Проверь себя! Глава II

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 2: Треугольники. Страницы 80–83.

Что повторяем

Тест по главе II «Треугольники» (§ 7–13) из 20 вопросов с вариантами A–D. Что понадобится:

• виды треугольников и их элементы: медиана, биссектриса, высота;
• свойства равнобедренного и равностороннего треугольников;
• признаки равенства треугольников и прямоугольных треугольников;
• внешний угол треугольника;
• соотношение между сторонами и углами: против большей стороны лежит больший угол.

В учебнике ответов на этот тест нет, поэтому каждое решение ниже проверено рассуждением. Сначала попробуй решить сам, потом открывай подсказку.

Решаем упражнения

№ 1

В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника? A) равнобедренном; B) произвольном; C) равностороннем; D) такого не существует.

Как думать. В равнобедренном треугольнике только высота к основанию делит его на равные части. А если все стороны равны?

Решение. В равностороннем треугольнике любая сторона может считаться основанием. Высота к ней — это ещё и медиана, она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника (по гипотенузе и катету). В равнобедренном (не равностороннем) так делит только высота к основанию.

Ответ: C (равностороннем).

№ 2

Медиана, проведённая к одной из сторон треугольника, перпендикулярна ей. Определи вид треугольника: A) прямоугольный; B) разносторонний; C) равнобедренный; D) нельзя определить.

Как думать. Медиана и высота совпали. Какой треугольник так ведёт себя?

Решение. Пусть $AM$ — медиана к стороне $BC$ и $AM\perp BC$. Прямоугольные треугольники $ABM$ и $ACM$ равны по двум катетам: $BM=MC$ (медиана), $AM$ общий. Значит, $AB=AC$, треугольник равнобедренный.

Ответ: C (равнобедренный).

№ 3

$ABC$: $AB=BC=CA$. $CD$ — биссектриса, $AD=3$ см. Найди периметр: A) 3 см; B) 6 см; C) 9 см; D) 18 см.

Как думать. Треугольник равносторонний, значит, биссектриса $CD$ ещё и медиана.

Решение. $D$ — середина $AB$, поэтому $AB=2\cdot AD=6$ см. Все стороны по 6 см, периметр $3\cdot 6=18$ см.

Ответ: D (18 см).

№ 4

Высота, проведённая к одной из сторон треугольника, делит её пополам. Определи вид треугольника: A) прямоугольный; B) разносторонний; C) равнобедренный; D) нельзя определить.

Как думать. Высота совпала с медианой.

Решение. Пусть $AH\perp BC$ и $BH=HC$. Прямоугольные треугольники $ABH$ и $ACH$ равны по двум катетам, значит, $AB=AC$. Треугольник равнобедренный.

Ответ: C (равнобедренный).

№ 5

$ABC$: $AB=BC=CA$, $BH$ — высота. Периметр 42 см. Найди $AH$: A) 7 см; B) 14 см; C) 21 см; D) 35 см.

Как думать. Найдём сторону, потом вспомним, что высота равностороннего треугольника делит сторону пополам.

Решение. Сторона: $42:3=14$ см. $BH$ — высота к $AC$, значит, и медиана: $AH=14:2=7$ см.

Ответ: A (7 см).

№ 6

Периметр треугольника 60 см, стороны относятся как $3:4:5$. Найди их: A) 9, 12, 15; B) 12, 16, 20; C) 10, 20, 30; D) 15, 20, 25.

Как думать. Стороны — это $3$, $4$ и $5$ равных частей. Найдём, сколько сантиметров в одной части.

Решение. Всего $3+4+5=12$ частей, поэтому одна часть: $60:12=5$ см. Стороны: $3\cdot5=15$, $4\cdot5=20$, $5\cdot5=25$ см. Проверка: $15+20+25=60$.

Ответ: D (15 см, 20 см, 25 см).

№ 7

Биссектриса, проведённая к одной из сторон треугольника, делит её пополам. Определи вид: A) прямоугольный; B) разносторонний; C) равнобедренный; D) нельзя определить.

Как думать. Биссектриса совпала с медианой.

