§ 19. Взаимное расположение прямой и окружности
Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 4: Окружность. Геометрические построения. Страницы 111–117.
Чему научишься
- Определять, сколько общих точек у прямой и окружности: ни одной, одна или две.
- Узнавать касательную и секущую.
- Сравнивать расстояние от центра до прямой с радиусом и по нему делать вывод о расположении.
- Помнить свойство: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
- Знать, что отрезки касательных из одной точки равны, и применять это в задачах.
Разминка
- Что такое расстояние от точки до прямой? Длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
- Какой отрезок короче: перпендикуляр или наклонная из той же точки? Перпендикуляр короче любой наклонной.
- Что такое радиус окружности? Отрезок от центра до точки окружности; все радиусы одной окружности равны.
- Когда прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету? Если гипотенуза и катет одного равны гипотенузе и катету другого.
- Сколько общих точек могут иметь две различные прямые? Ни одной или одну.
Разбираемся
Три способа встретиться
Прямая и окружность могут разойтись, едва коснуться или пересечься.
- Нет общих точек. Прямая проходит мимо окружности.
- Одна общая точка. Прямая называется касательной, а общая точка — точкой касания.
- Две общие точки. Прямая называется секущей, а про окружность и прямую говорят, что они пересекаются.
💡 Колесо на дороге. Обод в каждый миг касается дороги в одной точке, а вот шина, вмятая под весом, уже «пересекает» дорогу своим кусочком.
Всё решает расстояние до центра
Пусть $d$ — расстояние от центра $O$ до прямой (длина перпендикуляра), $R$ — радиус.
📌 Сравни $d$ и $R$: $d > R$ — общих точек нет; $d = R$ — прямая касается окружности; $d < R$ — прямая и окружность пересекаются.
Первые два пункта докажем, третий примем без доказательства.
Почему при $d > R$ точек нет. Опустим из $O$ перпендикуляр $OA$ на прямую $a$. Для любой другой точки $B$ прямой наклонная $OB$ длиннее перпендикуляра $OA$, а $OA > R$. Значит, у любой точки прямой расстояние до $O$ больше $R$, и на окружности лежать она не может.
Свойство касательной
📌 Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Почему: у касательной расстояние от центра равно радиусу. А расстояние до прямой — это перпендикуляр. Значит, перпендикуляр $OA$ и есть радиус в точку касания $A$.
🌟 Именно поэтому колесо едет по дороге плавно: радиус в точке касания всегда стоит под прямым углом к дороге.
Две касательные из одной точки
📌 Теорема. Отрезки двух касательных, проведённых к окружности из одной точки вне её, равны.
👨👩👧 Родителю. Возьмите два карандаша и круглую крышку. Положите карандаши так, чтобы оба касались крышки и пересекались в одной точке. Измерьте расстояния от этой точки до крышки вдоль каждого карандаша: получатся одинаковые.
⚠️ Частая ошибка. Путают «касательную» и «секущую». Запомни: касательная касается в одной точке, а секущая режет окружность в двух.
Проверь, как понял
Проверь себя
- Как могут быть расположены прямая и окружность? Ни одной общей точки, одна общая точка или две общие точки.
- Какая прямая называется касательной? Какая секущей? Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку, секущая — две.
- Когда прямая и окружность не имеют общих точек? Когда расстояние от центра до прямой больше радиуса.
- Когда прямая касается окружности? Когда это расстояние равно радиусу.
- Когда прямая и окружность пересекаются? Когда расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
Решаем упражнения
Уровень A
№ 19.1
Прямая пересекает окружность. Как называется фигура, являющаяся общей частью этой прямой и круга, ограниченного данной окружностью?
Как думать. Прямая пересекает окружность в двух точках. Часть прямой внутри круга ограничена этими точками.
Решение. Это отрезок, концы которого лежат на окружности. Такой отрезок называется хордой.
Ответ: хорда.
№ 19.2
Сколько касательных к окружности можно провести через точку, расположенную: а) внутри окружности; б) вне окружности; в) на окружности?
Как думать. Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку, и всё время «снаружи».
Решение. а) Любая прямая через внутреннюю точку пересекает окружность в двух точках, касательных нет. б) Из внешней точки можно провести две касательные (мы видели их на рисунке с $B_1$ и $B_2$). в) Через точку на окружности проходит одна касательная: перпендикуляр к радиусу в этой точке.
Ответ: а) ни одной; б) две; в) одну.
№ 19.3
Сколько можно провести окружностей, касающихся данной прямой в данной точке?
Как думать. Радиус в точку касания перпендикулярен прямой. Значит, центр лежит на перпендикуляре к прямой в этой точке.
Решение. Пусть прямая $a$ и точка $A$ на ней. Центр лежит на перпендикуляре к $a$ в точке $A$, а радиус равен расстоянию до $A$. Любая точка этого перпендикуляра (кроме $A$) годится: она задаёт свою окружность. Таких точек бесконечно много.
