§ 14. Перпендикуляр и наклонная

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 3: Взаимное расположение прямых. Страницы 83–86.

Чему научишься

• Отличать перпендикуляр от наклонной и находить основание и проекцию.
• Объяснять, что такое расстояние от точки до прямой.
• Доказывать, что из точки к прямой можно опустить ровно один перпендикуляр.
• Доказывать, что перпендикуляр короче любой наклонной, и применять это в задачах.

Разминка

• Какой угол называют прямым? Угол в $90^\circ$.
• Что такое гипотенуза и катеты? Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника напротив прямого угла, катеты — две другие стороны.
• Какая сторона прямоугольного треугольника самая длинная? Гипотенуза: она лежит напротив самого большого угла.
• Чем отличается высота от медианы? Высота идёт из вершины к противоположной стороне под прямым углом, медиана — к её середине.

Разбираемся

Перпендикуляр: самый прямой путь

Представь: ты стоишь у Байтерека в точке $A$, а мимо проходит прямая аллея $b$. Чтобы выйти к аллее, можно идти разными тропинками. Но одна из них особенная: ровно «под прямым углом» к аллее.

Проведём через точку $A$ прямую $a$, перпендикулярную $b$. Она пересечёт $b$ в точке $B$. Тогда:

• отрезок $AB$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на прямую $b$;
• точка $B$ — основание перпендикуляра;
• длина $AB$ — расстояние от точки $A$ до прямой $b$.

А любой другой отрезок $AC$ от точки $A$ до точки $C$ на прямой $b$ (где $C\ne B$) — наклонная. Точка $C$ — её основание, а отрезок $BC$ — проекция наклонной на прямую $b$. Проекция — это «тень» наклонной на прямой.

📌 Перпендикуляр — один. Наклонных из той же точки можно провести сколько угодно.

⚠️ Частая ошибка. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, а не любого отрезка до прямой. Измеряют линейкой «под прямым углом», а не наискосок.

Теорема: перпендикуляр всегда один

📌 Теорема. Из любой точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Доказательство в два захода: сначала покажем, что перпендикуляр есть, потом — что он единственный.

Почему он единственный. Допустим, из точки $A$ на прямую $b$ опущены два перпендикуляра $AD_1$ и $AD_2$. Тогда в треугольнике $AD_1D_2$ было бы два прямых угла. Но в треугольнике два прямых угла быть не могут (это свойство прямоугольного треугольника: один угол прямой, остальные острые). Значит, второго перпендикуляра нет.

💡 А если точка лежит на прямой? Тогда перпендикулярную прямую через неё тоже можно провести только одну: прямой угол откладывается от луча одним-единственным способом.

Теорема: перпендикуляр короче наклонной

📌 Теорема. Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, короче любой наклонной, проведённой из этой точки к той же прямой. Расстояние от точки до прямой — наименьшее из расстояний от точки до точек прямой.

Доказательство короткое. Пусть $AB$ — перпендикуляр, $AC$ — наклонная. Тогда $ABC$ — прямоугольный треугольник: $AB$ — катет, $AC$ — гипотенуза. Катет короче гипотенузы, значит $AB<AC$.

🌟 Именно поэтому провод к дому тянут от столба по перпендикуляру к стене: так кабеля уйдёт меньше всего.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка на листе в клетку нарисовать прямую, точку над ней и несколько отрезков до прямой. Пусть линейкой измерит их и убедится, что самый короткий — тот, что «стоит прямо».

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что называется перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую? Что такое основание перпендикуляра? Если прямая $a$ проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $b$, а $B$ — точка их пересечения, то отрезок $AB$ — перпендикуляр. Точка $B$ — основание перпендикуляра.
• Что называется наклонной? Что такое основание наклонной и проекция наклонной? Наклонная — отрезок $AC$ из точки $A$ к точке $C$ прямой, отличной от основания перпендикуляра. $C$ — основание наклонной, отрезок $BC$ (от основания перпендикуляра до основания наклонной) — проекция.
• Что называется расстоянием от точки до прямой? Длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
• Что больше: перпендикуляр или наклонная из одной точки к одной прямой? Наклонная больше: перпендикуляр короче любой наклонной.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 14.1

Сколько перпендикуляров можно опустить из данной точки на данную прямую?

Как думать. Вспомни теорему из этого параграфа о существовании и единственности перпендикуляра.

