§ 11. Третий признак равенства треугольников

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 2: Треугольники. Страницы 64–70.

Чему научишься

• Формулировать третий признак равенства треугольников: по трём сторонам.
• Понимать, как он доказывается через первый признак.
• Находить равные треугольники на рисунке и записывать, какие стороны и углы им равны.
• Доказывать равенство отрезков и углов, проводя диагональ и подбирая пару равных треугольников.

Разминка

• Какие два признака равенства треугольников ты уже знаешь? Первый: две стороны и угол между ними. Второй: сторона и два прилежащих к ней угла.
• Что можно сказать об углах при основании равнобедренного треугольника? Они равны.
• Как читать запись $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$? Вершины стоят в порядке соответствия: $A$ совпадёт с $A_1$, $B$ с $B_1$, $C$ с $C_1$.
• Что значит «общая сторона»? Это отрезок, который принадлежит сразу двум треугольникам. Он равен сам себе, и это часто спасает доказательство.

Разбираемся

Три стороны — и фигура «замёрзла»

Возьми три палочки и скрепи концы шарнирами. Как ни старайся, больше одной формы не получится: треугольник не перекосишь. Из четырёх палочек получится ромб, который легко «складывается» в параллелограмм. Поэтому фермы мостов, стропила крыши и каркас шанырака на юрте строят из треугольников.

Математики говорят то же самое точнее.

📌 Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то такие треугольники равны.

Для $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ это три равенства: $AB=DE$, $BC=EF$, $AC=DF$. Из них следует, что и углы равны: $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$.

Как это доказывают

Идея: сводим новый признак к уже известному первому. Пусть у $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ стороны соответственно равны. Приложим к лучу $A_1B_1$ треугольник, равный $ABC$, но по другую сторону от прямой $A_1B_1$. Его третья вершина попадёт в точку $C_2$.

💡 Луч $C_1C_2$ может пойти внутри угла $A_1C_1B_1$, по его стороне или вне угла. Выше разобран первый, самый наглядный случай, остальные доказываются похоже. Учебник предлагает проверить их самому, попробуй.

🌟 Про жёсткость. Поэтому Байтерек и мосты через реки держатся на каркасе из треугольников, а у обычной рамки из четырёх реек нужна ещё одна планка по диагонали: она превращает четырёхугольник в два треугольника.

Как пользоваться признаком на практике

Чаще всего в задачах есть четырёхугольник и в нём проведена диагональ.

Алгоритм для задачи «докажи, что углы (или отрезки) равны»:

1. Найди два треугольника, в которых лежат нужные углы или отрезки.
2. Проверь три пары равных сторон. Одна из них часто «общая сторона».
3. Запиши: $\triangle ABC=\triangle CDA$ по трём сторонам. Из равенства следует, что равны и соответственные углы.

⚠️ Частая ошибка. Записывают вершины не в том порядке. Равны те углы, что лежат напротив равных сторон. Всегда проверяй: сторона $AB$ соответствует стороне $DE$, значит, у вершины $C$ угол равен углу у вершины $F$ (противоположных этим сторонам).

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка нарисовать любой треугольник по трём заданным сторонам циркулем и линейкой, а потом нарисовать ещё один с теми же сторонами. Он увидит, что получаются одинаковые, только повёрнутые или перевёрнутые.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как формулируется третий признак равенства треугольников? Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны.
• Что делают в доказательстве этого признака? Строят рядом треугольник, равный одному из данных, но по другую сторону от общей стороны, и применяют к двум равнобедренным треугольникам и первому признаку.
• Какие равенства углов записывают, когда $\triangle ABC=\triangle DEF$? $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 11.1

На рисунках 11.3 (а–ж) отмечены равные отрезки и равные углы. Назови на каждом равные треугольники.

Как думать. Смотрим на метки-чёрточки: одинаковое число чёрточек значит равные отрезки. Для каждой пары треугольников ищем три пары равных сторон, одна из них часто общая.