Ответ: бесконечно много.
№ 19.4
Сколько можно провести окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой в данной точке?
Как думать. Как в 19.3, но теперь радиус фиксирован.
Решение. Центр лежит на перпендикуляре к прямой в точке $A$ на расстоянии $R$ от $A$. На этом перпендикуляре такое расстояние можно отложить в обе стороны от прямой: получаем две точки, то есть две окружности.
Ответ: две.
№ 19.5
Какой угол образуют касательная к окружности и радиус, проведённый в точку касания?
Как думать. Это прямо теорема о свойстве касательной.
Решение. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Ответ: $90^\circ$.
Уровень B
№ 19.6
Каково взаимное расположение прямой и окружности, если радиус равен 3 см, а расстояние от центра до прямой: а) 2 см; б) 3 см; в) 4 см?
Как думать. Сравни расстояние $d$ с радиусом $R = 3$ см.
Решение. а) $d = 2 < 3 = R$: прямая и окружность пересекаются. б) $d = 3 = R$: прямая касается окружности. в) $d = 4 > 3 = R$: общих точек нет.
Ответ: а) пересекаются; б) касаются; в) не имеют общих точек.
№ 19.7
На клетчатой бумаге проведи через точку $A$ касательную к данной окружности (рисунок 19.5: а) и б)).
Как думать. Касательная перпендикулярна радиусу $OA$. Так что проводим радиус и строим прямую под прямым углом к нему в точке $A$. На клетках прямой угол легко получить: поворот вектора $(a;,b)$ на $90^\circ$ даёт вектор $(-b;,a)$.
Решение. Считаем клетками, начало координат в левом нижнем углу сетки. а) Центр $O(3;,4)$, точка $A(2;,5)$. Вектор $OA = (-1;,1)$. Перпендикулярный ему вектор $(1;,1)$: касательная идёт по диагонали клеток через $A$, например через узлы $(0;,3)$ и $(3;,6)$.
б) Центр $O(3;,3)$, $A(2;,5)$. Вектор $OA = (-1;,2)$, перпендикулярный ему $(2;,1)$: касательная идёт от $A$ на 2 клетки вправо и на 1 вверх (и назад: на 2 влево и 1 вниз), например через узлы $(0;,4)$, $(2;,5)$, $(4;,6)$.
Ответ: построение: касательная в $A$ — прямая под $90^\circ$ к радиусу $OA$ (а — по диагонали клеток, б — с наклоном «2 клетки вправо, 1 вверх»).
№ 19.8
На клетчатой бумаге проведи из точки $A$ касательные к данной окружности (рисунок 19.6: а) и б)).
Как думать. Точка касания $T$ такая, что $OT \perp TA$. На клетчатой бумаге такие точки — узлы сетки, и их можно найти подбором: ищем узел $T$ на окружности, для которого углы в $T$ прямые.
Решение. а) $O(3;,3)$, $A(5;,3)$, радиус $\sqrt{2}$ клеток. Касаются в узлах $T_1(4;,4)$ и $T_2(4;,2)$. Проверка: векторы $OT_1 = (1;,1)$ и $T_1A = (1;,-1)$ перпендикулярны (скалярное произведение $1 - 1 = 0$). Проводим прямые $AT_1$ и $AT_2$. б) Сдвинем рисунок на клетку вверх для удобства: $O(3;,3)$, $A(2;,6)$, радиус $\sqrt{5}$. Точки касания $T_1(1;,4)$ и $T_2(4;,5)$. Проверка для $T_2$: $OT_2 = (1;,2)$, $T_2A = (-2;,1)$, скалярное произведение $-2 + 2 = 0$. Для $T_1$: $OT_1 = (-2;,1)$, $T_1A = (1;,2)$, $-2 + 2 = 0$.
Ответ: из $A$ проводятся две касательные: в а) через $A$ и узлы $(4;,4)$, $(4;,2)$; в б) через $A$ и $T_1$, $T_2$ (см. рисунок).
№ 19.9
Две прямые касаются окружности в двух диаметрально противоположных точках. Каково взаимное расположение этих прямых?
Как думать. Диаметрально противоположные точки — концы диаметра. Что можно сказать о касательных в них?
Решение. Пусть $AB$ — диаметр, $a$ и $b$ — касательные в $A$ и $B$. Радиусы $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой (диаметр). Каждая касательная перпендикулярна этому диаметру: $a \perp AB$ и $b \perp AB$. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
Ответ: параллельны.
№ 19.10
Сколько прямых, касающихся двух данных окружностей, можно провести (рисунок 19.7)?
Как думать. Окружности лежат вне друг друга, как две тарелки на столе. Представь нить, натянутую вокруг них.
Решение. Две внешние касательные идут «сверху» и «снизу», по одну сторону от обеих окружностей. Ещё две внутренние идут по «диагонали» и пересекаются между окружностями (оставляя окружности по разные стороны).
Ответ: 4.