Решение. Пусть $AD$ — биссектриса и $BD=DC$. Продлим $AD$ за $D$ на отрезок $DE=AD$. Треугольники $ABD$ и $ECD$ равны (две стороны и вертикальные углы), значит, $AB=CE$ и $\angle BAD=\angle CED$. Но $\angle BAD=\angle CAD$, поэтому $\angle CAE=\angle CED$ и треугольник $ACE$ равнобедренный: $AC=CE=AB$. Значит, исходный треугольник равнобедренный.

Ответ: C (равнобедренный).

№ 8

Периметр равнобедренного треугольника 32 см. Биссектриса угла, противолежащего основанию, делит его на два треугольника с периметрами по 24 см. Найди эту биссектрису: A) 6; B) 8; C) 12; D) 16.

Как думать. Биссектриса к основанию — ещё и медиана, она общая сторона двух маленьких треугольников.

Решение. Сумма периметров двух частей: $24+24=48$ см. Это периметр целого ($32$ см) плюс биссектриса, посчитанная дважды: $48=32+2l$. Значит, $l=8$ см.

Ответ: B (8 см).

№ 9

Два отрезка $EF$ и $GH$ точкой пересечения делятся пополам. Найди $GF$, если $EH=10$ см: A) 5; B) 10; C) 15; D) 20.

Как думать. Пусть отрезки пересекаются в $O$. Ищем равные треугольники с вертикальными углами.

Решение. $EO=OF$, $GO=OH$, углы $EOH$ и $FOG$ вертикальные. Значит, $\triangle EOH=\triangle FOG$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $GF=EH=10$ см.

Ответ: B (10 см).

№ 10

Для установления равенства двух равносторонних треугольников достаточно проверить равенство некоторых элементов. Каких? A) одной стороны; B) одного угла; C) одной стороны и одного угла; D) двух сторон.

Как думать. Равносторонний треугольник задан одной стороной: остальные такие же.

Решение. Если сторона одного равна стороне другого, то все три стороны попарно равны. По третьему признаку (три стороны) треугольники равны. Угол сам ничего не даёт: все углы по $60^\circ$ у любых равносторонних.

Ответ: A (одной стороны).

№ 11

В двух прямоугольных треугольниках равно по одному острому углу. Равенство каких ещё элементов достаточно, чтобы установить равенство треугольников? A) второго острого угла; B) прилежащего катета; C) гипотенузы и второго острого угла; D) катета и второго острого угла.

Как думать. Равенство углов само размера не задаёт. Нужна ещё хотя бы одна сторона.

Решение. A) Нет: углы равны, а размеры могут быть разными. B) Да: катет, прилежащий к равному острому углу, вместе с этим углом даёт признак 2. Это самое экономное условие. Варианты C и D тоже содержат сторону, то есть тоже были бы достаточными, но в них лишние данные (второй острый угол при равном первом и так равен). Ожидаемый ответ с минимальным условием — B.

Ответ: B (прилежащего катета).

№ 12

Основание равнобедренного треугольника 8 см. Медиана, проведённая из вершины угла при основании, делит периметр на две части, одна из которых больше другой на 2 см. Найди боковую сторону: A) 4; B) 8; C) 10; D) 12.

Как думать. Медиана из вершины при основании идёт к боковой стороне и делит её пополам.

Решение. Пусть $AC=8$ — основание, $AB=BC=b$, $AM$ — медиана к $BC$, $BM=MC=\frac{b}{2}$. Периметр делится на две части: $AB+BM=\frac{3b}{2}$ и $AC+CM=8+\frac{b}{2}$. Разность равна 2 по модулю: $|b-8|=2$, откуда $b=10$ или $b=6$. Среди вариантов есть только $10$. Проверка: части $15$ и $13$, разность 2.

Ответ: C (10 см).

№ 13

Треугольник имеет один внешний прямой угол. Определи вид: A) прямоугольный; B) остроугольный; C) тупоугольный; D) нельзя определить.

Как думать. Внешний угол смежен с внутренним, вместе они дают $180^\circ$.

Решение. Смежный внутренний угол: $180^\circ-90^\circ=90^\circ$. Есть прямой угол, значит, треугольник прямоугольный.

Ответ: A (прямоугольный).

№ 14

Треугольник имеет один внешний острый угол. Определи вид: A) прямоугольный; B) остроугольный; C) тупоугольный; D) нельзя определить.

Как думать. Смежный с острым — тупой.

Решение. Внутренний угол при этой вершине равен $180^\circ$ минус острый, то есть больше $90^\circ$. Значит, есть тупой угол, и треугольник тупоугольный.