Решение. а) В треугольнике $ABC$ отрезок $CD$ делит основание: $AD=DB$ (метки), $AC=CB$ (метки), $CD$ общая сторона у $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$. Они равны по трём сторонам. б) $EH=HG$, $EF=FG$, $HF$ общая: $\triangle EFH=\triangle GFH$. в) $KL=MN$, $KN=LM$, $LN$ общая: $\triangle KLN=\triangle MNL$. г) $RP=RQ$, $OP=OQ$, $RO$ общая: $\triangle POR=\triangle QOR$. Дальше $OP=OQ$, $PS=QS$, $OS$ общая: $\triangle POS=\triangle QOS$. Наконец $RP=RQ$, $PS=QS$, $RS$ общая: $\triangle PRS=\triangle QRS$. д) Трапеция $ABCD$ с пересекающимися диагоналями: $AO=BO$, $DO=CO$, $AD=BC$ дают $\triangle AOD=\triangle BOC$. Диагонали $AC=AO+OC$ и $BD=BO+OD$ равны, поэтому $\triangle ABD=\triangle BAC$ ($AD=BC$, $AB$ общая, $BD=AC$) и $\triangle ACD=\triangle BDC$ ($AD=BC$, $AC=BD$, $DC$ общая). е) $KS=NS$, $LS=MS$, $KL=NM$ дают $\triangle KLS=\triangle NMS$. Ещё $KM=NL$, $KS=NS$, $MS=LS$ дают $\triangle KMS=\triangle NLS$. ж) Все четыре стороны равны, диагонали делятся точкой $O$ на равные отрезки: четыре маленьких треугольника $AOB$, $BOC$, $COD$, $AOD$ равны между собой. Четыре больших $ABD$, $BCD$, $ADC$, $DAB$ тоже равны между собой: у каждого две стороны фигуры и диагональ.

Ответ: а) $ADC$ и $BDC$; б) $EFH$ и $GFH$; в) $KLN$ и $MNL$; г) $POR$ и $QOR$, $POS$ и $QOS$, $PRS$ и $QRS$; д) $AOD$ и $BOC$, $ABD$ и $BAC$, $ACD$ и $BDC$; е) $KLS$ и $NMS$, $KMS$ и $NLS$; ж) $AOB$, $BOC$, $COD$, $AOD$; $ABD$, $BCD$, $ADC$, $DAB$.

№ 11.2

На рисунке 11.4 $AB=DC$ и $BC=AD$. Докажи, что угол $B$ равен углу $D$.

Как думать. Углы $B$ и $D$ лежат в разных треугольниках, разделённых диагональю $AC$. Докажем равенство этих треугольников.

Решение. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

1. $AB=CD$ по условию.
2. $BC=DA$ по условию.
3. $AC$ общая сторона. Значит, $\triangle ABC=\triangle CDA$ по третьему признаку. Угол $B$ лежит против стороны $AC$, и угол $D$ лежит против той же стороны $AC$, поэтому $\angle B=\angle D$.

Ответ: $\angle B=\angle D$, что и требовалось.

№ 11.3

На рисунке 11.5 $AB=DC$ и $BC=AD$, $\angle BAC=31^\circ$, $\angle BCA=29^\circ$. Найди $\angle ACD$.

Как думать. Как в 11.2: диагональ $AC$ делит фигуру на два равных треугольника. Угол $ACD$ соответствует углу $BAC$.

Решение. $\triangle ABC=\triangle CDA$ по трём сторонам ($AB=CD$, $BC=DA$, $AC$ общая). В $\triangle ABC$ угол $BAC$ лежит против стороны $BC$, в $\triangle CDA$ против равной стороны $DA$ лежит угол $DCA$. Значит, $\angle ACD=\angle BAC=31^\circ$. Угол $29^\circ$ тут не нужен.

Ответ: $31^\circ$.

№ 11.4

На рисунке 11.6 $AB=BD$ и $AC=CD$, $\angle ABC=61^\circ$, $\angle ACB=59^\circ$. Найди $\angle BCD$.

Как думать. Сторона $BC$ общая для $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$.

Решение. $\triangle ABC=\triangle DBC$: $AB=DB$, $AC=DC$, $BC$ общая. Угол $BCD$ лежит против стороны $BD$, а равный ему угол $ACB$ лежит против равной стороны $AB$. Значит, $\angle BCD=\angle ACB=59^\circ$.

Ответ: $59^\circ$.

Уровень B

№ 11.5

На рисунке 11.7 $AB=AD$ и $DC=BC$. Докажи, что отрезок $AC$ — биссектриса угла $BAD$.

Как думать. Биссектриса делит угол пополам. Надо доказать $\angle BAC=\angle DAC$ через равенство треугольников.