Решение. Если точка не лежит на прямой, то по теореме перпендикуляр существует и только один. Если точка лежит на прямой, перпендикулярная ей прямая тоже единственная.

Ответ: один.

№ 14.2

Сколько наклонных заданной длины можно провести из данной точки к данной прямой?

Как думать. Наклонная длиннее перпендикуляра. Для заданной длины (больше расстояния до прямой) основание наклонной можно взять по обе стороны от основания перпендикуляра.

Решение. Пусть $AB$ — перпендикуляр, а нужная длина $l>AB$. Тогда на прямой есть ровно две точки на расстоянии $l$ от $A$: слева и справа от $B$. Это две симметричные наклонные.

Ответ: две.

№ 14.3

Может ли медиана треугольника быть меньше высоты, проведённой из той же вершины?

Как думать. Высота — это перпендикуляр к стороне, а медиана — наклонная к той же стороне (или совпадает с высотой).

Решение. Медиана и высота выходят из одной вершины к одной прямой, содержащей противоположную сторону. Высота — перпендикуляр, он не длиннее любой наклонной. Значит, медиана не может быть меньше высоты. Они равны, только когда медиана сама оказывается высотой.

Ответ: нет.

№ 14.4

Может ли биссектриса треугольника быть меньше высоты, проведённой из той же вершины?

Как думать. Тот же приём: высота — перпендикуляр, а биссектриса — наклонная к той же прямой.

Решение. Биссектриса и высота выходят из одной вершины и приходят на одну прямую. Перпендикуляр (высота) короче любой наклонной, значит, биссектриса не может быть короче высоты. Равенство возможно, когда биссектриса совпадает с высотой (в равнобедренном треугольнике).

Ответ: нет.

№ 14.5

На клетчатой бумаге нарисуй точки и прямые, как на рисунке 14.5 (три случая а), б), в)). Из точки $C$ опусти перпендикуляр $CD$ на прямую $AB$.

Как думать. Угольник на клетках не нужен. Если из точки $A$ в точку $B$ идём на $p$ клеток вправо и $q$ вниз, то перпендикулярное направление получается, если «поменять числа местами и один знак»: на $q$ клеток вправо и $p$ вверх.

Решение. Покажу на случае а). Пусть $A(1;,4)$, $B(4;,1)$, $C(5;,4)$. От $A$ к $B$: 3 клетки вправо и 3 вниз, то есть по диагонали клеток. Перпендикуляр к такой диагонали — другая диагональ: от $C$ идём 2 клетки влево и 2 вниз и попадаем в узел $D(3;,2)$ на прямой $AB$. Проверка: $D$ лежит на $AB$, а $CD$ идёт по диагонали «в другую сторону».

В случае б) вектор $AB$ — «5 вправо, 2 вниз», значит перпендикуляр идёт «2 вправо, 5 вверх» (или «2 влево, 5 вниз»). Для $A(0;,2)$, $B(5;,0)$, $C(4;,4)$ идём от $C$ по направлению «2 влево, 5 вниз» до пересечения с $AB$: основание $D$ получается примерно в точке $(2{,}8;,0{,}9)$, внутри клетки, а не в узле. В случае в) вектор $AB$ — «1 вправо, 6 вниз», перпендикуляр идёт «6 вправо, 1 вверх» (или «6 влево, 1 вниз»). Для $A(0;,6)$, $B(1;,0)$, $C(4;,3)$ основание $D$ примерно $(0{,}6;,2{,}4)$.

Ответ: перпендикуляр $CD$ идёт по направлению, повёрнутому на $90^\circ$ относительно $AB$: в случае а) $D(3;,2)$, в случаях б) и в) основание лежит внутри клетки, но направление находится тем же правилом «поменяй числа местами».

Уровень B

№ 14.6

Чему равна проекция одной стороны равностороннего треугольника со стороной 1 на прямую, содержащую другую его сторону?

Как думать. Проекция стороны $AB$ на прямую $AC$ — отрезок от $A$ до основания перпендикуляра, опущенного из $B$ на $AC$. В равностороннем треугольнике этот перпендикуляр — высота.

Решение. Высота $BH$ равностороннего треугольника $ABC$ является и медианой, значит $AH=\frac12 AC=\frac12\cdot 1=0{,}5$.

Ответ: $0{,}5$.

№ 14.7

Стороны равнобедренного треугольника равны 6, 8, 8. Чему равна проекция боковой стороны на прямую, содержащую основание?

Как думать. Основание — сторона 6 (две другие равны). Проекция боковой стороны на основание — отрезок от вершины основания до основания высоты.