Ответ: C (тупоугольный).

№ 15

Определи вид треугольника, если один его внешний угол равен внутреннему углу: A) равносторонний; B) тупоугольный; C) прямоугольный; D) остроугольный.

Как думать. Внешний угол и смежный с ним внутренний дают $180^\circ$. Раз они равны, каждый — половина.

Решение. Внешний угол равен смежному внутреннему, а вместе они $180^\circ$. Значит, каждый по $90^\circ$, то есть в треугольнике есть прямой угол. (Если бы внутренний угол был не смежным, внешний был бы больше него, а это противоречит условию.)

Ответ: C (прямоугольный).

№ 16

Сравни углы треугольника $ABC$, если $AB=5$ см, $AC=7$ см, $BC=6$ см: A) $\angle A>\angle B>\angle C$; B) $\angle A>\angle C>\angle B$; C) $\angle C>\angle A>\angle B$; D) $\angle B>\angle A>\angle C$.

Как думать. Против большей стороны лежит больший угол. Определи, какой угол против какой стороны.

Решение. Против $AC=7$ лежит $\angle B$; против $BC=6$ лежит $\angle A$; против $AB=5$ лежит $\angle C$. Так как $7>6>5$, то $\angle B>\angle A>\angle C$.

Ответ: D.

№ 17

Сравни углы треугольника $DEF$, если $DE=DF=12$ см, $EF=5$ см: A) $\angle D<\angle E=\angle F$; B) $\angle D>\angle E>\angle F$; C) $\angle D>\angle E=\angle F$; D) $\angle D<\angle F<\angle E$.

Как думать. Треугольник равнобедренный, углы при основании равны. А угол при вершине против самой короткой стороны.

Решение. $DE=DF$, значит, $\angle E=\angle F$ (они лежат против равных сторон $DF$ и $DE$). Против $EF=5$ лежит $\angle D$. Так как $5<12$, то $\angle D<\angle E=\angle F$.

Ответ: A.

№ 18

Сравни стороны треугольника $ABC$, если $\angle A<\angle B<\angle C$: A) $AB<AC<BC$; B) $AB<BC<AC$; C) $AB>AC>BC$; D) $AB>BC>AC$.

Как думать. Против большего угла лежит большая сторона.

Решение. Против $\angle A$ лежит $BC$, против $\angle B$ лежит $AC$, против $\angle C$ лежит $AB$. Из $\angle A<\angle B<\angle C$ получаем $BC<AC<AB$, то есть $AB>AC>BC$.

Ответ: C.

№ 19

Сравни стороны треугольника $DEF$, если $\angle D>\angle E>\angle F$: A) $DE>DF>EF$; B) $DF>DE>EF$; C) $DF>EF>DE$; D) $EF>DF>DE$.

Как думать. Против $\angle D$ — сторона $EF$, против $\angle E$ — $DF$, против $\angle F$ — $DE$.

Решение. $\angle D>\angle E>\angle F$ значит $EF>DF>DE$.

Ответ: D.

№ 20

Сравни стороны треугольника $ABC$, если $\angle A<\angle B=\angle C$: A) $AB<AC=BC$; B) $BC<AB=AC$; C) $AC>BC=AB$; D) $AB>BC=AC$.

Как думать. Равным углам соответствуют равные стороны.

Решение. Против $\angle A$ лежит $BC$; против $\angle B$ лежит $AC$; против $\angle C$ лежит $AB$. $\angle B=\angle C$, значит, $AC=AB$. $\angle A$ меньше, поэтому $BC$ меньше: $BC<AB=AC$.

Ответ: B.

Шпаргалка

• Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
• В равностороннем треугольнике любая высота ещё и медиана и биссектриса.
• Сумма периметров двух частей, на которые делит треугольник общая сторона, равна периметру плюс эта сторона дважды.
• Внешний угол и смежный внутренний вместе дают $180^\circ$.
• Прямоугольные треугольники равны по двум катетам, катету и прилежащему углу, гипотенузе и катету, гипотенузе и острому углу.

Ответы теста: 1 C, 2 C, 3 D, 4 C, 5 A, 6 D, 7 C, 8 B, 9 B, 10 A, 11 B, 12 C, 13 A, 14 C, 15 C, 16 D, 17 A, 18 C, 19 D, 20 B.