§ 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 2: Треугольники. Страницы 70–75.

Чему научишься

• Узнавать внешние и внутренние углы треугольника.
• Доказывать, что внешний угол больше каждого внутреннего, не смежного с ним.
• Сравнивать углы по сторонам и стороны по углам: против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
• Решать задачи на сравнение сторон и углов и доказывать неравенства.

Разминка

• Какие углы называют смежными? Те, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Они вместе дают $180^\circ$.
• Как называются углы, равные друг другу при пересечении двух прямых? Вертикальные.
• Что известно об углах при основании равнобедренного треугольника? Они равны.
• Чему равна сумма смежных углов? $180^\circ$.

Разбираемся

Внешний и внутренний угол

Продолжим сторону $AC$ треугольника $ABC$ за точку $C$ до точки $D$. Угол $BCD$ смежный с углом $C$ треугольника. Его называют внешним углом треугольника, а три угла самого треугольника внутренними.

При каждой вершине можно построить два внешних угла (продолжая одну или другую сторону). Они равны как вертикальные.

💡 Внешний угол плюс его смежный внутренний всегда дают $180^\circ$.

Теорема о внешнем угле

📌 Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним.

То есть $\angle BCD>\angle ABC$ и $\angle BCD>\angle BAC$.

⚠️ Частая ошибка. Теорема не говорит, что внешний угол больше смежного с ним внутреннего: у тупого внутреннего угла внешний острый. Сравнивать можно только с несмежными.

Против большей стороны лежит больший угол

📌 Теорема 1. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Обратно: против большего угла лежит большая сторона

📌 Теорема 2. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Доказывают «от противного»: пусть $\angle C>\angle B$. Если бы $AB=AC$, то треугольник был бы равнобедренным и $\angle C=\angle B$, что противоречит условию. Если бы $AB<AC$, то по теореме 1 было бы $\angle C<\angle B$, и снова противоречие. Остаётся $AB>AC$.

💡 Короткая запомнялка. Самый большой угол «смотрит» на самую длинную сторону, самый маленький на самую короткую. Против равных сторон лежат равные углы.

👨‍👩‍👧 Родителю. Нарисуйте с ребёнком треугольник со сторонами 3, 4 и 6 см. Пусть измерит транспортиром все три угла: самый большой окажется напротив стороны 6 см.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какой угол называется внешним углом треугольника? Угол, смежный с внутренним углом треугольника (получается продолжением одной из сторон).
• Сколько внешних углов при каждой вершине? Два, и они равны как вертикальные.
• Какое неравенство верно для внешнего угла? Внешний угол больше каждого внутреннего, не смежного с ним.
• Какой угол лежит против большей стороны? Больший.
• Какая сторона лежит против большего угла? Большая.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 12.1

Может ли внешний угол треугольника быть больше: а) одного внутреннего угла; б) двух внутренних углов; в) трёх внутренних углов этого треугольника? Приведи примеры.

Как думать. Внешний угол больше двух несмежных с ним. Остаётся вопрос про смежный: он может быть и больше, и меньше внешнего.

Решение. а) Да: внешний угол всегда больше любого из двух несмежных внутренних. б) Да: он больше сразу обоих несмежных. в) Да, если смежный с ним внутренний угол острый. Пример: треугольник с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$; внешний угол при вершине с $30^\circ$ равен $150^\circ$ и больше всех трёх.

Ответ: а), б), в) да.

№ 12.2

Может ли внешний угол треугольника быть: а) равным одному из внутренних углов; б) меньше одного из внутренних углов?

Как думать. Здесь решает смежный внутренний угол: именно с ним сравнение не обязано быть «больше».

Решение. а) Да: в прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине прямого угла равен $90^\circ$, то есть равен смежному с ним внутреннему прямому углу. б) Да: если внутренний угол тупой, например $120^\circ$, то внешний при нём $60^\circ$ — меньше.

Ответ: а) да; б) да.

№ 12.3

Если один из внешних углов треугольника острый, то какими являются остальные внешние углы?

Как думать. Острый внешний угол значит тупой смежный внутренний. Тупой угол в треугольнике может быть только один.

Решение. Внутренний угол, смежный с острым внешним, равен $180^\circ-$ острый, то есть тупой. Два других внутренних угла острые (тупой в треугольнике один, см. № 12.10), значит, внешние углы при них тупые (они равны $180^\circ-$ острый).

Ответ: тупыми.

№ 12.4

Может ли в треугольнике быть два: а) острых; б) тупых; в) прямых внешних угла?