Решение. Высота, опущенная на основание, одновременно медиана. Значит, она делит основание $6$ пополам, и проекция боковой стороны равна $6:2=3$.

Ответ: $3$.

№ 14.8

Стороны прямоугольного треугольника равны 3, 4, 5. Чему равна проекция гипотенузы на прямую, содержащую больший катет?

Как думать. Гипотенуза 5, катеты 3 и 4, больший катет — 4. Проекция гипотенузы на него — от вершины до основания перпендикуляра из конца гипотенузы.

Решение. Пусть $AB=4$ — больший катет, $BC=3$ — меньший, $AC=5$ — гипотенуза, угол $B$ прямой. Перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AB$ — это сам катет $CB$ (он перпендикулярен $AB$). Основание перпендикуляра — точка $B$, значит проекция гипотенузы $AC$ — отрезок $AB$, то есть $4$.

Ответ: $4$.

№ 14.9

Из точки $A$ к прямой $b$ проведены перпендикуляр $AB$ и наклонные $AB_1$, $AB_2$. Какая из двух наклонных меньше, если: а) $B_1$ лежит между $B$ и $B_2$; б) $B$ лежит между $B_1$ и $B_2$ и $BB_1<BB_2$?

Как думать. Меньше та наклонная, у которой проекция меньше. Это нужно доказать. Идея для а): найти в треугольнике $AB_1B_2$ тупой угол, он лежит против самой большой стороны.

Решение. а) Угол $AB_1B_2$ — внешний для прямоугольного треугольника $ABB_1$, он равен $90^\circ$ плюс острый угол, значит он тупой. В треугольнике $AB_1B_2$ против тупого угла лежит наибольшая сторона $AB_2$. Поэтому $AB_2>AB_1$, то есть меньше $AB_1$.

б) Отложим на $BB_2$ точку $B_3$ так, чтобы $BB_3=BB_1$. Прямоугольные треугольники $ABB_1$ и $ABB_3$ равны по двум катетам, значит $AB_3=AB_1$. Точка $B_3$ лежит между $B$ и $B_2$ (потому что $BB_3=BB_1<BB_2$), и по пункту а) $AB_3<AB_2$. Следовательно, $AB_1<AB_2$.

Ответ: а) $AB_1$; б) $AB_1$.

№ 14.10

Докажи, что две равные наклонные, проведённые из данной точки к данной прямой, имеют равные проекции (рис. 14.6).

Как думать. На рисунке $AB$ — перпендикуляр, $AC=AD$ — равные наклонные. Нужно доказать $CB=BD$.

Решение. Дано: $AB\perp CD$, $AC=AD$. Доказать: $CB=BD$.

1. Треугольник $ACD$ равнобедренный: $AC=AD$, основание $CD$.
2. $AB$ — высота этого треугольника, проведённая к основанию (она перпендикулярна $CD$).
3. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой. Значит, $CB=BD$, то есть проекции равны.

Ответ: доказано: $CB=BD$.

№ 14.11

Докажи, что если две наклонные, проведённые из данной точки к данной прямой, имеют равные проекции, то они равны (рис. 14.6).

Как думать. Это обратное утверждение к 14.10. Ищем два равных треугольника.

Решение. Дано: $AB\perp CD$, $CB=BD$. Доказать: $AC=AD$.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ABD$.
2. $AB$ — общая сторона; $CB=BD$ по условию; $\angle ABC=\angle ABD=90^\circ$.
3. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $AC=AD$.

Ответ: доказано: $AC=AD$.

Уровень C

№ 14.12

Докажи, что из двух наклонных, проведённых из данной точки к данной прямой, больше та, проекция которой больше (рис. 14.7).

Как думать. Это то же рассуждение, что в 14.9 а): ищем тупой угол в треугольнике.

Решение. Дано: $AB\perp b$, точки $C$, $D$, $B$ на прямой в таком порядке (на рис. 14.7), проекция $BC$ больше проекции $BD$. Доказать: $AC>AD$.

1. Точка $D$ лежит между $C$ и $B$, потому что $BC>BD$ (обе проекции откладываются в одну сторону от $B$).
2. Угол $ADC$ — внешний угол прямоугольного треугольника $ABD$ при вершине $D$. Он равен $90^\circ$ плюс острый угол $BAD$, значит он тупой.
3. В треугольнике $ACD$ против тупого угла лежит наибольшая сторона. Это $AC$. Значит, $AC>AD$.