Уровень C
№ 19.11
Найди длину отрезка $AB$ касательной (рисунок 19.8). Сторона клетки равна 1.
Как думать. $B$ — точка касания, значит $OB \perp AB$. Треугольник $OBA$ прямоугольный с гипотенузой $OA$ и катетом $OB = r$. По теореме Пифагора $AB^2 = OA^2 - r^2$.
Решение. а) Центр $O$ и точка $A$ отличаются на 3 клетки по горизонтали и 2 по вертикали, радиус равен 2 клеткам. $OA^2 = 3^2 + 2^2 = 13$, $AB^2 = 13 - 4 = 9$, $AB = 3$. б) Центр и $A$ отличаются на 4 клетки по горизонтали и 1 по вертикали, радиус равен 1. $OA^2 = 16 + 1 = 17$, $AB^2 = 17 - 1 = 16$, $AB = 4$.
Ответ: а) 3; б) 4.
№ 19.12
Докажи, что отрезки $AB$ и $CD$ общих внутренних касательных к двум окружностям равны (рисунок 19.9).
Как думать. Внутренние касательные пересекаются между окружностями. Из точки пересечения идут по два отрезка касательных к каждой окружности, а они равны.
Решение. Пусть касательные $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Здесь $A$, $C$ — точки касания с первой окружностью, $B$, $D$ — со второй. Тогда $PA = PC$ (касательные из одной точки к первой окружности) и $PB = PD$ (касательные из $P$ ко второй). $P$ лежит между $A$ и $B$ и между $C$ и $D$, поэтому $AB = PA + PB$ и $CD = PC + PD = PA + PB$. Значит, $AB = CD$.
Ответ: доказано.
№ 19.13
Докажи, что отрезки $AB$ и $CD$ общих пересекающихся внешних касательных к двум окружностям равны (рисунок 19.10).
Как думать. Внешние касательные пересекаются в точке $P$ вне окружностей. Снова работает равенство касательных из одной точки.
Решение. Пусть $P$ — точка пересечения внешних касательных, $A$, $C$ — точки касания с большой окружностью, $B$, $D$ — с малой. Тогда $PA = PC$ и $PB = PD$. Точки $B$ и $D$ лежат между $P$ и $A$, $C$ соответственно, поэтому $AB = PA - PB$ и $CD = PC - PD = PA - PB$. Значит, $AB = CD$.
Ответ: доказано.
№ 19.14
На рисунке 19.11 $DA$, $DB$, $DC$ — касательные. В каком отношении точка $D$ делит отрезок $AB$?
Как думать. Две окружности касаются друг друга в точке $C$, через $C$ идёт общая касательная, она пересекает общую касательную $AB$ в точке $D$.
Решение. $D$ — внешняя точка. Из $D$ к первой окружности идут касательные $DA$ и $DC$, значит $DA = DC$. Ко второй — $DB$ и $DC$, значит $DB = DC$. Тогда $DA = DB$, то есть $D$ — середина $AB$, и она делит отрезок в отношении $1:1$.
Ответ: на две равные части.
№ 19.15
Через точку $M$ вне окружности проведены касательные $MA$ и $MB$, а через точку $C$ на окружности — касательная, пересекающая отрезки $MA$ и $MB$ в точках $K$ и $L$ (рисунок 19.12). Докажи, что периметр $KLM$ не зависит от положения точки $C$.
Как думать. Периметр — $KM + ML + KL$. Разбей $KL$ на два кусочка и замени их касательными из $K$ и $L$.
Решение. $KL = KC + CL$. Из $K$ к окружности идут касательные $KA$ и $KC$, значит $KC = KA$. Из $L$ идут $LB$ и $LC$, значит $CL = LB$. Тогда периметр $P = KM + ML + KC + CL = KM + ML + KA + LB = (KM + KA) + (ML + LB) = MA + MB.$ Так как $MA = MB$ (касательные из $M$), то $P = 2MA$. Эта величина зависит только от точки $M$ и окружности, но не от положения $C$.
Ответ: $P_{KLM} = 2MA$, не зависит от точки $C$.
Подготовьтесь к овладению новыми знаниями
№ 19.16
Сколько общих точек могут иметь две окружности? Изобрази соответствующие случаи.
Как думать. Подвигай одну монету по другой: сначала далеко, потом касаясь, потом наползая, потом одна внутри другой.
Решение.
- Окружности далеко друг от друга или одна внутри другой: общих точек нет.
- Касаются (снаружи или изнутри): одна общая точка.
- Пересекаются: две общие точки. Совпавшие окружности мы здесь не считаем (у них общих точек бесконечно много).
Ответ: ни одной, одну или две.
Шпаргалка
- Три случая прямой и окружности зависят от $d$ (расстояние от центра до прямой) и $R$.
- Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; через точку на окружности проходит одна касательная, через внешнюю точку — две, через внутреннюю — ни одной.
- Отрезки касательных из одной внешней точки равны.