C$, $B \to D$, $C \to A$. Поэтому $AB = CD = 11$ см, $BC = DA = 19$ см.

Ответ: $AB = 11$ см, $BC = 19$ см.

Уровень C

№ 9.13

Докажи, что в равных треугольниках равны соответствующие биссектрисы.

Как думать. Возьми равные $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ и биссектрисы $AM$ и $A_1M_1$. Половинки равных углов равны. Найди два треугольника со стороной и двумя углами.

Решение. Дано: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, $AM$ и $A_1M_1$ — биссектрисы углов $A$ и $A_1$. Доказать: $AM = A_1M_1$.

  1. $\angle A = \angle A_1$, поэтому их половины равны: $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$.
  2. В $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$: $AB = A_1B_1$, $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$ (п. 1), $\angle B = \angle B_1$.
  3. Сторона $AB$ и два прилежащих угла равны. Второй признак: $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$, откуда $AM = A_1M_1$.

Ответ: доказано.

№ 9.14

На рис. 9.14 треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны. Отрезки $CD$ и $C_1D_1$ образуют со сторонами $CB$ и $C_1B_1$ равные углы. Докажи, что $AD = A_1D_1$.

Как думать. Ищем равные треугольники $ACD$ и $A_1C_1D_1$. У них должны быть равны сторона $AC$ и углы при её концах.

Решение. Дано: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, $\angle DCB = \angle D_1C_1B_1$. Доказать: $AD = A_1D_1$.

  1. $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$ и $\angle DCB = \angle D_1C_1B_1$. Вычтем: $\angle ACD = \angle ACB - \angle DCB = \angle A_1C_1B_1 - \angle D_1C_1B_1 = \angle A_1C_1D_1$.
  2. В $\triangle ACD$ и $\triangle A_1C_1D_1$: $AC = A_1C_1$ (равные треугольники), $\angle A = \angle A_1$, $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$ (п. 1).
  3. Второй признак: $\triangle ACD = \triangle A_1C_1D_1$. Значит, $AD = A_1D_1$.

Ответ: доказано.

№ 9.15

На рис. 9.15 угол $DAB$ равен углу $CBA$, угол $CAB$ равен углу $DBA$, $CA = 13$ см. Найди $DB$.

Как думать. Общая сторона $AB$, и оба угла при её концах равны. Треугольники $ABC$ и $BAD$.

Решение. В $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$: $AB$ общая, $\angle CAB = \angle DBA$, $\angle CBA = \angle DAB$. Второй признак: $\triangle ABC = \triangle BAD$ ($A \to B$, $B \to A$, $C \to D$). Тогда $CA = DB = 13$ см.

Ответ: $DB = 13$ см.

№ 9.16

В четырёхугольнике $ABCD$ угол $DAB$ равен углу $CBA$, диагонали $AC$ и $BD$ образуют со стороной $AB$ равные углы (рис. 9.16), $AD = 3$ см, $AC = 4$ см, $CD = 5$ см. Найди $BD$.

Как думать. Равные углы при $AB$: $\angle CAB = \angle DBA$. Вместе с $\angle DAB = \angle CBA$ это снова «сторона и два угла». Числа $AD$ и $CD$ нужны только как отвлекающие.

Решение. В $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$: $AB$ общая, $\angle DAB = \angle CBA$ (дано), $\angle ABD = \angle BAC$ (диагонали образуют со стороной $AB$ равные углы). Второй признак: $\triangle ABD = \triangle BAC$ ($A \to B$, $B \to A$, $D \to C$). Значит, $BD = AC = 4$ см.

Ответ: $BD = 4$ см.

№ 9.17

На рис. 9.17 $AE = AC$, угол 1 равен углу 2, угол $A$ равен $50^\circ$, угол $B = 40^\circ$. Найди угол $D$.

Как думать. Угол $A$ общий для $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$. Остальное: $AE = AC$ и $\angle 1 = \angle 2$.

Решение. В $\triangle ADE$ и $\triangle ABC$: $AE = AC$ (дано), $\angle A$ — общий, $\angle AED = \angle 1 = \angle 2 = \angle ACB$ (дано). Угол $A$ и $\angle AED$ прилегают к стороне $AE$, угол $A$ и $\angle ACB$ прилегают к $AC$. Второй признак: $\triangle ADE = \triangle ABC$ ($E \to C$, $D \to B$). Поэтому $\angle D = \angle B = 40^\circ$.

Ответ: $\angle D = 40^\circ$.

№ 9.18

По рис. 9.18 объясни, как найти расстояние от точки $A$ до недоступной точки $B$, например дерева на острове.

Как думать. Хотим расстояние $AB$ заменить длиной отрезка на суше. Для этого построим треугольник, равный $\triangle ABC$, у которого сторона $CD$ равна $AB$.

Решение.

  1. Выбираем на берегу точку $C$ и проводим отрезок $AC$.
  2. Измеряем угол $BAC$ и откладываем равный ему $\angle ACD$ (с другой стороны от $AC$).
  3. Измеряем угол $BCA$ и откладываем равный ему $\angle CAD$.
  4. Лучи $CD$ и $AD$ пересекутся в точке $D$.
  5. В $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$: $AC$ общая, $\angle BAC = \angle ACD$, $\angle BCA = \angle CAD$. Второй признак, значит $\triangle ABC = \triangle CDA$ и $AB = CD$. Длину $CD$ можно измерить рулеткой.

Ответ: построить на суше треугольник $CDA$ с общей стороной $AC$ и теми же углами; тогда $CD = AB$.

№ 9.19

Подготовься к новой теме. Изобрази треугольник с двумя равными сторонами. Измерь транспортиром углы, прилежащие к третьей стороне. Равны ли они?

Как думать. Начерти, например, стороны $5$ см, $5$ см и $4$ см. Углы у основания измерь аккуратно.

Решение. Берём треугольник со сторонами $5$, $5$ и $4$ см. Углы при стороне $4$ см получаются примерно по $66^\circ$ каждый. Расхождение в градус-два объясняется неточностью измерения. Это не случайность: в § 10 докажем, что в таком треугольнике углы при основании всегда равны.

Ответ: да, углы получаются равными.

Шпаргалка

  • Второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла.
  • Если углы не прилежат к равной стороне, это не второй признак.
  • В равных треугольниках равны медианы (№ 8.15) и биссектрисы (№ 9.13).
  • Расстояние до недоступной точки можно найти, построив на суше равный треугольник (№ 9.18).

Мини-тест

← § 8. Первый признак равенства треугольников · § 10. Равнобедренные треугольники →