§ 13. Прямоугольные треугольники

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 2: Треугольники. Страницы 75–80.

Чему научишься

• Узнавать прямоугольный треугольник и называть его стороны: гипотенуза и катеты.
• Понимать, почему в таком треугольнике два острых угла, а гипотенуза самая длинная.
• Знать четыре признака равенства прямоугольных треугольников.
• Применять их в задачах на доказательство и в жизни, например, чтобы найти расстояние до недоступной точки.

Разминка

• Какой угол называется прямым? Угол в $90^\circ$, как угол тетради или угол футбольного поля.
• Какой угол называется острым, а какой тупым? Острый меньше $90^\circ$, тупой больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
• Назови три признака равенства треугольников. По двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим углам; по трём сторонам.
• Что известно про внешний угол треугольника? Он больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним.
• Чему равна биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию? Она же высота и медиана.

Разбираемся

Кто здесь гипотенуза, а кто катет

Угол книги, угол двери, угол футбольной площадки: прямой угол вокруг нас повсюду. Если он есть в треугольнике, такой треугольник называют прямоугольным.

Сторона, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой. Две другие стороны, которые этот угол «обнимают», называются катетами.

📌 В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$: $AB$ — гипотенуза, $AC$ и $BC$ — катеты.

Два острых угла и длинная гипотенуза

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Рядом с прямым углом внешний угол тоже прямой. Значит, два других угла меньше $90^\circ$, то есть острые.

💡 Итог: в прямоугольном треугольнике один угол прямой, а два остальных острые. Тупого угла там быть не может.

Раз против большего угла лежит большая сторона, то против прямого угла (он самый большой) лежит самая длинная сторона. Поэтому гипотенуза больше каждого катета.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

У прямоугольных треугольников один угол уже одинаковый: $90^\circ$. Поэтому проверять нужно меньше, чем у обычных. Всего четыре признака.

Признаки 1 и 2 учебник предлагает доказать самому. Это легко: они прямо следуют из известных признаков равенства треугольников, ведь прямые углы уже равны.

Признак 3: гипотенуза и катет

📌 Признак 3. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Признак 4: гипотенуза и острый угол

📌 Признак 4. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Здесь применяют доказательство от противного: предположим, что утверждение неверно, и получим нелепость.

⚠️ Частая ошибка. Нельзя использовать «два острых угла»: если равны только углы, треугольники могут быть разного размера. Нужно ещё равенство хотя бы одной стороны.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка нарисовать два прямоугольных треугольника с одной и той же гипотенузой и одним острым углом, но разной длины катетов. Не получится: так наглядно виден смысл признака 4.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какой треугольник называется прямоугольным? Тот, у которого есть прямой угол.
• Что называется гипотенузой и катетами? Гипотенуза — сторона против прямого угла; катеты — две другие стороны.
• Сформулируй признаки равенства прямоугольных треугольников. 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по гипотенузе и катету; 4) по гипотенузе и острому углу.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 13.1

Нарисуй какой-нибудь прямоугольный треугольник, у которого катет — отрезок $AC$, а вершина $B$ лежит в узле сетки (два рисунка на клетках: а) и б)).

Как думать. Прямой угол можно сделать при вершине $C$. Тогда $CB$ должен идти «под прямым углом» к $AC$. На клетках это значит: повернуть шаг отрезка на $90^\circ$.

Решение. а) От $C$ до $A$ нужно пройти 2 клетки влево и 2 вверх. Поворачиваем на $90^\circ$: от $C$ идём 2 клетки вправо и 2 вверх, получаем $B$. б) От $C$ до $A$: 1 клетка влево и 2 вверх. Поворот: от $C$ идём 2 клетки вправо и 1 вверх, получаем $B$. Можно взять и другой вариант: прямой угол при вершине $A$.

Ответ: см. рисунок. Правильных вариантов несколько, главное, чтобы угол $C$ был прямым.

№ 13.2

Нарисуй какой-нибудь прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — отрезок $AB$, а вершина $C$ лежит в узле сетки (а и б).

Как думать. Вершина $C$ должна «смотреть» на $AB$ под прямым углом. Самый простой вариант: взять $AB$ диагональю квадрата, тогда остальные две вершины квадрата подходят.

Решение. а) $A$ и $B$ — противоположные вершины квадрата $3\times3$ клетки. Берём $C$ в одной из двух других вершин. б) $AB$ горизонтален и равен 4 клеткам. Возьми $C$ на 2 клетки вправо от $A$ и на 2 клетки вверх: тогда катеты идут «по диагоналям» и угол $C$ прямой.

Ответ: см. рисунок.

№ 13.3

На рисунке 13.8 найди равные прямоугольные треугольники.

Как думать. Посчитай катеты каждого треугольника по клеткам. Если у двух треугольников катеты соответственно равны, они равны по признаку 1.