Как думать. Внешние углы при разных вершинах соответствуют внутренним: острый внешний значит тупой внутренний, и наоборот.

Решение. а) Два острых внешних значит два тупых внутренних. Это невозможно (тупой угол в треугольнике один). Нет. б) Два тупых внешних значит два острых внутренних. Это бывает. Да. в) Два прямых внешних значит два прямых внутренних. Невозможно (прямой угол один). Нет.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

№ 12.5

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ наибольшая. Каким может быть угол $C$?

Как думать. Против наибольшей стороны лежит наибольший угол, то есть $\angle C$ наибольший. Но это не ограничивает его вид.

Решение. Угол $C$ наибольший из трёх. Он может быть острым (например, углы $70^\circ$, $60^\circ$, $50^\circ$), прямым (в прямоугольном треугольнике $AB$ — гипотенуза) или тупым (например, $100^\circ$, $50^\circ$, $30^\circ$). Остальные два угла при этом меньше него.

Ответ: острым, прямым или тупым (но наибольшим из трёх углов).

№ 12.6

Сравни углы треугольника $ABC$, если $AB=7$ см, $BC=10$ см, $AC=5$ см.

Как думать. Расставим стороны по порядку и вспомним: угол лежит против «своей» стороны.

Решение. Против $BC=10$ лежит $\angle A$, против $AB=7$ лежит $\angle C$, против $AC=5$ лежит $\angle B$. Раз $10>7>5$, то $\angle A>\angle C>\angle B$.

Ответ: $\angle A>\angle C>\angle B$.

№ 12.7

Известно, что в треугольнике $ABC$ $BC>AC>AB$. Какой из углов больше: а) $B$ или $A$; б) $C$ или $A$; в) $B$ или $C$?

Как думать. Против $BC$ лежит $A$, против $AC$ лежит $B$, против $AB$ лежит $C$. Значит, $\angle A>\angle B>\angle C$.

Решение. а) $B$ и $A$: $\angle A>\angle B$ (против большей стороны $BC$). б) $C$ и $A$: $\angle A>\angle C$. в) $B$ и $C$: $\angle B>\angle C$ (против $AC$ больше, чем против $AB$).

Ответ: а) $A$; б) $A$; в) $B$.

№ 12.8

На рисунке 12.5 $DE<DF$. Каким соотношением связаны углы 1 и 2?

Как думать. Углы 1 и 2 на рисунке вертикальные к внутренним углам $E$ и $F$ треугольника $DEF$, значит, они им равны.

Решение. Против стороны $DE$ лежит $\angle F$, против стороны $DF$ лежит $\angle E$. Так как $DE<DF$, то $\angle F<\angle E$. Углы 1 и 2 равны соответственно $\angle E$ и $\angle F$, поэтому $\angle 1>\angle 2$.

Ответ: угол 1 больше угла 2.

№ 12.9

Сравни стороны треугольника $ABC$, если: а) $\angle A>\angle B>\angle C$; б) $\angle A>\angle B=\angle C$.

Как думать. Против большего угла лежит большая сторона, против равных углов равные стороны.

Решение. а) Против $A$ лежит $BC$, против $B$ сторона $AC$, против $C$ сторона $AB$. Значит, $BC>AC>AB$. б) $BC>AC=AB$ (равные углы $B$ и $C$ дают равные стороны $AC$ и $AB$).

Ответ: а) $BC>AC>AB$; б) $BC>AC=AB$.

Уровень B

№ 12.10

Докажи, что в треугольнике может быть только один: а) прямой угол; б) тупой угол.

Как думать. Используем теорему о внешнем угле: внешний угол больше несмежных внутренних.

Решение. Пусть угол $A$ прямой или тупой, то есть $\angle A\ge 90^\circ$. Тогда внешний угол при вершине $A$ равен $180^\circ-\angle A\le 90^\circ$. По теореме о внешнем угле он больше каждого из двух других внутренних углов, значит, $\angle B<90^\circ$ и $\angle C<90^\circ$. Итак, если один угол не острый, то остальные два острые: второго прямого или тупого угла быть не может.

Ответ: прямой и тупой угол в треугольнике может быть только один.

№ 12.11

На рисунке 12.6 $AB>BC$. Докажи, что угол 1 больше угла 2.

Как думать. Углы 1 и 2 внешние при вершинах $A$ и $C$: они дополняют внутренние углы до $180^\circ$.