Решение. Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$: $AB=AD$, $BC=DC$, $AC$ общая. Они равны по трём сторонам. Тогда $\angle BAC=\angle DAC$, а точка $C$ лежит внутри угла $BAD$. Значит, $AC$ делит угол $BAD$ пополам.

Ответ: $AC$ — биссектриса угла $BAD$.

№ 11.6

На рисунке 11.8 $AD=BC$ и $AC=BD$. Докажи, что угол $BAD$ равен углу $ABC$.

Как думать. Общая сторона здесь $AB$: она принадлежит $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$.

Решение. Рассмотрим $\triangle DAB$ и $\triangle CBA$: $DA=CB$, $DB=CA$, $AB$ общая. Они равны по трём сторонам. Угол $BAD$ лежит против стороны $DB$, а угол $ABC$ против равной стороны $CA$. Значит, $\angle BAD=\angle ABC$.

Ответ: $\angle BAD=\angle ABC$.

№ 11.7

На рисунке 11.9 $AB=BC$, $AD=CD$. Докажи, что угол 1 равен углу 2.

Как думать. Углы 1 и 2 — это углы $A$ и $C$ четырёхугольника. Проведём диагональ $BD$.

Решение. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$: $AB=CB$, $AD=CD$, $BD$ общая. Они равны по трём сторонам. Угол 1 лежит против стороны $BD$ в $\triangle ABD$, угол 2 против $BD$ в $\triangle CBD$. Значит, $\angle 1=\angle 2$.

Ответ: $\angle 1=\angle 2$.

№ 11.8

На рисунке 11.10 $AO=OC$, $AD=CD$. Докажи, что $AB=BC$.

Как думать. Сначала докажем, что равны углы при вершине $O$, потом применим первый признак к треугольникам $AOB$ и $COB$.

Решение.

1. $\triangle AOD=\triangle COD$: $AO=CO$, $AD=CD$, $DO$ общая (по трём сторонам). Значит, $\angle AOD=\angle COD$.
2. Точки $D$, $O$, $B$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle AOB=180^\circ-\angle AOD$ и $\angle COB=180^\circ-\angle COD$. Значит, $\angle AOB=\angle COB$.
3. $\triangle AOB=\triangle COB$: $AO=CO$, $OB$ общая, углы между ними равны (первый признак). Тогда $AB=CB$.

Ответ: $AB=BC$.

№ 11.9

На рисунке 11.11 $AB=BC$, $AD=CD$. Докажи, что $AO=OC$.

Как думать. Здесь верно похожее: сначала равенство $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$, потом равенство треугольников, в которых лежат $AO$ и $OC$.

Решение.

1. $\triangle ABD=\triangle CBD$: $AB=CB$, $AD=CD$, $BD$ общая (три стороны). Значит, $\angle ABD=\angle CBD$, то есть $\angle ABO=\angle CBO$.
2. $\triangle ABO=\triangle CBO$: $AB=CB$, $BO$ общая, $\angle ABO=\angle CBO$ (первый признак).
3. Тогда $AO=CO$.

Ответ: $AO=OC$, диагональ $BD$ делит $AC$ пополам.

№ 11.10

На рисунке 11.12 треугольники $ABC$ и $CDA$ равны, причём точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$. Докажи, что треугольники $BCD$ и $DAB$ равны.

Как думать. Из равенства $\triangle ABC=\triangle CDA$ (с соответствием $A\to C$, $B\to D$, $C\to A$) выписываем равные стороны и ищем у $\triangle BCD$ и $\triangle DAB$ три пары.

Решение. Из $\triangle ABC=\triangle CDA$: $AB=CD$, $BC=DA$. Рассмотрим $\triangle BCD$ и $\triangle DAB$: $BC=DA$, $CD=AB$, $BD$ общая. Они равны по трём сторонам.

Ответ: $\triangle BCD=\triangle DAB$.

№ 11.11

На рисунке 11.13 $AD=CF$, $AB=FE$, $BC=ED$. Докажи, что угол 1 равен углу 2.

Как думать. Точки $A$, $D$, $C$, $F$ лежат на одной прямой. Из $AD=CF$ получим $AC=DF$, и тогда у треугольников $ABC$ и $FED$ окажутся равны все три стороны.

Решение.