Решение. У треугольников 1, 4 и 5 катеты по 2 клетки. У треугольников 2, 3 и 7 катеты 1 и 2 клетки. Треугольник 6 не равен ни одному из остальных. Значит, равны группы: 1, 4, 5 и 2, 3, 7.

Ответ: 1, 4, 5 и 2, 3, 7.

№ 13.4

Может ли прямоугольный треугольник быть: а) равнобедренным; б) равносторонним?

Как думать. Вспомни: у равнобедренного два угла при основании равны, у равностороннего все три по $60^\circ$.

Решение. а) Да. Возьми два одинаковых катета, например по 3 см. Получится равнобедренный прямоугольный треугольник с углами $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$. б) Нет. В равностороннем все углы равны, а в прямоугольном два угла острые, и они не могут равняться прямому. Все углы равны $60^\circ$ — прямого нет.

Ответ: а) да; б) нет.

№ 13.5

Может ли прямоугольный треугольник иметь стороны 4 см, 5 см, 5 см?

Как думать. Гипотенуза — самая длинная сторона и строго больше каждого катета.

Решение. Самые длинные стороны здесь две и равны 5 см. Но гипотенуза должна быть строго больше обоих катетов. Значит, такого прямоугольного треугольника нет.

Ответ: нет.

№ 13.6

Может ли прямоугольный треугольник иметь катеты 11 см и 111 см?

Как думать. Попробуем построить: прямой угол и на его сторонах откладываем катеты.

Решение. Нарисуй прямой угол $C$, отложи на одной стороне $CA=11$ см, на другой $CB=111$ см, соедини $A$ и $B$. Получится треугольник с прямым углом $C$. Его гипотенуза больше 111 см. Значит, такой треугольник существует.

Ответ: да.

№ 13.7

Стороны прямоугольного треугольника 3 см, 4 см, 5 см. Чему равна гипотенуза?

Как думать. Гипотенуза больше катетов, значит, это самая длинная сторона.

Решение. Из чисел 3, 4, 5 самое большое — 5. Следовательно, 5 см — гипотенуза, а катеты 3 см и 4 см.

Ответ: 5 см.

Уровень B

№ 13.8

Докажи, что в прямоугольном треугольнике есть два острых угла.

Как думать. Используй внешний угол: он больше каждого внутреннего, не смежного с ним.

Решение. Дано: $\triangle ABC$, $\angle C=90^\circ$. Доказать: $\angle A<90^\circ$ и $\angle B<90^\circ$.

1. Внешний угол при вершине $C$ смежен с углом $C$, значит, он тоже равен $90^\circ$ ($180^\circ-90^\circ$).
2. Внешний угол больше каждого внутреннего, не смежного с ним, то есть больше $\angle A$ и больше $\angle B$.
3. Значит, $\angle A<90^\circ$ и $\angle B<90^\circ$, то есть оба острые.

Ответ: доказано.

№ 13.9

Докажи, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов.

Как думать. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Решение. Дано: $\triangle ABC$, $\angle C=90^\circ$. Доказать: $AB>AC$ и $AB>BC$.

1. Из № 13.8 углы $A$ и $B$ острые, значит, $\angle C>\angle A$ и $\angle C>\angle B$.
2. Против угла $C$ лежит $AB$, против $A$ лежит $BC$, против $B$ лежит $AC$.
3. Значит, $AB>BC$ и $AB>AC$.

Ответ: доказано.

№ 13.10

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC=BC$) отрезок $CD$ — высота. Докажи, что $\triangle ACD=\triangle BCD$.

Как думать. Высота образует прямые углы, значит, оба маленьких треугольника прямоугольные. Ищи равные гипотенузу и катет.

Решение. Дано: $AC=BC$, $CD\perp AB$. Доказать: $\triangle ACD=\triangle BCD$.

1. $\angle ADC=\angle BDC=90^\circ$, значит, треугольники прямоугольные, гипотенузы $AC$ и $BC$.
2. $AC=BC$ по условию (гипотенузы равны).
3. $CD$ — общий катет.
4. По признаку 3 (по гипотенузе и катету) $\triangle ACD=\triangle BCD$.

Ответ: доказано.

№ 13.11

Докажи, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

Как думать. Равные высоты — это катеты двух прямоугольных треугольников с общей гипотенузой. Применим признак 3.

Решение. Дано: $\triangle ABC$, высоты $AA_1$ и $BB_1$ равны. Доказать: $CA=CB$.

1. Прямоугольные треугольники $ABA_1$ и $BAB_1$ имеют общую гипотенузу $AB$.
2. Катеты $AA_1=BB_1$ по условию.
3. По признаку 3 $\triangle ABA_1=\triangle BAB_1$.
4. Значит, равны соответствующие углы: $\angle ABA_1=\angle BAB_1$, то есть $\angle B=\angle A$ в треугольнике $ABC$.
5. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный: $CA=CB$.