Если наклонные идут по разные стороны от перпендикуляра, то используем 14.10: «отразим» одну наклонную, и получим случай, когда обе по одну сторону.

Ответ: доказано: у наклонной с большей проекцией длина больше.

№ 14.13

Докажи, что из двух проекций наклонных, проведённых из данной точки к данной прямой, больше та, наклонная которой больше (рис. 14.7).

Как думать. Это обратное утверждение к 14.12. Удобно доказывать «от противного».

Решение. Дано: $AC>AD$. Доказать: $BC>BD$. Допустим, что это не так. Тогда есть два случая.

1. Если $BC=BD$, то по 14.11 наклонные равны: $AC=AD$. Это противоречит условию $AC>AD$.
2. Если $BC<BD$, то по 14.12 (больше та наклонная, у которой проекция больше) получаем $AC<AD$. Это тоже противоречит условию. Оба случая невозможны, значит $BC>BD$.

Ответ: доказано: у большей наклонной проекция больше.

№ 14.14

Докажи, что биссектриса треугольника не превосходит его медианы, проведённой из той же вершины.

Как думать. Если две стороны при вершине равны, то биссектриса и медиана совпадают. В остальных случаях покажем, что угол в основании биссектрисы тупой, а в треугольнике против тупого угла лежит наибольшая сторона.

Решение. Дано: треугольник $ABC$, $AL$ — биссектриса, $AM$ — медиана ($L$ и $M$ на $BC$). Доказать: $AL\le AM$.

1. Если $AB=AC$, то биссектриса и медиана — одна и та же линия, $AL=AM$.
2. Пусть $AB<AC$. Тогда $\angle B>\angle C$ (против большей стороны лежит больший угол).
3. Точка $L$ лежит между $B$ и $M$. Для этого продлим медиану за точку $M$ на отрезок $MD=AM$. Треугольники $MBA$ и $MCD$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $CD=AB$ и $\angle ADC=\angle BAM$. В треугольнике $ACD$ сторона $AC>CD$, значит $\angle ADC>\angle CAD$, то есть $\angle BAM>\angle MAC$. Тогда $\angle BAM>\frac12\angle A=\angle BAL$, и луч $AL$ проходит между $AB$ и $AM$.
4. Угол $ALC$ — внешний для треугольника $ABL$, он равен $\angle B+\frac12\angle A$. А угол $ALB$ равен $\angle C+\frac12\angle A$ (внешний для $ACL$). Так как $\angle B>\angle C$, угол $ALC$ больше угла $ALB$. Эти углы смежные, их сумма $180^\circ$, значит $\angle ALC>90^\circ$.
5. Так как $M$ лежит на луче $LC$, угол $ALM=\angle ALC$ тоже тупой. В треугольнике $ALM$ против тупого угла лежит наибольшая сторона $AM$. Значит, $AM>AL$. Случай $AB>AC$ разбирается так же, с заменой $B$ и $C$.

Ответ: доказано: $AL\le AM$, равенство только при $AB=AC$.

Подготовьтесь к новой теме

№ 14.15

Нарисуй прямую $b$ и точку $A$ вне её. Проведи через $A$ прямую $a$, параллельную $b$. Сколько таких прямых можно провести?

Как думать. Это вопрос-«разминка» к § 15. Приложи линейку к прямой $b$ и угольник вдоль неё. Двигая угольник, получим прямую через $A$.

Решение. Приложим угольник одной стороной к $b$, а к другой стороне его приложим линейку. Сдвинем угольник вдоль линейки так, чтобы его сторона прошла через $A$, и проведём прямую $a$. Она не пересекает $b$. Другую прямую через $A$, параллельную $b$, провести не получится: любая иная прямая через $A$ пересечёт $b$. (Это как раз основное свойство параллельных прямых в § 15.)

Ответ: одну.

Шпаргалка

• Определения. Перпендикуляр, основание перпендикуляра, наклонная, основание наклонной, проекция, расстояние от точки до прямой.
• Теорема 1. Из точки вне прямой можно опустить на прямую ровно один перпендикуляр.
• Теорема 2. Перпендикуляр короче любой наклонной ($AB<AC$, потому что катет короче гипотенузы).
• Следствия из упражнений. Равные наклонные имеют равные проекции и наоборот. Большая наклонная — большая проекция и наоборот. Биссектриса не больше медианы, высота не больше ни той, ни другой.

Мини-тест