1. $AC=AD+DC$ и $DF=DC+CF$, а $AD=CF$. Значит, $AC=DF$.
2. $\triangle ABC=\triangle FED$: $AB=FE$, $BC=ED$, $AC=FD$. Тогда $\angle BCA=\angle EDF$.
3. Угол 1 при вершине $D$ смежный с $\angle EDF$, угол 2 при вершине $C$ смежный с $\angle BCA$. Равные углы имеют равные смежные: $\angle 1=\angle 2$.

Ответ: $\angle 1=\angle 2$.

№ 11.12

Точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной прямой (в таком порядке). Докажи: если треугольники $ABE_1$ и $ABE_2$ равны (рис. 11.14), то треугольники $CDE_1$ и $CDE_2$ тоже равны.

Как думать. Из равенства первой пары получим равные углы при $B$, затем равенство $\triangle BCE_1$ и $\triangle BCE_2$ и, наконец, треугольников при $C$.

Решение.

1. $\triangle ABE_1=\triangle ABE_2$, соответствие по буквам: $BE_1=BE_2$, $\angle ABE_1=\angle ABE_2$.
2. Углы $E_1BC$ и $E_2BC$ смежные с равными углами, поэтому $\angle E_1BC=\angle E_2BC$.
3. $\triangle BCE_1=\triangle BCE_2$: $BE_1=BE_2$, $BC$ общая, углы между ними равны. Значит, $CE_1=CE_2$ и $\angle BCE_1=\angle BCE_2$.
4. Углы $DCE_1$ и $DCE_2$ смежные с равными, поэтому они равны.
5. $\triangle CDE_1=\triangle CDE_2$: $CE_1=CE_2$, $CD$ общая, углы между ними равны.

Ответ: $\triangle CDE_1=\triangle CDE_2$.

№ 11.13

На рисунке 11.15 $AB=CD$, $AD=BC$, $BE$ — биссектриса угла $ABC$, $DF$ — биссектриса угла $ADC$. Докажи, что $\triangle ABE=\triangle CDF$.

Как думать. Диагональ $AC$ даёт равные треугольники $ABC$ и $CDA$. Из них возьмём равные углы $B$, $D$ и углы при $A$ и $C$, а потом сложим всё в признак «сторона и два угла».

Решение.

1. $\triangle ABC=\triangle CDA$ по трём сторонам. Значит, $\angle ABC=\angle CDA$ и $\angle BAC=\angle DCA$.
2. Половины равных углов равны: $\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\angle CDA=\angle CDF$.
3. $\triangle ABE$ и $\triangle CDF$: $AB=CD$, $\angle ABE=\angle CDF$, $\angle BAE=\angle BAC=\angle DCA=\angle DCF$ (точки $E$ и $F$ лежат на $AC$). Равны по стороне и двум прилежащим углам.

Ответ: $\triangle ABE=\triangle CDF$.

№ 11.14

Докажи, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, если $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$ и медианы $CM$ и $C_1M_1$ равны (рис. 11.16).

Как думать. Медиана делит сторону пополам, поэтому $AM=A_1M_1$. Тогда у $\triangle AMC$ и $\triangle A_1M_1C_1$ три пары равных сторон.

Решение.

1. $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}A_1B_1=A_1M_1$.
2. $\triangle AMC=\triangle A_1M_1C_1$: $AM=A_1M_1$, $AC=A_1C_1$, $CM=C_1M_1$. Значит, $\angle A=\angle A_1$.
3. $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$: $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$ (первый признак).

Ответ: треугольники равны.

№ 11.15

На местности нужно разделить угол пополам (угол $ABC$ на рис. 11.17). Рулеткой откладывают равные $BA$ и $BC$, берут ленту с отмеченной серединой $O$ и закрепляют концы в $A$ и $C$. Натянув ленту за середину, отмечают $O$; луч $BO$ делит угол пополам. Обоснуй.

Как думать. Найди два треугольника с тремя парами равных сторон: $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$.

Решение.

1. $BA=BC$ (отложили рулеткой).
2. $OA=OC$: $O$ середина ленты, и концы ленты закреплены в $A$ и $C$.
3. $BO$ общая сторона. Значит, $\triangle ABO=\triangle CBO$ по трём сторонам и $\angle ABO=\angle CBO$. Луч $BO$ — биссектриса угла $ABC$.