Ответ: доказано.

Уровень C

№ 13.12

Методом «от противного» докажи: если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и противолежащему углу другого, то треугольники равны.

Как думать. Предположим, что второй катет не равен, отложим на нём равный отрезок и найдём, что одни и те же углы противоречат теореме о внешнем угле.

Решение. Дано: $\angle C=\angle C_1=90^\circ$, $BC=B_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$. Доказать: $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

1. Предположим противное: $AC\ne A_1C_1$. Пусть, для определённости, $AC>A_1C_1$.
2. Отложим на катете $CA$ от точки $C$ отрезок $CD=C_1A_1$.
3. $\triangle BCD=\triangle B_1C_1A_1$ по двум катетам (признак 1): $BC=B_1C_1$, $CD=C_1A_1$.
4. Значит, $\angle BDC=\angle A_1=\angle A$.
5. Но $\angle BDC$ — внешний угол треугольника $ABD$, он должен быть больше $\angle A$, не смежного с ним. Противоречие.
6. Значит, $AC=A_1C_1$, и треугольники равны по двум катетам.

Ответ: доказано.

№ 13.13

Докажи, что в равных треугольниках равны соответствующие высоты.

Как думать. Высота делит треугольник на прямоугольные треугольники. Нужно найти в них равные гипотенузу и острый угол (признак 4).

Решение. Дано: $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$, $AH$ и $A_1H_1$ — высоты, проведённые к соответствующим сторонам $BC$ и $B_1C_1$. Доказать: $AH=A_1H_1$.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$.
2. $AB=A_1B_1$ как соответствующие стороны равных треугольников (гипотенузы).
3. $\angle B=\angle B_1$ как соответствующие углы равных треугольников. Если угол $B$ острый, то это острые углы прямоугольных треугольников. Если тупой, то их острыми углами будут смежные с ними, они тоже равны.
4. По признаку 4 прямоугольные треугольники равны, значит, равны и катеты $AH=A_1H_1$.

Ответ: доказано.

№ 13.14

Придумай способ найти расстояние от точки $B$ на берегу до корабля $A$ недалеко в море (рис. 13.9).

Как думать. Пусть $AB$ перпендикулярен берегу. Создадим на суше второй треугольник, равный треугольнику $ABE$. Его катет можно измерить.

Решение.

1. Отмеряем вдоль берега от $B$ отрезок $BD$ и отмечаем его середину $E$, так что $BE=ED$.
2. В точке $D$ восстанавливаем перпендикуляр к берегу и идём по нему, пока точки $C$, $E$ и $A$ не окажутся на одной прямой (смотрим на корабль через $E$).
3. $\triangle ABE=\triangle CDE$: $BE=ED$, $\angle B=\angle D=90^\circ$, $\angle AEB=\angle CED$ как вертикальные. Это признак 2 (катет и прилежащий острый угол).
4. Значит, $AB=CD$. Остаётся измерить $CD$ на берегу.

Ответ: расстояние до корабля равно длине отрезка $CD$.

№ 13.15

Подготовь сообщение: прямоугольные треугольники в папирусе Ахмеса.

Как думать. Это задание на поиск информации. Ответ — твой рассказ на 1–2 минуты.

Решение. План сообщения.

1. Что такое папирус Ахмеса: древнеегипетский математический свиток (примерно 4 тысячи лет назад), копия более древних записей.
2. Какие задачи в нём есть: счёт, дроби, площади, объёмы.
3. Где встречаются прямоугольные треугольники: в задачах про площади и про наклон граней пирамиды.
4. Свой вывод: египтяне умели решать задачи с прямоугольными треугольниками задолго до греков.

Ответ: сообщение по плану.

№ 13.16

Подготовь сообщение: теорема Фалеса о равенстве двух треугольников с равной стороной и двумя прилежащими к ней углами.

Как думать. Эта теорема — наш второй признак равенства треугольников. Расскажи, кто такой Фалес и зачем ему это понадобилось.

Решение. План сообщения.

1. Фалес Милетский, древнегреческий учёный (около VII–VI веков до н. э.).
2. Теорема: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим углам другого, то треугольники равны.
3. Применение: по преданию, Фалес так определял расстояние от берега до корабля (смотри № 13.14). Один треугольник построен на берегу, равный ему «в море» измерить нельзя, но равенство даёт нужную длину.

Ответ: сообщение по плану.

Шпаргалка

• Прямоугольный треугольник: есть прямой угол; два других угла острые.
• Гипотенуза больше каждого катета.
• Для равенства прямоугольных треугольников достаточно равенства двух элементов (кроме прямого угла): катета и катета, катета и прилежащего угла, гипотенузы и катета, гипотенузы и острого угла.
• Признак 4 доказывают методом «от противного».

Мини-тест