Решение. $AB>BC$, значит, против $AB$ лежит больший угол: $\angle C>\angle A$. Внешние углы: $\angle 1=180^\circ-\angle A$ и $\angle 2=180^\circ-\angle C$. Из $\angle A<\angle C$ следует $\angle 1>\angle 2$.

Ответ: $\angle 1>\angle 2$.

№ 12.12

На рисунке 12.7 $\angle 1=\angle 2$, $AC>BD$. Докажи, что $\angle 3<\angle 4$.

Как думать. Нужно сравнить углы $\angle 3$ (в $\triangle ABD$) и $\angle 4$ (в $\triangle ABC$). Отложим на $AC$ отрезок $AK=BD$ — получим треугольник, равный $\triangle ABD$.

Решение.

1. Так как $AC>BD$, на $AC$ можно отложить $AK=BD$, точка $K$ внутри отрезка $AC$.
2. $\triangle ABD=\triangle BAK$: $AB$ общая, $BD=AK$, $\angle ABD=\angle 2=\angle 1=\angle BAK$ (первый признак). Значит, $\angle BAD=\angle ABK$, то есть $\angle 3=\angle ABK$.
3. Луч $BK$ лежит внутри угла $ABC$, поэтому $\angle ABK<\angle ABC=\angle 4$.
4. $\angle 3=\angle ABK<\angle 4$.

Ответ: $\angle 3<\angle 4$.

№ 12.13

Вершины треугольника $ABC$ соединены отрезками с точкой $D$ внутри него, $AC>AB$, $CD=BD$ (рис. 12.8). Докажи, что угол $ACD$ меньше угла $ABD$.

Как думать. $\triangle BCD$ равнобедренный, поэтому углы при $B$ и $C$ у него равны. Против большей стороны $AC$ лежит больший угол $B$ треугольника $ABC$.

Решение.

1. $AC>AB$, значит, $\angle ABC>\angle ACB$ (против $AC$ лежит $\angle B$).
2. $CD=BD$, значит, $\angle DBC=\angle DCB$.
3. $\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC$ и $\angle ACD=\angle ACB-\angle DCB$. Из большего вычитаем то же число и получаем большее: $\angle ACD<\angle ABD$.

Ответ: $\angle ACD<\angle ABD$.

№ 12.14

Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $C$, $AB>BC$, $CD=DE$ (рис. 12.9). Докажи, что угол $BAC$ меньше угла $DEC$.

Как думать. В $\triangle ABC$ сравним углы по сторонам. $\triangle CDE$ равнобедренный, углы при основании равны, а вертикальные углы при $C$ помогут перейти к $\triangle ABC$.

Решение.

1. $AB>BC$, значит, $\angle BCA>\angle BAC$ (против $AB$ лежит $\angle C$, против $BC$ угол $A$).
2. $\angle BCA=\angle DCE$ (вертикальные).
3. $CD=DE$, значит, $\angle DCE=\angle DEC$.
4. Собираем: $\angle BAC<\angle BCA=\angle DCE=\angle DEC$.

Ответ: $\angle BAC<\angle DEC$.

№ 12.15

На рисунке 12.10 угол 1 меньше угла 2. Каким соотношением связаны стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$?

Как думать. Смотрим, какие это углы: на рисунке углы 1 и 2 вертикальные к внутренним углам $A$ и $C$ треугольника, то есть $\angle 1=\angle A$, $\angle 2=\angle C$.

Решение. $\angle A<\angle C$. Против угла $C$ лежит $AB$, против угла $A$ лежит $BC$. Против большего угла большая сторона: $AB>BC$.

Ответ: $AB>BC$.

№ 12.16

На рисунке 12.11 угол 1 больше угла 2. Докажи, что $AB>BC$.

Как думать. Здесь углы 1 и 2 внешние при вершинах $A$ и $C$. Переходим к внутренним: они дополняют внешние до $180^\circ$.

Решение. $\angle A=180^\circ-\angle 1$ и $\angle C=180^\circ-\angle 2$. Так как $\angle 1>\angle 2$, то $\angle A<\angle C$. Против большего угла $C$ лежит сторона $AB$, против меньшего $A$ лежит $BC$. Значит, $AB>BC$.

Ответ: $AB>BC$.

Уровень C

№ 12.17

На рисунке 12.12 $\angle 1=\angle 2$, $\angle 3<\angle 4$. Докажи, что $AC>BD$.

Как думать. Это обратная к 12.12 задача. Докажем от противного: допустим, что $AC\le BD$, и придём к противоречию с $\angle 3<\angle 4$.