Ответ: по третьему признаку $\triangle ABO=\triangle CBO$, поэтому $\angle ABO=\angle CBO$.

Уровень C

№ 11.16

Докажи, что если в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AC=A_1C_1$, $BC=B_1C_1$ и медиана $CM$ равна медиане $C_1M_1$ (рис. 11.18), то треугольники равны.

Как думать. Это трудная задача. Идея: удвоить медиану, то есть продолжить её на такую же длину. Тогда получим треугольник $ACD$ со сторонами $AC$, $BC$, $2CM$, который однозначно определяет угол $C$.

Решение.

1. На продолжении $CM$ за $M$ отложим $MD=CM$. Тогда $\triangle BMC=\triangle AMD$: $BM=AM$, $CM=DM$, $\angle BMC=\angle AMD$ (вертикальные). Значит, $AD=BC$ и $\angle MDA=\angle MCB$.
2. Так же в первом треугольнике: $A_1D_1=B_1C_1$, $\angle M_1D_1A_1=\angle M_1C_1B_1$, $C_1D_1=2C_1M_1$.
3. $\triangle ACD=\triangle A_1C_1D_1$: $AC=A_1C_1$, $AD=BC=B_1C_1=A_1D_1$, $CD=2CM=2C_1M_1=C_1D_1$ (три стороны). Значит, $\angle ACD=\angle A_1C_1D_1$ и $\angle D=\angle D_1$.
4. $\angle ACB=\angle ACM+\angle MCB=\angle ACD+\angle D$ (потому что $\angle MCB=\angle MDA=\angle D$). Так же $\angle A_1C_1B_1=\angle A_1C_1D_1+\angle D_1$. Значит, $\angle C=\angle C_1$.
5. $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$: $AC=A_1C_1$, $BC=B_1C_1$, $\angle C=\angle C_1$ (первый признак).

Ответ: треугольники равны.

№ 11.17

На рисунке 11.19 $AB=CD$ и $AD=BC$. Докажи, что углы $BAC$ и $DCA$ равны.

Как думать. Диагональ $AC$ даёт два равных треугольника.

Решение. $\triangle ABC=\triangle CDA$: $AB=CD$, $BC=DA$, $AC$ общая (три стороны). Угол $BAC$ лежит против $BC$, угол $DCA$ против равной стороны $DA$. Значит, $\angle BAC=\angle DCA$.

Ответ: $\angle BAC=\angle DCA$.

№ 11.18

На рисунке 11.19 $AB=CD$ и $\angle BAC=\angle DCA$. Докажи, что $\angle DAC=\angle BCA$.

Как думать. Теперь известны две стороны и угол между ними: возьмём первый признак.

Решение. $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$: $AB=CD$, $AC$ общая, $\angle BAC=\angle DCA$ (угол между $AB$ и $AC$ равен углу между $CD$ и $CA$). Они равны по первому признаку. Угол $BCA$ лежит против $AB$, угол $DAC$ против $CD$, они равны.

Ответ: $\angle DAC=\angle BCA$.

№ 11.19

На рисунке 11.19 $\angle ABD=\angle CDB$ и $\angle ADB=\angle CBD$. Докажи, что $\angle BAD=\angle DCB$.

Как думать. Теперь сторона $BD$ общая, и к ней прилегают равные углы. Это второй признак.

Решение. $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$: $BD$ общая, $\angle ABD=\angle CDB$, $\angle ADB=\angle CBD$. Равны по второму признаку. Значит, $\angle BAD=\angle DCB$.

Ответ: $\angle BAD=\angle DCB$.

№ 11.20

На рисунке 11.20 $AD=BC$ и $AC=BD$. Докажи, что $\angle ADC=\angle BCD$.

Как думать. Общая сторона здесь $DC$.

Решение. $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$: $AD=BC$, $AC=BD$, $DC$ общая (три стороны). Угол $ADC$ лежит против $AC$, угол $BCD$ против равной стороны $BD$. Значит, они равны.

Ответ: $\angle ADC=\angle BCD$.

№ 11.21

На рисунке 11.20 $AO=BO$ и $CO=DO$. Докажи, что углы $DAC$ и $CBD$ равны.

Как думать. $O$ — точка пересечения диагоналей, есть вертикальные углы.

Решение. $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$: $AO=BO$, $DO=CO$, $\angle AOD=\angle BOC$ (вертикальные). Равны по первому признаку. Угол $DAO$ лежит против $DO$, угол $CBO$ против $CO$. Значит, $\angle DAC=\angle CBD$.

Ответ: $\angle DAC=\angle CBD$.

№ 11.22

На рисунке 11.20 $\angle BAC=\angle ABD$ и $\angle BAD=\angle ABC$. Докажи, что $AD=BC$.

Как думать. Сторона $AB$ общая, и к ней прилегают равные углы.

Решение. $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$: $AB$ общая, $\angle DAB=\angle CBA$, $\angle DBA=\angle CAB$. Равны по второму признаку. Сторона $AD$ лежит против $\angle ABD$, сторона $BC$ против $\angle BAC$, эти углы равны. Значит, $AD=BC$.

Ответ: $AD=BC$.

№ 11.23

На рисунке 11.21 $AB=CB$ и $AD=CD$. Докажи, что углы $BAD$ и $BCD$ равны.

Как думать. Диагональ $BD$ общая.

Решение. $\triangle ABD=\triangle CBD$: $AB=CB$, $AD=CD$, $BD$ общая. Значит, $\angle BAD=\angle BCD$.

Ответ: $\angle BAD=\angle BCD$.

№ 11.24

На рисунке 11.21 $AD=CD$ и $\angle ADB=\angle CDB$. Докажи, что $AB=BC$.

Как думать. Теперь две стороны и угол между ними: первый признак.

Решение. $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$: $AD=CD$, $BD$ общая, $\angle ADB=\angle CDB$. Равны по первому признаку, значит, $AB=CB$.

Ответ: $AB=BC$.

№ 11.25

На рисунке 11.21 $\angle ADB=\angle CDB$ и $AC\perp BD$. Докажи, что $AD=CD$.

Как думать. $AC\perp BD$ значит, что в точке $O$ образованы прямые углы, и можно применить второй признак к $\triangle ADO$ и $\triangle CDO$.

Решение. $\triangle ADO$ и $\triangle CDO$: $DO$ общая, $\angle ADO=\angle CDO$, $\angle AOD=\angle COD=90^\circ$. Равны по второму признаку. Значит, $AD=CD$.

Ответ: $AD=CD$.

№ 11.26

На рисунке 11.22 $AB=CB$ и $AD=CD$. Докажи, что углы $ADB$ и $CDB$ равны.

Как думать. $BD$ общая сторона.

Решение. $\triangle ABD=\triangle CBD$: $AB=CB$, $AD=CD$, $BD$ общая. Значит, $\angle ADB=\angle CDB$.

Ответ: $\angle ADB=\angle CDB$.

№ 11.27

На рисунке 11.22 $AD=CD$ и $\angle ADB=\angle CDB$. Докажи, что углы $BAD$ и $BCD$ равны.

Как думать. Две стороны и угол между ними: первый признак.

Решение. $\triangle ABD=\triangle CBD$ по первому признаку: $AD=CD$, $DB$ общая, $\angle ADB=\angle CDB$. Значит, $\angle BAD=\angle BCD$.

Ответ: $\angle BAD=\angle BCD$.

№ 11.28

На рисунке 11.22 $\angle ADB=\angle CDB$ и $AC\perp BD$. Докажи, что $AD=CD$.

Как думать. Как в 11.25.

Решение. Пусть $O$ точка пересечения $AC$ и прямой $BD$. $\triangle ADO=\triangle CDO$ по второму признаку: $DO$ общая, $\angle ADO=\angle CDO$, $\angle AOD=\angle COD=90^\circ$. Значит, $AD=CD$.

Ответ: $AD=CD$.

Подготовьтесь к новому

№ 11.29

В треугольнике $ABC$ угол $A$ больше угла $B$. Какая из сторон больше, $AC$ или $BC$?

Как думать. Против большего угла лежит большая сторона. Это как раз тема следующего параграфа.

Решение. Против угла $A$ лежит сторона $BC$, против угла $B$ сторона $AC$. Так как $\angle A>\angle B$, то $BC>AC$.

Ответ: $BC$ больше.

Шпаргалка

• Теорема (третий признак). $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$, $AC=A_1C_1\Rightarrow \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.
• Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: напротив равных сторон лежат равные углы.
• Типичный приём: провести диагональ, найти общую сторону, применить признак.

Мини-тест