Решение.

1. Пусть $AC=BD$. Тогда $\triangle BAC=\triangle ABD$ ($AB$ общая, $AC=BD$, $\angle 1=\angle 2$), и $\angle 4=\angle 3$. Противоречие с $\angle 3<\angle 4$.
2. Пусть $AC<BD$. Отложим на $BD$ отрезок $BK=AC$. Тогда $\triangle BAC=\triangle ABK$ (первый признак: $AB$ общая, $AC=BK$, $\angle BAC=\angle ABK$), и $\angle ABC=\angle BAK$, то есть $\angle 4=\angle BAK$. Но $K$ лежит на $BD$, луч $AK$ внутри угла $BAD$, значит, $\angle BAK<\angle BAD=\angle 3$, то есть $\angle 4<\angle 3$. Снова противоречие.
3. Остаётся $AC>BD$.

Ответ: $AC>BD$.

№ 12.18

Вершины треугольника $ABC$ соединены отрезками с точкой $D$ внутри него, $CD=BD$, угол $ACD$ меньше угла $ABD$ (рис. 12.13). Докажи, что $AC>AB$.

Как думать. Это обратная к 12.13. Равнобедренный $\triangle BCD$ даёт равные углы при основании.

Решение.

1. $CD=BD$, значит, $\angle DBC=\angle DCB$.
2. $\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$ и $\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB$. Так как $\angle ACD<\angle ABD$ и $\angle DBC=\angle DCB$, то $\angle ACB<\angle ABC$.
3. Против большего угла $B$ лежит сторона $AC$, против меньшего угла $C$ лежит $AB$. Значит, $AC>AB$.

Ответ: $AC>AB$.

№ 12.19

Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $C$, $CD=DE$, угол $BAC$ меньше угла $DEC$ (рис. 12.14). Докажи, что $AB>BC$.

Как думать. Обратная к № 12.14: переводим углы из $\triangle CDE$ в $\triangle ABC$.

Решение.

1. $CD=DE$, значит, $\angle DCE=\angle DEC$.
2. $\angle BCA=\angle DCE$ (вертикальные), значит, $\angle BCA=\angle DEC$.
3. $\angle BAC<\angle DEC=\angle BCA$. Против большего угла $C$ лежит $AB$, против меньшего $A$ лежит $BC$. Значит, $AB>BC$.

Ответ: $AB>BC$.

№ 12.20

В треугольнике $ABC$ выполняется $AC>BC$, $CD$ — медиана (рис. 12.15). Докажи, что угол $BCD$ больше угла $ACD$.

Как думать. Удвоим медиану: на продолжении $CD$ за $D$ отложим $DE=CD$. Тогда сторона $BC$ «переедет» в $AE$.

Решение.

1. $\triangle BDC=\triangle ADE$: $BD=AD$ ($CD$ медиана), $CD=ED$, $\angle BDC=\angle ADE$ (вертикальные). Значит, $AE=BC$ и $\angle BCD=\angle AED$.
2. В $\triangle ACE$: $AC>BC=AE$. Против большей стороны $AC$ лежит $\angle E$, против меньшей $AE$ лежит $\angle ACE$. Значит, $\angle AEC>\angle ACE$.
3. $\angle AEC=\angle AED=\angle BCD$ и $\angle ACE=\angle ACD$. Итак, $\angle BCD>\angle ACD$.

Ответ: $\angle BCD>\angle ACD$.

Подготовьтесь к новому

№ 12.21

Изобрази треугольник, у которого две стороны равны 3 см и 4 см, а угол между ними равен $90^\circ$.

Как думать. Угол $90^\circ$ строим по угольнику или по клеткам тетради. Две стороны откладываем вдоль сторон угла.

Решение.

1. Проведи луч и отложи на нём отрезок $AC=3$ см.
2. В точке $C$ построй прямой угол (угольником или по клеткам: по вертикали).
3. Отложи на второй стороне угла отрезок $CB=4$ см.
4. Соедини $A$ и $B$. Получился прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Его третья сторона по линейке оказывается 5 см.

Ответ: прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см; гипотенуза получается 5 см.

Шпаргалка

• Внешних углов при вершине два, и они равны (вертикальные).
• Внешний угол + смежный внутренний $=180^\circ$.
• В треугольнике может быть только один прямой или тупой угол.
• Теоремы 1 и 2: напротив большей стороны большой угол, напротив большего угла большая сторона.

Мини-тест